Литература §1 Дифференциальная геометрия кривых

Упражнения

Пример 5.2. Вычислить площадь сферического изображения части гиперболического параболоида 2z = лежащей внутри эллиптического цилиндра .

Решение: Площадь сферического изображения вычисляется по формуле (5.5)

 ( (D)) =

Здесь D  часть поверхности параболического параболоида, лежащая внутри эллиптического цилиндра,   внутренность эллипса , K  гауссова кривизна поверхности.

В примере 4.8 для поверхности, заданной явно z = f(x, y), вычислены элемент площади и гауссова кривизна

d = dxdy, K =

Подставив значения производных, получим

 ( (D)) =

Выполним замену переменных

x = p r cos, y = q r sin, |J |dxdy = pq r drd,

 ( (D)) =

Ответ.
Пример 5.3. Вычислить третью квадратичную форму поверхности вращения.

Решение: При параметризации осевого сечения поверхности вращения

r = f(), z = g()

коэффициенты первой и второй квадратичных форм вычислены в примере 4.4

E = f ² + g ², F = 0, G = f ²,

L = M = 0, N =

Вычислим среднюю и гауссову кривизны поверхности

2H = K =

и найдем коэффициенты третьей квадратичной формы

P = 2HL  KE = Q = 2HM  KF = 0,

R = 2HN  KG =

Составим третью квадратичную форму

Ш(,) =

где координата   долгота поверхности вращения.

Пример 5.4. Доказать, что сферические изображения параллелей и меридианов поверхности вращения ортогональны.

Решение: При сферическом отображении координатные линии отображаются в координатные. Угол между сферическими изображениями координатных линий поверхности определяется коэффициентами третьей квадратичной формы

cos =

В примере 5.3 вычислены коэффициенты третьей квадратичной формы поверхности вращения, у которой параллели и меридианы образуют координатную сетку. Так как Q = 0, сферические изображения параллелей и меридианов ортогональны.

Пример 5.5. Найти угол пересечения сферических изображений линий

 +  =  /6 и    =  /2

на поверхности тора

r = 5 + 3cos, z = 3sin.

Решение: Координаты точки пересечения  =  /3,  =   /6. Дважды дифференцируем уравнения поверхности

f = 5 + 3cos, f =  3sin, f =  3cos,

g = 3sin, g = 3cos, g =  3sin

и вычислим коэффициенты третьей квадратичной формы (пример 5.3)

P = = 1, Q = 0, R =

В точке пересечения P = 1, Q = 0, R = 1/4. Дифференцируем уравнение линий и находим координаты касательных векторов

 +  = 0, (₁, ₁) = (1,  1) и    = 0, (₂, ₂) = (1, 1).

Косинус угла пересечения сферических изображений вычисляем по формуле

cos =

Подставив значения, найдем cos = 3/5.

Ответ: arccos(3/5).
Пример 5.6. Найти минимальную поверхность вращения.

Решение: Пусть минимальная поверхность вращения задана уравнением r = f(z). Полагая  = z, параметризируем осевое сечение. r = f(), z = g() =  и воспоьзуемся формулой средняя кривизна, полученной в примере 4.9,

2H =

Функция f удовлетворяет уравнение  f f + 1 + f ² = 0, которое можно переписать в виде

или

Следовательно,  ln(1 + f ²) + ln(f ²) = C. Разрешим относительно производной

a ² = e ^C, или .

Интегрируя, получим . Разрешим относительно f

f(z) =

Пренебрегаем постоянной интегрирования z₀, означающей параллельное смещение относительно оси вращения

r = a ch(z/a).

Минимальная поверхность получается вращением цепной линии вокруг оси абсцисс и называется катеноидом.

Ответ: r = a ch(z/a).
Пример 5.7. Найти минимальную линейчатую поверхность.

Решение: Пусть кривая r = r(t) лежит на поверхности и пересекает все прямолинейные образующие. Обозначим через (t) единичный вектор образующей, проходящей через точку r(t). Любая точка линейчатой поверхности лежит на прямой, проходящей через некоторую точку кривой r = r(t) в направлении вектора (t). Векторное уравнение поверхности имеет вид (пример 3.6)

r = r(t) + u(t), |(t)| = 1.

