Литература §1 Дифференциальная геометрия кривых

Упражнения

При параметризации кривой, заданной геометрическим свойством, следует придерживаться следующего порядка действий: a) сделать схематический чертеж; b) выбрать систему координат, исходя из удобства описания кривой; c) вычленить геометрические условия, определяющие кривую; d) выбрать параметры и выразить геометрические условия в виде соотношений между параметрами и координатами x, y, z произвольной точки кривой.

Пример 1.3. Концы отрезка AB длиной l скользят по сторонам прямого угла. Параметризировать кривую, описываемую точкой M, делящей отрезок AB в отношении AM:MB = 1:3.

Решение: Сделаем чертеж, рис. 7. Оси координат направим по сторонам прямого угла так, чтобы точка A лежала на положительной полуоси x, а B на положительной полуоси y. Необходимо выбрать параметры таким образом, чтобы совместно с координатами x, y точки M записать геометрические условия: 1) длина отрезка AB равна l; 2) точка M делит отрезок AB в отношении 1:3.

Примем за параметры координаты точек A(a,0) и B(0,b), a  0, b  0. Тогда геометрические условия описываются соотношениями:

1) a ² + b ² = l ²,

2) x = 3a/4, y = b/4, a  0, b  0.

Исключая параметры, получим уравнение

(4x/3) ² + (4y) ² = l ², x  0, y  0.

Кривая представляет дугу эллипса. Параметризируем его с помощью тригонометрических функций x = (3l/4)cost, y = (l/4)sint. При изменении t от 0 до _/2 выполняются условия x  0, y  0.

Ответ. x = (3l/4)cost, y = (l/4)sint, t  [0, _/2].

Пример 1.4. Окружность радиуса  катится без скольжения по неподвижной окружности радиуса R. Параметризировать кривую, описываемую фиксированной точкой катящейся окружности.

Решение: Катящаяся окружность может находиться вне или внутри неподвижной. Рассмотрим оба случая. Сделаем чертеж, рис. 8. Окружности касаются в точке M, лежащей на линии центров OO_i. Момент, когда фиксированная точка M_i катящейся окружности ( i = 1 вне, i = 2 внутри неподвижной) находилась в точке M₀ неподвижной окружности, примем за начальный. Обозначим радиус-векторы точек O_i через R_i, векторы, проведенные из точек O_i в M_i  _i. Тогда векторное уравнение кривой имеет вид

r = R_i +_i.

Геометрическое условие, определяющее кривую, состоит в равенстве длин дуг MM₀ и MM_i неподвижной и катящейся окружностей. Введем прямоугольную систему координат с началом в центре неподвижной окружности. Ось y проведем через точку M₀, ось x направим в сторону движения окружности из точки M₀.

Необходимо выбрать параметры так, чтобы совместно с геометрическим условием записать векторное уравнение для произвольной точки M_i. Длина дуги окружности выражается через центральный угол и радиус. Примем за параметры t и  соответственно центральные углы M₀OM и M_iO_iM неподвижной и катящейся окружностей. Вектор ₁ при качении внешней окружности поворачивается по часовой стрелке на угол t + , считая от положительного направления оси y. Так как в начальный момент угол равен , то в текущий момент вектор ₁ составляет с осью y угол t +   . Записывая векторное уравнение в координатах, получим для внешней окружности

x = (R + ) sint + sin(t +   ), y = (R + )cost +  cos(t +   ) .

Для внутренней окружности поворот вектора ₂ составляет угол t   при исходном значении 0.

x = (R  ) sint +  sin(t  ), y = (R  ) cost +  cos(t  ) .

Условие равенства дуг окружностей записывается соотношением Rt = .

Исключая один из параметров, приходим к параметризации

x = (R + ) sint   sin((R/ +1)t),

y = (R + ) cost   cos((R/ +1)t)

кривой, описываемой точкой внешней окружности (эпициклоида), и

x = (R  ) sint   sin((R/  1)t),

y = (R  ) cost +  cos((R/  1)t)

кривой, описываемой точкой внутренней окружности (гипоциклоида). При изменении угла  от 0 до 2 катящаяся окружность совершает полный оборот.

При большом радиусе R неподвижной окружности запишем уравнение эпициклоиды с параметром 

x = (R + )sin( /R)   sin((1+ /R) ),

y  R =  Rsin ²( /R) +  cos( /R)   cos((1+ /R) ).

Выполним параллельный перенос осей координат в точку M₀. Параметризацию кривой (циклоида), описываемой точкой окружности, катящейся по прямой, получим предельным переходом при R  . В системе координат с началом в M₀

x =  (  sin), y =  (1  cos).

Гипоциклоида переходит в симметричную относительно оси x циклоиду.

Ответ. При внешнем положении катящейся окружности (эпициклоида)

x = (R + )sint  sin((R/ +1)t),

y = (R + )cost  cos((R/ +1)t), t  [0, 2_/R];

при внутреннем положении катящейся окружности (гипоциклоида)

x = (R  )sint   sin((R/  1)t),

y = (R  )cost +  cos((R/  1)t), t  [0, 2_/R];

при качении окружности радиуса  по прямой (циклоида)

x =  (  sin), y =  (1  cos),   [0, 2].

Пример 1.5. Трактор, имеющий тележку на жесткой сцепке длиной a, начинает движение по прямой под углом к сцепке. Определить кривую (трактриса), описываемую тележкой. Трактор и тележку считать точками, сцепку  отрезком прямой.

Решение: Сделаем чертеж, рис. 9. Положение трактора изобразим точкой O, тележки  M, прямая OO  траектория движения трактора. Геометрические условия, определяющие кривую:

1) длина отрезка OM равна a; 2) прямая OM является касательной к кривой.

Введем прямоугольную систему координат. Прямую OO примем за ось y, ось x направим в сторону тележки. Начало координат O выберем так, чтобы точка кривой, наиболее удаленная от прямой OO, лежала на оси x. Примем за параметр острый угол t между прямыми OO и OM. Координату x выразим через параметр x = asint, а второе условие с привлечением геометрического смысла производной как тангенса угла наклона касательной запишем в виде y (x) = tg(_/2 + t). Представим y (x) как производную параметрической функции y (x) = y (t)/x (t) и вычислим x (t). Получим уравнение y (t) =  a ctgt cost. Найдем первообразную

y(t) =  a(ln|tg(t/2)| + cost) + C.

Значению t = _/2 на кривой соответствует наиболее удаленная от оси y точка M₀ , в которой касательная OM₀ перпендикулярна прямой OO. По выбору системы координат C = 0.

Трактриса имеет параметризацию

x = asint, y =  a(ln|tg(t/2)| + cost),

определена для значений параметра t (0, ) и симметрична относительно оси x,

x(  t) = x(t), y(  t) =  y(t).

