1. Структура открытых и замкнутых множеств на прямой

Точка x₀ называется предельной для множества Е, если любая ее окрестность содержит по меньшей мере одну точку x из E, отличную от x₀. Если x_oE, но не является предельной точкой, то она называется изолированной точкой E. Множество E' всех предельных точек Е называется производным множеством для Е. Если любая предельная точка Е принадлежит этому множеству (E'E), то множество Е называется замкнутым. Если E=E', то множество Е называется совершенным. Множество [E]=E+E' называется замыканием E. Точка x₀ называется внутренней точкой множества Е, если существует окрестность x₀, полностью лежащая в E. Множество Е называется открытым, если все его точки внутренние.

Теорема. Всякое открытое множество на числовой прямой представляет собой сумму конечного или счетного числа попарное непересекающихся интервалов (при этом рассматриваются также "бесконечные" интервалы).

Доказательство. Пусть x – произвольная точка множества E. Так как E – открыто, то существует окрестность этой точки, принадлежащая множеству E. Объединение всех содержащихся в E окрестностей точки x обозначим . Докажем, что – интервал. Пусть , (Может быть a=, b=+, если не ограничено. Достаточно доказать, что любая точка принадлежит множеству . Пусть (ради определённости) ayx. По определению точной нижней грани существует точка и такая что a. Следовательно, существует окрестность точки x, содержащая точку , но x и, значит, , или . Таким образом мы докажем, что – интервал. Далее, интервалы и при либо совпадают, либо не пересекаются. Ибо, если они содержат общую точку x, то оба они содержатся в множестве , а, значит, совпадают. Построив для каждой точки свой интервал , отберём интервалы, не содержащие общих точек (т.е. попарно не пересекающиеся). Каждый такой интервал содержит, очевидно, хотя бы одну рациональную точку. Так как множество рациональных чисел счётно, то число всех попарно непересекающихся интервалов не более, чем счётно. Теорема доказана.
Следствие. Всякое замкнутое множество получается из прямой выбрасыванием конечного или счетного числа интервалов.

Следствие 2. Любое совершенное множество на прямой получается удалением из R конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов, которые не имеют общих концов друг с другом.

2. Внешняя мера и ее свойства. Измеримость открытого множества, объединения счетного числа измеримых множеств, измеримость замкнутого множества. Измеримость дополнения, пересечения счетного числа множеств

Определение. Внешней мерой ^*(A) множества А называется нижняя грань меры элементарных множеств, включающих множество А.

Свойства внешней меры.

1. (E₁  E₂ ) ^*(E₁)  ^*(E₂) (монотонность)

2. (E = E_k, kN)  (^*(E)  ^*(E_k))

3. ((E₁,E₂)>0)  (^*(E₁E₂) = ^*(E₁)+^*(E₂))

4. Для любого множества E и любого числа существует открытое множество G, содержащее E, и такое, что .

Определение 1. Покрытием множества называется любая конечная или счётная система интервалов такая, что . Сумму длин всех интервалов , составляющих , обозначим . Внешней мерой множества E называется и обозначается .
Определение. Множество А называется измеримым по Лебегу, если для любого  > 0 найдется такое элементарное множество B, что *(A  B) лебеговой мерой .

Теорема. Любое открытое множество измеримо, причем его мера равна сумме мер непересекающихся составляющих его интервалов.

Доказательство. Надо в определении 2 положить .

Теорема. Любое замкнутое множество измеримо.

Доказательство. Пусть F – замкнуто и ограничено. В силу свойства IV внешней меры для любого >0 найдётся открытое множество G такое, что FG и . Множество G\F – открыто, поэтому по теореме 1 из §1 имеет место представление G\F =, причём все интервалы попарно не пересекающиеся. Мы докажем оценку

Для любого интервала и любого числа из промежутка 0 обозначим , , а если , то положим . Для фиксированого номера n обозначим ; ясно, что . Множество - замкнуто и так, как оно не пересекается с замкнутым множеством F, то расстояние между ними положительно и согласно свойству III внешней меры имеет место равенство . Множество F ограничено, поэтому мы получаем оценку . Переходя к пределу сначала при , а затем при , будем иметь неравенство , которое позволяет завершить доказательство измеримости ограниченности множество F.