Продифференцируем уравнение дважды

r_u = (t), r_t = r(t) + u(t),

r_uu = o, r_ut = (t), r_tt = r (t) + u (t)

и вычислим коэффициенты первой (3.18) и второй (4.5) квадратичных форм. Согласно лемме 1.2 ((t), (t)) = 0.

E = 1, F = (, r), G = (r, r ) + 2u(r,  ) + u ²(,  ),

L = 0, M = (, r,  )/,

N = ((, r, r ) + u(, r,  ) + u(,  , r ) + u ²(,  ,  ))/.

Средняя кривизна поверхности согласно (4.7)

2H =

откуда для минимальной поверхности получим уравнение

(, r, r )  2(, r)(, r,  ) + u((, r,  ) + (, , r )) + u ²(,,  ) = 0.

Левая часть уравнения представляет квадратный трехчлен по переменной u. Равенство многочлена нулю означает

(, ,  ) = 0,

(, r,  ) + (, , r ) = 0,

(, r, r )  2(, r)(, r,  ) = 0.

Вектор  ортогонален  по лемме 1.2. Из первого равенства следует, что  ортогонален вектору [ ,  ]. Значит,  коллинеарен нормали сферической кривой r = (t). Итак, в каждой точке единичной сферы кривая r = (t) имеет главное направление. Линии кривизны сферы как поверхности вращения согласно 4.9  плоские кривые. Следовательно, годограф  является единичной окружностью.

Пусть t - естественный параметр кривой r = (t) (длина дуги единичной окружности). Векторы ,  и [ ,  ] образуют ортонормированный базис, рис. 15. Направим ось z параллельно постоянному вектору [ ,  ] = e₃. Тогда

 = (cost, sint, 0),

 = (  sint, cost, 0),

 = (  cost,  sint, 0) = ,

[,  ] = (0, 0, 1).

Разложим r(t) по базису

r(t) = x + y + ze₃,

x = (, r), y = (, r), z = (e₃, r),

и вычислим производные

r = (x  y) + (y +x) + ze₃,

r = (x  2y  x) + (y + 2x  y) + ze₃

Подставим значения производных в равенства

(, r,  ) + (,  , r ) = z = 0,

(,r,r )  2(,r )(,r, ) =  z (y + y) = 0.

После интегрирования получим

y(t) = (, r) =  C₁ sint + C₂ cost, z(t) = ht + C₃,

где h, C₁ , C₂ , C₃  произвольные постоянные. Это означает, что существует постоянный вектор r₀ = (C₁ , C₂, C₃) такой, что (, r  r₀) = 0. В системе координат с началом в точке O₁(r₀) будем иметь y(t) = 0, r(t) = x(t) + hte₃. Векторное уравнение минимальной поверхности получит вид r = (u + x)(t) + hte₃. При произвольньных значениях (u + x) вектор r определяет точку линейчатой поверхности. Обозначим произвольный множитель одним символом u. Минимальная поверхность вращения получит уравнение r = u(t) + hte₃, или в координатной записи

x = ucost, y = usint, z = ht.

Она образована прямой, вращающейся вокруг перпендикулярной оси и движущейся вдоль нее поступательно. Эта поверхность называется геликоид.

Ответ: x = ucost, y = usint, z = ht.
Пример 5.8. Пусть поверхность D задана уравнением r = r(u,v). На нормалях к поверхности в одном направлении отложим отрезки постоянной длины . Концы отрезков описывают поверхность D₁, «параллельную» D. Выразить коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности D₁ через аналогичные коэффициенты поверхности D. Найти среднюю и гауссову кривизны D₁.

Решение: Параметризация поверхности D₁ имеет вид

r₁ = r(u,v) +  m(u,v).

Дифференцируем уравнение

r_1u = r_u(u,v) +  m_u(u,v), r_1v = r_v(u,v) +  m_v(u,v).

Используя выражения (3.15), (4.5) и (5.5), найдем

E₁ = (r_1u, r_1u) = (r_u, r_u) + 2(r_u, m_u) +  ²(m_u, m_u) = E  2L +  ²P,

F₁ = F  2M +  ² Q, G₁ = G  2N +  ²R.