Ось x касается трактрисы в точке M₀. Следовательно, трактриса  гладкая кривая, имеющая точку возврата.

Ответ. x = asint, y =  a(ln|tg(t/2)| + cost), t (0, ).
При параметризации кривой, находящейся на поверхности, рассматривается промежуточная система координат, в которой поверхность описывается простым уравнением.

Пример 1.6. Линия пересечения сферы радиуса R и кругового цилиндра диаметра R, одна из образующих которого проходит через центр сферы, называется кривой Вивиани. Найти параметрические уравнения кривой Вивиани.

Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в центре сферы, осью z, направленной по образующей цилиндра, и плоскостью xz, проходящей через ось цилиндра. Запишем уравнения сферы и цилиндра

x ² + y ² + z ² = R ²,

(x  R/2) ² + y ² + z ² = (R/2) ².

В сферической системе координат

x = rsin cos , y = rsin sin , z = rcos

уравнения сферы и цилиндра принимают простой вид соответственно

r = R, rsin = Rcos ,

а линия их пересечения задается уравнениями

r = R, sin = cos .

В прямоугольных координатах получим

x = Rcos ² , y = Rsin cos , z =  Rsin .

Проверкой убеждаемся, что

x( + ) = x(), y( + ) = y(), z( + ) =  z().

Так как кривая Вивиани замкнута, параметризации с разными знаками у координаты z отличается только выбором начальной точки. В силу периодичности тригонометрических функций кривая Вивиани соответствует одному периоду изменении .

Ответ. x = R cos ² , y = R cos sin, z = R sin ,   [0,2].
Пример 1.7. Круговой конус, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью. Точка M, находящаяся на конусе, движется по его образующей со скоростью, пропорциональной ее расстоянию от вершины. Описываемая точкой M траектория называется конической спиралью. Найти параметрические уравнения конической спирали.

Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине конуса и осью z по оси конуса. Ось x направим так, чтобы в начальный момент точка находилась в плоскости xz. Уравнение кругового конуса

после перехода к сферической системе координат

x = rsin cos , y = rsin sin , z = rcos

примет вид  = ₀ , ₀ = arctg(a/b). В сферических координатах положение точки M определяется расстоянием от вершины r, углами  = ₀ и  , рис. 10. По условию  =  t, dr/dt = r, где   угловая скорость вращения конуса, t  время, dr/dt  скорость движения точки по образующей конуса. Определим r = Ce ^ ^t и исключим время t. Подставив значения r и  в выражения декартовых координат через сферические, получим параметризацию конической спирали

x = Ae ^c^ cos , y = Ae ^c^ sin , z = Be^c^,

где c = / , A= Csin₀ , B= Ccos₀ .

Ответ. x = Ae ^c^ cos , y = Ae ^c^ sin , z = Be ^c^,   [ , + ].
Пример 1.8. Найти длину участка конической спирали

x = Ae ^c^ cos , y = Ae ^c^ sin , z = Be ^c^,

заключенного между плоскостями z = 0 и z = h.

Решение: Дифференцируем уравнения спирали

r = (A(c cos  sin) e ^c^ , A(c sin + cos) e ^c^ , cBe ^c^ )

и вычислим | r | = e ^c^. Участку спирали соответствует изменение  в диапазоне (-, ₀], где Be ^c^⁰ = h. По формуле (1.8) получаем длину дуги в виде несобственного интеграла

S = =

Ответ.

Пример 1.9. Составить уравнения нормальной, соприкасающейся и спрямляющей плоскостей кривой Вивиани

x = 4 cos ² , y = 4 cos sin, z = 4 sin

в точке, соответствующей значению  = _/6.

Решение: Значению  = _/6 соответствует точка (3, , 2). Дважды дифференцируем уравнения кривой

r = (  4sin2 , 4cos2 , 4cos),

r = (  8cos2,  8sin2 ,  4sin).

Подставляя значение t = /6, получим

r = (-2, 2, 2), r = (  4, -4, -2).

Составим уравнение нормальной плоскости (1.19)

 2(x  3) + 2(y  ) + 2(z  2) = 0

или  x + y/ + z = 0.

Составим уравнение соприкасающейся плоскости (1.21)

или 5x  3y + 8z  22 = 0.

Вычислим векторное произведение [r, r] = (20,  12, 32) и составим уравнение спрямляющей плоскости (1.23)

или 17x + 13y + 4z  98 = 0.

Ответ. Нормальная плоскость  x + y_/ + z = 0,

соприкасающаяся плоскость 5x  3y + 8z  22 = 0,

спрямляющая плоскость 17x + 13y + 4z  98 = 0.

Пример 1.10. Найти единичные векторы касательной, нормали и бинормали кривой

x = 1 + 4t + t ²  t ³, y =  2t + t ² +2t ³, z = 2 + 4t + 4t ²  t ⁴

в точке t = 0.

Решение: Дважды дифференцируем уравнения кривой

r = (4 + 2t  3t ²,  2 + 2t + 6t ², 4 + 8t 4t ³),

r = (2  6t, 2 +12t, 8  12t ²).

При t = 0 получим r = (4,  2, 4), r = (2, 2, 8).

Векторное произведение [r, r] = (  24,  24, 12). По формулам (1.17) находим

t = r/| r | = (2/3,  1/3, 2/3),

b = [r, r]/| [r, r] | = (  2/3,  2/3, 1/3),

n = [b, t] = (1/3,  2/3,  2/3).

Ответ. t = (2/3,  1/3, 2/3), n = (1/3,  2/3,  2/3), b = (  2/3,  2/3, 1/3).

Пример 1.11. Вычислить кривизну и кручение кривой

x = cos ³t, y = sin ³t, z = cos2t.

Решение: Трижды дифференцируем уравнения кривой

r = (  3cos ²t sint, 3sin ²t cost,  2sin2t),

r = ( 6sin ²t cost  3cos ³t, 6cos ²t sint  3sin ³t,  4cos2t),

r = (  6sin ³t + 21cos ²t sint, 6cos ³t  21sin ²t cost, 8sin2t).

Вычислим векторное произведение

[r, r ] = =

= вторую строку умножим на 2cos2t/sin2t и вычтем из третьей =

= = =

= 3sin ²t cos ²t (4cost,  4sint,  3).

Подсчитаем | r | = 5|sint cost|, |[r, r ]| = 15sin ²t cos ²t,

(r, r, r) = ([r, r ], r) = 36sin ³t cos ³t.

По формулам (1.16) находим

k =

Ответ. k = 0,24/|sin2t|, & = 0,32/sin2t.

