Название работы	Кол-во страниц	Размер
Функциональный анализ	1	27.79kb.
Множества. Пересечение множеств. Объединение множеств	1	60.85kb.
Множество. Подмножество. Пересечение и объединение множеств	1	65.34kb.
Основные понятия теории множеств	1	92.49kb.
Вопросы к экзамену Основные понятия теории множеств. Примеры	1	22.46kb.
Краткое содержание исследовательской работы	1	84.09kb.
Логическая операция Обозначения	1	83.3kb.
Закон для декартового произведения множеств относительно пересечения.	1	17.44kb.
Билет №7 Операции над множествами: объединение множеств, разность...	1	31.46kb.
Планирование по геометрии (68 часов  2 часа в неделю) Учитель: Максимовская М.	1	35.58kb.
Программа курса «Дискретная математика»	1	28.67kb.
Поршнев Евгений Андреевич Альтернативная теория множеств	1	254.6kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

21. Обратный оператор. Достаточные условия существования обратного оператора.

Пусть оператор А действует из множества Х на множество Y, - область значений оператора А. Если для любого элемента yR(A) уравнение Ax = y имеет единственное решение, то говорят, что оператор А имеет обратный оператор А, то есть х = Аy. Очевидно, что х = ААх и y = ААy, или операторы I= АА, I= АА - тождественные операторы в Х и Y. Если А – линейный оператор, то и А - линейный оператор.

Теорема 1. Пусть А – линейный оператор, действующий из линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство Y, причем существует постоянная m>0 такая, что ||Ах||m||x|| для всех х из Х.

Тогда существует А - линейный ограниченный оператор.

Доказательство. Прежде всего докажем, что уравнение Ах = y, yR(A), имеет единственное решение. Предположим, их два: х и х: Ах = y, Ах = y, тогда А(х - х) = 0 и m||х - х|| ||A(х - х)|| = 0. Значит, х = х и существует А - линейный оператор. Этот оператор ограничен, ибо

||Аy|| ||AАy|| = ||y|| для всех yY.

Теорема 2 (Теорема Неймана). Пусть А – линейный ограниченный оператор, отображающий банахово пространство Х на себя и ||A|| q .

Доказательство. Определим степени оператора А:

А = А(А), k = 1,2,3,…, А = I – тождественный оператор. Ясно, что

||А|| ||A|| q. Далее = , пространство L(XX) – банахово, значит сумма представляет собой линейный ограниченный оператор. Для любого натурального числа n имеют место соотношения

(I-A) = = = I - A, причем I - AI при n, ибо

||A|| ||A||0. Следовательно, (I-A)= I, то есть (I-A) = , причем

||(I-A)|| .

Замечание. Пусть А, ВL(XX). Тогда определен оператор АВL(XX) по формуле АВх = А(Вх), причем ||AB|| ||A|| ||B||. Действительно,

||ABx|| ||A|| ||Bx|| ||A|| ||B|| ||x|| для любого хХ.

Теорема 3. Пусть оператор АL(XX), где Х – банахово пространство, имеет обратный оператор А и существует линейный ограниченный оператор А такой, что ||А||. Тогда оператор В = А + А, то есть возмущение оператора А, имеет обратный оператор В, причем ||B - А|| .

22. Теорема Банаха об обратном операторе.

Доказательство. По условию линейный оператор А устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами Х и Y. По доказанному выше обратный оператор А, отображающий Y на Х, также является линейным. Остается доказать ограниченность оператора А.

Обозначим через Y множество элементов yY таких, что ||Ay|| n||y||. Каждое из множеств Y не пусто, так как, например, нулевой элемент пространства Y принадлежит всем Y. Кроме того, всякий элемент yY, y0, попадает в множество Y, если в качестве n взять любое целое число, превосходящее . Поэтому можно записать Y = .

Ввиду того, что полное пространство Y не может быть объединением счетного числа нигде не плотных множеств (теорема Бэра категориях из §6), по крайней мере, одно из множеств Y не является нигде не плотным. Следовательно, существует шар В(y,r), в котором множество В(y,r)Y всюду плотно. Рассмотрим шар , лежащий целиком внутри В(y,r) и такой, что yY. Возьмем любой элемент y с нормой ||y|| = r. Элемент y+y, ибо ||(y + y) - y|| = r. Так как , то найдется последовательность элементов {z} из Y и такая, что zy+y при k, Эта последовательность может быть стационарной, если y+yY.

Обозначим y = z-yy; при этом можем считать, что ||y||, и, кроме того, ||y|| r.

Так как z и yY, то

||Ay|| = ||Az - Ay|| ||Az|| + ||Ay|| n(|| z|| + ||y||).

Далее, ||z|| = ||y + y|| ||y|| + ||y|| r + ||y||.

Поэтому имеем оценку ||Ay|| n(r + 2||y||) .

Обозначим через N наименьшее целое число, превосходящее .

Для элементов последовательности {y} справедливо неравенство

||Ay|| N||y||, откуда следует, что все yY.

Итак, любой элемент y с нормой, равной r, можно аппроксимировать элементами из Y. Пусть теперь y – любой элемент из Y. Рассмотрим элемент y’ = y,

||y’|| = r. По доказанному найдется последовательность {y’} элементов из Y, сходящаяся к y’. Тогда y = y’y и справедливы соотношения

||Ay|| = ||Ay’|| N||y’|| = N||y||.

Отсюда следует, что yY, то есть множество Y всюду плотно в Y.

Рассмотрим снова произвольный элемент yY. Пусть ||y|| = . Выберем yY такой, что ||y - y|| , ||y|| .

Это можно сделать, так как (0, )Y всюду плотно в В(0,) и y(0, ). Найдем далее элемент yY такой, что ||(y - y) - y|| , ||y|| ; возможность выбора обеспечена тем, что (0, )Y всюду плотно в (0, ) и y - y(0, ). Продолжая этот процесс, построим элементы yY такие, что ||y – (y + … + y)|| , ||y|| .

В итоге получим представление . Обозначим х = Аy, тогда ||x|| N||y|| . Последовательность {S}, где S = , при n сходится к некоторому пределу xE, так как

||S - S|| = ||||

и Х – полное пространство. Следовательно,

.

Далее .

Отсюда .

Так как y – любой элемент из Y, то ограниченность оператора A доказана.

  следующая страница >>