Согласно предложению 5.1 при постоянной деформации поверхности имеем m₁ = m.

По формулам (4.5) находим

L₁ =  (r_1u, m_1u) =  (r_u +  m_u, m_u) = L  P,

M₁ = L  Q, N₁ = N  R.

Средняя и гауссова кривизны являются коэффициентами характеристического уравнения

det(B₁ – kG₁) =detG₁(k ² – 2H₁k + K₁).

Матрицы G₁ и B₁ выражаются через G и B

G₁ = G – 2B + ²(2HB – KG), B₁ = B –  (2HB - KG).

Существует невырожденное линейное преобразование C, приводящее первую квадратичную форму к нормальному виду, а вторую – к каноническому виду

G = C^TEC, B = C^TBC, SpB = {k₁, k₂}.

То же преобразование приводитя к диагональному виду G₁ и B₁. Собственные значения матриц 2HB – KG, G₁ и B₁ равны соответственно

2Hk_j – K = k_j², 1 - 2k_j +  ² k_j², k_j - k_j², j = 1,2.

Развернем характеристический многочлен через собственные значения

det(B₁ – kG₁) = det(C^T(B₁ – kG₁)C) =

=detG(k₁ - k₁² – k(1 - 2k₁ +  ² k₁²))(k₂ - k₂² – k(1 - 2k₂ +  ² k₂²))

и приравняем коэффициенты при степенях k в двух представлениях определителя. Согласно 5.1 имеем

detG₁ = (1 – 2H +  ²K) ²detG.

Приравняем коэффициенты при k ² и сократим на общий множитель detG

(1 – 2k₁ +  ² k₁²)(1 – 2k₂ +  ² k₂²) = (1 – 2H +  ²K) ².

Это равенство справедливо при любом значении . Продифференцируем его по 

–2{(k₁ – k₁²)(1 – 2k₂ +  ² k₂²) + (k₂ – k₂²)(1 – 2k₁ +  ² k₁²)} = –4(H – K)(1 – 2H +  ²K).

Левая часть этого равенства с точностью до множителя detG представляет удвоенный коэффициент при первой степени k в выражении характеристического многочлена. Значит,

H₁ = (H – K)_/(1 – 2H +  ²K).

Приравняв свободные члены, получим

k₁k₂(1 – k₁)(1 – k₂) = (1  2H +  ²K) ²K₁.

Заменив k₁ + k₂ = 2H, k₁k₂ = K, найдем

K₁ = K_/(1 – 2H +  ²K).

Ответ:

E₁ = E  2L +  ²P, F₁ = F  2M +  ²Q, G₁ = G  2N +  ²R,

L₁ = L  P, M₁ = L  Q, N₁ = N  R,

H₁ = (H - K)_/(1 – 2H +  ²K), K₁ = K_/(1 – 2H +  ²K).
§ 6 Внутренняя геометрия поверхностей
Основные уравнения теории поверхностей. Теорема Боннэ. Для удобства записи формул введем новые обозначения. Криволинейные координаты u, v будем обозначать u¹, u², базисные векторы r_u, r_v  e₁, e₂. Коэффициенты первой квадратичной формы E, F, G обозначаем соответственно g ₁₁ , g ₁₂ = g ₂₁ , g ₂₂ , g = g ₁₁g ₂₂ - коэффициенты второй квадратичной формы  b ₁₁ , b ₁₂ = b ₂₁ , b ₂₂ . В новых обозначениях для коэффициентов первой и второй квадратичных форм имеем

g _ij = (e_i,e_j), b_ij = , m = [e₁,e₂] /, i, j =1,2.

В базисе e₁, e₂ коэффициенты g_ij определяют ковариантный метрический тензор. Коэффициенты g^ij контрвариантного метрического тензора определяются формулами

g¹¹ = g₂₂ /g, g²¹ = g¹² = -g₁₂ /g, g²² = g₁₁ /g.

Будем использовать тензорную символику, подразумевающую суммирование по общим верхнему и нижнему индексам.