Пример 1.12. Найти, единичные векторы касательной, нормали и бинормали, уравнения нормальной, соприкасающейся и спрямляющей плоскостей кривой

x = cos ³t, y = sin ³t, z = cos2t

в точке, соответствующей значению t = _/2.

Решение: Вычислим производные r, r и найдем их векторное произведение

r = (  3cos ²t sint, 3sin ²t cost,  2sin2t),

r = ( 6sin ²t cost  3cos ³t, 6cos ²t sint  3sin ³t,  4cos2t),

[r, r ] = (12sin ²t cos ³t,  12sin ³t cos ²t,  9sin ²t cos ²t).

Значению t = _/2 соответствует точка (0, 1,  1), в которой нарушается регулярность параметризации (нулевой вектор r). Bекторы репера Френе вычислим с помощью предельного перехода. По формулам (1.17) находим

| r | = 5|sint cost|, t = ( 3cost/5, 3sint/5,  4/5)sgn(cost),

|[r, r ]| = 15sin ²t cos ²t, b = (4cost/5,  4sint/5,  3/5),

n = [b, t] = (  sint, cost, 0)sgn(cost).

В точке кривой, соответствующей t = _/2, существуют односторонние предельные значения единичных векторов Френе, отличающиеся знаком:

при t = _/2  0 t = (0, 3/5,  4/5), n = ( 1, 0, 0), b = (0,  4/5,  3/5);

при t = _/2 + 0 t = (0,  3/5, 4/5), n = ( 1, 0, 0), b = (0,  4/5,  3/5).

Уравнение координатных плоскостей репера Френе составляем по точке и нормальному вектору. Направление вектора значения не имеет. Уравнения плоскостей:

соприкасающейся (4/5)(y – 1) + (3/5)(z + 1) = 0; нормальной (3/5)(y – 1)  (4/5)(z + 1) = 0;

спрямляющей x = 0.

Ответ. t = (0, 3/5,  4/5), n = ( 1, 0, 0), b = (0,  4/5,  3/5), при t = _/2  0;

t = ( 0, -3/5, 4/5), n = ( 1, 0, 0), b = (0, -4/5,  3/5), при t = _/2 + 0.

Плоскости: соприкасающаяся 4y + 3z  1 = 0,

нормальная 3y  4z  7 = 0,

спрямляющая x = 0.

Пример 1.12. Доказать, что кривая

x = 1 + 3t + 2t ², y =  2 +3t  t ², z = 3t + t ²

плоская и найти уравнение плоскости, в которой она расположена.

Решение: Вычислим производные

r = (3 + 4t, 3 -2t, 3 + 2t), r = (4, -2, 2), r = (0, 0, 0).

Кручение кривой & = (r, r, r)_/|[r, r ]| ² = 0. Согласно условию 1.10 кривая плоская. Составим уравнение соприкасающейся плоскости в точке, соответствующей значению t = 0.

= 0, или 2x + y  3z = 0.

Ответ. 2x + y  3z = 0.

Пример 1.13. Найти кривизну трактрисы

x = asint, y =  a(ln|tg(t/2)| + cost).

Решение: Дважды дифференцируем уравнения кривой

r = ( acost, -acos ²t/sint),

r = ( -asint, a(1/sin ²t + 1)cost)

и вычисляем x y  x y = a ²cos ²t/sin ²t. По формуле (1.24) находим

k = = |tgt |_/a.

Ответ. |tgt |_/a.

Пример 1.14. Найти единичные векторы касательной и нормали циклоиды

x =  (  sin), y =  (1  cos),   2.

Решение: Дважды дифференцируем уравнения кривой

r = ( (1  cos),  sin),

r = ( sin ,  cos)

и вычисляем sgn(x y  x y ) = sgn( ² (cos  1)) =  1. По формулам (1.25)

t = (sin(_/2), cos(_/2)), n = (cos(_/2),  sin(_/2)).

Ответ. t = (sin(_/2), cos(_/2)), n = (cos(_/2),  sin(_/2)).

Пример 1.15. Кривая y = a ch(x/a) определяет форму цепи, подвешенной за концы, и называется цепной линией. Найти кривизну цепной линии.

Решение: Вычисляем производные

y = sh(x/a), y = (1/a)ch(x/a)

и по формуле (1.28) находим k = _1/ (ach ²(x/a)).

Ответ. 1_/ (ach ²(x/a)).
Пример 1.16. Найти единичные векторы касательной и нормали кривой y = x ³/3.

Решение: Дважды дифференцируем уравнение кривой

y = x ², y = 2x

и вычисляем единичные векторы касательной и нормали (1.30)

t = (), n = ().

В точке x = 0 предельные значения вектора n справа и слева существуют и противоположно направлены.

Ответ. t = (), n = ().
Пример 1.17. Найти кривизну лемнискаты, имеющей в полярной системе координат уравнение r ² = 2a ² cos2 .

Решение: Дважды дифференцируем уравнение кривой

rr =  2a ² sin2 , rr + r ² =  4a ² cos2

и вычисляем r ² + r ² = 2a ²_/cos2 , r ² +2 r ²  rr = 6a ²_/cos2 .

По формуле (1.33) находим k =

Ответ.

Пример 1.18. Найти уравнения касательной и нормальной прямых спирали Архимеда r =  в точке, имеющей значение  = .

Решение: При  =  имеем r() = , r () = 1. Составляем уравнение (1.35) касательной прямой  x  y +  ² = 0 и уравнение (1.36) нормальной прямой x +  y +  = 0.

Ответ. Касательная прямая  x  y +  ² = 0, нормальная прямая x +  y +  = 0.
Пример 1.19. Найти единичные векторы касательной и нормали в точке лемнискаты

r ² = 2a ² cos2 , соответствующей значению  = _/6.

Решение: Дважды дифференцируем уравнение кривой

r =

r = , r = .

Подставляя  = _/6, получим

r (_/6) = a, r (_/6) =  a, r (_/6) =  6a.

Вычислим значение  = sgn(r ² + 2r ²  r r )_|_ ₌ __/6 = +1. По формулам (1.34) найдем единичные векторы t =  e₁, n =  e₂.

Ответ. t = ( 1, 0), n = (0,  1).
Пример 1.20. Найти естественную параметризацию кривой

x = (1/3)cos ³t, y = (1/3)sin ³t, z = (1/4)cos2t, t  [0,_/2].

Решение: Дифференцируем уравнения кривой

r = (  cos ²t sint, sin ²t cost,  sint cost)

и вычислим | r | = sint cost. Найдем длину дуги от начала до точки r(t)

s =

и произведем замену параметра sin ²t = s, cos ²t = 1  s.

