Программа дисциплины дпп ф. 09 «числовые системы» Специальность 032100 (050201. 65) математика Квалификация учитель математики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ТГПУ)

«УТВЕРЖДАЮ»

Декан физико-математического факультета

_______________А.Н. Макаренко

«___» ______________ 2008 года

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

ДПП Ф.09 «ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ»
Специальность 032100 (050201.65) - математика

Квалификация – учитель математики

1. Цели и задачи дисциплины:
1.1. Цель курса – познакомить студентов с основными понятиями и спецификой теории числовых систем. Показать роль курса «Числовые системы» в педагогическом образовании учителя математики.

1.2. Задачи курса:

– научить применять понятия и методы теории групп, колец, полей, теории упорядоченных алгебраических систем при построении моделей числовых систем;

– познакомить студентов с понятиями аксиоматической теории и её свойствами;

– изучить различные модели систем N, Z, Q, R, C;

– дать общее представление о теории кватернионов и конечномерных алгебр над R.

1.3. Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения данного курса.

Данный курс базируется на знаниях и методах, изучаемых в средней школе; курсах ВКМ, алгебры, математического анализа.

2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины:
В результате изучения курса студент должен приобрести следующие навыки:
– свободно оперировать такими понятиями, как модель аксиоматической теории, положительный конус кольца, принцип расширения;
– использовать свойства числовых множеств при решении задач различных дисциплин.
3. Объём дисциплины и виды учебной работы:

Вид учебной работы	Всего часов	Семестр 6
Общая трудоёмкость дисциплины	117	117
Аудиторные занятия	54	54
Лекции	36	36
Практические занятия (ПЗ)	18	18
Семинары (С)	–	–
Лабораторные работы (ЛР)	–	–
И (или) др. виды аудиторных занятий	–	–
Самостоятельная работа	63	63
Курсовая работа	–	–
Расчётно-графические работы	–	–
Реферат	–	–
Вид итогового контроля (зачёт, экзамен)		экзамен

4. Содержание дисциплины:

4.1 Разделы дисциплины и виды занятий (Тематический план)

№	Тема	Лекции	Практические занятия или семинары	Самостоятельная работа
1.	Основные классы алгебраических систем.	4	–	4
2.	Упорядоченные алгебраические системы.	4	4	10
3.	Аксиоматическая теория натурального числа.	4	4	8
4.	Аксиоматическая теория Z.	3	2	4
5.	Аксиоматическая теория Q.	3	4	8
6.	Различные системы модели R.	12	2	16
7.	Аксиоматическая теория C.	2	2	3
8.	Алгебры с делением над R.	4	–	10

4.2. Содержание разделов дисциплины:

Тема 1. Основные классы алгебраических систем.

Алгебраические системы с одной и двумя бинарными операциями. Гомоморфизм и изоморфизм. Теорема о конгруэнции. Принцип расширения.

Тема 2. Упорядоченные алгебраические системы.

Упорядоченные кольца и поля, их свойства. Положительный конус кольца. Теоремы о существовании и единственности порядка в кольцах. Продолжение порядка.

Тема 3. Аксиоматическая теория натурального числа.

Формулировка аксиоматической теории натурального числа. Построение полукольца на множестве N. Введение порядка на N и его свойства. Независимость аксиоматики Пеано. Метод математической индукции. Свойства аксиоматики Пеано.

Тема 4. Аксиоматическая теория целого числа.

Формулировка аксиоматической теории целого числа. Свойства кольца целых чисел. Упорядочивание кольца Z. Свойства аксиоматической теории Z.

Тема 5. Аксиоматическая теория рационального числа.

Формулировка аксиоматической теории рационального числа. Свойства поля Q. Представление рациональных чисел десятичными дробями. Упорядочивание поля Q. Свойства аксиоматической теории Q.

Тема 6. Различные системы модели R.

Различные подходы к определению системы действительного числа. Построение моделей R по Дедекинду, Кантору и Вейерштрассу. Формулировка аксиоматической теории R. Теоремы о существовании супремума, извлечении корней. Свойства аксиоматической теории R.

Тема 7. Аксиоматическая теория комплексного числа.

Формулировка аксиоматической теории комплексного числа. Свойства поля C. О порядках на C. Модель C.

Тема 8. Алгебры с делением над R.

Определение и примеры конечномерных алгебр на R. Теорема Фробениуса. Тело кватернионов.

5. Лабораторный практикум.
Не предусмотрен.

6. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература.

Основная литература:

Ларин, С.В. Числовые системы / С.В. Ларин. – М.: Академия, 2001. – 157с.
Куликов, Л.Я. Алгебра и теория чисел / Л.Я. Куликов. – М.: Высш. школа, 1979. – 558с.

