Основные понятия теории множеств

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Множества и подмножества. Способы задания множеств. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Свойства операций над множествами. Декартово (прямое) произведение множеств. Парадоксы теории множеств

Множеством именуется некоторая совокупность элементов, объединенных по какому-либо признаку. Если есть такая совокупность, разумеется, как единое целое, говорят, что имеют дело с множеством.

Приведенное определение не может рассматриваться как математически строгое, поскольку понятие множества является исходным, на основе него строятся остальные понятия математики. Тем не менее, из приведенного определения ясно, как можно говорить о множестве, например, действительных чисел или множестве плоских фигур.

Для множества используются следующие обозначения:

А = {а,b,с,d}

Приведенное обозначение записано для множества А, состоящего из элементов а, b, с, d.

Запись означает: элемент a принадлежит множеству М, т. е. элемент a обладает некоторым признаком. Аналогично читается: элемент a не принадлежит множеству М.

Множество считается заданным, если или перечислены все его элементы, или указано свойство, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству. Само свойство называется характеристическим.

Множество, в котором не содержится ни одного элемента, называется пустым. Обозначается оно знаком .

Универсальным называется множество U, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком.

Множество K называется подмножеством множества M , если для любого выполняется (т. е. влечёт ).

Необходимо учитывать различие в употреблении знаков включения и принадлежности для множества множеств.

Например, можно сказать, что множество студентов группы ух-001 включено в множество студентов университета, поскольку такая группа в университете числится. То, что из группы отчислены все студенты, для математики никакой роли не играет. Поскольку, НЕТ ни одного студента, числящегося в этой группе, который бы не числился в университете. Такого рода рассуждения совершенно корректно можно применить к любым пустым множества и сделать обобщающий вывод, что пустое множество включено в любое множество, в том числе и в себя.

Любое множество является собственным подмножеством. Или то же самое, но более жестоко: любое множество включено само в себя.

Действительно, группа ух-002 (в которой, вполне возможно, есть студенты) включена в группу ух-002, поскольку все студенты, которые в ней числятся по-прежнему числятся в ней, даже если ее название ух-002 упоминается несколько раз.

Из последнего примера можно сделать важный вывод. Если два множества (возможно на первый взгляд различные, вроде множества чиновников и множества слуг народа) включены друг в друга, то эти множества равны - то есть состоят из одних и тех же элементов. Можно сказать чуть иначе: Если два множества являются подмножествами друг друга, то они состоят из одних и тех же элементов.

В качестве примера можно привести высказывание о том, что множество всех ромбов является подмножеством множества параллелограммов.

Равными называют два множества A и B, состоящие из одинаковых элементов: .

Над множествами определяют операции, во многом сходные с арифметическими.

Операция “пересечение множеств”. Для множеств А и В их пересечением АВ называется множество таких элементов х, которые принадлежат как А, так и В:

АВ = {х: хА и хВ}.

Операция “объединение множеств”. Пусть А и В два множества. Объединением этих множеств называется множество АВ, состоящее из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В:

АВ = {x: хА либо хВ}.

Операция “разность множеств”. Для множеств А и В разность множеств А-В состоит из тех и только тех элементов х, которые удовлетворяют следующим двум условиям хА и хВ:

А \ В = {х: хА и хВ}.

Операция “симметрическая разность множеств”. Для множеств А и В их симметрической разностью называется множество

АВ = (А – В)(В – А).

Разность U \ A называется дополнением множества А до универсального множества U и обозначается: = U \ A

Геометрическая интерпретация множества дана на следующем рисунке:

Если применять операции объединения и пересечения к подмножествам некоторого множества D, то снова получатся подмножества того же множества D.

Операции объединения и пересечения обладают многими свойствами, похожими на свойства операций сложения и умножения чисел. Например, пересечение и объединение множеств обладают свойствами коммутативности и ассоциативности. Пересечение дистрибутивно относительно объединения, то есть для любых множеств А, В и С верно соотношение:

А  (В  С) = (А  В)  (А  С)

А  (В  С) = (А  В)  (А  С)

Для любого множества А верны равенства (идемпотентность):

А  А = А, а также А  А = А.

С помощью свойств операции над множествами можно преобразовывать выражения, содержащие множества, подобно тому, как с помощью свойств операций над числами преобразовывают выражения в алгебре.

Декартовым или прямым произведением двух множеств А и В (обозначается АВ) называется множество всех таких упорядоченных пар (a,b), что aA и bВ.

Пусть, например, А={a,b,c} и B={l, m}. Тогда

АВ={(a,l), (b,l), (c,l), (a,m), (b,m), (c,m)}.

Это понятие распространяется на случай с более чем одним сомножителем.

Декартово произведение множеств А₁,А₂,…,А_п (обозначается А₁А₂…А_п) есть множество всех векторов (а₁,а₂,…,а_п) размерности п таких, что a₁A₁,a₂А₂,…,a_пА_п.

Декартово произведение п одинаковых сомножителей АА…А обозначается символом А^п и называется п-ой степенью множества А. При этом А¹=А.