Ответ. x = (1  s) ^3/2/3, y = (s) ^3/2/3, z = (1  2s)_/4, s  [0, 1/].
Пример 1.21. Найти естественную параметризацию логарифмической спирали

r = e ³^^/4.

Решение: Кривая задана в полярной системе координат, диапазон изменения  от  до ₊ . Вычислим r = (3/4)e ³^^/4 и найдем длину дуги от полюса до точки r()

s =

Произведем замену параметра . Выражая декартовы координаты через полярные, параметризируем кривую

Ответ. s  (0, ₊).
Пример 1.22. Найти естественную параметризацию трактрисы

x = asint, y =  a(ln|tg(t/2)| + cost), t (0,_/2).

Решение: Дифференцируем уравнения кривой

x = acost, y =  acos ²t_/sint

и вычислим = a cost_/sint. Примем за начальную точку r(_/2) и найдем естественный параметр

s = =  a ln(sint).

Произведем замену параметра

sint = e ^^s/a, cost = tg(t/2) = (1 cost)/sint =

и параметризируем кривую.

Ответ. x = ae ^^s/a, y = s  [0, +).
§ 2 Уравнение кривой. Эволюта и эвольвента
Натуральные уравнения кривой. Формулы Френе (1.13) включают кривизну k(s) и кручение &(s). Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны кривой в точке и обозначается R(s) = 1/ k(s).

2.1 Теорема. Пусть C₁ и C₂  две гладкие кривые, имеющие одинаковую длину и естественные параметризации r₁(s) и r₂(s). Если в соответствующих точках эти кривые имеют одинаковые кривизну и кручение

(2.1) k₁(s) = k₂(s), &₁(s) = &₂(s),

то существует наложение, переводящее кривую C₁ в кривую C₂.

Доказательство. Совместим начальные точки и реперы Френе кривых в начальных точках, соответствующих значению s = 0:

r₁(0) = r₂(0), t₁(0) = t₂(0), n₁(0) = n₂(0), b₁(0) = b₂(0).

Докажем, что тогда кривые совпадут r₁(s)  r₂(s).

Рассмотрим функцию

f(s) = (t₁,t₂) + (n₁,n₂) + (b₁,b₂)

и вычислим ее производную

= (k₁n₁,t) + (t₁,k₂n₂) + (-k₁t₁ + &₁b₁,n₂) + (n₁,-k₂t₂ + &₂b₂)  (&₁n₁,b₂)  (b₁,&₂n₂).

В силу условий (2.1)  0. Следовательно, f(s) = f(0) = 3. Функция f(s) принимает значение 3 только при (t₁,t₂) = (n₁,n₂) = (b₁,b₂) = 1. Итак, при всех s имеем t₁(s) = t₂(s), что означает равенство производных Так как у вектор-функций r₁(s) и r₂(s) совпадают начальные значения, эти функции равны r₁(s)  r₂(s).

2.2 Теорема. Для любых непрерывных на отрезке [0,S] функций h(s) и g(s), первая из которых положительна, существует гладкая кривая, кривизна и кручение которой определяются этими функциями

(2.2) k = h(s), & = g(s).

Доказательство этой теоремы опирается на теорему о существовании решения у системы дифференциальных уравнений и здесь не приводится.

Соотношения (2.2) называются натуральными уравнениями кривой. Натуральные уравнения не зависят от выбора системы координат. Кривая определена натуральными уравнениями однозначно с точностью до положения в пространстве.

Пример 2.1. Составить натуральное уравнение логарифмической спирали

r = e ^a^,   [, + ].

Решение: Уравнение кривой задано в полярной системе координат. Дважды дифференцируем уравнение

r = a e ^a^, r = a ² e ^a^

и вычислим r ² + r ² = (1 + a ²) e ^2a^, r ² + 2r ²  rr = (1 + a ²) e ^2a^.

По формуле (1.33) находим R = e ^a^.

Найдем выражение естественного параметра как функцию 

s =

Исключив , получим натуральное уравнение R = a s.

Ответ. R = a s.
Определение кривой по ее натуральному уравнению.

Плоская кривая. Натуральное уравнение плоской кривой записывают в виде задания радиуса кривизны как функции длины дуги R = R(s).

К двум формулам Френе

, k(s) = 1/R(s)

присоединим определение единичного вектора касательной Для значения s = s₀ положим t(s₀) = e₁, n(s₀) = e₂. Пусть репер Oe₁e₂ задает прямоугольную систему координат на плоскости. Обозначим через (s) угол наклона касательной к оси x. В силу выбора системы координат ( s₀) = 0. При непрерывной функции k(s) по теореме 2.2 кривая гладкая, т.е. (s) дифференцируемая функция. При s > s₀ вектор n(s) направлен в сторону вогнутости кривой, поэтому  0. Единичный вектор касательной имеет представление

t(s) = e₁ cos(s) + e₂ sin(s).

Продифференцируем это равенство и подставим во вторую формулу Френе

k(s) n(s) = (  e₁ sin(s) + e₂ cos(s)).

Вычислив модуль правой и левой частей равенства, получим = k(s). Следовательно,

(2.2)

причем = k(s) > 0. Существует дифференцируемая обратная функция s = (). По правилу дифференцирования обратной функции

() = 1_/k(()) = R().

Перейдем к параметризации по 

r₁() = r(()) = x()e₁ + y()e₂,

r₁() = x ()e₁ + y ()e₂ = () = e₁ R() cos + e₂ R() sin.

Определение координатных функций сводится к задаче о первообразной

x () = R() cos, y () = R() sin.

Выполнив квадратуры, получим

(2.3) x = + x₀, y = + y₀.

Значения x₀, y₀ определяются положением начала координат O, их выбор произволен.

В дальнейшем можно или исключить параметр и перейти к явному заданию кривой, или заменить параметр, чтобы упростить формулы.

Пример 2.2. Определить кривую, заданную натуральным уравнением

R = s ²_/a + a.

Решение: Определим зависимость угла  наклона касательной от s. Согласно (2.2)

 =

Обращая функцию, получим s = atg, R() = a_/cos². Формулы (2.3) примут вид

x = + x₀, y = + y₀.

Вычислим интегралы

x = a ln|tg(_/2 + _/4)| + x₀, y = a_/cos  a + y₀.

Примем x₀ = 0, y₀ = a и исключим параметр. Из первого равенства tg(_/2 + _/4) = e ^x/a (знак абсолютной величины опускаем, так как (0) = 0 и функция (s) непрерывна). Выразим cos через тангенс половинного угла

cos = sin( + _/2) =

Натуральное уравнение определяет цепную линию y = ach(x_/a).

