страница 1страница 2 ... страница 7страница 8
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие работы
|
А. С. Логинов векторный и тензорный анализ лекции - страница №1/8
ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ Лекции. Факультет ЭТФ. 3 семестр. ОглавлениеГлава 1. Кратные интегралы. Двойной интеграл 2 §1. Двойной интеграл 2 Глава 2. Кратные интегралы. Продолжение 14 Глава 3. Криволинейные интегралы 19 Глава 4. Поверхностные интегралы 29 Глава 5. Интегралы, зависящие от параметра 44 Глава 6. Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты 50 Глава 7. Тензорная алгебра 54 Глава 8. Тензорный анализ 66 §1. Тензорное поле, алгебраические операции над тензорными полями 66 Глава 8. Приложения 69 Глава 1. Кратные интегралы. Двойной интеграл§1. Двойной интеграл
Для квадрируемой области D ее площадь будем обозначать D. Пусть f(x,y) функция, определенная в квадрируемой области D. Разобьем область D на части линиями так, чтобы каждая из полученных таким образом подобластей Di была квадрируема. Под линиями разбиения здесь и в дальнейшем будут подразумеваться кусочно-гладкие кривые. Полученный набор областей Dk , k=0,1,…,n - 1 называется разбиением области . В каждой из подобластей выберем точку Mk=(k ,k)Dk и обозначим этот набор точек Интегральной суммой для набора называется выражение (1) Величина , где dDk – диаметр множества Dk, называется характеристикой разбиения . Условие {k: MkDk} мы будем обозначать . Определение. Предел интегральных сумм (f,, ) при ()0 , если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек , называется двойным интегралом от функции f на D и обозначается Для интегралов используют также обозначения . Более точно это определение выглядит следующим образом: J>0>0,()|(f,, ) - J|. Такую последовательность в дальнейшем будем называть сходящейся последовательностью интегральных сумм. Теорема. Если функция интегрируема, то она ограничена. Доказательство проводится, как для функции одного переменного. В случае неограниченности функции на D найдется последовательность точек {P j} из области D, на которой предел функции будет равен бесконечности. Тогда для любой интегральной суммы, выбором одной из промежуточных точек можно сделать соответствующее слагаемое этой суммы сколь угодно большим, не изменяя остальных слагаемых. Для этого следует выбирать в качестве промежуточной точки этого слагаемого члены последовательности {P j}. Таким образом, условие стремления к нулю характеристики разбиения не может гарантировать сходимость интегральных сумм. На рисунке таким слагаемым интегральной суммы будет , где в качестве P можно выбирать Pj , начиная с номера 5. Таким образом, интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой выбором подходящего Pm (m=5,6,…).
Если функция на области , то интегральная сумма представляет собой сумму объемов цилиндров, основанием которых служат области Dk и высотой f(Mk). При достаточно мелком разбиении этот суммарный объем естественно считать приближенно равным объему области, ограниченной графиком функции и плоскостью z=0. Точным значением объема указанной области является интеграл . §2. Суммы Дарбу и их свойства
Пусть функция f(x,y) определена на D и ={Dk} разбиение этой области. Нижней суммой Дарбу называется сумма Верхней суммой Дарбу называется сумма
Определение. Если разбиение 2 получено из разбиения 1 добавлением некоторого числа новых линий, то говорят, что разбиение 2 следует за разбиением 1 (или 2 является более мелким, чем 1), при этом пишут .
s(f,) ( f,, ) S(f,), Это следует непосредственно из определения интегральных сумм и сумм Дарбу. 2) Если два разбиения D, то s(f,1) s(f,2) , S(f,2) S(f,1) . Другими словами, при измельчении разбиения нижние суммы могут только возрастать, а верхние суммы могут только уменьшаться. Это утверждение достаточно доказать для случая, когда второе разбиение получено из первого разбиением некоторого множества Dk первого разбиения 1 на два квадрируемых множества Dk , Dk+1. Рассмотрим нижние суммы Дарбу. Введем обозначения , , . Нижняя грань по всему множеству Dk будет меньше или равна, чем нижняя грань по части этого множества, поэтому mk mk , mk mk+1 . Для нижних сумм Дарбу можно записать s(f,1)=mk Dk +..., s(f,2) = mk Dk + mk+1 Dk+1 +... В каждой из сумм показаны только слагаемые, которыми эти суммы отличаются. Таким образом, разность сумм s(f,2) - s(f,1) = mk Dk + mk+1 Dk+1 - mk Dk = mk Dk + mk+1 Dk+1 - - mk (Dk +Dk+1) = (mk - mk) Dk +( mk+1 - mk ) Dk+1 0. Аналогично доказывается утверждение для верхних сумм Дарбу.
