Название работы	Кол-во страниц	Размер
Функциональный анализ	1	27.79kb.
Множества. Пересечение множеств. Объединение множеств	1	60.85kb.
Множество. Подмножество. Пересечение и объединение множеств	1	65.34kb.
Основные понятия теории множеств	1	92.49kb.
Вопросы к экзамену Основные понятия теории множеств. Примеры	1	22.46kb.
Краткое содержание исследовательской работы	1	84.09kb.
Логическая операция Обозначения	1	83.3kb.
Закон для декартового произведения множеств относительно пересечения.	1	17.44kb.
Билет №7 Операции над множествами: объединение множеств, разность...	1	31.46kb.
Планирование по геометрии (68 часов  2 часа в неделю) Учитель: Максимовская М.	1	35.58kb.
Программа курса «Дискретная математика»	1	28.67kb.
Поршнев Евгений Андреевич Альтернативная теория множеств	1	254.6kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

23. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала в линейном нормированном пространстве.

Теорема 1(теорема Хана-Банаха). Любой линейный функционал , определённый на линейном многообразии линейного нормированного пространства X, можно продолжить на всё пространство X с сохранением нормы, то есть существует линейный функционал , определённый на всём X и такой, что для любой точки ,

Доказательство. Пусть и - множество элементов вида , где , а t – любое действительное число. Множество - линейное многобразие и каждый его элемент однозначно представим в таком виде. Пусть ; если , то ; если , то и , что невозможно.

Выберем любые два элемента и из L. Справедливы соотношения , из которых вытекает неравенство , а в силу произвольности элементов и имеет место оценка

.

Пусть u – любой элемент из L. Введём функционал на по правилу . На L имеет место равенство , так как . Очевидно, что -линеен; покажем ограниченность функционала и равенство .

Если , то из принадлежности элемента многообразию L и неравенства для постоянной с справедливы соотношения

, итогом которых является неравенство

. При имеем , а, значит,

, то есть . Заменяя в этих рассуждениях элемент u на (-u), получим , в совокупности . Мы доказали неравенство , но так как есть продолжение , то его норма не может быть уменьшена; следовательно, .

Закончим доказательство теоремы в случае сепарабельного пространства X, то есть такого пространства, в котором существует счётное всюду плотное множество элементов , , …. Пусть эти элементы линейно независимы и не попали в . Продолжая функционал с многообразия на многообразия , , …, мы построим линейный функционал , определённый на всюду плотном в X линейном многообразии , причём . Доопределим на всё пространство X по непрерывности. Если , то существует последовательность элементов из и при , причём. Следовательно, последовательность имеет предел , однозначно определяющая функционал на X. Этот функционал линеен в силу линейности и линейности операции предельного перехода. Ограниченность вытекает из того, что следствием неравенства является неравенство . Итак, , а так как -продолжение функционала , то его норма не может быть уменьшена. Мы доказали формулу , завершив тем самым доказательство теоремы.

Следствие 1. Пусть X – линейное нормированное пространство, , . Тогда в X существует линейный функционал такой, что , .

Следствие 2. Пусть X – линейное нормированное пространство, . Тогда в X существует линейный функционал такой, что .

24. Общий вид линейного функционала в конкретных пространствах.

Обсудим вопрос об общем виде линейного функционала в различных нормировнных пространствах.

1) Если -конечномерное и - ортонормированный базис, то . Тогда любой линейный функционал однозначно определяется числами

2) Если -бесконечномерное пространство элементов таких, что . Пусть -ортонормированный базис , тогда , . Выясним свойства чисел . Рассмотрим последовательность элементов , где Справедливы соотношения , откуда в сиду произвольности числа n следует неравенство или . С другой стороны в сиду неравенства Гёльдера , или . Значит, , то есть . Заметим также, -рефлексивно.

3) Если . Можно показать, что -однозначно определяемая функция по функционалу , причём

4) Если . Справедлива теорема Рисса, в которой утверждается, что любой линейный функционал на имеет вид , где , - фиксированная функция с ограниченным изменением:

, где точная верхняя грань берётся по всевозможным разбиениям

.

25. Слабая сходимость. Связь между сильной и слабой сходимостью. Критерий сильной сходимости.

Теорема 2. Пусть -последовательность элементов из банахового пространства X такая, что последовательность ограничена для любого функционала . Тогда существует постоянная и такая, что , то есть последовательность ограничена в X.

Теорема 3. Пусть X – банахово пространство, , числовая последовательность ограничена в , то есть .

Определение 1. Последовательность элементов линейного нормированного пространства X называется слабо сходящейся к элементу , если для любого линейного функционала числовая последовательность сходится к .

В силу замечания к следствию 1 из теоремы 1 слабый предел единственен. Из теоремы 2 вытекает ограниченность слабо сходящейся последовательности.

Сильная сходимость влечёт за собой слабую сходимость, так как . Обратное неверно. Рассмотрим и последовательность элементов из , , единица стоит на месте с номером n, . Так как ряд сходится, то при и, значит, сходится к , или слабо. Однако, , и последоватеьность не фундаментальна.

Теорема 4. Последовательность линейного нормированного пространства X сходится сильно тогда и только тогда, когда последовательность сходится равномерно в единичном шаре .

Доказательство. Необходимость. Если сильно, то из неравенства следует равномерная сходимость в шаре .

Достаточность. Пусть последовательность сходится равномерно в шаре , то есть существует , что для всех и всех . Отсюда следует . Воспользуемся следствием 1 к теореме Хана-Банаха, обозначив . Мы имеем функционал или , причём выбор функционала зависит от разности . Итак, для всех , что и означает сильнуюсходимость к элементу x.

Теорема доказана.

.
  следующая страница >>