Тема Роль математики в современном мире. Основные этапы становления математики

х, если х ≥ 0

-х, если х < 0
бсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число – х, если х – отрицательно:

/х/=
По определению /х/ ≥ 0. Например, /5/=5; /-1,5/=1,5.

Свойства абсолютных величин:

1. │х+у│ ≤ │х│+│у│, 2. │х-у│ ≥ │х│ - │у│,

3. │ху│ = │х│*│у│, 4. │х/у│ = │х│/│у│

Из определения абсолютной величины числа следует: -│х│≤ х ≤ │х│. Пусть │х│< ε, можно написать: -ε< -│х│≤ х ≤│х│<�ε, или -ε<�х<�ε, т.е. значения х лежат на открытом интервале (-ε, ε).

Рассмотрим неравенства │х-а│<�ε (где ε>0). Решениями этого неравенства будут точки открытого интервала (а – ε, а+ε), или а - ε<�х<�а+ε.

Всякий интервал, содержащий точку а называется окрестностью точки а.

Интервал (а – ε, а+ε), т.е. множество точек х таких, что │х-а│<�ε (где ε>0), называется ε – окрестностью точки а. Рис.2 (ε – эсилон, буква греческого алфавита).

Рис.2

а – ε а а+ε

Тема 9. Функция. Классификация функций.

Определение. Рассмотрим два множества Х и У, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества У, то говорят что на множестве Х задана функция у = ƒ(х), (или отображение множества Х во множество У).

Множество Х называется областью определения функции ƒ, а элементы у = ƒ(х) образуют множество значений функции – У.

х – независимая переменная (аргумент).

у – зависимая переменная,

ƒ – закон соответствия, знак функции.

Пусть Х и У множества вещественных чисел.

Пример. Найти область определения и область значений функции у = х² + 1

Областью определения функции является множество Х = (-∞, ∞), область значений является множество У = [0, ∞).

Пример 2. Найти область определения функции у = 1/(х² – 5х + 6).

Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.

х² – 5х + 6=0. х₁ = 2, х₂=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: (-∞, 2) U (2, 3) U (3, ∞).

Пример 3. Найти область определения функции у= log₃(х – 1).

Решение: х – 1 >0, х>1. Запишем решение в виде интервала: (1, ∞) – область определения функции.

Пример 4. Дана функция f (х) = |х + 2|/х – 1. Найти значения функции в точках

х = -2, х = -3, х = 1, х = 0.

Решение: f(-2) = |-2+2| / (2-1) = 0/1 = 0; f (-3) = |-3+2| / (3 – 2) = | - 1| / 1= 1;

f(1) = |1+2| / (1 – 1) = 3/0, точка х = 1 в область определения функции не входит, так как знаменатель в этой точке обращается в 0.

f (0) = |0 + 2| / (0-1) = 2/ -1 = -2.
Пример 5. Дана функция f(х) = 3х² + х – 1.

Найти значение этой функции при 1) х=а² – 1, 2) х = 1/t.

Решение: 1)f(а² – 1) = 3(а² – 1)² + а² – 1 – 1=3а⁴ – 6а² + 3 + а² - 2 = 3а⁴ – 5а² + 1.

2) f (1/t) = 3(1/t²) + 1/t – 1 = (3 + t – t²)/t².

Способы задания функции. Существует несколько способов задания функции.

а) аналитический способ, если функция задана формулой вида у = f (х). Все функции, рассмотренные в примерах 1-5 заданы аналитически.

б) табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения х и соответствующие значения f (х), например, таблица логарифмов.

в) графический способ, состоит в изображении графика функции – множество точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции у = f (х).

Например, у = х² (Рис.1); у = (Рис.2)

0 х 0 х

Рис. 1. Рис. 2.
Г) Описательный способ, если функция записывается правилом ее составления, например, функция Дирихле:

1, если х – рациональное число.

f(х) =

0, если х – иррациональное число.

Основные элементарные функции.