Ответ. y = ach(x_/a).
Пространственная кривая. Натуральные уравнения пространственной кривой (2.1) задают ее кривизну и кручение. Ограничимся случаем, когда отношение кручения к кривизне постоянно. Введем обозначения

(s) = , k = k(s)/(s), & = &(s)/(s), R_(s) = 1/(s),

где (s)  модуль вектора Дарбу. Значения k,& не зависят от s, причем k ² +& ² = 1. Для некоторого значения s = s₀ функция

(2.4)

имеет дифференцируемую обратную s = (). Произведем замену параметра. Формулы Френе примут вид

t () = k n(),

n () = k t() +&b(),

b () = &n().

Вычислим n (). Заменяя t () и n () по формулам Френе, получим n () =  n(). В курсе дифференциальных уравнений доказывается, что все решения скалярного уравнения

y (x) + y(x) = 0

задаются формулой y(x) = Acosx + Bsinx, где A, B  произвольные константы. Каждая координата вектора n() удовлетворяет такому уравнению. Значит, n() имеет вид

n() = A cos + B sin,

где A,B  произвольные постоянные векторы, такие, что при любом 

(n(),n()) = (A,A) cos² + 2(A,B) cos sin + (B.B) sin² = 1.

Дифференцируя это тождество по  дважды, получим

(A,B) cos2 + [(B.B)  (A,A)] sin2 = 0,

 2(A,B) sin2 + 2[(B.B)  (A,A)] cos2 = 0.

Однородная система с ненулевым дискриминантом имеет только нулевое решение

(A,B) = [(B.B)  (A,A)] = 0.

Подставляя эти значения в выражение скалярного квадрата, получим (B.B) = (A,A) = 1. Итак, A,B  произвольные постоянные единичные векторы.

Подставим выражение n() в первую формулу Френе

t () =k A cos +k B sin

и найдем первообразную

t() = k A sin +k B cos +& C,

где C  произвольный постоянный вектор, при любом  удовлетворяющий условию

(t(),t()) =k ² +k& ( 2(A,C) sin + 2(B,C) cos) +& ²(C,C) = 1.

Дифференцируя тождество дважды по , получим систему

(A,C) sin  (B,C) cos = 0,

(A,C) cos + (B,C) sin = 0,

из которой следует, что (A,C) = (B,C) = 0. Тождество принимает вид k ² +& ²(C,C) = 1, откуда вытекает (C,C) = 1. Итак, A, B, C  ортонормированная тройка произвольных постоянных векторов.

Выберем в пространстве прямоугольную систему координат на основе репера Oe₁e₂e₃ и положим A =  e₂, B = e₁, C = e₃.

t() =k e₁ cos + k e₂ sin +& e₃ = = r ()() =

= (x () e₁ + y () e₂ + z () e₃)(()). 

Обозначим через R_() = 1_/(()). Для координатных функций кривой получим

x () =k R_() cos , y () =k R_() sin , z () =& R_().

Выполним интегрирование

x() = + x₀,

(2.5) y() = + y₀,

z() = + z₀.

Значения x₀, y₀, z₀ произвольны.

Пример 2.3. Найти все кривые, для которых кривизна и кручение постоянны.

Решение: Так как значение постоянно, по формулам (2.5) получим

x() = sin + x₀, y() = (1  cos) + y₀, z() = + z₀.

Проведем замену параметра  =  + _/2 и положим

x₀ = 0, y₀ =  , z₀ = .

Уравнение кривой примет простейший вид

x() = cos , y() = sin , z() =

и определяет винтовую линию. Кривая лежит на круговом цилиндре

x ² + y ² = k ²/(k ² + & ²)².

Расстояние точки r() от координатной плоскости z = 0 пропорционально углу  .

Пример 2.4. Определить кривую, заданную натуральными уравнениями

Решение: k = 3/5, & =4/5. Находим

 = = arctg(s/5), s = 5tg, R_ =

Составим уравнения (2.5) кривой

x() = + x₀, y() = + y₀, z() = + z₀.

Подставим значения интегралов и положим x₀ = y₀ = z₀ = 0.

x = 3ln|tg(/2 + /4)|, y = 3/cos, z = 4tg.

Исключим параметр, выразив cos и sin через tg(/2 + /4), который в окрестности  = 0 принимает положительные значения

cos = sin(+ /2) =

sin =  cos(+ /2) =

Получим явное задание кривой

y = 3ch(x/3), z = 4sh(x/3).

В силу тождества ch ²(x/3)  sh ²(x/3) = 1 кривая лежит на цилиндрической поверхности, направляющей которой является одна из ветвей гиперболы

, y > 0,

а образующие параллельны оси x. Кривая образована пересечением этой поверхности другим цилиндром с направляющей z = 4sh(x/3) и образующими, параллельными оси y.

Ответ. y = 3ch(x/3), z = 4sh(x/3).

Соприкасающаяся сфера. Окружность кривизны. Сфера, наиболее близко примыкающая к кривой в точке r(t₀), называется соприкасающейся сферой кривой в данной точке. Окружность, обладающая аналогичным свойством относительно плоской кривой, называется окружностью кривизны.

Пусть задана естественная параметризация кривой r(s). Найдем уравнение соприкасающейся сферы (окружности кривизны). Обозначим через R_c  радиус сферы (окружности) в точке r(s₀), через r_c  радиус-вектор ее центра. Уравнение сферы (окружности) имеет вид

(2.6) (r  r_c, r  r_c) = R²_c.

Если кривая не лежит целиком на сфере, то значение левой части уравнения при подстановке вектор-функции r(s) не будет постоянным. Обозначим через (s) = r(s)  r_c, f(s) = ((s), (s)) и, считая r(s) необходимое число раз дифференцируемой, потребуем, чтобы при представлении функции f(s) по формуле Тейлора

f(s) = f(s_o) + f (s_o)(s  s_o) + (1/2!) f (s_o)(s  s_o)² + ... + (1/n!) f ^{( n )} (c)(s  s_o)ⁿ

наибольшее число производных функции f при значении s_o были бы нулевыми. При выполнении этих условий сфера (2.6) будет иметь наивысший порядок касания с кривой в точке r(s₀). Вычислим производные, применяя правило дифференцирования вектор-функции и формулы Френе,

=

=

Последовательно приравнивая при s = s_o производные нулю, получим

(t(s_o),(s_o)) = 0, (n(s_o),(s_o)) = 1/k(s_o) = R(s_o),

У плоской кривой кручение равно нулю и f (s_o)  0. Следовательно, окружность кривизны имеет второй порядок касания кривой. Векторы t, n образуют ортонормированный базис на плоскости

(s_o) = (t(s_o),(s_o)) t(s_o) + (n(s_o),(s_o)) n(s_o).

