Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под общ. ред. В.И. Ермакова. — М.: ИНФРА-М, 2008. — 656 с. — (100 лет РЭА им. Г.В. Плеханова).
В учебник включены основные разделы математики, необходимые для подготовки экономистов различных специализаций.
Предназначен для студентов экономических факультетов вузов.
Оглавление
|
|
Предисловие
|
3
|
А. Основы алгебры векторов и матриц
|
5
|
1. Решение систем линейных уравнений
|
5
|
1.1. Линейные уравнения
|
5
|
1.2. Системы линейных уравнений
|
7
|
1.3. Разрешенные системы линейных уравнений
|
9
|
1.4. Преобразование систем линейных уравнений
|
12
|
1.5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
|
17
|
2. n-мерные векторы
|
22
|
2.1. Линейные операции над n-мерными векторами
|
22
|
2.2. Скалярное произведение и длина n-мерных векторов
|
24
|
2.3. Угол между n-мерными векторами
|
26
|
2.4. Разложение вектора по системе векторов
|
29
|
2.5. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов
|
33
|
2.6. Базисы системы векторов
|
39
|
2.7. Ранг системы векторов
|
44
|
2.8. Базис и размерность n-мерного пространства
|
49
|
2.9. Ортогональные системы векторов
|
51
|
3. Матрицы
|
56
|
3.1. Понятие матрицы
|
56
|
3.2. Умножение матрицы на вектор
|
58
|
3.3. Действия с матрицами
|
59
|
3.4. Обратная матрица
|
64
|
3.5. Ранг матрицы
|
69
|
4. Определители квадратных матриц
|
72
|
4.1. Понятие и вычисление определителей матриц
|
72
|
4.2. Свойства определителей
|
77
|
4.3. Миноры и алгебраические дополнения
|
80
|
4.4. Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца
|
83
|
5. Теория систем линейных уравнений
|
88
|
5.1. Теорема Кронекера–Капелли
|
88
|
5.2. Системы линейных уравнений с квадратной матрицей
|
89
|
5.3. Однородные системы линейных уравнений
|
93
|
5.4. Общее решение системы уравнений в векторной форме
|
97
|
6. Прямые и плоскости
|
101
|
6.1. Уравнение фигуры
|
101
|
6.2. Уравнения прямой на плоскости
|
104
|
6.3. Полуплоскости
|
109
|
6.4. Уравнение плоскости
|
111
|
6.5. Полупространства
|
116
|
6.6. Уравнения прямой в пространстве
|
119
|
6.7. n-мерное точечное пространство Tn
|
123
|
6.8. Прямая и гиперплоскость в пространстве Tn
|
125
|
6.9. Полупространства пространства Tn
|
129
|
7. Собственные значения и собственные векторы
|
131
|
7.1. Собственные значения матрицы
|
131
|
7.2. Собственные векторы матрицы
|
132
|
7.3. Свойства собственных векторов матрицы
|
134
|
7.4. Базис пространства Rn из собственных векторов матрицы
|
136
|
7.5. Собственные векторы симметрической матрицы
|
137
|
8. Квадратичные формы
|
140
|
8.1. Суммирование
|
140
|
8.2. Понятие квадратичной формы
|
142
|
8.3. Канонический базис квадратичной формы
|
144
|
8.4. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
|
147
|
Список литературы
|
150
|
В. Основы математического анализа
|
151
|
1. Множества. Операции над множествами. Отношения
|
151
|
1.1. Множества и операции над множествами
|
151
|
1.2. Числовые множества. Грани множеств. Множества в Rn
|
157
|
1.3. Соответствие множеств. Счетные и несчетные множества
|
162
|
1.4. Отношения. Отношения тождества и упорядоченности
|
170
|
2. Функции одной переменной. Пределы числовых последовательностей
|
175
|
2.1. Функции и их задание
|
175
|
2.2. Числовые последовательности и пределы
|
179
|
2.3. Свойства сходящихся последовательностей
|
182
|
2.4. Пределы композиций последовательностей. Композиции с неопределенностью
|
183
|
2.5. Признаки существования предела. Первый и второй замечательные пределы
|
185
|
3. Виды функций. Предел функции. Непрерывность и разрывы функций
|
192
|
3.1. Определение монотонных функций, композиций и суперпозиций функций
|
192
|
3.2. Предел функции и его свойства. Непрерывные функции. Типы разрывов
|
193
|
3.3. Теоремы о непрерывных функциях
|
200
|
4. Производные и дифференциалы. Исследование функций
|
206
|
4.1. Сравнение бесконечно малых. Производная и ее смысл
|
206
|
4.2. Производные композиции, суперпозиции функций и обратной функции
|
212
|
4.3. Прикладной смысл производной. Эластичность функции
|
215
|
4.4. Дифференциалы функций
|
218
|
4.5. Производные и дифференциалы высших порядков
|
220
|
4.6. Теоремы о дифференцируемых функциях
|
222
|
4.7. Многочлен Тейлора и формула Тейлора
|
231
|
4.8. Понятия экстремума, перегиба и локальной выпуклости
|
233
|
4.9. Исследование функций с помощью производных
|
240
|
5. Функции n переменных. Непрерывность и дифференцируемость функции
|
246
|
5.1. Задание функции в области Rn. Пределы и непрерывность функций n переменных
|
246
|
5.2. Частные приращения и частные производные функции. Полный дифференциал
|
256
|
