Название работы	Кол-во страниц	Размер
Функциональный анализ	1	27.79kb.
Множества. Пересечение множеств. Объединение множеств	1	60.85kb.
Множество. Подмножество. Пересечение и объединение множеств	1	65.34kb.
Основные понятия теории множеств	1	92.49kb.
Вопросы к экзамену Основные понятия теории множеств. Примеры	1	22.46kb.
Краткое содержание исследовательской работы	1	84.09kb.
Логическая операция Обозначения	1	83.3kb.
Закон для декартового произведения множеств относительно пересечения.	1	17.44kb.
Билет №7 Операции над множествами: объединение множеств, разность...	1	31.46kb.
Планирование по геометрии (68 часов  2 часа в неделю) Учитель: Максимовская М.	1	35.58kb.
Программа курса «Дискретная математика»	1	28.67kb.
Поршнев Евгений Андреевич Альтернативная теория множеств	1	254.6kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

19. Линейные операторы и их свойства. Теорема о полноте пространства линейных ограниченных операторов.

Пусть X и Y – линейные нормированные пространства над полем действительных или полем комплексных чисел.

Определение 1. Отображение A:XY (y = Ax), то есть оператор А, определяемый на X с областью значений в Y, называется линейным оператором, если для любых элементов ,X и любого числа λ справедливы равенства:

а) A(+) = A+ A,

б) А(λ)= λА

Определение 2. Оператор A:XY непрерывен в точке X если для любой последовательности, сходящейся к соответствующая последовательность образов сходится к элементу А, то есть для любого существует и такое, что как только выполняется неравенство будет выполняться неравенство

Теорема 1. Линейный оператор А непрерывен на всем пространстве Х тогда и только тогда, когда А – непрерывен в одной точке X.

Доказательство. Действительно, пусть xX – любая точка и . Тогда

и в виду непрерывности А в точке : А = = , то есть .
Примеры:

1) А=0 или А=I (тождественный оператор) линейные непрерывные операторы.

2) X=C[0,1], ,

Определение 3. Оператор А называется ограниченным, если существует постоянная М такая, что оценка выполняется для всех xX.

Ограниченный оператор переводит ограниченное множество пространства X в ограниченное множество пространства Y.

Теорема 2. Для того чтобы линейный оператор А был непрерывен необходимо и достаточно, чтобы А был ограничен.

Необходимость. Пусть А – непрерывен, предположим А – неограничен. Тогда существует последовательность , для членов которой выполняется неравенство . Положим ,,так как . Но , то есть не стремиться к A0 = 0. Следовательно, оператор А не является непрерывным.

Достаточность. Пусть А – ограничен, то есть . Если , или при , то из неравенства следует , значит А – непрерывен.

Определение 4. Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих условию для линейного ограниченного оператора А называется нормой оператора А и обозначается . Другими словами .

Теорема 3. Если Х – линейное нормированное пространство, а Y – банахово пространство (полное линейное нормированное пространство), то пространство также будет полным, то есть банаховым.

Доказательство. Пусть последовательность операторов фундаментальна в L(XY), , n,, следовательно, , n,,а, значит последовательность фундаментальная, то есть ограниченная: для всех номеров n. Отсюда и , что и означает ограниченность оператора А. Докажем формулу в смысле . Действительно, для любого существует такой, что при всех и любом натуральном p для всех хХ, , выполняется неравенство , переходя пределе при , получим для любого и любого хХ, . Но тогда , то есть в смысле сходимости по норме пространства L(XY). Теорема доказана.

Следствие. Пространство , сопряженное к линейному нормированному пространству - банахово, так как - банахово пространство

20. Теорема Банаха-Штейнгауза и следствие из нее Пример из теории рядов Фурье на применение теоремы Б-Ш.

Теорема 4 (теорема Банаха-Штейнгауза – принцип равномерной ограниченности). Пусть Х и Y – банаховы пространства. Если и последовательность ограничена для любого, то найдется постоянная С такая, что , то есть числовая последовательность ограничена.

Доказательство. Предположим, что последовательность неограниченна, тогда множество неограниченно на любом замкнутом шаре , ,. В самом деле, если бы неравенство выполнялось для всех номеров и всех , то, взяв, любой элемент , мы получим элемент . Для этого элемента , или , следовательно, и , что противоречит предложению.

Если теперь - любой замкнутый шар, то на нем множество неограниченно. Тогда существуют номер и элемент такие, что . В силу непрерывности оператора неравенство выполняется и в некотором шаре . На множество также неограниченно и существуют номер и элемент такие, что и по непрерывности оператора это неравенство выполнено в некотором замкнутом шаре и так далее. Можно считать, что и . Тогда по теореме о вложенных шарах из §6 существует единственная точка для всех номеров . В этой точке , что противоречит условию теоремы. Теорема доказана.

Следствие. Пусть Х и Y – банаховы пространства, , существует последовательность такая, что и . Тогда существует , и .

Приведем пример применения теоремы 4 в теории рядов Фурье. Мы докажем существование непрерывной периодической функции, для которой ряд Фурье расходиться.

Пусть , , , , .

Преобразуем частичную сумму ряда Фурье

.

Положим х=0 и ; непрерывная на функция, если ее доопределить нулем в точке.

Таким образом, , при . Рассмотрим оператор - линейный оператор из пространства , в пространстве , ставящий с точностью до в соответствие ее частичную сумму ряда Фурье в точке . Пусть , ,

так как интеграл сходится по признаку Дирихле-Абеля. Итак, при и согласно следствию к теореме 4 существует , для которой ряд Фурье расходится в точке .

  следующая страница >>