Новые
знания
|
Давайте рассмотрим частные случаи отношения множеств более подробно. Запишите себе подтему:«Пересечение множеств». Пусть даны два множества: А={2, 4, 6, 8} и В={5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В. Какие это элементы? Так полученное множество С называют пересечением множеств А и В. Давайте запишем определение.
Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В одновременно.
Для пересечения тоже подобрали специальный символ. Пересечение множеств А и В обозначают А ∩ В. Таким образом, по определению, А ∩ В = {x | xA и xB}.
(На доске)
Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечением данных множеств является заштрихованная область(рисунок на доске).
Как вы думаете, в том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, что из себя будет представлять их пересечение? Правильно. В таком случае говорят, что пересечение пусто и пишут А ∩ В = Ø.
(На доске).
Выясним, как находить пересечение множеств в конкретных случаях. Если элементы множеств А и В перечислены, то найти пересечения не составляет трудности. Необходимо только перечислить элементы, которые одновременно принадлежат обоим множествам, т.е. их общие элементы.
Сложнее будет найти пересечение, если множества заданы при помощи характеристических свойств.
Из определения следует, что характеристическое свойство А ∩ В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».
Рассмотрим, как пример, пересечение двух множеств: А – множество чётных натуральных чисел и множества В – двузначных чисел. Какие характеристические свойства у элементов этих множеств? Таким образом А ∩ В состоит из чётных натуральных двузначных чисел. Всем понятно как мы это получили? В данном случае союз «и» можно не использовать.
Каким будет полученное множество? Пустым или нет? Конечным или бесконечным?
Число 24 будет принадлежать пересечению А и В? 66? 99?
Давайте ещё рассмотрим частный случай пересечения множеств. Если пересекаются множество А и его подмножество В. Как это будет выглядеть на диаграмме Эйлера? Посмотрите, множество В является одновременно пересечением А и В. То есть А ∩ В = В, следовательно характеристическое свойства пересечения будет таким же, как и свойство элементов множества В.
Запишите себе следующую под-тему: Объединение множеств.
В этой операции над множествами тоже нет ничего сложного. Давайте опять рассмотрим на примере:
Даны два множества: А={2, 4, 6, 8} и В={5, 6, 7, 8, 9}.
Образуем множество D, в которое включим все элементы, которые есть хотя бы в одном множестве. То есть множество D = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Так полученное множество D называют объединением множеств А и В. Запишите себе определение:
Объединением множеств А и В называется множество, содержащее только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В. Если построить пример объединения при помощи диаграммы Эйлера, то получится приблизительно следующее (на доске).
Для этого действия тоже есть специальный символ. Он похож на символ пересечения, только пишется вверх – ногами. Объединение А и В обозначают А U В. Таким образом по определению АUВ = {x | xA или xB}
Как находить объединение множеств? Всё понятно в случае, когда у нас записаны элементы обоих множеств и нужно найти их объединение, тогда нам нужно просто перечислить элементы принадлежащие множеству А или множеству В. Как поступать, если множество задано при помощи характеристического свойства? Делается всё аналогично пересечению множеств, но только при помощи союза «или», а не «и». То есть мы составляем новое характеристическое свойство при помощи союза «или». Рассмотрим на примере. У нас есть два множества: А – чётных натуральных чисел, В – двузначных чисел. Составим новое свойство при помощи союза «или»: каждый элемент должен быть чётным натуральным числом или двузначным числом. Например в А U В может быть число 8, потому что оно чётное, хотя и однозначное, а может быть 37, хотя оно нечётное, но двузначное.
|
С={6, 8}
Записывают
Пустое множество
А – быть чётным натуральным числом
В – быть двузначным числом
Пустое конечное.
Да, да, нет.
Записывают
Записывают
|
Закрепление
знаний
|
Давайте решим несколько примеров на пройденную тему:
1) Сформулируйте условия, при которых истинны следующие утверждения:
а) 5 А U В
б) 7 А U В
2) Известно, что xA.
Следует ли из этого, что xA U В?
3) Известно, что xA U В. Следует ли из этого, что x А?
4) Найдите объединение множеств А и В, если:
а)A={a, b, c, d, e, f} B={b, e, f, k}
б)A={26, 39, 5, 58, 17, 81} B={17, 26, 58}
5) Из каких элементов состоит объединение множества букв в слове «математика» и множества букв в слове «информатика».
6) Сформулируйте условия, при которых верны следующие утверждения:
а) 5A ∩ В
б) 7А ∩ В
7) Известно, что xA.
Следует ли из этого, что xA ∩ В?
8) Известно, что xA ∩ В. Следует ли из этого, что x А?
9) Найдите пересечение множеств А и В, если:
а)A={a, b, c, d, e, f} B={b, e, f, k}
б)A={26, 39, 5, 58, 17, 81} B={17, 26, 58}
10) Из каких элементов состоит пересечение множества букв в слове «математика» и множества букв в слове «информатика».
|
|
Множества. Пересечение множеств. Объединение множеств - umotnas.ru o_O