5.3. Частные производные и полные дифференциалы высшего порядка
|
266
|
5.4. Условия существования экстремума и выпуклости функции многих переменных
|
270
|
6. Неопределенный интеграл и его исчисление
|
276
|
6.1. Первообразная и ее связь с неопределенным интегралом. Свойства неопределенного интеграла
|
276
|
6.2. Методы вычисления неопределенного интеграла
|
278
|
6.3. Интегрирование рациональных (дробных), тригонометрических и иррациональных выражений
|
281
|
7. Определенный интеграл
|
287
|
7.1. Интегральные суммы и их пределы
|
287
|
7.2. Свойства определенного интеграла
|
289
|
7.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона–Лейбница
|
294
|
7.4. Приложение определенного интеграла
|
297
|
8. Несобственные интегралы
|
301
|
8.1. Интегрирование неограниченных функций
|
301
|
8.2. Интегрирование по бесконечному промежутку
|
302
|
8.3. Несобственные интегралы от положительных функций. Признаки сравнения
|
304
|
9. Кратные интегралы и их исчисление
|
307
|
9.1. Постановка задачи интегрирования функции многих переменных
|
307
|
9.2. Свойства n-кратного интеграла
|
309
|
9.3. Геометрический смысл и сведение двойного и n-кратного интеграла к повторному
|
313
|
10. Положительные и знакопеременные числовые ряды
|
320
|
10.1. Понятие ряда и его сходимости. Свойства сходящихся рядов
|
320
|
10.2. Признаки сходимости положительных рядов
|
323
|
10.3. Знакопеременные ряды
|
327
|
11. Функциональные ряды
|
331
|
11.1. Равномерная сходимость функционального ряда
|
331
|
11.2. Свойства равномерно сходящихся рядов
|
333
|
11.3. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда
|
337
|
11.4. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
|
339
|
11.5. Ряды Тейлора и Маклорена
|
340
|
11.6. Ряды Фурье
|
345
|
12. Дифференциальные уравнения
|
352
|
12.1. Основные понятия и определения
|
352
|
12.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
|
355
|
12.3. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
|
360
|
12.4. Решение дифференциального уравнения y(n) = f(x)
|
363
|
12.5. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
|
364
|
12.6. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
|
366
|
13. Основные задачи аппроксимации функций
|
371
|
13.1. Задача численного интерполирования. Многочлены Лагранжа и Ньютона
|
371
|
13.2. Численное интегрирование дифференциальных уравнений методом Эйлера
|
376
|
13.3. Вычисление определенных интегралов методом трапеций и парабол
|
379
|
13.4. Итерационные методы решения функциональных уравнений
|
383
|
13.5. Построение многочлена наилучшего приближения
|
390
|
14. Метрическое и нормированное пространства
|
395
|
14.1. Задание метрического пространства
|
395
|
14.2. Определение нормированного пространства. Связь нормированности и метричности
|
397
|
14.3. Пределы в метрическом пространстве. Фундаментальные последовательности
|
406
|
14.4. Сжимающее отображение. Теорема Банаха о неподвижной точке
|
414
|
14.5. Приложения теоремы Банаха
|
417
|
Список литературы
|
422
|
С. Теория вероятностей и математическая статистика
|
423
|
I. Теория вероятностей
|
423
|
1. Вероятность события
|
423
|
1.1. Случайные события
|
423
|
1.2. Алгебра событий
|
424
|
1.3. Классическое и статистическое определения вероятности события
|
424
|
2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
|
427
|
2.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
|
427
|
2.2. Условная вероятность
|
427
|
2.3. Теорема умножения вероятностей
|
428
|
2.4. Теорема сложения вероятностей совместных событий
|
429
|
3. Основные формулы для вероятностей событий
|
431
|
3.1. Формула полной вероятности
|
431
|
3.2. Формула Байеса
|
432
|
3.3. Формула Бернулли
|
433
|
3.4. Формула Пуассона
|
433
|
4. Дискретные случайные величины
|
436
|
4.1. Виды случайных величин
|
436
|
4.2. Распределение дискретной случайной величины
|
436
|
4.3. Математическое ожидание и его свойства
|
437
|
4.4. Дисперсия и ее свойства
|
440
|
4.5. Математическое ожидание и дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях
|
442
|
4.6. Начальные и центральные моменты
|
443
|
5. Непрерывные случайные величины
|
445
|
5.1. Функция и плотность распределения вероятностей. Квантиль
|
445
|
5.2. Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана. Моменты
|
446
|
5.3. Равномерное распределение
|
448
|
5.4. Эспоненциальное распределение
|
449
|
5.5. Нормальное распределение. Функция Лапласа
|
450
|
6. Системы случайных величин
|
455
|
6.1. Распределение двумерной случайной величины
|
455
|
6.2. Ковариация и коэффициент корреляции
|
457
|
6.3. Линейная регрессия
|
457
|
7. Предельные теоремы теории вероятностей
|
460
|