Подставляя значение коэффициентов и заменяя (s_o) = r(s_o)  r_c, найдем центр и радиус окружности кривизны, рис. 10.

(2.7) r_c = r(s_o) + R(s_o)n(s_o), R_c = R(s_o).

Центр окружности кривизны называется центром кривизны. Он лежит на нормальной прямой на расстоянии радиуса кривизны от точки r(s_o) в направлении вектора n.

У пространственной кривой в точках, где кручение отлично от нуля, полагаем

Тогда f (s_o) = 0 и соприкасающаяся сфера имеет третий порядок касания с пространственной кривой. Векторы t, n, b образуют ортонормированный базис. Повторяя те же рассуждения, что и для плоской кривой, получим выражения для центра и радиуса соприкасающейся сферы

(2.8)

Если точка перемещается по кривой, то равенство (2.8) представляет параметризацию кривой, которую описывает центр соприкасающейся сферы. Роль параметра выполняет длина дуги s₀ . Для плоской кривой равенство (2.7) задает параметризацию кривой, описываемой центром окружности кривизны.

Сферическая кривая. Кривая называется сферической, если лежит на сфере фиксированного радиуса. Ясно, что любая плоская кривая, лежащая на сфере, является окружностью. Докажем, что окружность является единственной кривой на сфере, имеющей постоянную кривизну. Действительно, сфера для лежащей на ней кривой является соприкасающейся в любой точке. Если кривизна постоянна, то правая часть равенства (2.8) постоянна для произвольной точки кривой.

= t(s) + R(  k t(s) + &(s) b(s)) = R &(s) b(s) = 0,

откуда & = 0. Согласно 1.10 кривая плоская. Значит, это  окружность.

2.4 Предложение. Неплоская кривая, заданная натуральными уравнениями (2.1), является сферической тогда и только тогда, когда

(2.9)

Доказательство. Сфера радиуса R_c, является соприкасающейся для каждой точки сферической кривой. Необходимость условия (2.9) является следствием постоянства радиуса (2.8) соприкасающихся сфер.

Докажем достаточность. Проверим, что при выполнении условия (2.9) центры всех соприкасающихся сфер, имеющих одинаковый радиус, совпадают. Вычислим производную вектор-функции (2.8), определяющей центр сферы при движении точки по кривой

Развернем производную в условии (2.9)

При  0 и &  0 имеем &R + = 0. Это означает, что является нулевым вектором, т. е. при движении точки по кривой центр соприкасающейся сферы не меняется.

Итак, у всех точек кривой одна и та же соприкасающаяся сфера и кривая целиком лежит на ней.
Пример2.4. Доказать, что кривая, заданная натуральными уравнениями , сферическая и найти радиус сферы.

Решение: Проверим условие (2.9).

R =

Условие выполнено. Согласно (2.8) кривая лежит на сфере радиуса 5.

Ответ. 5.
Эволюта и эвольвента. Множество центров кривизны плоской кривой называется ее эволютой. Сама кривая по отношению к эволюте называется эвольвентой.

Соотношение (2.7) при различных значениях s_o представляет параметризацию эволюты, причем роль параметра выполняет длина дуги эвольвенты. Формула остается справедливой при любой параметризации r(t), t[a,b] кривой

r_c(t) = r(t) + R(t)n(t).

Если кривая задана параметрически, то подставляя значения кривизны (1.24) и единичного вектора нормали (1.25), получим уравнения эволюты

(2.10)

Пример 2.5. Найти эволюту параболы y = x ²/2.

Решение: Полагая t = x, найдем производные

x = 1, y = t,

x = 0, y = 1

и вычислим x y  x y = 1. По формулам (2.10) составляем уравнения эволюты

x =  t ³, y = (3/2)t ² +1.

Исключив параметр, придем к явному заданию эволюты y = (3/2)x ^2/3 +1.

Ответ. y = (3/2)x ^2/3 +1.
При задании кривой в полярной системе координат используем значения кривизны (1.33) и единичного вектора нормали (1.34)

(2.11)

Пример 2.6. Найти эволюту трактрисы

x = asint, y =  a(ln|tg(t/2)| + cost), t  [0,].

Решение: Дважды дифференцируем уравнения кривой

x = acost, y =  acos ²t/sint,

x =  asint, y = a(cost/sin ²t + cost)

и вычислим (x ² + y ²)/(x y  x y) = 1. Составлим уравнения эволюты (2.10)

x = asint  acos ²t/sint , y =  a(ln|tg(t/2)| + cost) + acost.

Выполним элементарные преобразования и исключим параметр.

В указанном диапазоне tg(t/2) положителен, tg(t/2) = e ^^y/a,

sint = 2tg(t/2)/(1 + tg ²(t/2)) = 2ae ^^y/a/(1 + e ^^2y/a),

x = a ch(y/a).

Ответ. Цепная линия x = a ch(y/a).

Имеют место следующие свойства эволюты и эвольвенты.

2.4 Предложение. Нормаль к эвольвенте является касательной в соответствующей точке эволюты.

Доказательство. Пусть задана естественная параметризация r(s) эвольвенты. Тогда эволюта имеет параметризацию

r_c(s) = r(s) + R(s)n(s).

Касательный вектор эволюты

только множителем отличается от единичного вектора главной нормали в соответствующей точке эвольвенты, что доказывает утверждение.

2.5 Предложение. Если на некотором участке эвольвенты радиус кривизны меняется монотонно, то приращение радиуса кривизны на этом участке по абсолютной величине равно длине дуги соответствующего участка эволюты.

Доказательство. Обозначим через  длину дуги эволюты и перейдем в равенстве к модулям

(2.12)

Параметр s не является длиной дуги эволюты, поэтому производная в левой части равенства обозначена штрихом. Из монотонного изменения радиуса кривизны эвольвенты следует, что производная не меняет знака. Тогда равенство (2.12) можно записать в виде где  = +1, если радиус кривизны на участке возрастает, и  = 1 при его убывании. Интегрируя равенство по отрезку [s₁,s₂] изменения параметра t на рассматриваемом участке, получим

 = (s₂)  (s₁) = (R(s₂)  R(s₁)) = R.

Длина дуги  возрастающая функция параметра,  > 0. После перехода к абсолютным величинам, получим доказываемое утверждение.

Предложения 2.4, 2.5 позволяют предсказать свойства эволюты. Эволюта P₁P₄ является огибающей нормальных прямых M₁P₁, …, M₄P₄ эвольвенты M₁M₄, рис. 11. В точках экстремума радиуса кривизны R(t) меняется направление вращения касательной к эволюте. Соответствующая точка эволюты является точкой возврата.