Все функции, с которыми встречаемся в школьном курсе, элементарные. Перечислим их:

у = х^п, у = х ^–п, у = х^м/п, где п, Є N, м Є Z. Эти функции называются степенными.
Показательная функция у = а^х, а > 0, а ≠ 1.
Логарифмическая функция у = log_ах, а>0, а ≠ 1
Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х , у = tg х, у = ctg х.
Обратные тригонометрические функции у = argsin х, у = arccos х, у = arctg х,

у = arcctg х.

Сложная функция. (суперпозиция функций).

Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений – У, а переменная u = φ(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.

Понятия элементарной функции. Функции построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий называются элементарными.

Например, у = )/(sin²х+3) или у = 2 - tg х.

Примером неэлементарной функции является функция у = |х|. Ее график представлен на рис. 3.
У

Рис.3

0

х

Классификация функции. Элементарные функции делятся на два класса.

1 класс алгебраических функций:

а) у = А₀х^п + А₁х^п-1 + А₂х^п-2 + … + А_п-1х + А_п, это многочлен (полином) п – степени или целая алгебраическая функция, где А₀, А₁, А₂, … , А_п – вещественные числа, коэффициенты многочлена.

б) у = ( А₀х^п + А₁х^п-1 + … + А_п)/(В₀х^м + В₁х^м-1 + … +В_м), это дробно – рациональная функция, она представляет собой отношения двух многочленов.

в) Иррациональная функция, например, у = + х².

2 класс трансценденных функций.

а) у = а^х, а > 0, а ≠1, показательная функция,

б) у = log_ах, а> 0, а ≠1, логарифмическая функция,

в) все тригонометрические функции,

г) все обратные тригонометрические функции,

д) функции вида у = х^L , где L – иррациональное число. Например, у = х^π.

Тема 10. Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы. Понятие о непрерывности функции.

Определение. ε – окрестностью точки а называется открытый интервал (а-ε, а+ε) (ε – эпсилон буква греческого алфавита), или |х - а|< ε.

Определение предела функции. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой точке а, кроме, может быть, самой этой точки.

Число b называется пределом функции f(х) при х стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого, наперед заданного ε>0 существует такое δ>0, что для всех х таких, что |х-а|<�δ выполняется неравенство |f(x) - b|<�ε.

x→a
В компактном виде это определение можно записать lim f(x) = b.

(lim – сокращенное слово limit(предел)).

Читается так: предел f(x) при х стремящемся к а равен b.

При отыскании предела мы не учитываем значение функции в самой точке а, оно может быть любым. Рис. 1, 2, 3, 4.

y y

f(a)=b
f(a) y= f(x)

y = f (x)

b

0

0 a x а х

Рис.1 Рис.2

y
f(a)

f(a)

0 a x 0 a x

Рис.3 Рис.4

На приведенных рисунках предел существует в случаях 1) и 2), причем во 2) значение функции в точке а не совпадает с предельным, а в 1) совпадает f(a) = b . На рисунках 3) и 4) предел у функции в точке а не существует.

О
х→а
пределение. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или lim f(x) = f(a).

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены.

Основные теоремы о пределах функций.

1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.

х→а

х→а

х→а
lim (f(x) + φ(x)) = lim f(x) + lim φ(x)

2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов.

х→а

х→а

х→а
lim [f(x) * φ(x)] = lim f(x) * lim φ(x)

3. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции.

х→а

х→а
lim С*f(x) = С *lim f(x)

Это свойство можно записать так: постоянный множитель выносится за знак предела.

4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).

х→а

х→а

х→а

х→а
lim f(x) / φ(x) = lim f(x) / lim φ(x), limφ(х)≠0.

Если знаменатель стремиться к нулю, а числитель - нет, то говорят, что отношение стремиться к бесконечности.

Бесконечность – это не число, ее можно добавить ко множеству вещественных чисел R в качестве нового элемента ∞. После этого числовая прямая превращается в так называемую расширенную прямую.

Раз мы добавили новый элемент ко множеству вещественных чисел, то запишем арифметические операции с этим элементом ∞.

