1. Структура открытых и замкнутых множеств на прямой

30. Теорема о существовании ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве. Теорема об изоморфизме и изометрии всех гильбертовых пространств.

Теорема 4. В любом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис, то есть полная ортонормированная система.

Доказательство. Пусть G = { …} – счетное и всюду плотное в гильбертовом пространстве H множество =H (). Положим и обозначим через - подпространство, порожденное . Выберем - первый по счёту элемент, не принадлежащий и рассмотрим - его проекцию на Ө . Так как , то , а через обозначим подпространство, порождённое и . Пусть - первый по счёту за и его проекция на Ө . Так как , то и так далее. Получим ортонормированную систему {} и в силу того, что любой элемент по построению, то замыкание линейной оболочки системы {} совпадает с H, то есть эта система образует базис. Теорема доказана.

Теорема 5. Любое комплексное (вещественное) сепарабельное гильбертово пространство изоморфно и изометрично комплексному (вещественному) пространству , то есть все комплексные (вещественные) сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны и изометричны между собой.

Доказательство. Пусть H – сепарабельное гильбертово пространство и {} – ортонормированный базис в нём. Если x – любой элемент из H, то , и так как , то . Пусть , и - числа из поля. Ясно, что , , , следовательно отображение сохраняет линейную операцию и расстояние. Обратно, пусть . Рассмотрим в H последовательность . Так как при n,m , то последовательность {} – фундаментальная. В силу полноты H имеет место , а имея в виду , получаем для любого элемент , где - коэффициенты Фурье. Таким образом отображение взаимно однозначно, а из рассуждений выше следует, что оно изометрично и изоморфно. Теорема доказана.

31. Теорема Рисса- Фишера. Теорема о слабой компактности сепарабельного гильбертова пространства.

Теорема 6 (теорема Рисса-Фишера). Пространства и изоморфны и изометричны, причём , где .

Теорема 7. В сепарабельном гильбертовом пространстве H ограниченная последовательность {} содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть и так как Н – сепарабельно, то в нём существует ортонормированный базис {}. В силу по теореме Больцано-Вейерштрасса существует подпоследовательность {} для которой сходится. Так как то существует подпоследовательность {} для которой сходится и так далее. Возьмём диагональную последовательность {}, то есть последовательность, где элемент равен n-му члену подпоследовательности для базисного элемента . Для неё сходится при и также сходится , где - любая линейная комбинация из элементов ортонормированного базиса.

Докажем сходимость последовательности для любого элемента . Пусть - любое наперёд заданное число. Тогда существует линейная комбинация такая, что выполняется неравенство . Выберем номер N=N(), для которого при всех n,m N выполняется неравенство . Тогда , тем самым сходимость последовательности доказана для любого .

Покажем, что существует слабый предел последовательности . Обозначим - линейный функционал на H. По теореме Рисса-Фреше , то есть , а, значит, - слабый предел для . Теорема доказана.

32. Сопряженный оператор. Теорема о сопряженном операторе. Теорема о прямой сумме замыкания образа линейного ограниченного оператора и ядра сопряженного.

Введём понятие сопряжённого оператора . Пусть А – линейный оператор, действующий из линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство Y, или y=Ax. Если - любой линейный функционал, определённый на Х: . Таким образом любому линейному функционалу ставится в соответствие линейный функционал , то есть построен оператор, определённый на со значениями в . Этот оператор обозначим и назовём сопряжённым: . Если записать значение функционала , то можно написать . Легко проверяется свойство сопряжённого оператора: если А и В – линейные ограниченные операторы, то .

Теорема 1. Пусть . Тогда существует , то есть - линейный ограниченный оператор, причём .

Доказательство. Из определения оператора следует цепочка соотношений , откуда сначала следует неравенство , а затем оценка . Далее, пусть - любой элемент пространства Х. По первому следствию из теоремы Хана-Банаха существует линейный функционал такой, что и . Тогда . Отсюда в силу произвольности элемента получаем оценку , а, затем, и равенство . Теорема доказана.

Оператор сопряжён к линейному непрерывному оператору , действующему в гильбертовом пространстве Н, если для любых элементов выполняется равенство .

Теорема 2. Если , - гильбертово пространство, то .

Доказательство. Так как - подпространство, то . По теореме 1 существует линейный ограниченный оператор . Покажем, что . Если , то и для любого справедливо равенство , то есть , при . Отсюда следует, что , а потому . Обратно , следовательно, , или даже . Значит для всех и из . Но , или полагая , получим , , то есть Теорема доказана.

