Литература §1 Дифференциальная геометрия кривых

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Г.Н. АНДРЕЕВ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ГЕОМЕТРИИ

МОСКВА 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 1 Дифференциальная геометрия кривых

Упражнения

§ 2 Уравнение кривой. Эволюта и эвольвента

Упражнения

§ 3 Дифференциальная геометрия поверхностей

Упражнения

§ 4 Кривизна кривой на поверхности

Упражнения

§ 5 Сферическое отображение поверхности

Упражнения

§ 6 Внутренняя геометрия поверхностей

Упражнения

Литература

§1 Дифференциальная геометрия кривых
Вектор- функция одного переменного.

1.1 Определение. Вектор-функцией x(t) называется образ отображения x: [a,b]  V, сопоставляющего каждому числу t из отрезка [a,b], a < b, вещественной оси вектор x(t) в евклидовом пространстве V.

В трехмерном пространстве V для вектор-функции определены те же операции, что и для обычных векторов: сложение, вычитание, умножение на числовую функцию f(t), скалярное, векторное и смешаное произведения. Пусть f(t)  числовая функция, а x(t), y(t), z(t)  вектор-функции, определенные на [a,b]. Тогда

(x +y)(t) = x(t) + y(t), (x  y)(t) = x(t)  y(t),

(fx)(t) = f(t)x(t), (x,y)(t) = (x(t), y(t)),

[x, y](t) = [x(t), y(t)], (x, y, z)(t) = (x(t), y(t), z(t)).

Для вектор-функции справедливо неравенство треугольника

(1.1) |y(t) + x(t)|  |y(t)| + |x(t)|.

Используя (1.1), имеем

|y(t)|  | x(t) + (y(t)  x(t))|  |x(t)| + |y(t)  x(t)|

и аналогично

|x(t)|  | y(t)  (y(t)  x(t))|  |y(t)| + | y(t)  x(t)|.

Объединяя два неравенства, получим

 |y(t)  x(t)|  |y(t)|  |x(t)|  |y(t)  x(t)|,

что равносильно неравенству

(1.2) ||y(t)|  |x(t))||  |y(t)  x(t)|.

Предел и непрерывность вектор-функции. Вектор a называется пределом вектор-функции x(t) в точке t₀[a,b], если

(1.3)

В таком случае используют запись

Пусть e₁, e₂, e₃  ортонормированный базис пространства V. Тогда

x(t) = xⁱ(t)e_i, a = aⁱe_i (суммирование по i).

Координаты xⁱ(t) вектора x(t) называются координатными функциями вектор-функции x(t). Выражение (1.3) в координатах векторов записывается в виде

Следовательно, вектор a является пределом вектор-функции x(t) в точке t₀ тогда и только тогда, когда его координаты являются пределами координатных функций

(1.4) i = 1, 2, 3.

Если

то с помощью (1.4) доказывается, что

Вектор-функция x(t) называется непрерывной в точке t₀ , если

Вектор-функция x(t) непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке [a,b]. Из курса математического анализа известно, что координатные функции равномерно непрерывны на замкнутом отрезке [a,b]. Следовательно, вектор-функция тоже равномерно непрерывна на [a,b]. Это означает, что для любого  > 0 существует  > 0, такое, что для всех значений t, [a,b] и |t   | <  выполняется условие

| x(t)  x()| < .

Производная вектор-функции. Вектор- функция x(t) называется дифференцируемой в точке t₀  [a,b], если существует предел

Этот предел называется производной вектор-функции x(t) в точке t₀. Из координатной записи

(суммирование по i)

следует, что вектор- функция x(t) дифференцируема в точке t₀[a,b] тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы ее координатные функции, и

(суммирование по i).

Очевидно, что если вектор-функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Если вектор-функция имеет производную в каждой точке отрезка [a,b], то она дифференцируема на всем отрезке [a,b]. Если f(t), x(t), y(t), z(t) дифференцируемы на [a,b], то

(x + y) = x + y, (x  y) = x  y,

(fx) = fx + fx, (x, y) = (x, y) + (x, y ),

[x, y] = [x, y] + [x, y ], (x, y, z) = (x ,y, z) + (x, y, z) + (x, y, z ).