Дополнительная литература:

Матрос, Д.Ш. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры / Д.Ш. Матрос. – М.: Академия, 2004. –237с.
Нечаев, В.И. Числовые системы / В.И. Нечаев. – М.: Просвещение, 1975. – 199с.

6.2. Средства обеспечения освоения дисциплины

Методические указания, разработки, пособия, рабочие программы по курсу «Числовые системы».

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины.

Не предусмотрено.

8. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
8.1. Методические рекомендации преподавателю.

Настоящая программа по дисциплине «Числовые системы» составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 032100 (050201.65) «Математика» и учебного плана, утверждённого Учёным Советом ТГПУ.

Программа по курсу «Числовые системы» рассчитана на 117 часов, из которых 54 часа (46%) отводятся для аудиторных занятий со студентами.

Изложение курса строится в виде последовательности изучения числовых систем, где каждая последующая является расширением предыдущей. Это построение в основном воспроизводит логическое развитие числовых систем. Изучение материала рассчитано на один семестр, в конце которого проводится итоговый контроль в форме экзамена.

8.2. Методические указания для студентов.

Студентам предлагается использовать рекомендованную литературу для более прочного усвоения учебного материала, изложенного в лекциях, а также для изучения материала, запланированного для самостоятельной работы. Студентам необходимо выполнить индивидуальные задания по основным темам курса, оценки за которые учитываются при выставлении оценок на экзамене. Выполнение заданий, вынесенных на самостоятельную работу, проверяются преподавателем в течение семестра, по ним выставляются оценки, которые учитываются при выставлении оценок на экзаменах.

Примерный перечень вопросов для самостоятельной работы.

Теорема о свойствах сюръективного гомоморфизма алгебраических систем с двумя бинарными алгебраическими операциями.
Определить умножение на N и изучить его свойства.
Количественная теория N.
Система аксиом ZFC. Аксиома выбора.
Указать в модели Z числа 10, –10, 0. Убедиться, что 10 + (–10) = 0.
Пусть a/b – правильная несократимая дробь, где b = 2ⁱ∙5^j∙c. Исследовать вопрос о длине периода.
Построить на множестве модель теории C.
Используя свойства тела кватернионов, доказать, что:

является суммой 4-х квадратов действительных чисел; a_i, b_i, c_i, d_i R.

9. Показать, что C, +, ∙ , R> – алгебра с делением над полем R, ранг которой равен 2.
Примерный перечень вопросов к экзамену.

Теорема о свойствах сюръективного гомоморфизма.
Теорема о конгруэнции.
Критерий упорядочивания колец, полей.
Свойства положительных конусов кольца.
Критерий продолжения порядка.
Аксиоматика Пеано. Обоснование метода математической индукции.
Построение полукольца на множестве N.
Введение и свойства порядка на N.
Теоретико-множественная модель N.
Свойства аксиоматики Пеано.
Определение системы Z. Доказать, что Z, ∙ , +> – область целостности.
Упорядочивание кольца целых чисел.
Модель теории Z.
Аксиоматическая теория Q. Свойства рациональных чисел.
Упорядочивание поля Q.
Непротиворечивость теории Q.
Существование в Q сечений, не производимых рациональными числами. Определение R_Д.
Существование в Q последовательности вложенных отрезков с пустым пресечением. Определение R_В.
Теорема о существование sup E, где E   и ограничено сверху (в R_Д).
Доказать R_Д R_В.
Доказать R_В R_К.
Построение поля на множестве всех сечений в Q.
Доказать, что поле P₁ (множество всех сечений в Q) можно линейно и строго упорядочить.
Теорема об извлечении корня в R_Д.
Теорема Дедекинда.
Свойства фундаментальных последовательностей произвольного линейно строго упорядоченного поля.
Построение области целостности на множестве  всех фундаментальных сечений поля Q.
Построение модели Кантора системы действительных чисел.
Модель Вейерштрасса теории R (обзор).
Различные классификации действительных чисел (рациональные, иррациональные; алгебраические, трансцендентные). Мощности соответствующих подмножеств.
Аксиоматическая теория C (обзор).
Построение тела кватернионов.

Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности: 032100 (050201.65) - математика, квалификация - учитель математики

Программу составила:

Доцент кафедры математики,

теории и методики обучения математике,

кандидат физ.-мат. наук ________________ А.И. Забарина

Программа дисциплины утверждена на заседании кафедры математики, теории и методики обучения математике, протокол № ____ от «____» _________ 200_ г.

Зав. кафедрой, профессор ___________________ Э.Г. Гельфман

Программа дисциплины одобрена метод. комиссией ФМФ ТГПУ.
Председатель методической комиссии

физико-математического факультета ______________ В.И. Шишковский

Согласовано:

Декан физико-математического факультета __________________ А.Н. Макаренко