Представим производные вектор-функций e₁, e₂, m по переменным u¹, u² разложением по базису

(6.1)

где  коэффициенты, подлежащие определению, по индексу k подразумевается суммирование. Умножим равенства скалярно на m

С учетом ортогональности вектора m векторам e₁, e₂ и в силу леммы 1.2 получим _ij = b_ij, _j = 0. Умножая равенства (6.1) скалярно на базисные векторы e_l, l = 1,2, получим

Применяя несколько раз подведение множителя под знак производной, вычислим коэффициент .

откуда следует, что

(6.2)

Поднимая индекс l, найдем

(6.3)

Выражения (6.3) называются символами Кристоффеля. В каждой точке символы Кристоффеля образуют тензор типа (1,2), симметричный по нижним индексам. Если координатная сетка ортогональна, сумма (6.3) по индексу l содержит одно ненулевое слагаемое при l = k

Символы Кристоффеля для ортогональных координат имеют значения

(6.4)

Второе соотношение преобразуем подведением множителя под знак производной

Поднимая индекс l, найдем

т. е. равен коэффициенту b_kj второй квадратичной формы с поднятым индексом k.

Итак, после определения коэффициентов формулы (6.1) получают вид

(6.5)

Выражения (6.5) носят название деривационных формул.

Решим вопрос о существовании зависимостей между коэффициентами формул (6.5). Вычислим производную первого выражения по u ¹, а второго по u ² и приравняем правые части

=

Здесь по индексам k, l подразумевается суммирование. Приведем подобные члены, поменяв местами индексы суммирования k и l

= 0.

Система векторов e₁, e₂, m линейно независима, поэтому линейная комбинация тривиальна. Приравнивая нулю коэффициенты, получим две группы соотношений ( у коэффициентов при e_k опущен индекс k)

(6.6)

(6.7)

Других зависимостей между коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхности нет.

Среди соотношений (6.6) не тождественны те, у которых индексы i и m не совпадают, причем перестановка значений i и m меняет только знак. Существенным остается одно соотношение . Преобразуем его к виду

Используя формулу (6.2), получим

Соотношения (6.6) приводятся к одной формуле

(6.8) ,

которая называется формулой Гаусса. Два других соотношения (6.7) называются формулами Петерсона  Кодацци.

6.1. Теорема (Боннэ). Любые шесть функций g₁₁ , g₁₂, g₂₂ , b₁₁ , b₁₂, b₂₂, g₁₁ > 0, определенные в области U  R², и удовлетворяющие формуле Гаусса и условиям Петерсона  Кодацци, однозначно с точностью до положения в пространстве определяют гладкую поверхность, для которой они являются коэффициентами первой и второй квадратичных форм.

Изометрия поверхностей. Выражения (3.17) и (3.21) показывают, что длины кривых на поверхности и угол между ними можно вычислить, если известны коэффициенты первой квадратичной формой и внутренние уравнения кривых. Точный вид параметризации поверхности может быть неизвестен.

6.2. Определение. Две поверхности называются изометричными, если существует взаимно однозначное соответствие между их точками, при котором соответствующие кривые имеют равные длины. Такое соответствие называется изометрией.

6.3. Определение. Изгибанием поверхности называется непрерывное изменение поверхности, сохраняющее длины кривых на ней. Две поверхности называются наложимыми, если одну из них можно перевести в другую посредством изгибания.

Наложимые поверхности изометричны. Часто оказывается, что при наложении одна поверхность переводится в часть другой. Такие поверхности называются локально изометричными. Для изометрии (локальной изометрии) достаточно, чтобы в соответствующих точках поверхностей при надлежащем выборе координат совпадали их первые квадратичные формы. Первую квадратичную форму поверхности запишем в дифференциальной форме

ds ² = Edu ² + 2Fdudv + Gdv ².

Данное дифференциальное соотношение задает правило измерения расстояний на поверхности, не связанное с какой-либо кривой, и называется метрикой поверхности.

К внутренней геометрии относятся те величины и свойства поверхностей, которые могут быть вычислены или охарактеризованы с помощью первой квадратичной формы. К ним относятся длины кривых, углы между кривыми, площади фигур на поверхности.

