1. Структура открытых и замкнутых множеств на прямой

26. Определение Гильбертова пространства и его основных свойств. Теорема об элементе с наименьшей нормой.

Определение 1. Гильбертовым пространством H называется множество элементов x, y, z, … со свойствами:

1) H – линейное пространство над полем действительных (комплексных) чисел;

2) каждой паре поставлено в соответствие действительное (комплексное) число , называемое скалярным произведением и удовлетворяющее условиям:

а). ,

б). ,

в). для любого ,

г). , причем тогда и только тогда, когда ,

- норма элемента x в H;

3). H – полное в метрике , то есть является банаховым пространством;

4). H – бесконечномерное, то есть для любого натурального числа существует линейно независимых элементов.

Комплексное пространство - гильбертово пространство, если скалярное произведение в нем ввести по формуле

где . Сходимость ряда следует из неравенства Коши-Буняковского. Аналогично, пространство - гильбертово пространство со скалярным произведением

.

Теорема 1. Замкнутое выпуклое множество W в гильбертовом пространстве H содержит элемент содержит элемент с наименьшей нормой, и причем только один.

Доказательство. Пусть и пусть - минимизирующая последовательность, то есть при . Так как W – выпукло, то , поэтому . Согласно равенству параллелограмма

при , ибо вычитаемая величина , а уменьшаемое стремится к . В силу того, что H – полное, а W – замкнуто, существует , причем , то есть - элемент с наименьшей нормой. Докажем единственность элемента : пусть - еще один элемент из W и такой, что . Тогда

Так как

то

, или .

Возвращаясь к равенству параллелограмма для и , имеем , то есть = . Теорема доказана.

27. Теорема Леви об ортогональной проекции. Разложение Гильбертова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.

Определение 2. Два элемента называются ортогональными (), если (x, y) = 0; говорят, что элемент ортогонален множеству , если для любого .

Теорема 2 (теорема Б. Леви). Пусть L – подпространство H. Каждый вектор допускает единственное представление , причем элемент y осуществляет наилучшее приближение вектора x в подпространстве L, то есть .

Доказательство. Обозначим множество , которое замкнуто в силу замкнутости L и, очевидно, выпуклое. По теореме 1 существует единственный элемент с минимальной нормой, , или . Покажем, что . Пусть - любой вектор из L, а - произвольное комплексное число. Так как , то , поэтому

.

Полагая

получим

, или (z, v) = 0,

а так как v – любой элемент из L, то . Докажем теперь единственность разложения. Пусть , где , тогда , то есть , другими словами, ортогонален самому себе. Следовательно и . Второе утверждение теоремы следует из определения W и теоремы 1.

Предел последовательности элементов, ортогональных подпространству L, ортогонален L. Поэтому элементы, ортогональные к L, образуют подпространство, которое называется ортогональным дополнением к L и обозначается . Так как любой элемент равен , то говорят, что пространство H разлагается в прямую сумму подпространств L и . Записывают этот факт в виде . Элемент y называется ортогональной проекцией элемента x на подпространство L, а оператор P, действующий по закону y = Px, то есть каждому элементу ставящий в соответствие его проекцию y, называется оператором ортогонального проецирования или ортопроектором. Нетрудно проверить справедливость равенства .

Рассмотрим линейный ограниченный оператор, действующий из гильбертова пространства H на комплексную плоскость C. Этот оператор мы также будем называть линейным функционалом. Обозначим через ker f = - множество, называемое ядром функционала f(x). Очевидно, что ker f – подпространство H.

28. Теорема Рисса - Фреше об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве.

Теорема 3 (теорема Рисса - Фреше). Любой линейный функционал f(x) в гильбертовом пространстве H представим в виде скалярного произведения f(x) = (x, y), где элемент y однозначно определяется по функционалу f(x), причем .

Доказательство. Если , то y = 0. Если , то обозначим через e – единичный вектор, ортогональный ядру f(x). Согласно лемме 1 и теореме 2 любой элемент представим в виде x = Px + (x, e)e, где P – ортопроектор на ядро ker f. Отсюда

,

так как . Полагая , получаем f(x) = (x, y) для любого .