1.2 Лемма. Для того, чтобы модуль дифференцируемой на отрезке [a,b] вектор-функции x(t) был постоянной величиной, необходимо и достаточно, чтобы x(t) была ортогональна своей производной x (t).

Доказательство. Ясно, что модуль |x(t)| постоянен тогда и только тогда, когда скалярный квадрат (x, x)  постоянная величина. Производная этой функции (x, x) = 2(x, x). Из постоянства (x,x) вытекает

(x, x) = 0,5(x, x) = 0,

т. е. векторы x(t) и x (t) ортогональны при любом значении t[a, b]. Наоборот, из ортогональности векторов x(t) и x (t) при всех значениях t[a, b] имеем (x, x) = 2(x, x) = 0. Равенство нулю производной равносильно постоянству самой функции.

Интегрирование вектор-функции. Разобьем отрезок [a, b] на n частей

a = t₀ < t₁ < t₂ < ... < t_n = b

и составим интегральную сумму

Пусть Вектор-функция называется интегрируемой на [a,b], если при любом выборе _i существует предел интегральной суммы

называемый ее определенным интегралом. Вектор-функция x(t) интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируемы ее координатные функции, причем

(суммирование по i).

Ясно, что всякая непрерывная вектор-функция x(t) интегрируема. Если x(t) имеет непрерывную производную, то справедлива формула Ньютона  Лейбница

Применим неравенство (1.1) к интегральной сумме

Выполнив предельный переход, получим неравенство

(1.5)

Способ задания кривой. Пусть в трехмерном точечно евклидовом пространстве R³ над евклидовом простанством V задана прямоугольная система координат Oxyz, определяемая репером Oe₁e₂e₃. Произвольная точка P в пространстве R³ задается радиус-вектором

r = xe₁ + ye₂ + ze₃,

а его координаты x, y, z в ортонормированном базисе e₁ ,e₂ ,e₃ являются координатами точки.

Определение. Непрерывной кривой называется непрерывное отображение r: [a,b]  R³ отрезка [a,b], a < b, вещественной оси в пространство R³.

Отображение r: [a,b]  R³ каждому значению t[a,b] сопоставляет точку P на кривой, т. е. задает ее радиус-вектор, рис. 1,

(1.6)

По аксиоматике аффинного пространства любой паре его точек сопоставен вектор из векторного пространства V. Таким образом, отображение r: [a,b]  R³ определяет r(t) как вектор-функцию, непрерывную на [a,b] в силу непрерывности самого отображения. С другой стороны, если задана непрерывная вектор-функция r(t) и в пространстве R³ фиксирован репер Oe₁e₂e₃, отображение r: [a,b]  R³ однозначно восстанавливается по (1.6).

Переменная t называется параметром, а отображение r: [a,b]  R³  параметризацией кривой. Кривая, снабженная параметризацией, называется параметризированной. Если радиус-вектор точки P обозначить через r, то равенство (1.6), переписанное в виде

(1.7) r = r(t), t  [a,b],

называется векторным уравнением кривой. Равенство (1.7) равносильно трем скалярным соотношениям

x = x(t), y = y(t), z = z(t),

которые называются уравнениями параметризованной кривой, а непрерывные числовые функции x(t), y(t), z(t)  ее координатными функциями.

Если кривая допускает параметризацию x = t, y = y(t), z = z(t), то она может быть задана системой уравнений y = y(x), z = z(x). Такое задание кривой называется явным. Не все кривые допускают явное задание. Например, окружность нельзя задать явно.

Для краткости речи принято точку отождествлять с ее радиус-вектором и говорить «точка r(t)» вместо «точка, задаваемая радиус-вектором r(t)». Точка r(a) считается началом кривой, а точка r(b)  ее концом. Кривая проходит через точку r₀, если существует значение t₀ параметра, такое, что r(t₀) = r₀.

Если все значения некоторой вектор-функции отложить от начала O, то их концы составляют в пространстве R³ множество точек, которое называется годографом этой вектор-функции. Таким образом, по геометрическому смыслу кривая, заданная уравнением (1.7), является годографом вектор-функции r(t). Возможен и другой взгляд на кривую, как траекторию движущейся материальной точки, где роль параметра играет время. Этот подход позволяет использовать в геометрии такие понятия из механики, как путь, скорость, ускорение.