Теорема (Гаусс). Гауссова кривизна поверхности не меняется при изгибании.

Доказательство. Для гауссовой кривизны согласно (4.7) имеем

K =

Из формулы (6.8) следует, что гауссова кривизна выражается только через коэффициенты метрики и их производные

(6.9) K = 

Итак, гауссова кривизна и величины, определяемые гауссовой кривизной, относятся к внутренней геометрии поверхности. Например, точку эллиптического типа нельзя изгибанием перевести в точку гиперболического или параболического типа. При изгибании поверхности тип точки не изменяется.

Изгибание поверхности меняет сферическое изображение. Однако, площадь сферического изображения относится к внутренней геометрии поверхности, т. е. при изгибании не изменяется.

После подстановки коэффициентов Кристоффеля формула (6.9) принимает вид

(6.10)

Геодезическая кривизна и геодезические кривые. Пусть кривая на гладкой поверхности r = r(u¹, u²) задана внутренними уравнениями

u¹ = u¹(s), u² = u²(s),

где s  естественный параметр кривой. Естественная параметризация имеет вид r(s) = r(u¹(s), u²(s)). Вектор кривизны разлагается на составляющие по нормали к поверхности k_nm и по касательной плоскости k_g, рис. 16.

= k_nm + k_g.

6.4. Определение. Геодезической кривизной кривой k_g называется модуль проекции вектора кривизны на касательную плоскость к поверхности k_g = |k_g |.

Из определения следует, что между геодезической и нормальной кривизнами имеет место соотношение

Пример 6.1. Найти геодезическую кривизну окружности радиуса r на сфере радиуса R.

Решение: Для окружности на сфере имеем k = 1/r, |k_n| = 1/R. Следовательно,

Вычислим вектор кривизны, используя деривационные формулы

Последнее слагаемое в правой части формулы представляет проекцию вектора кривизны на нормаль к поверхности k_nm. Следовательно,

(6.11)

Вектор k_g принадлежит одновременно нормальной плоскости кривой и касательной плоскости поверхности. Следовательно, он коллинеарен вектору где t  единичный вектор касательной к кривой. Умножая равенство скалярно на [m,t], после преобразований

(m,e₂,e₁) = (m,[e₂,e₁]) =  (m,[e₁,e₂]) =

получим

(6.12)

Если кривая задана уравнениями u = ₁(t), v = ₂(t), то

Выполним замену

(6.13)

При явном задании кривой уравнением v = f(u), получим

(6.14)

6.5. Определение. Геодезической называется кривая, у которой геодезическая кривизна в каждой точке равна нулю.

Из (6.11) получаем уравнения геодезической

(6.15)

В курсе дифференциальных уравнений доказывается, что при задании начальных данных система (6.15) имеет единственное решение. Это означает, что через каждую точку поверхности в заданном направлении проходит только одна геодезическая.

При явном задании геодезической v = f(u) функция f удовлетворяет дифференциальному уравнению

(6.16)

Решение уравнения (6.16) можно получить в виде квадратуры для поверхностей, у которых коэффициенты метрики E и G являются функциями одного переменного u, а F = 0. Подставим в уравнение (6.16) значения символов Кристоффеля (6.4)

Уравнение всегда имеет решение f = 0. Для ненулевых решений умножим уравнение на GE ^¹^/²

и преобразуем к виду

Теперь левую часть можно представить как производную одной функции

первообразная которой является положительной константой

Разрешая это уравнение относительно f, получим

(6.17)

Поскольку правая часть зависит только от u, отыскание f сводится к нахождению первообразной. Множество всех геодезических, проходящих через точку (u₀ , v₀), представляет однопараметрическое (параметр c) семейство кривых

(6.18) v = и v = v₀.

Механический смысл геодезической. Геодезическая является траекторией движения по поверхности материальной точки, на которую не действуют внешние силы.

