Программа вступительного испытания по математике для поступающих на направление подготовки 050100. 68 Педагогическое образование - umotnas.ru o_O
Программа вступительного испытания по математике для поступающих на направление подготовки 050100. 68 Педагогическое образование - umotnas.ru o_O
|
страница 1
|
|
|
Похожие работы
|
Программа вступительного испытания по математике для поступающих на направление подготовки - страница №1/1
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ульяновский государственный педагогический университет имени И.Н. Ульянова» (ФГБОУ ВПО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова») ПРОГРАММА вступительного испытания по МАТЕМАТИКЕ для поступающих на направление подготовки 050100.68 Педагогическое образование профиль: Математика Ульяновск, 2013 Основы теории обучения математике. Математика как наука и как учебный предмет. Научные методы познания в обучении математике. Применение в обучении математике методов индукции и дедукции. Специальные методы в обучении математике: построение и исследование математических моделей, построение алгоритмов и приемов обучения, аксиоматический метод. Математические понятия и методика их формирования. Методика изучения теорем и их доказательств в школьном курсе математики. Методика обучения решению математической задачи. Основные содержательные линии школьного курса математики и их взаимосвязи. Выражения и тождественные преобразования в школьном курсе математики. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Функциональная линия в школьном курсе математики. Стохастическая линия в школьном курсе математики. Основы теории алгебраических структур. Бинарные отношения; отношение эквивалентности, отношение порядка. Фактор-множество. Унарные и бинарные операции, понятие алгебраической структуры. Полугруппа, группа, кольцо, тело, поле, векторное пространство, алгебра. Изоморфизм и гомоморфизм алгебраических структур. Подгруппа, подкольцо, нормальный делитель группы, идеал кольца. Факторгруппа. Факторкольцо. Кольцо целых чисел, факториальные кольца. Делители нуля, область целостности. Поле частных. Многочлены от одной и нескольких переменных над кольцом, над полем; приводимость, расширения полей. Поле рациональных чисел. Поле действительных чисел. Поле комплексных чисел. Линейная зависимость векторов в векторных пространствах, базисы, размерность, подпространства, прямая сумма подпространств. Пространства со скалярным произведением: ортогональность векторов, угол между векторами, ортогональные базисы, ортогональное дополнение. Матрицы и их определители, миноры и алгебраические дополнения, ранг матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений: условия совместности, условия единственности решения. Линейные операторы в конечномерных пространствах и матрицы: ядро и образ, спектр, собственные подпространства. Геометрические объекты и методы их исследования. Векторные пространства и аффинные пространства. Евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Декартовы координаты, расстояние между точками в евклидовой геометрии. Линейные формы, уравнение прямой на плоскости, уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Квадратичные формы, линии второго порядка, поверхности второго порядка. Линии на плоскости, линии и поверхности в трехмерном пространстве: элементы дифференциальной геометрии. Геометрии и группы преобразований пространства. Проективное пространство, важнейшие теоремы проективной геометрии. Топологическое пространство, топологическая классификация многообразий. Геометрические идеи в исследовании многомерных и бесконечномерных пространств (нормированных, метрических, топологических). Понятие предела последовательности, критерий Коши сходимости последовательности, необходимое условие сходимости, достаточное условие сходимости. Теоремы о пределах последовательностей. Компактность отрезков числовой прямой (принцип Больцано-Вейерштрасса, теорема Больцано-Вейерштрасса, лемма Гейне-Бореля-Лебега о возможности извлечения конечного подпокрытия из любого открытого покрытия отрезка). Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, эквивалентные последовательности. Сходимость числовых рядов, необходимое условие сходимости, критерий Коши сходимости числового ряда, основные признаки сходимости рядов (признаки сравнения, в том числе интегральный признак; признаки Коши и Даламбера; теорема Лейбница). Абсолютная и условная сходимость числовых рядов, операции над числовыми рядами, сочетательное и переместительное свойства абсолютно сходящихся рядов, теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда. Предел и непрерывность числовой функции. Классификация точек разрыва. Первый и второй замечательные пределы и их следствия. