Тема Роль математики в современном мире. Основные этапы становления математики

F₂

F₁

М(х,у) – произвольные точки гиперболы, (х,у) – текущие координаты произвольной точки. Все точки гиперболы удовлетворяют условию

│F₁M-F₂M│=2a.

Пример 2. Дана гипербола х²-4у²=16. 1)Написать каноническое уравнение гиперболы; 2)Найти вещественную и мнимую полуоси; 3) Найти асимптоты гиперболы; 4) Вычислить эксцентриситет Е.

Ответ: 1)х²/16 - у²/4 = 1; 2) а= = 4; в= = 2. 3) у = ±(в/а) х или у = ±(2/4)х или у = ±(1/2)х; 4) с= (а² + в²) = = = 2,

Е=с/а=(2)/4 = ()/2 ;

Е=()/2 >1.
Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

у²= 2рх – парабола симметрична относительно ох (рис.3)
х²= 2ру – парабола симметрична относительно оу (рис.4)

у

х

М(х,у)

F(p/2;0)

d

-р/2

РИС.3
0

Р
у
ИС.4

М(х,у)

F(0,p/2)

х

0

-р/2

директриса

М (х,у) – произвольная точка парабола,

(х,у) – текущие координаты произвольной точки,

х = -р/2 – уравнение директрисы.

FM = d, где d – расстояние от точки М до директрисы.

В обоих случаях вершина параболы находится на оси симметрии в начале координат 0.

Парабола у² = 2рх имеет фокус F (р/2) и директрису х = - р/2

Парабола х = 2ру имеет фокус F (р/2) и директрису у = - р/2

Пример 3. Построить параболы заданные уравнениями:

у² = 4х; 2) у² = -4х; 3) х² =4у; 4) х² =-4у; а так же их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.

О
y
твет:

y

2)
)

x

F(1,0)

-1

x

F (-1,0)
0 0

y² = - 4x, p=2, F(-1,0)

х = -1 – уравнение директрисы

y² = 4x, p=2, F(1,0)

х = -1 – уравнение директрисы

4)
3)

F(0,1)

х

0
0

-1

F(0,-1)

Х² = - 4у, р = - 2, F (0, -1)

У = 1 – уравнение директрисы

Х² = 4у, р = 2, F (0, 1)

У = -1 – уравнение директрисы.
Окружность. Уравнение окружности с центром в точке А (а,в) и радиусом R; (рис.6)

R

у

(х – а)² + (у – в)² = R²

А (а, в)

Пример 4. 1) Написать уравнение окружности с центром в точке А ( -1, 2), R = 2. 2) Построить ее. 3) Лежит ли точка О (0, 0) на окружности?

Ответ: 1) (х + 1)² + (у – 2)² = 4, если раскроем скобки, то уравнение примет вид:

х² + у² + 2х – 4у + 1 = 0

Рис. 7

2
у

)

х

-1

О (0,0) не лежит на окружности, т. к. координаты этой точки не удовлетворяют уравнению: 0+0+0 + 0+1 ≠ 0.

Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы вычисления определителей. Решения систем линейных алгебраичных уравнений по формулам Крамера.
Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством = а₁₁а₂₂-а₁₂а₂₁.

Например, Вычислить определитель = 3*6 – (-2)*4 = 18 + 8 = =26

Числа, составляющие определитель называются его элементами. Определитель второго порядка имеет две строки и два столбца.

Определитель третьего порядка называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством = а₁₁*а₂₂*а₃₃ + а₁₂*а₂₃*а₃₁ + а₁₃*а₃₂*а₂₁ – (а₁₃*а₂₂*а₃₁+а₃₂*а₂₃ *а₁₁+а₃₃*а₁₂*а₂₁).

Например, = 2*(-2)*3+3*1*1+4*2*5 – (1*(-2)*4 + 2*1*2 + 3*3*5) = -12+3+40 – (-8+4+45) = 31-41= - 10

Перечислим свойства определителей:

Величина определителя не изменится от замены строк столбцами.
Величина определителя изменит знак на обратный при перестановке двух любых строк или столбцов.
Определитель равен нулю, если две его строки или два его столбца одинаковы.
Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число.