33. Вполне непрерывный оператор.Пример интегрального вполне непрерывного оператора. Свойства вполне непрерывного оператора.

Определение 1. Множество линейного нормированного пространства называется компактным, если любая последовательность его элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Определение 2. Линейный оператор , действующий из линейного нормированного пространства в линейное нормированное пространство , называется вполне непрерывным (компактным), если он всякое ограниченное множество переводит в компактное.

Любой ограниченный оператор переводит ограниченное множество в ограниченное и компактное в компактное. Вполне непрерывный оператор является ограниченным, а любой ограниченный оператор в конечномерном пространстве – компактным. В бесконечномерном пространстве единичный (тождественный) оператор – ограничен, но не компактен.

Теорема 1 (критерий компактности в ). Для того, чтобы множество было компактным в необходимо и достаточно выполнение условий:

множество - равномерно ограничено в , то есть существует постоянная такая, что для любой функции ;
множество - равностепенно непрерывно в , то есть для любого найдётся и такое, что как только , , будет выполняться неравенство для любой функции .

Теорема 2 (критерий компактности в ). Для того чтобы множество , , , было компактно в необходимо и достаточно, чтобы это множество было равномерно ограничено в и равностепенно непрерывно в .

34. Первая теорема Фредгольма.

Лемма 1. Многообразие ImL – замкнуто, где ImL={yH: y=Lx}.

Доказательство. Докажем, что , то есть, если y_nImL и , то yImL. По условию y_n=Lx_n=x_n-Ax_ny. Будем считать, что , ибо в противном случае перейдем к x_n-Px_n, где P – ортопроектор на KerL, причем L(Px_n)=0. Покажем, что . Если это не так, то существует подпоследовательность последовательности {X_n}: . По условию , значит , что приводит к соотношению . Так как А – вполне непрерывный оператор, а последовательность ограничена, то существует подпоследовательность последовательности такая, что последовательность сходится. Но когда сходится и последовательность {z_n}, где . Пусть и в силу имеет место . С другой стороны и из сходимости следует при , то есть Lz=0 и, значит, zKerL. Однако все , поэтому , или элемент z ортоганален самому себе. Это возможно только если z=0 и мы получили противоречие с равенством . Итак, , а поэтому существует сходящаяся подпоследовательность . Отсюда следует сходимость подпоследовательности , причем . В пределе получим Lx=y, то есть yImL. Теорема доказана.

Лемма 2. , .

Непосредственным следствием леммы 2 является следующая

Теорема 1 (1-я теорема Фредгольма). Уравнение Lx=f разрешимо тогда и только тогда, когда , то есть элемент f ортоганален любому решению уравнения L*y=0.

Для любого натурального числа k положим H^k=ImL^k, в частности, H⁰=H=ImL⁰, где L⁰=I, H¹=ImL и так далее. По лемме 1 все H^k – замкнуты и очевидно , причем L(H^k)=H^k⁺¹.

Лемма 3. Существует номер j такой, что H^k⁺¹=H^k при всех .

Доказательство. Если это не так, то все подпространства H^k различны, поэтому по теореме Леви можно построить ортонормированную систему {x_k} так, что x_kH^k и . Пусть l>k: Ax_l-Ax_k=-x_k+(x_l+Lx_k-Lx_l). Выражение в скобках принадлежит H^k⁺¹ и , поэтому , то есть из последовательности {Ax_k} нельзя выделить сильно сходящуюся подпоследовательность, что противоречит полной непрерывности оператора А.

35. Вторая теорема Фредгольма.

Лемма 4. Если KerL=0, то ImL=H. Если KerL*=0, то ImL*=H.

Доказательство. Если KerL=0, то оператор L отображает H на Н взаимно однозначно, а при ImL≠H цепочка H^k состоит из различных подпространств. По лемме 3 их конечное число, то есть если x₀H\H¹ и номер k такой, что H^k=^Hk⁺¹, тогда L^kx₀H^k и существует yH: L^kx₀=L^k⁺¹y, или L(L^k^-1x₀-L^ky)=0. Так как KerL=0, то L^k^-1x₀=L^ky и так далее. В итоге получим x₀=Ly, что означает x₀H¹. Полученное противоречие доказывает равенство ImL=H. Аналогично устанавливается соотношение ImL*=H, если KerL*=0. Лемма доказана.