При подходе к точке перегиба эвольвенты радиус кривизны неограниченно возрастает. Нормальная прямая в точке перегиба эвольвенты является асимптотой эволюты, причем при переходе через точку перегиба единичный вектор нормали меняет направление на противоположное.

Согласно предложению 2.5 можно дать геометрический способ построения эвольвенты. Натянем на эволюту P₁P₄ гибкую нерастяжимую нить, имеющую свободный прямолинейный участок P₁M₁. В точку M₁ поместим карандаш. Будем развертывать нить, оставляя ее в натянутом состоянии. Тогда карандаш начертит линию, являющуюся эвольвентой для кривой P₁P₄, рис. 11. В зависимости от длины свободного участка нити P₁M₁ можно для данной эволюты получить бесчисленное множество эвольвент.

Пусть r(s)  естественная параметризация эволюты. Обозначая через c свободный конец нити в начальной точке эволюты, получим уравнение эвольвенты в виде

r = r(s)  (s + c)t(s).

Уравнение эвольвенты при произвольной параметризации эволюты получается заменой s на выражение длины дуги эволюты. Произвольную постоянную c заменим произвольным значением t₀ параметра, соответствующего точке r(t₀) начала отсчета длины дуги

Эвольвента и эволюта имеют общую точку r(t₀).

При параметрическом задании эволюты, подставляя значение (1.25) единичного вектора касательной, получим уравнения эвольвенты

(2.13)

При задании кривой в полярной системе координат используем представление (1.34) единичного вектора касательной

(2.14)

Пример 2.7. Найти эвольвенту окружности радиуса R.

Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в центре окружности. Ось x направим в точку окружности, общую с эвольвентой, ₀ = 0. Уравнение окружности в полярной системе координат r() = R. Составим уравнение эвольвенты (2.14)

Ответ. x = R(cos +  sin), y = R(sin   cos).

Упражнения

Пример 2.8. Составить натуральное уравнение циклоиды

x = a(t  sint), y = a(1  cost), t  [0, 2].

Решение: Дважды дифференцируем уравнения

x = a(1  cost), y = a sint,

x = asint, y = acost

и вычислим x y  x y =  2a ² sin(t/2), x ² + y ² = 4a ² sin ²(t/2).

По формуле кривизны (1.24) находим R = 4a sin(t/2). Выразим естественный параметр через t

s = = 4a(1  cos(t/2))

и исключим t из выражения радиуса кривизны R =

Ответ. R =
Пример 2.9. Составить натуральное уравнение кривой

x = cos ³t, y = sin ³t, z = cos2t, t  [0, _/2].

Решение: В примере 1.11 опрелелены кривизна и кручение кривой

k =

и модуль вектора касательной | r | = 5|sint cost|. В рассматриваемом диапазоне изменения t имеем

s = = (5/2)sin ²t.

Исключим t из выражений кривизны и кручения.

Ответ. k =
Пример 2.10. Определить кривую, заданную натуральными уравнениями

k = 3/s , & = 4/s.

Решение: Вычислим  == 5/s, k = 0,6, & = 0,8. По формуле (2.4), полагая s₀ = 1, находим  = 5 lns, R_ = 1/ = 0,2e ^0,2^. Из уравнений (2.5) получим

x =

y =

z =

Положим x₀ = y₀ = z₀ = 0, t =   arctg5,

sin + 0,2cos = ()cost, 0,2sin  cos = ()sint,

A = = 0,155, B = = 1,053.

Уравнения

x = Ae ^0,2tcost, y = Ae ^0,2tsint, z = Be ^0,2t

определяют коническую спираль (пример 1.7).

Ответ. Коническая спираль x = Ae ^0,2tcost, y = Ae ^0,2tsint, z = Be ^0,2t.
Пример 2.11. Определить кривую, заданную натуральным уравнением

Решение: Из натурального уравнения имеем  b  s  b. При определении угола наклона касательной (2.2) примем за начальное значение s₀ =  b

 =

Обращая функцию, получим s =  bcos(a_/b), R() = asin(a_/b). Формулы (2.3) примут вид

x = + x₀, y = + y₀.

При a  b представим

и вычислим интегралы

x = + x₀,

y = + y₀.

Положим x₀ = y₀ = 0. и обозначим

Уравнения примут окончательный вид

x = ,

y = .

При a > b имеем гипоциклоиду (пример 1.11, с точностью до поворота осей на 180 ^o), при a < b  эпициклоиду (с переименованием осей).

Остается рассмотреть случай, когда a = b. Вернувшись к исходным интегральным выражениям, получим

x =  (a/4)cos(2) + x₀, y = (a/4)( 2  sin(2)) + y₀.

Положив x₀ = a/4, y₀ = 0, t = 2, c = a/4, придем к уравнению циклоиды (пример 1.11).

x = c(1  cost), y = c(t  sint).

Ответ. При b > a эпициклоида (пример 1.4, с переименованием осей)

x = , y = ;

при b < a гипоциклоида (с поворотом осей на 90 ^o)

 x = , y = ;

при a = b циклоида (с переименованием осей)

x = c(1  cost), y = c(t  sint).
Пример 2.12. Определить кривую, заданную натуральным уравнением

s =

Решение: Угол  наклона касательной к s оси x определяется равенством (2.2). Произведем замену переменной s согласно натуральному уравнению

 =

Обращая функцию, получим R= 1/cos ³ . Подставим значение R в равенства (2.3)

+ x₀ = tg + x₀ ,

+ y₀ = tg ² + y₀ .

Положим x₀ = y₀ = 0 и исключим параметр. Получим параболу y = x ²/2.

Ответ. Парабола y = x ²/2.
Пример 2.13. Доказать, что кривая, заданная натуральными уравнениями

k =

является сферической и найти радиус сферы.

Решение: Проверим условие (2.9).

R =

Условие (2.9) выполнено, кривая сферическая. Согласно (2.8) радиус сферы равен 13.

Ответ. 13.
Пример 2.14. Найти эволюту кардиоиды r = a(1  cos).

Решение: Кривая задана в полярной системе координат. Вычисляем производные

r = asin, r = acos

и находим значения

(r ²  r r)r/(r ² + 2r ²  r r) = (1/3)a(1  cos),

(r ² + r ² )r/(r ² + 2r ²  r r) = (2/3)asin.

Составляем уравнения эволюты (2.11)

x = (a/3)((1+ cos)cos  2), y = (a/3)(1+ cos)sin.

Перенесем начало осей координат в точку ( 2a/3, 0) и перейдем к полярной системе координат , 

= (a/3)(1+ cos), tg = tg.

Полагая  =  +, получим повернутую на 180 ^o, смещенную кардиоиду  = (a/3)(1  cos), уменьшенную в три раза.