Например, =

Алгебраическое дополнение. Минор.

Минором М_ij элемента а_ij называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i строки j столбца, т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент а_ij. Минор М_ij есть определитель порядка на единицу ниже исходного.

Например, в определителе, Минором к элементу 4 является М₁₃= = = 10+2=12.

Алгебраическое дополнение А_ij есть минор М_ij , умноженный на (-1)^i+j, т.е.

А_ij = (-1)^i+j M_ij

В приведенном примере А₁₃= (-1)¹⁺³ М₁₃ = (-1)⁴ * = 10+2=12.

В данном случае Минор и алгебраическое дополнение к элементу 4 совпали.

Продолжим изложение свойств определителей.

Величина определителя равна сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение этих элементов.

Например, = а₁₁*А₁₁ +а₁₂*А₁₂+а₁₃*А₁₃; правая часть равенства называется разложением определителя по элементам первой строки.

Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

Например, а₁₁ А₂₁+а₁₂А₂₂+а₁₃А₂₃=0.

Перечисленные свойства определителей справедливы для определителей любого порядка.

Пример. Вычислить определитель двумя способами.

первый способ. = 2*5*(-3)+(-3)*(-4)*4+1*1*1 – (4*5*1+1*(-4)*2 + +(-3)*(-3)*1) = -30+48+1 – (20 – 8+9) = 19 – 21= -2.

Второй способ. Разложим определитель по элементам второго столбца. = -3 А₁₂ + 5А₂₂ + 1А₃₂ = -3(-1)¹⁺² + 5(-1)²⁺² +(-1)³⁺² = -3*(-1)*(-3+16)+5(-6-4) – (-8 – 1) = 3*13+5*(-10) +9 = 48 – 50 = -2.

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем по формулам Крамера.

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ = в₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + а₂₃х₃ = в₂

а₃₁х₁ + а₃₂х₂ + а₃₃х₃ = в₃

Это система трех уравнений с тремя неизвестными х₁, х₂, х₃. Вещественные числа а_ij (i = , j = ) называются коэффициентами системы. в₁, в₂, в₃ – свободные члены. Если хотя бы одно из чисел в₁, в₂, в₃, отлично от нуля, система называется неоднородной. Если все свободные члены равны нулю, то система имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ = 0

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + а₂₃х₃ = 0

а₃₁х₁ + а₃₂х₂ + а₃₃х₃ = 0

и называется однородной.

По формуле Крамера решаются только неоднородные системы.

Определитель системы Δ называется определитель, составленный из коэффициентов системы:

Δ =

Если определитель системы Δ не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

Х₁ = Δх₁/ Δ; х₂== Δх₂/ Δ; х₃== Δх₃/ Δ; где

Δх₁= ; Δх₂= ; Δх₃= .

Если определитель системы = Δ равен нулю, и хотя бы один из определителей ∆х₁=∆х₂=∆х₃ отличен от нуля, то система несовместна.

Если определитель системы ∆=0, и ∆х₁=∆х₂=∆х₃=0, то система имеет бесконечное множество решений. (неопределенная система).

Пример. Решить систему уравнений:

Х + 2у – z = 1

-3х + у = 2z = 0

х + 4у + 3z = 2

Вычислим определитель системы ∆ = = 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) – (1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 – (-1 + 8 – 18) = 19+11 = 30.

Система имеет единственное решение, т.к. определитель ∆ = 30 ≠ 0.

Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.

∆х = = 5; ∆у = = 13; ∆z = = 1.

По формулам Крамера находим решение системы:

Х = ∆х/∆ = 5/30 = 1/6; у = ∆у/∆ = 13/30; z = ∆z/∆ = 1/30;

Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30).

По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Пример Решить систему уравнений.

х - у+z=1

х + у – z=2

5х + у – z=7

Составим и вычислим определитель системы ∆= = 0.
Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.

∆х = = 0, ∆у = = -2

Т.к. определитель ∆у= -2 ≠ 0, мы делаем заключение: Система несовместна, т.е. она не имеет решения.

Тема 7. Алгебра матриц.