Пусть а любое вещественное число, а Є R, тогда

а + ∞ = ∞	-∞ + а = -∞	∞ * (-а) = - ∞, а › 0
∞ - а = ∞	-∞ - а = - ∞	∞ * ∞ = ∞
а * ∞ = ∞, а ≠ 0	∞ + ∞ = ∞	а/∞ = 0, ∞/а = ∞
	- ∞ - ∞ = - ∞

Есть особые случаи, когда предел суммы, произведения или частного нельзя найти, зная только пределы слагаемых, сомножителей или делимого и делителя. Такие случаи называются неопределенностями.

Выделяют неопределенности двух типов:

Арифметические неопределенности (0/0); (00/00); (00 – 00); (0 * 00).

Степенно-показательные неопределенности (1⁰⁰); (00⁰); 0⁰.

Эти записи не являются операциями над числами и 00, они представляют собой только деловые обозначения.

В случае неопределенности предел может быть равен нулю, конечному числу, бесконечности или не существовать. Для нахождения предела (раскрытие неопределенности) надо исследовать каждый случай отдельно.

П
х→ -2
ример 1. Найти lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)].

Решение:

1
х→ -2

) Подставим точку х = - 2 в нашу функцию, получим lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)] =

= (4 – 4) / (4 – 2 – 2) = (0/0).

2
х→ -2

х→ -2
) Раскроем эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на простые множители, найдя корни числителя и знаменателя, тогда lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)] lim [(х – 2) * (x+2)] / [(x-1)*(x + 2)] = (-2 – 2)/(-2-1) = -4/ -3= 4/3/

х→ 00
Пример 2. lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)]

Решение:

х→ 00

х→ 00

х→ 00
lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)] = (00/00). Чтобы раскрыть эту неопределенность, вынесем за скобки из числителя и из знаменателя х в старшей степени, т.е. х², получим: lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)] = lim [(х² *

х→ 00

х→ 00
(1 – 4/х²) / (x²(1+1/x – 2/x²)] = 1/1=1, т.к. lim 4/х² = 4 / 00 = 0, . lim 1/х =

1
х→ 00

/00=0 и . lim 2/х² = 2/00

Для раскрытия неопределенностей используются не только различные приемы преобразования функций, как мы видели в примерах 1 и 2, но и так называемые замечательные пределы.

П
х→ 0
ервый замечательный предел .lim sinx/х = 1, он раскрывает неопределенность (0/0).

В
х→ 00
торой замечательный предел. . lim (1+1/х)^х = ℮, где ℮=2, 7, …

иррациональное «непперово» число. Это число часто берут за основание логарифма, тогда такой логарифм обозначается так: log_℮x = lnx и называется натуральным логарифмом.

П
х→ 0
ример. 3 Найти lim (sin3x)/х = (0/0).

Р
х→ 0

х→ 0
ешение: lim (3sin3x) / (3х) = 3 lim (sin3x) / (3х) = 3*1 = 3

П
х→ 0
ример. 4 Найти lim (sin5x)/(sin2х) = (0/0).

Р
х→ 0

х→ 0
ешение: lim (sin5x / sin2х) = lim [((sin5x / 5х)*5x) / ((sin2x / 2x) * 2x)]

=
х→ 0

х→ 0
5/2 * [(lim (sin5x / 5х)) / lim (sin2x / 2х)] = 5/2

П
х→ 00
ример. 5 Найти lim (1+(1/2x))^x = 1⁰⁰.

Р
х→ 0

ешение: lim (1+(1/2x))^{2x * (1/2)} = ℮^1/2=℮

П
х→ 00
ример. 6 Найти lim (1+(1/(x-1))^x = 1⁰⁰.

Р
х→ 00

х→ 00
ешение: lim [1+(1/(x-1))]^{x -1+1} = lim [(1+(1/(x-1)))^{x -1} * (1+(1/(x-1)))¹] = ℮*1 = ℮

Тема 11. Производная и дифференциал.

Приращение аргумента, приращение функции.