Примером декартова произведения является RR=R² – множество точек на плоскости. Здесь элементы хR и уR служат координатами некоторой точки на плоскости. Другим примером является множество R³ точек в трехмерном евклидовом пространстве. Обобщением этих понятий является п-мерное пространство.

В теории множеств встречаются такие утверждения, которые выглядят противоречащими здравому смыслу. Эти парадоксы возникают просто потому, что теория множеств, подобно многим математическим и физическим теориям, облекает свои идеи в обычные слова, вкладывая в них особый смысл. Однако существуют и парадоксы, возникающие из-за внутренних логических трудностей самой теории множеств. Обильным источником парадоксов такого типа служит широко распространенная практика задания множества путем указания некоторого свойства его элементов.

Одному деревенскому брадобрею приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется». Как он должен поступить с самим собой?

Это – одна из форм так называемого парадокса Рассела, названного в честь своего автора Бертрана Рассела.

Парадокс Тристрама Шенди демонстрирует нарушение принципа «часть меньше целого», которое характерно для бесконечных множеств и даже может быть использовано для отличия их от конечных.

Столкнувшись с этими парадоксами, создатели теории множеств осознали, что нельзя задавать множества произвольными словосочетаниями. После этого они стали бороться с парадоксами двумя способами.

Первый способ – способ Кантора, придумавшего теорию множеств, в которой запрещаются все действия и операции, ведущие к парадоксам. Идея в следующем: разрешается работать с множествами, которые “встречаются в природе”, также разрешается работать с множествами, которые получаются из них разумными теоретико-множественными операциями.

Другой способ – аксиоматический (система аксиом Цермело–Френкеля, система аксиом Геделя–Бернайса).

БЕСКОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА

Конечные и бесконечные множества. Счетные и континуальные множества. Равномощные множества. Мощность множества. Сравнение бесконечных множеств по мощности
Конечное множество – множество, состоящее из конечного числа элементов.

Бесконечное множество – непустое множество, не являющееся конечным.

Пример: Множество натуральных чисел является бесконечным.

Упорядоченное множество – множество, каждому элементу которого поставлено в соответствие некоторое число (номер этого элемента) от 1 до n, где n – число элементов множества.

Какими характеристиками можно описывать множества? Основной характеристикой конечного множества является число его элементов.

Рассмотрим два множества А и В. Если в этих множествах находится одинаковое количество элементов, то из этих элементов можно составить пары таким образом, чтобы каждый элемент из множества А, как и элемент из множества В входил в одну и только в одну пару. Таким образом, между элементами множеств А и В устанавливается так называемое взаимно однозначное соответствие. Считается истинным обратное утверждение: если между двумя конечными множествами А и В можно установить взаимно однозначное соответствие, то такие множества содержат равное количество элементов. Такие множества называются равномощными.

Было предложено аналогичным образом сравнивать между собой бесконечные множества. Если между бесконечными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, значит, эти множества имеют одинаковую мощность.

Один из создателей теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845 — 1918) сравнивал при помощи такого метода множества, составленные из чисел натуральных и чисел рациональных. Он показал, что между такими множествами существует взаимно однозначное соответствие, хотя множество натуральных чисел является лишь частью множества рациональных чисел. Таким образом, в теории бесконечных множеств утверждение «часть меньше целого» теряет свою силу.

Мощность множества, кардинальное число множества – характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

Множества, имеющие ту же мощность, что и множество натуральных чисел, называют счетными.

Таким образом, множество рациональных чисел счетно.

Есть несчетные множества. В качестве примера можно рассмотреть множество всех действительных чисел (это то же самое, что множество точек на прямой линии). Поскольку прямая непрерывна или континуальна, такую несчетную мощность называют мощностью континуума.

Мощностью континуума обладает множество точек, например, прямоугольника, призмы, плоскости, всего пространства.

Дело в том, что если построить множество всех подмножеств конкретного множества, то всегда получите множество больше исходного.

Например, возьмем множество из 2-х элементов: РАЗ, ДВА (и обчелся). Подмножествами этого множества будут 4 множества(!):

1) РАЗ, ДВА - (любое множество подмножество самого себя)

2) РАЗ

3) ДВА

4) пустое - (т.е. "обчелся").

Другой пример: А И Б (сидели на трубе)

Подмножествами этого множества из трех элементов будет 8

множеств:

1) А, И, Б

2) А, И

3) А, Б

4) И, Б

5) А

6) И

7) Б

8) пустое

Из четырех элементов получилось бы 16 элементов. И этот ряд можно бесконечно продолжить, как ряд степеней числа 2.

Так вот, Кантор и доказал, что если взять бесконечное множества счетной мощности, например, множество целых положительных чисел и построить (разумеется, умозрительно) множество, содержащее в качестве элементов все подмножества этого множества, то получим мощность большую, чем счетная мощность.

Континуум является бесконечной мощностью, превосходящей мощность счётного множества. Любое континуальное множество имеет счётное подмножество.

Континуум – не самая большая из бесконечных мощностей. Так, мощность множества всех подмножеств точек числовой оси больше, чем мощность самого множества всех точек оси. Она обозначается 2^C и называется гиперконтинуумом.