Определение. Таблица, составленная из m*n чисел называется матрицей размерности m*n,

а₁₁ а₁₂ а₁₃…а_1п

а₂₁ а₂₂ а₂₃…а_2п

……………… = А_м*п= //а_ij//

а_м1 а_м2 а_м3…а_мп , где

m – число строк, n – число столбцов. Числа а_ij называются элементами матрицы, i- номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Разновидности матриц.

Матрица называется прямоугольной, если m≠n.
Матрица называется квадратной, если m=n.
Матрица называется матрицей - строкой, если m=1.
Матрица называется матрицей - столбцом, если n=1.

Например, 1) 1 2 3 = А_2*3 – прямоугольная матрица размерности 2*3 (два на три)

0 –1 5

2) 1 2 - квадратная матрица.

3 4

(1 0 3 5, -1) – матрица строка.
7

12 матрица столбец.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы матриц, расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю.

Например, 1 0 0 5 1 –3

2 6 0 или 0 4 2

-1 –2 8 0 0 -1

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю.

Например, 1 0 0

0 –2 0

Квадратная матрица называется единичной, если элементы диагональной матрицы, стоящие на главной диагонали равны единице.

1 0 0

Е = 0 1 0

0 0 1 .

Алгебра матриц.

Равенство матриц. Две матрицы А_м*п и В_м*п одинаковой размерности равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.

А_м*п = В_м*п  а_ij = b_ij (i = , j = )

 этот знак (квантор эквивалентности) заменяет слова «тогда и только тогда»,

обозначение (i = ) применяется, если хотят сказать, что i пробегает все значения от 1 до m.

2. Сумма матриц. Суммой двух матриц А_м*п = //а_ij// и В_м*п = //в_ij// называется матрица С_м*п, элементы которой С_ij = а_ij + в_ij . C_m*n = A_m*n + B_m*n. Складывать можно матрицы одинаковой соразмерности.

Нпример, Если А= 1 –2 4 В= -3 2 5

3 1 –6 , 1 –6 4 , то

А
+

=

=
+В = 1 –2 4 -3 2 5 1-3 -2+2 4+5 -2 0 9

3 1 –6 1 –6 4 , 3+1 1-6 6+4 4 –5 –2

3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число.

α
3 2 4 –1

-2 1 5 6
А = //α a_ij//.

Н
3 2 4 –1

-2 1 5 6

12 8 16 –4

-8 4 20 24

апример, вычеслить 4 А, если А =

=
А = 4 *
4. Умножение матриц. Произведением матрицы А_м*е на матрицу В_е*п называется матрица С_м*п (А_м*е*В_е*п=С_м*п), элементы которой получаются по правилу «Строка на столбец»:

с_ij =a_ijb_ij + a_i2b_2j +…+ a_ieb_ej

(i= ; j= ) , т.е. для вычисления с_ij следует элементы i – строки левой матрицы А_м*е умножить на соответствующие элементы j –го столбца правой матрицы В_е*п и полученные произведения сложить.

Замечание 1. Из этого определения следует, что произведение матриц имеет смысл тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.

З
1 2

2 4

3 1

3 4 1 3

2 –1 –2 4

амечание 2. Если имеют смысл АВ и ВА, то как правило, АВ≠ВА.

Пример. Вычислить АВ, если А = В =

Решение: АВ=С

1 2

2 4

3 1

3 4 1 3

2 –1 –2 4

С₁₁С₁₂С₁₃С₁₄

С₂₁С₂₂С₂₃С₂₄

С₃₁С₃₂С₃₃С₃₄

7 2 –3 11

14 4 –6 22

11 11 1 13

С= * = =

С₁₁=13+22=7;	С₁₂=14+2(-1)=2	С₁₃=11+2(-2)= -3	С₁₄=13+24=11
С₂₁=23+42=14;	С₂₂=24+4(-1)=4	С₂₃=21+4(-2)= -6	С₂₄=23+44=22
С₃₁=33+12=11	С₃₂=3*4+1(-1)=11	С₃₃=31+1(-2)=1	С₃₄=33+14=13

7 2 –3 11

14 4 –6 22

11 11 1 13

Ответ: А*В=С=

Пример. Найти произведения двух матриц АВ и ВА, если А = 1 2 ,

В = 2 1 3 4

1 3

Сравним эти произведения.