В конце девятнадцатого века итальянский математик Пеано построил непрерывную кривую, которая проходит через все точки квадрата. Стало ясно, что понятие непрерывной кривой не отражает интуитивное представление о линии и нужны дополнительные требования. Этим требованиям удовлетворяет регулярная параметризация.

1.3 Определение. Кривая называется гладкой, если отображение r: [a,b]  R³ непрерывно дифференцируемо на [a,b]. Параметризация гладкой кривой называется регулярной, если для любого t  [a,b] производная r (t)  0, т. е. x ²(t) + y ²(t) + z ²(t)  0.

Можно показать, что гладкая кривая не может проходить через все точки квадрата. В точках, где производная r (t) обращается в нуль, гладкая кривая может иметь точки возврата. Например, плоская кривая имеет точку возврата t = 0 при непрерывно дифференцируемой параметризации x = t², y = t³, z = 0. Кривая с регулярной параметризацией подобных точек не имеет.

Для гладкой кривой возможны точки самопересечения, когда двум значениям t из [a,b] соответствует одна и та же точка на кривой. Гладкая кривая без точек самопересечения называется простой. У простой кривой отображение r: [a,b]  R³ взаимно однозначно, т. е. каждому значению t[a,b] соответствует одна точка и каждой точке на кривой  ровно одно значение параметра t[a,b].

Геометрический и механический смысл первой и второй производных вектор- функции. Пусть гладкая кривая представляет годограф вектор-функции r(t), рис. 2. Производная вектор-функции r(t) в точке t₀ равна

Вектор r направлен по секущей, проходящей через точку r(t₀). а вектор r_/t r и Вектор r_/t коллинеарен r и при t > 0 направлен одинаково с ним, а при t < 0 противоположно, т. е. всегда в сторону возрастания t. Это свойство сохраняется при предельном переходе. Итак, производная r(t₀) вектор-функции является вектором, направленным по касательной к ее годографу в точке r(t₀) в сторону возрастания параметра t. В этом состоит геометрический смысл первой производной вектор-функции.

Если вектор-функция r(t) дифференцируема, то ее производная называется второй производной вектор-функции r(t) и обозначается r(t). Из геометрического смысла производной вытекает, что r(t) направлена по касательной к годогрофу вектор-функции r(t) в точке r(t) в сторону возрастания параметра t.

Выясним механический смысл производной вектор-функции. Пусть материальная точка движется по кривой r = r(t), причем параметр t означает время движения.

Скоростью v(t) движения материальной точки в момент t называется вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения и равный по модулю где s  путь, пройденный точкой за время t, начиная с момента t.

Вектор r(t) имеет одинаковое направление с вектором скорости v(t). Покажем, что их модули равны. Обозначим через s длину дуги кривой, пройденной точкой за время t > 0. Тогда |r |  длина хорды, соединяющей концы дуги.

Как будет доказано ниже, для гладкой кривой предел отношения длины дуги к длине стягивающей ее хорды равен единице. Тогда

Векторы r(t) и v(t), как имеющие одинаковое направление и равные модули, равны. Итак, производная вектор-функции равна скорости движения материальной точки в данный момент времени

r(t) = v(t).

Вектор w(t) = v (t) называется ускорением. Имеем

r(t) = (r(t)) = v (t) = w(t).

Итак, вторая производная r(t) вектор-функции равна ускорению движения материальной точки в данный момент времени t. Вектор ускорения w(t) направлен по касательной к годографу вектора скорости v(t).

Касательная прямая и нормальная плоскость. Вектор r(t₀) называется касательным вектором кривой в точке r(t₀). Прямая, проходящая через точку r(t₀) в направлении касательного вектора r(t₀), называется касательной прямой в точке r(t₀). Плоскость, проходящая через точку касания и перпендикулярная касательной, называется нормальной плоскостью к пространственной кривой.

Различные параметризации кривой.

1.4 Определение. Две параметризации

r₁: [a,b]  R³ и r₂: [,]  R³,

называются эквивалентными если существует функция t = (),  () > 0, () = a, () = b, такая, что r₂ () = r₁ (()). Тогда говорят, что функция () осуществляет замену параметра t.

Эквивалентные параметризации представляют одну кривую.