П
0

усть функция у= f(х) определена в точке х₀ и некоторой ее окрестности, придадим точке х₀ приращение Δх и получим точку х₀+Δх, значение функции в этой точке – f(х₀+Δх). Разность значений f (х₀+Δх) – f(х₀) называется приращением функции, обозначается приращение функции Δf или Δу, т.е. Δf=f(х₀+Δх) – f(х₀). Рис. 1

у Рис.1

У = f(х)

Δу

Δх

х

х₀ х₀ + Δх

Производная функция у = f(х), в точке х₀ определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении Δх к нулю. f `(x₀) = lim (Δf/Δx). Этот предел будет иметь конечное значение, если только и числитель стремиться к нулю (приращение функции Δf→0).

Производная имеет смысл скорости изменения какого – либо показателя. Дифференциал определяется как главная линейная часть приращения функции. Дифференциал показывает, как изменялась бы величина, если бы скорость ее изменения была бы постоянной. Дифференциал для функции у=f(х) обозначается через dy или df. Вычисляется он по формуле dy=f `(x)dx, где f ` (x) – производная функция f(x), а dx – число равное приращению независимой переменной (аргумента) ∆х.

Для вычисления производной выведены правила нахождения производной и таблицы производных элементарных функций. Функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой в интервале.

Правила дифференцирования функций.

Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.

(U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x)
(U(x) * V(x))` = U`(x) * V`(x) + V`(x) * U`(x)
(C*U(x))` = CU`(x), C - const
(U(x) / V(x))` = [U`(x) * V(x) - V`(x) * U(x)]/ V²(x)

Таблица производных.

C` = 0, C – const.
x` = 1
(x^α)` = α x^{α – 1}, α Є R
(a^x)` = a^x lnx, a>0 , a≠1
(ln x)` = 1/x
(sin x)` = cos x
(cos x)` = - sin x
(tg x)` = 1/(cos x)²
(ctg x)` = - 1/(sin x)²
(arcsin x)` = 1/²)
(arccos x)` = - 1/²)
(arctg x)` = 1/(1 + x²)
(arcctg x)` = - [1/(1 + x²)]

правила для нахождения дифференциала можно написать самим, умножив соответствующее правило взятия производной на dx.

Например: d sinx = (sinx)`dx = cosx dx.

Пример 1. Найти приращение функции f(x) = x², если х = 1, ∆х = 0,1

Решение: f(х) = х², f(х+∆х) = (х+∆х)²

Найдем приращение функции ∆f = f(x+∆x) – f(x) = (x+∆x)² – x² = x²+2x*∆x+∆x² – x² = 2x*∆x + ∆x²/

Подставим значения х=1 и ∆х= 0,1, получим ∆f = 2*1*0,1 + (0,1)² = 0,2+0,01 = 0,21

Пример 2. Найти производную функции f(x) = x², в произвольной точке х по определению производной, т.е. не используя таблицу производных.

Р
∆x→0

ешение: (х²)` = lim ∆f / ∆х

Из первого примера ∆f = 2x*∆x+∆x², подставим, получим

(
∆x→0

∆x→0

∆x→0
x²)` = lim ∆f / ∆х = lim (2x*∆x+∆x²)/∆x = lim [∆x (2х + ∆х)]/ ∆x = 2x
Пример 3. у = 1-х, Найти ∆у при х=2, ∆ = 0,1

Решение: у(х) = 1-х, у(х+∆х) = 1 – (х+∆х),

∆у = у (х+∆х) – у(х) = 1-х - ∆х – (1 – х) = 1-х - ∆х – 1 + х = - ∆х

при х = 2, ∆х = 0,1 ∆у = -∆х = -0,1.

Пример 4. Найти производную от функции у=3х⁴ – 2х² + 1.

Решение у` = 3*4х³ – 2*2х + 0 = 12х³ – 4х.

Пример 5. Найти производную от функции у = x² *℮^х.

Решение: у` = (x²)` *℮^х + x² *(℮^х)` = 2x ℮^х + x² *℮^х ln℮

ln ℮ = log_℮℮ = 1. y` = 2x℮^x + x² * ℮^x

Пример 6. У = х/(х²+1). Найти у`.

Решение у` = [1*(х²+1) – х*2х] / (х²+1)² = [х²+1 – 2х²] / (x² +1)² = (1-x²) / (x²+1)²

Производные от сложных функций.