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций, эквивалентные в окрестности данной точки функции. Теоремы о свойствах функций, непрерывных на отрезке (теорема Вейерштрасса, теорема Коши о промежуточном значении, теорема о непрерывности обратной функции). Равномерная непрерывность функции на промежутке, теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке. Основные элементарные функции действительной переменной, обоснование их свойств. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Дифференцируемость, производная, дифференциал функции одной действительной переменной. Дифференцируемость, частные производные, полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференцируемость и непрерывность. Дифференцируемость и существование частных производных; градиент и производные по направлениям. Геометрический смысл производной, производных по направлениям, дифференциала. Основные дифференциальные операции векторной теории поля. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Формула Тейлора для функций одной и нескольких переменных. Разложение функций одной переменной в степенной ряд, единственность разложения, достаточные условия сходимости ряда Тейлора к своей функции, равномерная сходимость степенного ряда на любом отрезке внутри интервала сходимости. Исследование функции одной переменной средствами дифференциального исчисления (критерий нестрогой монотонности, достаточные условия строгой монотонности, необходимое условие экстремума, достаточные условия экстремума в терминах первой производной, в терминах второй/высших производных, критерий выпуклости функции в терминах первой производной, в терминах второй производной, необходимое условие перегиба, достаточные условия перегиба в терминах второй производной, в терминах третьей/высших производных). Экстремумы функций нескольких переменных. Теоремы о существовании неявно заданной функции, системы неявных функций, о дифференцировании неявной функции (системы неявных функций). Теорема об обратной функции. Диффеоморфизмы областей, геометрический смысл абсолютной величины и знака якобиана преобразования. Интегральное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Первообразная и неопределенный интеграл. Интеграл Римана как предел интегральных сумм, как разделяющее число верхних и нижних сумм Дарбу. Ограниченность как необходимое условие интегрируемости функции по Риману. Непрерывность, монотонность как достаточные условия интегрируемости функции по Риману. Критерий Лебега существования интеграла Римана. Интеграл по ориентированному промежутку. Свойства определенного интеграла и интеграла по ориентированному промежутку. Интеграл с переменным верхним пределом (непрерывность, условия дифференцируемости); существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Несобственные интегралы, их абсолютная и условная сходимость. Интеграл Лебега от ограниченной функции по отрезку, от неограниченной функции, свойства интеграла Лебега, соотношение интегралов Римана и Лебега. Кратные интегралы как пределы интегральных сумм, как разделяющие числа верхних и нижних сумм Дарбу; свойства кратных интегралов; замена переменных в кратных интегралах. Криволинейные интегралы первого и второго рода как пределы интегральных сумм; свойства криволинейных интегралов. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от выбора плоской кривой, соединяющей данные точки; полные дифференциалы функции двух, трех переменных и их первообразные. Понятие о поверхностных интегралах первого и второго рода, формулы Остроградского-Гаусса и Стокса. Приложения интегрального исчисления. Функции комплексной переменной. Голоморфные (аналитические) функции комплексной переменной, условия Коши-Римана, разложение в степенные ряды. Основные функции комплексной переменной (дробно-линейная, степенная с целым показателем, радикал, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические и обратные гиперболические) и их свойства. Многозначные аналитические функции и их римановы поверхности. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции комплексной переменной. Особые точки и их классификация, вычеты, лорановские разложения функции в окрестности особых точек, вычисление вычетов, теорема о вычетах. Дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения как модели реальных процессов. Задача Коши, теорема существования и единственности решения Линейные дифференциальные уравнения и системы уравнений: глобальный характер теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: структура решений однородного и неоднородного уравнения. Устойчивость (асимптотическая, по Ляпунову) решений обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Фазовые портреты двумерных систем. Элементы теории вероятностей. Вероятностное пространство, условные вероятности. Случайные величины, их функции распределения, числовые характеристики случайных величин. Двумерные случайные величины, зависимость между случайными величинами. Структура билета на вступительном испытании
Литература:
|
|
|