1.5 Предложение. В одной и той же точке касательные векторы, соответствующие различным параметризациям, коллинеарны.

Доказательство. Если r₂ () = r₁ (())  другая параметризация той же кривой, причем  () > 0, t₀ = (₀), то вектор r₂ (₀) = r₁ ((₀)) (₀) отличается от вектора r₁ (t₀) = r₁ ((₀)) только множителем.

Следует выбирать параметризацию кривой с достаточно простыми функциями. Применение тригонометрических функций при параметризации кривых обычно дает хороший результат. Тригонометрическое тождество cos²t + sin²t = 1 представляет удобный способ исключения параметра.
Пример 1.1. Параметризировать эллипс, заданный в прямоугольной системе координат уравнением

Решение: Положив x = acost, y = bsint, удовлетворим уравнению. При изменении t от 0 до 2 точка (x, y) пробегает весь эллипс.

Ответ. x = acost, y = bsint, t  [0, 2].
Столь же удобны гиперболические функции:

синус sht = (e ^t  e ^-^t)/2 и косинус сht = (e ^t + e ^-^t)/2.

Их отношение называется гиперболическим тангенсом tht = sht/cht. С помощью формул Эйлера на множестве комплексных чисел

sint = (e ^it  e ^-it)/(2i), сost = (e ^it + e ^-it)/2, i ² = -1,

получаем

sin(it) = (e ^i(it)  e ^–i(i)t)/(2i) = i(e ^t  e ^-t)/2 = i sht,

cos(it) = (e ^i(it) + e ^–i(i)t)/2i = (e ^t + e ^-t)/2 = cht.

Это позволяет известные тригонометрические соотношения трансформировать в соотношения между гиперболическими функциями.

ch²t  sh²t = 1, th²t = 1/ch²t – 1,

sh(t + q) = sht chq + cht shq, sh2t = 2shtcht,

ch(t + q) = cht chq + sht shq, ch2t = ch²t + sh²t,

2 ch²t = ch2t + 1, 2 sh²t = ch2t – 1.

Производные гиперболических функций:

(sht) = cht, (cht) = sht, (tht) = 1/ch²t.
Пример 1.2. Параметризировать ветвь гиперболы, заданную в прямоугольной системе координат уравнением x  0.

Решение: Положив x = acht, y = bsht, удовлетворим уравнению. При изменении t от  до + точка (x,y) пробегает ветвь гиперболы, лежащую в полуплоскости x  0.

Ответ. x = acht, y = bsht, t  ( , +).

Длина кривой. Пусть задана параметризация кривой r: [a,b]  R³. Разобьем отрезок [a,b] на n частей

a = t₀ < t₁ < t₂ < ... < t_n = b.

Ломаная с вершинами r(t₀), r(t₁), ... , r(t_n) называется вписанной в кривую, рис. 3. Длина вписаной ломаной

1.6 Определение. Кривая называется спрямляемой, если существует предел S длины вписанной ломаной при неограниченном возрастании числа ее звеньев и неограниченном убывании длин звеньев. Предел S называется длиной кривой.

Пусть Условие убывания длин звеньев ломанной можно заменить   0. Тогда

1.7 Теорема. _{Всякая гладкая кривая спрямляема, и ее длина определяется формулой}

(1.8)

Доказательство. Выберем значение _i[t_i-1, t_i] на каждом отрезке и составим интегральную сумму

по тому же разбиению отрезка. Оценим разность

Применив к сумме неравенство треугольника (1.1), и используя неравенство (1.2) и формулу Ньютона  Лейбница, получим

Так как непрерывная вектор-функция r (t) равномерно непрерывна на [a,b], то для любого положительного  при достаточно малом шаге разбиения  для t,_i  [t_i-1, t_i] будет выполняться условие |r (t)  r (_i)| <  . Тогда

Интегральная сумма _n имеет предел, так как непрерывная функция |r (t)| интегрируема. Из оценки следует, что S_n имеет тот же предел. Значит, гладкая кривая спрямляема и ее длина определяется интегралом (1.8).