Формула для нахождения производной от сложной функции такова:

[f (φ(х))]` = f_φ`(φ(x)) * φ`(x)

Например: у = (1-х²)³; у`= 3(1 –х²)² * (-2х) или у = sin²х; у` = 2sinx * cosx.

Пример 7 . Найти dy, если у = sin 3х

Решение dy = у` * dx = (sin3x)` dx = (cos3x) * 3dx = 3 cos3x dx.

Пример 8. Найти dy, если у = 2^х^{^2}/

Решение: dy = y` * dx = (2^{x^2})` * dx = 2^{x^2} ln2 * 2xdx

Производные высших порядков.

Пусть мы нашли от функции у = f(х) ее производную у` = f `(х). Производная от этой производной и называется производной второго порядка от функции f(х) и обозначается у`` или f `` (х) или (d²y) / (dx²). Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка у``` = f ```(x) = (d³y) / (dx³).

производная четвертого порядка у^IV = f ^IV(x) = (d⁴y) / (dx⁴).

производная n-oго порядка у⁽ⁿ⁾ = f ⁽ⁿ⁾(x) = (d ⁿ y) / (dxⁿ).

Пример: у = 5х⁴ – 3х³ + 2х – 2. Найти у``.

Решение. Находим в начале первую производную: у` = 20х³ – 9х² +2, потом вторую от первой производной: у`` = 60х² – 18х.

Пример. y=хsinx. Найти у```.

Решение. y` = sinx + xcosx

y`` = cosx + cosx – x sinx = 2cosx – x sinx

y``` = -2sinx – sinx – x cosx = -3sinx – x cosx.

Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале Х, если в каждой точке этого интервала выполняется условие

F ` (x)=f(x).

Например, для функции f(x) = 2х первообразной является F(х) = х² для любых х Є (-∞, ∞).

Действительно, F`(x) = 2x = f(x).

F₁(x) = x² + 2 так же является первообразной для f(x) = 2x, F₂(x) = x² – 100 первообразная той же функции f(x) = 2x.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) первообразные для функции f(x) на некотором интервале Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство:

F₂(x) = F₁(x) + C,

Или можно сказать так, две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается f(x)dx, где - знак интеграла, f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение. Таким образом

f(x)dx = F(x) + C,

F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

((f(x)dx)` = f(x). Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению. d(f(x)dx) = f(x)dx.
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

d(F(x)) = F(x) + C.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, где к - число

Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций

(f(x) +φ(x))dx = f(x)dx + φ(x)dx.

Для вычисления неопределенных интегралов от функций используют таблицу неопределенных интегралов, которая приводиться ниже.

Таблица неопределенных интегралов.

х^α dx = [x^α+1 / (α +1)] +C, α ≠ -1, α Є R
dx/x = ln│x│+C
a^x = (a^x/ln a)+C, e^xdx = e^x+C
sinx dx = -cosx + C
cosx dx = sinx + C
dx/(cosx)² = tgx + C
dx/(sinx)² = -ctgx + C
dx /²-x²) = (arcsin x/a) + C
dx / ² – x²) = (-arccos x/a) +C
dx / a² +x² = 1/a arctg x/a +C
dx / a² +x² = - 1/a arcctg x/a +C
dx / a² -x² = 1/2a ln │x+a/x-a│ +C
dx / a² +x²) = ln │x+ ²+x²)│ +C.

Пример 1. Вычислить (2х² -3 -1)dx.

Решение. Воспользуемся свойствами 4 и 5 неопределенных интегралов и первой табличной формулой. (2х² -3 -1)dx = 2х² dx - 3х^1/2 dx - dx=

= 2(x²/2) – 3[(х^3/2 *2)/3] – x + C = x² - 2³ – x +C.

Пример 2. (2/ -1/х + 4sinx)dx = 2х ^–1/2dx – ln │х│ - 4cosx + C =

= 2[(x^1/2 *2)/1] – ln │x│ - 4 cosx +C = 4 -ln│x│- 4cosx + C.