1
*

=
) С=АВ= 1 2 2 1 4 7

3 4 1 3 10 15

С₁₁ = 1*2+2*1=4; С₁₂ = 1*1+2*3=7;

С₂₁ = 3*2+4*1=10; С₂₂ = 3*1+4*3=15

2
*

=
) Д=ВА= 2 1 1 2 5 8

1 3 3 4 10 14

d₁₁=2*1+1*3=5; d₁₂=2*2+1*4=8

d₂₁=1*1+3*3=10; d₂₂=1*2+3*4=14

Мы убедились, что в нашем примере АВ≠ВА.

Пример. Вычислить АВ, если А=(4 0 -2 1); В=

Решение: АВ=(4 0 -2 1)* =4*3+0*1+(-2)*5+1*(-2)=(0)

Ответ: АВ=(0) – нуль – матрица.

Замечание. При умножении матрицы строки на матрицу столбец получается матрица из одного элемента – число.

5. Транспонирование матрицы. Если в матрице А строки заменить столбцами, то новая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается символом А^т. Замечание (А^т)^т=А.

6. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и обозначается символом Ø. А+Ø=А.

Основные свойства операций над матрицами:

А+В = В+А; А+(В+С) = А+В+С; (α +β)А = αА+βА; α(А+В) = αА + αВ; (А+В)*С=АС+ВС; С(А+В)=СА+СВ; (αА)В=α(АВ); (АВ)*С=А(ВС); (АВ)^т=В^т А^т.

Понятие матрицы, алгебра матриц имеют чрезвычайно важные значение в приложениях математики к экономике и другим наукам, т.к. позволяют записывать значительную часть математических моделей в достаточно простой, а главное компактной форме.

Пример. Каждое из трех предприятий производить продукцию двух видов. Количество продукции каждого вида в тоннах за рабочую силу на каждом предприятий можно задать матрицей А= 2 1 3

1 3 4 ,

Стоимость одной тонны продукции каждого вида задана матрицей В= (10 15). На какую сумму произведет всю продукцию каждое предприятие за рабочую смену?

Решение: В*А= (10 15)* 2 1 3 =(35 55 90)

1 3 4

Ответ: Первое предприятие произведет продукции на 35 тыс. руб.

Второе – на 55 тыс. руб.

Третье – на 90 тыс. руб.

Тема 8. Понятие множества.

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множества называются элементами, или точками, этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов данного ВУЗа, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.

Множество обозначаются прописными буквами, а их элементы строчными. Если а есть элемент множества А, то используется запись а Є А. Если в не является элементом множества А, то пишут в Є А.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Например, множество действительных корней уравнения х²+1=0 есть пустое множество.

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается

В С А.

Если, например, А – множество всех студентов ВУЗа, а В – множество студентов-первокурсников этого ВУЗа, то В есть подмножество множества А, т.е. В С А.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединение двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С=АUВ.

Например, если А= {а, в, d, е}; В= {а, е, f, с, к}, то С = АUВ = {а, в, d, е, f, с, к}

Пересечением двух множеств А и В называется множество Д, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Д = А∩В.

Например, 1) если А= {1, 2, 3}, В= {2, 3, 4}, то Д = А∩В = {2, 3}. 2) если А = {1, 2, 3}; В= {4, 5, 6, 7}, то А∩В = Ø.

Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В.

Например, если А = {a, b, c, d}, B = {b, c}, то А\В = {а, d}.

Пример, Даны множества А = {1, 3, 6, 8}, В = {2, 4, 6, 8}. Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение: АUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

А∩В = {6, 8}

А \ В = {1, 3}

Множества называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, в противном случае оно называется бесконечным.

Множества элементами, которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел.

Очевидно, что N С Z C Q C R

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовые оси). (Рис.1), т.е. прямой на которой выбрано начало отчета, положительные направления и единица масштаба.

0

1

х

Рис.1

Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное вещественное число.

Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ≤ x ≤ в, называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а

Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.

А следующая страница >>

F2

F1

Рис. 7

F₂

F₁