Пример 1.3. Найти длину эллипса

Решение: При параметизации эллипса x = a cost, y = b sint, t  [0, 2] (пример 1.1)

его длина равна учетверенной длине дуги, лежащей в первом квадранте

S = 4

Выполним в интеграле замену  = _/2 – t

S = 4a

где - экцентриситет эллипса. Функции

E(t, ) = , F(t, ) =

называются соответственно эллиптическими интегралами первого и второго рода. Значения эллиптических интегралов удовлетворяют неравенствам

sint = E(t, 0)  E(t, )  E(t, _/2) = t = F(t, 0)  F(t, )  F(t, _/2) = t, t  [0, _/2].

Длина эллипса S =4a E(t, ),  = arcsin. По условию a =4,  = _/3. По таблице эллиптических интегралов находим E(_/2, _/3) = 1,21106, S = 19,37696.

Ответ. 16= 19,37696.
Естественная параметризация. Длину дуги можно использовать для введения удобной параметризации кривой. Зададим на отрезке [a,b] функцию

Ясно, что s = (t) задает длину дуги с началом в точке r(a) и концом в r(t), причем отрезок [a,b] отображается в [0,S]. Так как  (t) > 0, существует обратная функция

 =  ^-1: [0,S]  [a,b].

Зададим параметризацию кривой заменой параметра r₁(s) = r((s)).

1.8 Определение. Естественным параметром кривой называется длина дуги s. Параметризация кривой по параметру s называется естественной.

1.9 Предложение. Касательный вектор при естественной параметризации имеет единичный модуль.

Действительно, применяя правило дифференцирования обратной функции, имеем

 (s) = ( ^-1)(s) =



Дифференцирование по естественному параметру принято обозначать не «штрихом», а «точкой». Если r(s)  естественная параметризация кривой, касательный вектор t = называется единичным вектором касательной в точке r(s).

Кривизна кривой. Соприкасающаяся и спрямляющая плоскости. Пусть r(s)  естественная параметризация гладкой кривой. Возьмем произвольную точку P(r(s₀)) на кривой и вычислим вторую производную w(s₀) = в этой точке. Вектор w согласно механическому смыслу представляет ускорение материальной точки, движущейся по кривой с единичной скоростью. В геометрии w(s₀) называется вектором кривизны кривой в точке P. Модуль вектора кривизны обозначается k = |w| и называется кривизной кривой в точке P. Так как ||  1, то согласно лемме 1.2 вектор w(s) ортогонален вектору t(s) = в любой точке кривой и, следовательно, лежит в нормальной плоскости.

Прямая, проходящая через точку P в направлении вектора w(s₀), называется главной нормалью кривой в точке P. Единичный вектор n = w_/k называется единичным вектором главной нормали. Заменяя w на имеем

(1.9)

Кривизна характеризует, насколько данная кривая отличается от прямой. Действительно, если кривизна кривой равна нулю во всех точках, то из (1.9) следует, что единичный вектор касательной t = постоянен. Интегрируя равенство, получим

r(s) = r(a) + st, s[0,S].

Уравнение определяет отрезок прямой с направляющим вектором t.

Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль, называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке P, рис. 4. Нормальным вектором соприкасающейся плоскости является вектор b = [t, n], который называется вектором бинормали в точке P. В каждой точке кривой векторы t, n, b образуют правую тройку ортонормированных векторов, которая называется базисом Френе. Соприкасающаяся плоскость плоской кривой совпадает с плоскостью, в которой лежит кривая.

Плоскость, проходящая через точку P и содержащая векторы t и b, называется спрямляющей плоскостью кривой в точке P.

Кручение. Найдем производную вектора бинормали. С учетом коллинеарности и n имеем

,

откуда следует ортогональность и t. Кроме того в виду постоянства модуля вектор-функции b(s) вектор согласно лемме 1.2 ортогонален b. Следовательно, имеет место равенство

(1.10) =  sns.

Величина  называется кручением кривой.

1.10 Предложение. Кривая является плоской тогда и только тогда, когда ее кручение равно нулю.

Доказательство. У плоской кривой вектор b постоянен и из (1.9) вытекает, что кручение равно нулю. Напротив, если кручение кривой в каждой точке равно нулю, из (1.9) следует, что вектор b постоянен. Направим ось Oz по b. Так как вектор t ортогонален b, его координата Это означает, что все точки кривой имеют постоянную координату z, т. е. кривая плоская.

Таким образом, кручение характеризует отличие кривой от плоской.