Для вычисления неопределенных интегралов применяют следующие методы: метод непосредственного интегрирования, метод подстановки(метод замены переменной), метод интегрирования по частям.

Существуют элементарные функции первообразные которых элементарными функциями не являются. По этой причине соответствующие неопределенные интегралы называются «неберущимися» в элементарных функциях, а сами функции не интегрируемыми в элементарных функциях.

Например, e ^{–x^2} dx, sinх² dx, cosх² dx, sinx/x dx, cosx/x dx, dx/lnx – «неберущиеся» интегралы , т.е. не существует такой элементарной функции, что F `(x) = e ^{–x^2}, F ` (x) = sinx² и т.д.

Тема 13. Определенный интеграл, его свойства.

Формула Ньютона - Лейбница.

Понятие интегральной суммы.

Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х₀, х₁, х₂, …, х_п = в. На каждом элементарном отрезке [x_i-1, x_i] выберем произвольную точку С_i и положим

∆
n
х_i = x_i – x_i-1, где i = 1,2,…,п, в каждой точке С_i найдем значение функции f(C_i), составим произведения f(C₁)∆x₁, f(C₂)∆x₂, …, f(C_i)∆x_i, …, f(C_n)∆x_n, рассмотрим сумму этих произведений:

f
I=1

(C₁)∆x₁ + f(C₂)∆x₂ + … + f(C_i)∆x_i + … + f(C_n)∆x_n = Σ f(C_i)∆x_i.

Эту сумму будем называть интегральной суммой для функции у=f(x) на отрезке [а, в]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a, в] на п частей так и от выбора точек С₁, С₂, …, С_п на каждом элементарном отрезке разбиения.

Геометрический смысл интегральной суммы.

Пусть у = f(x) неотрицательна на отрезке [а, в]. Рис.1

y = f(x)

у

S₁ S₂ S₃

0 а=х₀ в₁ х₁ с₂ х₂ с₃ х₃ =в х

Рис.1

Пусть п=3, тогда а = х₀, х₁, х₂, х₃=в.

С₁ ,С₂ ,С₃ точки, выбранные произвольно на каждом элементарном отрезке.

S₁ = f₁(C₁) ∆x₁ – площадь прямоугольника, построенного на первом отрезке разбиения, ∆х₁ = х₁-х₀,

S₂ = f₂(C₂) ∆x₂ – площадь прямоугольника, построенного на втором отрезке разбиения. ∆х₂ = х₂-х₁,

S
3
₃ = f₃(C₃) ∆x₃ – площадь прямоугольника, построенного на третьем отрезке разбиения. ∆х₃ = х₃-х₂,

S
I=1

= S₁ + S₂ +S₃ = f₁ (C₁)∆x₁ + f₂ (C₂)∆x₂ + f₃ (C₃)∆x₃ = Σ f(C_i)∆x_i.

Это площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.

Понятие определенного интеграла.

О
n

бозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ∆х_i, где i=1,2,…п

О
i=1
пределение. Пусть предел интегральной суммы Σ f(C_i)∆x_i при стремлении max ∆х_i к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка

[
n

i=1
a, в] на части и от выбора точек С₁, С₂, …, С_п. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в] и обозначается , т.е = lim Σ f(С_i)∆x_i при

max ∆x_i →0

Число а называется нижним пределом, b – верхним пределом, f(x) – подинтегральной функцией, f(x)dx – подинтегральным выражением.
Некоторые свойства определенного интеграла.

1⁰ . Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

= = и т.д.

2⁰. есть число.

3⁰. = - , а

4⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

= m , где m – const.

5⁰. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.

6⁰. Если отрезок интегрирования разбит на части (a < c < b), то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов на каждой из частей.

a

c

b

x
= ,
Существует еще ряд важных свойств определенного интеграла, которые подводят нас к формуле для вычисления определенного интеграла. Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница для f(x) непрерывной на а; b.

= F(b) – F(a), где F(x) некоторая первообразная для функции f(x).

Например, - вычислить.

Н
1
аходим первообразную для функции х², т.е. неопределенный интеграл от х², произвольную постоянную С приравняем к нулю.