7.1. Закон больших чисел
|
460
|
7.2. Центральная предельная теорема
|
462
|
II. Математическая статистика
|
463
|
8. Выборка и ее распределение
|
463
|
8.1. Выборочная и генеральная совокупности. Типы выборок
|
463
|
8.2. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения
|
464
|
8.3. Полигон частот и гистограмма
|
466
|
9. Статистические оценки
|
468
|
9.1. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки
|
468
|
9.2. Выборочная средняя и выборочная дисперсия
|
469
|
9.3. Анализ смещенности выборочной средней и выборочной дисперсии
|
470
|
9.4. Начальный и центральный эмпирические моменты
|
472
|
9.5. Число степеней свободы
|
473
|
9.6. Точечная и интервальная оценки. Доверительный интервал
|
475
|
9.7. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
|
475
|
9.8. Метод наибольшего правдоподобия для точечной оценки параметров распределения
|
476
|
9.9. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения
|
478
|
9.10. Основные законы распределения статистических оценок
|
480
|
9.11. Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения нормального распределения
|
482
|
10. Проверка статистических гипотез
|
485
|
10.1. Статистическая гипотеза. Ошибки первого и второго рода
|
485
|
10.2. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы
|
486
|
10.3. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
|
487
|
10.4. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности. Критерий Пирсона
|
489
|
11. Регрессионный анализ
|
492
|
11.1. Выборочные уравнения регрессии
|
492
|
11.2. Отыскание параметров выборочного уравнения линейной регрессии по несгруппированным данным
|
493
|
11.3. Отыскание параметров выборочного уравнения линейной регрессии по сгруппированным данным
|
496
|
12. Дисперсионный анализ
|
503
|
12.1. Понятие о дисперсионном анализе
|
503
|
12.2. Факторная и остаточная дисперсии
|
503
|
Приложение 1
|
507
|
Приложение 2
|
510
|
Приложение 3
|
511
|
Приложение 4
|
512
|
Приложение 5
|
513
|
Приложение 6
|
514
|
Список литературы
|
515
|
D. Линейное программирование
|
516
|
1. Общая задача линейного программирования
|
516
|
1.1. Задачи математического и линейного программирования
|
516
|
1.2. Математические модели простейших экономических задач
|
518
|
1.3. Каноническая форма задачи линейного программирования
|
521
|
1.4. Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме
|
522
|
2. Графический метод решения задач линейного программирования
|
525
|
2.1. Задача с двумя переменными
|
525
|
2.2. Графический метод решения задач линейного программирования с n переменными
|
529
|
3. Свойства решений задач линейного программирования
|
532
|
3.1. Многоугольники и многогранники
|
532
|
3.2. Экстремум целевой функции
|
535
|
3.3. Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками
|
536
|
4. Симплексный метод решения задач линейного программирования
|
540
|
4.1. Нахождение начального опорного решения и переход к новому опорному решению
|
540
|
4.2. Преобразование целевой функции при переходе от одного опорного решения к другому
|
544
|
4.3. Улучшение опорного решения
|
546
|
4.4. Алгоритм симплексного метода
|
548
|
4.5. Метод искусственного базиса
|
551
|
4.6. Особенности алгоритма метода искусственного базиса
|
555
|
5. Теория двойственности
|
561
|
5.1. Виды математических моделей двойственных задач
|
561
|
5.2. Общие правила составления двойственных задач
|
563
|
5.3. Первая теорема двойственности
|
566
|
5.4. Вторая теорема двойственности
|
573
|
5.5. Двойственный симплексный метод
|
577
|
5.6. Алгоритм двойственного симплексного метода
|
583
|
5.7. Постоптимальный анализ
|
588
|
6. Транспортная задача линейного программирования
|
597
|
6.1. Формулировка транспортной задачи
|
597
|
6.2. Математическая модель транспортной задачи
|
598
|
6.3. Необходимое и достаточное условия разрешимости транспортной задачи
|
602
|
6.4. Свойство системы ограничений транспортной задачи
|
603
|
6.5. Опорное решение транспортной задачи
|
605
|
6.6. Методы построения начального опорного решения
|
607
|
6.7. Переход от одного опорного решения к другому
|
612
|
6.8. Распределительный метод
|
614
|
6.9. Метод потенциалов
|
617
|
6.10. Особенности решения транспортных задач с неправильным балансом
|
619
|
6.11. Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов
|
622
|
6.12. Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность
|
629
|
6.13. Транспортная задача по критерию времени
|
633
|
6.14. Применение транспортной задачи для решения экономических задач
|
636
|
7. Целочисленное программирование
|
638
|
7.1. Метод Гомори
|
638
|
7.2. Метод ветвей и границ
|
643
|
Список литературы
|
647
|