Ответ. Кардиоида  = (a/3)(1  cos).
Пример 2.15. Доказать, что эволюта спирали Архимеда r = a лежит внутри окружности радиуса a.

Решение: Вычислим

(r ²  r r)r/(r ² + 2r ²  r r) =  /( ² +2),

(r ² + r ² )r/(r ² + 2r ²  r r) = ( ² +1)/( ² +2)

и составим уравнение эволюты (2.11)

x = a(cos  ( ² +1)sin)/( ² +2),

y = a(sin + ( ² +1)cos)/( ² +2).

Для любой точки эволюты

r =
Пример 2.16. Найти точку возврата на эволюте кривой y = ln x и написать уравнение касательной в этой точке.

Решение: Вычислим радиус кривизны кривой по формуле

R = (1 + y ² ) ^3/2/|y|.

Подставив значения производных, получим R = (1 + x ² ) ^3/2/ x. Точка возврата эволюты соответствует экстремуму радиуса кривизны. Вычислим производную R = (2x ²  1)(x ² + 1) ^1/2/x ² и найдем точку экстремума x ₀ = , R(x ₀) = Координаты центра кривизны при значении x = x ₀ удовлетворяют уравнению эволюты (2.10)

x = x ₀  {(1 +y ²(x ₀))/y (x ₀)}y (x ₀),

y = y(x ₀) + (1 +y ²(x ₀) )/y (x ₀)}.

Подставив значение x₀, найдем (). Касательная к эволюте является нормалью кривой при x = x ₀ . По формуле (1.31) находим y =

Ответ. (), y =
Пример 2.17. Найти эвольвенту цепной линии y = a ch(x/a), проходящую через ее вершину (0, a).

Решение: Дифференцируем уравнение кривой y = sh(x/a) и находим

= ch(x/a).

Дугу кривой отсчитываем от вершины

s = = a sh(x/a).

Обозначим  = x/a и составим уравнения эвольвенты (2.13)

x = a  a th(), y = a ch()  a sh ²()/ch() = a/ch().

Из второго равенства вытекает, что 0 < y  a. Введем новый параметр t из условия y = asint, 0 < t  . Тогда

ch = 1/sint, th = = cost, e ^ = ch + sh = (1+ cost)/sint = tg(t/2).

Уравнения эвольвенты примут вид

x =  a(ln(tg(t/2)) + cost), y = asint.

С точностью до переименования осей это  трактриса.

Ответ. Трактриса x =  a(ln(tg(t/2)) + cost), y = asint.
Пример 2.18. Найти кривую, подобную эпициклоиде

x = (R + )sint  sin((R/ + 1)t),

y = (R + )cost  cos((R/ + 1)t)

и являющейся ее эвольвентой. Определить коэффициент подобия.

Решение: Найдем производные

x = 2(R + )sin((0,5R/ + 1)t)sin((0,5R/)t),

y = 2(R + )cos((0,5R/ + 1)t)sin((0,5R/)t)

и вычислим = 2(R + ) |sin((0,5R/)t)|.

Найдем все эвольвенты эпициклоиды. Дугу кривой отсчитываем от произвольной тоски r(t₀). Для t,t₀  [0, 2  /R]

s = = 4(1 +  /R) { cos((0,5R/)t₀)  cos((0,5R/)t)}.

Составим уравнение (2.13) произвольной эвольвенты эпициклоиды

x = (R + )sint  sin((R/ + 1)t) 

 4(1 +  /R) sin((0,5R/ + 1)t){ cos((0,5R/)t₀)  cos((0,5R/)t)},

y = (R + )cost  cos((R/ + 1)t) 

 4(1 +  /R) cos((0,5R/ + 1)t){ cos((0,5R/)t₀)  cos((0,5R/)t)},

Преобразуем произведения в суммы

2 sin((0,5R/ + 1)t) cos((0,5R/)t) = sin((R/ + 1)t) + sin(t),

2 cos((0,5R/ + 1)t) cos((0,5R/)t) = cos((R/ + 1)t) + cos(t)

и упростим уравнения

x = (1 + 2 /R){(R + )sint + sin((R/ + 1)t)}  4(1 +  /R) cos((0,5R/)t₀)sin((0,5R/ + 1)t),

y = (1 + 2 /R){(R + )cost + cos((R/ + 1)t)}  4(1 +  /R) cos((0,5R/)t₀)cos((0,5R/ + 1)t).

При t₀ =/R эвольвента является эпициклоидой. Повернем оси координат на угол  t₀, чтобы точка r(t₀) оказалась на оси y. Запишем преобразование координат через матрицу поворота S

X = S ^TX, S =

и обозначим t = t  t₀, (R/ + 1)t t₀ = (R/ + 1)t + . В повернутых осях получим эпициклоиду

x = (1 + 2_/R){(R + )sint  sin((R/ + 1)t )},

y = (1 + 2_/R){(R + )cost  cos((R/ + 1)t )},

подобную заданной, с коэффициентом подобия 1 + 2_/R.

Ответ. 1 + 2_/R.
Пример 2.19. Доказать, что эвольвента трактрисы

x = asint, y =  a(ln(tg(t/2)) + cost), t  [0,],

проходящая через точку (a, 0), лежит в прямоугольнике

0  x  1,  (1  ln2)  y  (1  ln2).

Решение: Найдем производные x = a cost, y =  cos ²t/sint и вычислим

= |cost|/sint.

Точке (a, 0) соответствует значение параметра t = _/2. Для t > _/2 определим (|cost| =  cost)

s = =  a ln(sint)

и составим уравнение эвольвенты (2.13)

x = a (sint  sint ln(sint)),

y =  a(ln(tg(t/2)) + cost) + a cost ln(sint).

Преобразуем выражение

cost ln(sint)  ln(tg(t/2)) = (1/2)(cost ln(1  cos ²t)  ln((1  cost)/(1 + cost)) =

= (1/2){(1+ cost) ln((1+ cost)  (1 cost) ln((1 cost)}

и запишем уравнение эвольвенты трактрисы в виде

x = a (sint  sint ln(sint)),

y = (a/2){(1+ cost) ln((1+ cost)  (1 cost) ln((1 cost)}  acost.

В силу симметрии трактрисы относительно оси x уравнение эволюты остается неизменным при t < _/2.

Вычислим производные

x =  a cost ln(sint), y =  a sint ln(sint) > 0.

На интервале (0,  ) функция y(t) монотонно возрастает от  (1  ln2)a до (1  ln2)a. Функция x(t) возрастает на (0, _/2) и убывает на (_/2,  ), дважды принимая значения из интервала(0, a). Вся кривая лежит в прямоугольнике

0  x  a,  (1  ln2)a  y  (1  ln2)a.
<< предыдущая страница следующая страница >>