0
= x³/3 │ = 1/3 – 0/3 = 1/3

Подставим в первообразную х³/3 вначале значение верхнего предела, равного 1, затем значение нижнего предела, равного 0 вместо х.

π/2

П
π/6

2
ример 1. Вычислить │= sin π/2 – sin π/6 = 1 – ½ = 1/2

П
-1
ример 2. Вычислить │ = 2² – 2⁴/4 – [ (-1)² – ((-1)⁴/4)] =

= 4 – 4 –(1- (1/4)) = -3/4.

Тема 14. Несобственные интегралы.

Мы ввели понятие определенного интеграла от функции y = f(x) на отрезке а; b, когда функция y = f(x) была интегрируема (и, следовательно, ограничена) на конечном отрезке а; b. Если отрезок интегрирования бесконечен, или функция не ограничена на отрезке интегрирования, то мы встречаемся с понятием несобственного интеграла.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом . Такой интеграл есть некоторая функция от переменного верхнего предела, т.е.

= Ф(х), х ≥ а.

Определение. – называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале а;), вводится он как предел функции Ф(t) при t , т.е.

t→∞

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

∞
Пример 1. Вычислить

x→∞
Решение = lnx │ = lim lnx – ln2 = ∞ - ln2 = ∞. Интеграл расходится.

∞
Пример 2. Вычислить

∞

1

x→∞

1
Решение = = x ^–2/-2 │ = -1/(2x ²) │= -1/2 (lim 1/x² – 1) = -1/2 (0-1) = 1/2

Интеграл сходится к ½.

По аналогии определяется несобственный интеграл на интервале (-, b.

b→ −∞

Определение сходимости аналогично предыдущему.

Вводится понятие несобственного интеграла на интервале (-; ).

, а – некоторое число.

Интеграл сходится, если оба интеграла и сходящиеся, если же один из них расходится, то - расходится.

Пример 3. Вычислить .

0
Решение. .

-∞

x→ -∞
Рассмотрим = e^x │ = e⁰ – lim e^x = e⁰ – 1/e^∞ = 1-0 = 1.

∞

Интеграл сходящийся к 1.

x→ -∞
Рассмотрим = e^x │ =lim e^x - e ⁰ = e^∞ – 1 = ∞.

Этот интеграл расходится, значит - расходящийся несобственный интеграл.

В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл . этот интеграл называется интегралом Эйлера-Пуассона.

Доказано, что 2).

Несобственные интегралы от разрывных функций.

х→в-0

Если y = f(x) непрерывна на а; b), но lim f(x) = , то вводится понятие несобственного интеграла от разрывной функции.

О
ε→0

ε→0
пределение. Если существует и конечен предел lim , где  > 0, то он называется несобственным интегралом от функции y = f(x) на интервале а; b) и обозначается , т.е. = lim

В этом случае несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла

ε→0

х→а+0
= lim , если lim f(x) = 

δ→0

Пример 4. Вычислить = 2х^1/2 │ = 2( -lim) =2.

Интеграл сходится к 2.

Тесты к теме 1.

На сколько периодов условно можно разделить развитие математики (по Колмогорову)?

1: 2

2: 4

3: 1

4: 5

К какому времени относится начало периода элементарной математики?

1-: XV в

2: I век н.э.

3: VI-V век до н.э.

4: XII в.

Что является предметом изучения науки “Математический анализ”?

1: функция

2: число

3: совокупность чисел

4: геометрические образы (точка, прямая, плоскость).

Перечислите основные черты математического мышления.

1: логические рассуждения, математическая интуиция;

2: доказательство;

3: математическая интуиция;

4: умение правильно считать.

Какие два вида умозаключений преобладают в математике?

1: моделирование, дедукция.

2: индукция, интуиция;

3: абстрагирование, интуиция;

4: индукция, дедукция;

Является ли математика искусством вычислять или наукой?

1: наука,

2: искусство вычислять.

Тесты к тема 2

1.Аксиома – составная часть дедуктивной системы. Это …?

1: Определение основных понятий данной науки.