Действительно, согласно закону Ньютона произведение массы материальной точки на ускорение равно равнодействующей всех сил

где F  внешняя сила, Rm  сила воздействия поверхности на материальную точку, направленная по нормали к поверхности, Tt  сила трения и сила сопротивления среды, направленные противоположно движению, m  масса материальной точки, r  ее ускорение. Умножим это равенство скалярно на mt

m( r, m , t ) = (F,m ,t)

и перейдем к естественной параметризации траектории

Если внешние силы отсутствуют, траектория движения материальной точки по поверхности удовлетворяет уравнению т. е. является геодезической кривой.

Полугеодезическая параметризация поверхности.

6.6. Определение. Параметризация гладкой поверхности называется полугеодезической, если все координатные линии одного семейства являются геодезическими и в каждой точке поверхности координатные линии ортогональны.

Способ построения полугеодезической параметризации следует из ее определения. Пусть гладкая поверхность задана уравнением r = r(u,v), а L  произвольная линия на поверхности с внутренним уравнением

u = ₁ (t), u ² =  ₂ (t), t[a,b].

Параметризация кривой L определяется вектор- функцией r₁ (t) = r( ₁(t),  ₂(t)).

Через каждую точку P кривой L проходит геодезическая C₍_t₎, ортогональная L. Будем считать ее ориентированной таким образом, что касательные векторы кривых C₍_t₎, L и вектор нормали к поверхности образуют правую тройку. Введем на кривой C₍_t₎ естественную параметризацию r₍_t₎(s), в которой длина дуги кривой C₍_t₎ отсчитывается от кривой L, так что r₍_t₎(0) = r₁ (t). Тогда в некоторой окрестности отрезка [a,b], будет определена вектор- функция r (s,t) = r₍_t₎(s). Сама кривая L задается уравнением s = 0, а геодезическая C₍_to₎  уравнением t = t_o . В курсе дифференциальных уравнений доказывается, что вектор- функция r (s,t), задающая регулярную параметризацию некоторой окрестности кривой L, гладкая.

Чтобы убедиться, что r (s,t)  полугеодезическая параметризация, осталось проверить ортогональность координатных линий в каждой точке, т. е. равенство F = 0. Так как кривая C₍_to₎  геодезическая, вектор r₍_to₎(s) направлен по нормали к поверхности. Очевидно, что r_ss(s,t_o) = r₍_to₎(s). Поэтому (r_ss(s,t_o), r_t(s,t_o)) = 0. Но

F_s = = (r_ss, r_t)  0.5E_t.

В силу естественности параметризации r₍_t₎(s)

E = (r_s , r_s) = (r₍_t₎(s), r₍_t₎(s)) = 1,

поэтому F_s = 0. Но при s = 0 F(0,t) = 0 по построению линий C₍_t₎. Следовательно, F(s,t) = 0 и построенная параметризация является полугеодезической.

6.7. Предложение. Всякая параметризация, удовлетворяющая условию E = 1, F = 0, является полугеодезической.

6.8. Теорема. Кратчайшим расстоянием на поверхности между близкими точками A и B является дуга геодезической, соединяющая эти точки.

Доказательство. Пусть C  геодезическая, проходящая через точки A и B, а кривая L ортогональна С в точке A. Построим в окрестности  кривой L полугеодезическую параметризацию поверхности с системой внутренних координат s, t, в которой кривая L задается уравнением s = 0, а C  t = t₀. Точка A будет иметь координаты (0, t₀). Пусть точка B лежит в окрестности  и имеет координаты (s₀ ,t₀). Пусть C  любая другая гладкая кривая с концами в точках A и B, целиком лежащая в окрестности , с внутренними уравнениями u = ₁(), v = ₂(), [,], причем ₁() = 0, ₂() = t₀, а ₁() = s₀, ₂() = t₀. Обозначим через S(C) и S (C )  длины кривых C и C. Тогда

S (C ) =

= |₁() - ₁()| = |s₀| = S(C),

причем S (C ) = S(C) только тогда, когда ₂() = 0, ₁() >0, т. е. C = C.

Геодезические на поверхности являются аналогом прямых на плоскости. Так как свойство кривой быть кратчайшей сохраняется при изгибании поверхностей, из теоремы 6.8 вытекает, что геодезические являются элементом внутренней геометрии поверхностей.

<< предыдущая страница следующая страница >>