Если F–неограниченно, то воспользуемся представлением , где - замкнутые и ограниченные множества. По доказанному выше все F_n – измеримы, а, значит, по теореме 2 и само множество F – измеримо.

Теорема 4. Если множество – измеримо, то и его дополнение Cтакже измеримо.

Доказательство. Так как – измеримо, то для любого номера n существует открытое множество G такое, что и . Обозначим F_n=CG_n – замкнутое множество, а, значит, по теореме 3 и измеримое. В силу CA\CB=B\A для любых множеств A и B имеем соотношение C\F_n=C\CG_n₌G_n\, откуда следует включение C\\. Согласно свойству I внешней меры справедливо неравенство для любого номера n. Таким образом внешняя мера множества равна нулю, или =0. А так как , то дополнения C к множеству является множеств ₀ и , то есть объединение измеримых множеств. По теореме 2 и само множество C – измеримо.

Следствие. Для того, чтобы множество было измеримым необходимо и достаточно, чтобы для любого >0 существовало замкнутое множество F такое, что и .

Теорема 2. Объединение конечного или счетного числа измеримых множеств является измеримым множеством.

Доказательство. Пусть и все E_n – измеримы. Тогда для любого E_n и любого найдется открытое множество G_n такое, что и . Положим и заметим вложение (если , то для всех номеров n, , следовательно, для некоторого номера k и, значит, ). В силу свойства 2) внешней меры

.

Теорема 5. Пересечение конечно

или счётного числа измеримых множеств является измеримым множеством.

Доказательство. Пусть . В силу соотношения двойственности утверждение этой теоремы следует из теорем 2 и 4.

Теорема 6. Разность двух измеримых множеств является измеримым множеством.

Доказательство. Следует заметить и использовать теоремы 4 и 5

3.Свойство счетной аддитивности меры. Множества типа G F.

Теорема 7. (- аддитивность меры). Мера суммы конечного или счётного числа попарно непересекающихся измеримых множеств равна сумме мер этих множеств.

Доказательство. Пусть . Рассмотри сначала случай, когда все множества - ограничены. В силу следствия из теоремы 4 для любого номера и любого числа найдётся замкнутое множество такое, что и (поскольку все множества измеримы пишем только меру). Так как все множества - замкнуты, ограничены и попарно не пересекаются, то по свойству внешней меры имеет место равенство для любого номера . Из равенства и свойства внешней меры имеем соотношение , которое приводит к оценке , из которой следует неравенство . Но объединение всех множеств содержится в множестве и поэтому при любом имеет место соотношение , приводящее к неравенству .

Переходя к пределу сначала при , а затем при , получим . С другой стороны, в силу свойства 2 внешней меры и теорема в этом случае доказана.

Если E_и – не ограничены, то введем обозначение и запишем равенство . Множества не пересекаются. По доказанному выше и, значит, , что и требовалось доказать.

Определение 3. Если множество E представимо в виде пересечения счетного числа открытых множеств, то оно называется множеством типа G_, а если E представимо в виде объединения счетного числа замкнутых множеств, то оно называется множеством типа F_.

Согласно утверждениям теорем 1-5 множества типа G_ и F_ - измеримы.

Теорема 8. Если множество E – измеримо, то существуют множества E₁ – типа F_ и E₂ –типа G_ и такие, что , причем |E₁|=|E|=|E₂|.
Приведём пример неизмеримого множества. Пусть C – окружность единичной длины и - некоторое иррациональное число. Отнесём к одному классу те точки окружности G, которые могут быть переведены одни в другие поворотом окружности на угол , где n – целое число. Каждый из этих классов будет состоять из счётного множества точек. Выберем из каждого такого класса по одной точке и покажем, что полученное таким образом множество - неизмеримо.
следующая страница >>