Докажем единственность элемента y. Пусть существует вектор такой, что для любого , или . Для получим

,

то есть . По поводу нормы заметим

но

,

следовательно . Теорема доказана.

29.Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Неравенство Беселя.

Полнота и замкнутость ортонормаированной системы. Слабая сходимость ее к нулю.

Лемма 2. Для того, чтобы линейное многообразие M было всюду плотно в H, необходимо и достаточно, чтобы в H не существовало элемента, отличного от нуля и ортогонального M.

Необходимость. Пусть . Ясно, что из условия следует , но и . В частности , следовательно x = 0.

Достаточность. Пусть M не всюду плотно в H, то есть . Поэтому существует , . Так как также подпространство, то по теореме 2 , где , причем и . Это противоречит условию.

Определение 3. Система элементов гильбертова пространства H называется ортонормированной, если , где .

Определение 4. Бесконечная система элементов линейного пространства называется линейно независимой, если любая конечная подсистема этой системы линейно независима.

Лемма 3. Любую систему линейно независимых элементов можно сделать ортонормированной с помощью процесса ортогонализации Шмидта.

Доказательство. Полагаем

;

пусть , подберем так, чтобы , то есть . Получаем

ибо в противном случае и элементы и - линейно зависимы, что невозможно. Пусть уже построены, вводим элемент

и подберем числа так, чтобы . Для этого надо взять ; полагаем

и так далее.

Если совокупность степеней ортогонализировать в пространстве с весом , то есть в пространстве со скалярным произведением

,

мы придем к системе полиномов. При получим полиномы Лежандра; при получим полиномы Чебышева – Эрмита, при получим полиномы Чебышева – Лагерра

Пусть L – подпространство, порожденное ортонормированной системой и . где - коэффициенты Фурье элемента x

В силу равенства имеем (неравенство Бесселя).

Определение 5. Ортонормированная в H система называется полной, если в H не существует никакого элемента кроме нуля, ортогонального каждому члену системы . Система называется замкнутой, если подпространство L, порожденное этой системой, совпадает с H.

Определение 6. Замкнутая ортонормированная система называется ортонормированным базисом в гильбертовом пространстве H.

Легко проверяется справедливость следующих двух утверждений. В гильбертовом пространстве H полнота и замкнутость ортонормированной системы совпадают. Любая ортонормированная система в гильбертовом пространстве слабо сходится к нулю.

Лемма 1. Пусть Х – банахово пространство. Если последовательность элементов x_nX сходится слабо к элементу x₀X, то x_nx₀ сильно.

Доказательство. Пусть это не так: тогда существует и последовательность номеров nk такие, что . Так как компактна, то она содержит последовательность элементов , которая сходится сильно к некоторому элементу y₀X. Тем более последовательность сходится слабо к x₀ и поэтому x₀=y₀. Итак имеем и при , что невозможно. Лемма доказана.

Теорема 3. Пусть X и Y – баноховы пространства. Любой вполне непрерывный оператор А, действующий из X в Y, переводит всякую слабо сходящуюся последовательность в X в сильно сходящуюся в Y.

Доказательство. Пусть слабо, тогда и, значит, {Ax_n}-компактна. Кроме того, слабо в Y, так как, взяв произвольный функционал φY*, получим φ(Ax_n)=f(x_n), где fX*, φ(Ax₀)=f(x₀). Из слабой сходимости {x_n} к x₀ следует , или . Таким образом, последовательность {Ax_n} сходится слабо к Ax₀. По лемме 1 эта последовательность сходится сильно к Ax₀. Теорема доказана.

Если оператор А – вполне непрерывен, а В – ограничен, то операторы АВ и ВА – вполне непрерывные.

Теорема 4. Если А – вполне непрерывный оператор, действующий из гильбертова пространства Н в Н, то оператор А* также вполне непрерывен.

Доказательство. Пусть слабо. Докажем, что сильно. Действительно, =(A*(x_n-x₀),A*(x_n-x₀))=(x_n-x₀,AA*(x_n-x₀)), так как , АА* - вполне непрерывен и по теореме 4 сильно. Поскольку любое в Н ограниченное множество – слабо компактно, то оператор А* переводит ограниченное множество в компактное, то есть является вполне непрерывным.

<< предыдущая страница следующая страница >>