Геометрический и механический смысл кручения. Согласно геометрическому смыслу производной вектор направлен по касательной к годографу вектор-функции b(s) в сторону возрастания s.

Годографом b(s) является дуга окружности радиуса 1, рис. 5. Так как окружность  спрямляемая кривая, длину хорды |b| при вычислении предела можно заменить на длину дуги, равную углу  между векторами b(s) и b(s+s)

(1.11) .

Вектор b(s) является нормальным для соприкасающейся плоскости, поэтому   угол между двумя соприкасающимися плоскостями кривой в близких точках P(r(s)) и P₁(r(s+s)). Формула (1.11) устанавливает геометрический смысл кручения. Абсолютная величина кручения в точке P равна отношению угла между соприкасающимися плоскостями кривой в двух близких точках P и P₁ к длине дуги кривой между этими точками.

Выясним механический смысл кручения. Угловой скорость вращения  тела вокруг оси называется вектор, направленный по оси вращения так, что с конца его вращение видно происходящим против часовой стрелки, и равный по модулю где   угол поворота тела вокруг оси за промежуток времени t, начиная с момента t. Вектор скорости v точки тела при вращении направлен в сторону движения по касательной к окружности, которую описывает точка, и по модулю равен произведению угловой скорости вращения на расстояние точки до оси. Если ось вращения проходит через начало координат, v = [, r], где r  радиус-вектор точки.

Годографы векторов t, n, b располагаются на единичной сфере, т. е. репер Френе при движении по кривой вращается вокруг оси, проходящей через центр сферы, причем скорости концов векторов t и b равны соответственно kn и &n, рис. 6. Следовательно, вектор t вращается вокруг бинормали с угловой скоростью kb, а вектор b вращается вокруг касательной с угловой скоростью &t. При & > 0 вращение происходит против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора t. Репер Френе участвует одновременно в двух вращениях вокруг осей t и b, что эквивалентно вращению вокруг оси, определяемой вектором  = t + kb. Линейная скорость конца вектора n должна быть

=  kt + &b.

Действительно, применяя формулы (1.8) и (1.9), находим

(1.12) = [ &n, t] + [b, kn] = &b  kt.

Абсолютная величина кручения является угловой скоростью вращения соприкасающейся плоскости вокруг касательной при движении точки по кривой с единичной скоростью. При положительном кручении соприкасающаяся плоскость вращается против часовой стрелки, при отрицательном  по часовой стрелке, если смотреть с конца касательного вектора. В этом состоит механический смысл кручения.

Вектор  = &t + kb представляет угловую скорость вращения репера Френе при его движении по кривой с единичной скоростью и называется вектором Дарбу.

Формулы Френе. Соотношения (1.9), (1.12) и (1.10) называются формулами Френе

(1.13)

Формулы Френе дают выражение производных векторов t, n, b по естественному параметру. Исходя из механического смысла производной вектор-функции, формулам (1.13) можно дать другое представление

= [(s), t(s)],

(1.14) = [(s), n(s)],

= [(s), b(s)],

где  = &t + kb  вектор Дарбу.

Пусть некоторая вектор-функция  задана в базисе Френе

(s) = (s) t(s) + (s) n(s) + (s) b(s)

и необходимо найти ее производную. Применяя формулы (1.14), получим

(1.15) .

Итак, производная вектор-функции состоит из двух частей: первая отвечает за изменение вектора относительно базиса, вторая [(s), (s)]  за изменение, вызванное вращением репера. Формулы Френе (1.14) устроены аналогично (1.15), но отсутствует первая часть, так как расположение векторов относительно базиса не меняется. Вычислим производную вектора Дарбу

Здесь отсутствует вторая часть, связанная с вращением.

Вычисление кривизны и кручения. Сводка основных формул. Естественная параметризация кривой на практике бывает крайне редко. Пусть гладкая кривая r: [a,b]  R³ задана координатными функциями x(t), y(t), z(t). Вектор-функцию r(t) считаем трижды дифференцируемой. Согласно (1.8) естественный параметр представляется квадратурой

s =

Вектор-функцию r(t) представим сложной функцией r(t) = r(s(t)). Вычислим производные, привлекая формулы (1.9), (1.12) и (1.10),

Отсюда следуют векторные равенства

По определению естественного параметра s(t) = |r(t)|. Вторая производная r (t) составляет острый угол с единичным вектором касательной,

(r (t), n(s)) = k(s) |r(t)| ² > 0.