Лемма 5. Если ImL=H, то KerL=0.

Так как ImL=H, то по лемме 2 KerL*=0, но тогда по лемме 4 ImL*=H. Снова применяя лемму 2, получим KerL=0.

Из лемм 4 и 5 непосредственно следует

Теорема 2 (2-я теорема Фредгольма или альтернатива Фредгольма). Либо уравнение Lx=f имеет единственное решение при любой правой части fH, либо уравнение Lx=0 имеет ненулевое решение.

36. Третья теорема Фредгольма.

Теорема 3 (3-я теорема Фредгольма). Однородные уравнения Lx=0 и L*y=0 имеют одно и то же и при том конечное число линейно независимых решений.

Доказательство. Пусть . Если , то в подпространстве KerL существует счетная ортонормированная система {x_k}. Из Lx_k=0 следует равенство Ax_k=x_k, причем при l≠k: , то есть из последовательности {Ax_k} нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, что противоречит полной непрерывности оператора А. Таким образом .

Докажем равенство . Пусть и – ортонормированные базисы соответственно в KerL и KerL*. От противного, предположим . Получим .

Так как оператор S получается сложением оператора L и конечномерного оператора, то все результаты для оператора L справедливы и для S. Покажем, что уравнение Sx=0 имеет только тривиальное решение. Итак, . По лемме 2 , значит для всех . Поэтому Lx=0, то есть xKerL и одновременно , следовательно x=0.

Из утверждения о том, что уравнение Sx=0 имеет только тривиальное решение по 2-ой теореме Фредгольма следует существование элемента y, для каждого справедливо равенство .

Умножая это равенство скалярно на , получим слева 0, а справа 1, ибо LyImL, а . Противоречие означает, что . Заменив теперь в наших рассуждениях L на L*, докажем неравенство . Таким образом и теорема доказана.

37. Понятие о спектре линейного оператора в бесконечномерных пространствах. Теорема Гильберта-Шмидта.

Пусть X – банахово пространство над полем комплексных чисел. Оператор , то есть линейный ограниченный оператор, действующий из X в X.

Определение 1. Резольвентное множество оператора A есть множество комплексных чисел , для которых существует - ограниченный оператор, определенный на всем X. Спектром оператора A называется дополнение к множеству на комплексной плоскости, то есть .

Определение 2. Операторнозначная функция , определенная на множестве , называется резольвентой оператора A, а называется регулярным значением оператора A.

Таким образом, - регулярно, если:

;
;
.

Определение 3. Комплексное число называется собственным значением оператора A, если , а любой не равный нулю элемент называется собственным элементом, отвечающим собственному значению .

Теорема 1. Резольвентное множество - открыто.

Доказательство. Пусть - фиксированное число из , а - любое комплексное число такое, что . Покажем, что . Введем в рассмотрение оператор .

Так как по условию , то ряд сходится сильно (по норме в ). Далее, , то есть - ограниченный оператор и . Теорема доказана.

Следствие. Спектр - замкнут.

Теорема 2. Пусть X - банахово бесконечномерное пространство и A – вполне непрерывный оператор в нем. Тогда , то есть не является регулярным значением.

Если бы , то оператор A имел бы ограниченный обратный оператор и оператор являлся вполне непрерывным, что невозможно.

Теорема 3 (теорема Гильберта-Шмидта). Пусть - вполне непрерывный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Тогда любой элемент представим в виде ряда Фурье

по собственным элементам оператора A, образующим ортонормированную систему.

Замечание. Для всякого самосопряженного вполне непрерывного оператора A в сепарабельном гильбертовом пространстве H существует ортонормированный базис пространства H, состоящий из собственных векторов этого оператора. Для этого достаточно систему из теоремы 3 дополнить произвольным ортонормированным базисом из .

44. Три теоремы Фредгольма

Теорема I. Неоднородное уравнение Lx = f разрешимо  правая часть f ортогональна любому решению неоднородного уравнения Lx = 0, т.е. f  Ker(L).

Теорема II (альтернавтива Фредгольма). Либо неоднородное уравнение имеет единственное решение при любой правой части, либо однородное уравнение имеет ненулевое решение.

Теорема III. Однородное уравнение Lx = 0 и сопряженное однородное уравнение L^*y = 0 имеют одинаковое и конечное число линейно независимых решений.

<< предыдущая страница