2: Утверждение, требующее доказательства.

3: Утверждение, принимаемое без доказательств.

4: Некоторое логическое рассуждение.

2.Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса. Какие из представленных?

1: Нужны ли доказательства аксиом? и Являются ли теоремы составной частью дедуктивного метода?

2: О смысле основных понятий. и Об истинности аксиом.

3:Можно ли определить в данной науке основные понятия? и Являюся ли доказательства составной частью дедуктивного метода?

3.Что представляет собой книга «Начала» Евклида?

1: Философское учение греческого философа и ученого Евклида.

2: Аксиоматическое построение геометрии.

3: Мифы Древней Греции.

4: Учение о параллельных прямых.

4Кто из математиков почти одновременно с Н.И. Лобачевским подошел к созданию неевклидовой геометрии?

1: Гаусс, Бойяй

2: Лагранж, Ферма

3: Пуассон, Эйлер

4: Коши, Буняковский

5.В каком году был построен Императорский Казанский Университет?

1; 1804

2: 1800

3: 1850

4: 1900.

Тесты к теме 3.

1 Что представляет собой мнимая единица ?

1: корень кв. из -1,

2: –1

3: ( i )^2

4: (-1)^2
2. Найти корни квадратного уравнения х*х-х+1=0

1: Х1=1/2; Х2=3/2

2: Корней нет

3: Х1,2=1/2+-3/2i

4: Х1=2, Х2=-1
3. Произвести действия: Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1+Z2.

1: Z=1-i

2: Z= -1+i

3: Z=2+3i

4: Z=1+2i
4. Произвести действия : Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1*Z2.

1: Z= 4

2: Z=-8+3i

3: Z= -2+6i

4: Z=4-i
5. Найти Z”, если Z=2-i.

1: Z= -2-i

2: Z= -2+i

3: Z= 2+i

4: Z= 2
6. Представить число Z = -3 в виде комплексного числа. Указать его вещественную и мнимую части.

1: Z=3-3i, Re Z=3, Im Z= -3

2: Z=-3+iо, Re Z=-3, Im Z=0

3: Z=3i, Re Z=-0, Im Z=3

4: Z=3*i*i Re Z=0, Im Z=3

Найти корни квадратного уравнения х^2+4=0

1: Х=2

2: Корней нет

3: Х1,2=+-2i

4: Х= -2

Дано комплексное число Z= -3+2i. Найти координаты точки на плоскости хоу ему соответсвующие.

1; (-3;2)

2: (3,2)

3: (3, -2)

4: (-3,0)

Выделить вещественную и мнимую части числа Z=1-3i/5-i.

1: Z=1/5-3i

2: Z=4/13 – 7/13i

3: Z=1/26-3i

4: Z=1-i

Тесты к теме 4.
1.Даны точки М1(3,1); М2(2,3); М3(6,0); М4(-3,-1).

Определить какая из точек лежит на прямой 2х-3у-3=0

1: М1(3,1);

2: М2(2,3);

3: М3(6,0);

4: М4(-3,-1).

2.Дана прямая х-3у+2=0, точка М(1,у) лежит на этой прямой. Найти ордин ату этой точки.

1: у=-1,

2: у=0,

3: у=1,

4: у=5.

3.Дана прямая х-3у+2=0, точка Р(х,2) лежит на этой прямой. Найти абциссу этой точки.

1: х=0,

2: х=4,

3: х=1,

4: х= -4.

4.Даны точки А(-3,2) и В(1,6). Найти расстояние между ними АВ.

1: АВ=2.

2: АВ=4,

3: АВ=8,

4: АВ=4 * корень кв. из 2,

5.Даны четыре пары, указать какие из них являются параллельными прямыми.

2х+3у-1=0

4х+6у+1=0

х+у+5=0

х-у-3=0

х+5=0

2х+5у=0

х-2у+3=0

2х-у-1=0

1: 2х+3у-1=0 4х+6у+1=0
2: х+у+5=0 х-у-3=0
3: х+5=0 2х+5у=0
4: х-2у+3=0 2х-у-1=0

<< предыдущая страница следующая страница >>