В точке r(t) имеем:

1. Формулы кривизны и кручения кривой в векторной

(1.16)

и координатной записи

2. Единичные векторы базиса Френе

(1.17)

3. Уравнение касательной прямой и каноническом виде

(1.18)

4. Уравнение нормальной плоскости

(1.19) x (t)(x  x(t)) + y (t)(y  y(t)) + z (t)(z  z(t)) = 0.

5. Уравнение бинормали в каноническом виде

(1.20)

6. Уравнение соприкасающейся плоскости

(1.21)

7. Уравнение главной нормали как линии пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей

(1.22) 

x (t)(x  x(t)) + y (t)(y  y(t)) + z (t)(z  z(t)) = 0,

8. Уравнение спрямляющей плоскости

(1.23)

Замечание. Если точка r(t) кривой не является регулярной (r(t) = 0), единичные векторы t и n вычисляются с помощью предельного перехода

t(t) = b(t) =

_{а векторы} _r_₍_t_{), [}_r_₍_t_), _r_₍_t_{)] в уравнениях (1.18)} _ _{(1.22) заменяются соответственно на} _t₍_t_), _b₍_t_).

Плоская кривая. Для плоской кривой, заданной двумя уравнениями x = x(t), y = y(t), из формул (1.16)  (1.18) получаем в точке r(t):

1. Кривизна кривой

(1.24)

2. Единичные векторы касательной и нормали

(1.25)

3. Уравнение касательной прямой

(1.26)

4. Уравнение нормальной прямой

(1.27) x (t)(x  x(t)) + y (t)(y  y(t)) = 0.

При явном задании плоской кривой y = y(x) имеем для естественного параметра квадратуру

s =

Формулы (1.24)  (1.27) принимают вид:

1. Кривизна кривой

(1.28)

2. Единичные векторы касательной и нормали

(1.29)

3. Уравнение касательной прямой в точке (x₀, y(x₀))

(1.30) y = y(x₀) + y(x₀)(x  x₀).

4. Уравнение нормальной прямой в точке (x₀, y(x₀))

(1.31)

Из формулы (1.28) следует, что кривизна графика функции y(x) обращается в нуль одновременно со второй производной. В точках, где первая производная принимает нулевое значение, кривизна равна абсолютной величине второй производной функции.

Рассмотрим случай, когда плоская кривая задана в полярной системе координат уравнением r = r(),   [,]. Векторное уравнение кривой имеет вид

r() = e₁ r()cos + e₂ r()sin .

Перейдем к новому ортонормированному базису (e_r,e_), выполнив поворот на угол 

(1.32) (e_r,e_) = (e₁, e₂).

В новом базисе векторное уравнение кривой примет вид r() = r()e_r. Вычислим производные вектор-функции

r() = r()e_r + r()e_r = r()e_r + r()e_,

r() = r()e_r + r()e_r + r()e_ + r()e_ = (r()  r())e_r + 2r()e_ .

В базисе (e_r,e_) для естественного параметра получим квадратуру

s =

Формулы (1.24)  (1.27) остаются справедливыми в новых координатах. В формуле выражение x (t)y (t)  x (t)y (t) заменится на

2r ²()  (r ()  r()) r() = r ²() + 2r ²()  r() r ().

1. Кривизна кривой

(1.33)

Из формулы (1.33) вытекает, что окружность радиуса R имеет постоянную кривизну k = 1_/R.

2. Единичные векторы касательной и нормали в базисе (e_r,e_)

 = sgn(r ²() + 2r ²()  r() r ()).

Для перехода в базис (e₁, e₂) необходимо заменить e_r и e_ согласно (1.32).

(1.34)

 = sgn(r ²() + 2r ²()  r() r ()).

В базисе (e_r,e_) точка r() имеет координаты (r(), 0), а координаты произвольной точки r определяются преобразованием поворота

3. Каноническое уравнение касательной прямой (1.26) определяется направляющим вектором r()e_r + r()e_

или после упрощения

(1.35)

4. Уравнение нормальной прямой (1.27) в базисе (e_r,e_)

или после упрощения

(1.36)

следующая страница >>