s(f,1) S(f,2). Обозначим через 3 = 1 2 разбиение, образованное всеми линиями двух исходных разбиений. Очевидно 1 3 , 2 3 . Тогда, как это следует из предыдущего свойства s(f,1) s(f,3) S(f,3) S(f,2), откуда и следует доказываемое неравенство. §3. Критерий интегрируемости
Определение. Пусть ={Dk}. Колебанием функции f(x) на множестве Dk будем называть величину k (f) = sup |f(P) – f(Q)| = Mk – mk , где точная верхняя грань берется по всевозможным P, Q из Dk , mk =, Mk =. Отметим, что S(f,) - s(f,) =. Определение. Нижним интегралом называется точная верхняя грань нижних сумм Дарбу , где верхняя грань берется по всевозможным разбиениям области D. Верхний интеграл определяется, как точная нижняя грань верхних сумм Дарбу =, где нижняя грань берется по всевозможным разбиениям области D. Отметим, что для ограниченной функции существует, как нижний, так и верхний интегралы. Это следует из того, что множество значений нижних сумм Дарбу ограничено сверху, например, значением любой верхней суммы Дарбу. Тоже самое можно сказать об ограниченности снизу множества значений верхних сумм Дарбу. Теорема. Для любого разбиения данного отрезка справедливы неравенства s(f,) S(f,). Доказательство. Не очевидным является только неравенство . Предположим противное, т.е., что Выберем непересекающиеся окрестности точек , ,тогда + . По определениям точных граней найдутся два разбиения 1 , 2 такие, что S(f,1) s(f,2), что противоречит свойству сумм Дарбу s(f,2) S(f,1) .
Теорема Дарбу. Для того, чтобы ограниченная функция была интегрируемой на D, необходимо и достаточно, чтобы разность сумм Дарбу S(f,) - s(f,) стремилась к 0 при ()0. То есть для существования интеграла необходимо и достаточно, чтобы >0>0,()S(f,) - s(f,)
тогда |S(f,) - s(f,)|=|S(f,) - J + J - s(f,)| |S(f,) - J| +| J - s(f,)| . Достаточность. Как уже отмечалось, для любого разбиения нижний и верхний интегралы существуют и s(f,) S(f,), где = sup s(f,), = inf S(f,). Так как разность сумм Дарбу может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения, то = . Положим J = = . Из соотношений следует, что |(f,,) – J | S(f,) - s(f,). Откуда и получаем требуемое утверждение. §4. Классы интегрируемых функций Без доказательства. §5. Свойства определенного интеграла
1)
. Доказательство. Имеем k(f+g) =sup|f(P)+g(P) – f(Q) – g(Q)| sup(|f(P)– f(Q) |+| g(P)– g(Q)|) sup|f(P) - f(Q)|+ sup|g(P) – g(Q)|=k(f) + k(g) . Отсюда S(f+g ,) – s(f+g ,)=k(f+g) Dk k(f) D k + k(f) D k . Откуда следует интегрируемость суммы. Далее, выбирая какую-нибудь последовательность разбиений и , получим сходящиеся последовательности интегральных сумм m(f+g), m(f), m(g), для которых будет выполнено равенство m(f+g) = m(f) + m(g). Переходя к пределу при m получим требуемое равенство.
c f(x,y)dxdy =cf(x,y)dxdy. Утверждение следует из соотношения (cf,,)= c(f,, ) для любых интегральных сумм.
| f(x,y)dxdy | | f(x,y)|dxdy. Доказательство. Из свойств модуля следуюет, что k(|f|) =sup||f(P)| –| f(Q)|| sup|f(P)– f(Q) |= k(f) . Откуда следует интегрируемость | f |. Далее для сходящейся последовательности интегральных сумм переходя к пределу при m получим требуемое неравенство.
Доказательство. Так как функции интегрируемы, то они ограничены |f(x,y)| M, |g(x,y)| M . Выполнено соотношение f(P)g(P) – f(Q)g(Q) = f(P)g(P) – f(P)g(Q) + f(P)g(Q) – f(Q)g(Q) = = f(P)(g(P) –g(Q)) + g(Q)( f(P) – f(Q)). Откуда следует неравенство k(fg) Mk(g) + Mk(f) и, следовательно, функция fg интегрируема.
Доказательство. Для одной точки. Обозначим P0 точка, в которой f(P0)0. Для заданного >0 рассмотрим -окрестность U точки P0. Если характеристика разбиения ()
Для сходящейся последовательности интегральных сумм выполнено неравенство m(f) m(g), переходя к пределу в котором, получим неравенство для интегралов.
В этом случае все слагаемые в любой интегральной сумме будут равны нулю.
Теорема 1. Если для интегрируемой функции f(x,y) справедливы неравенства m f(x,y) M на D, то существует c[m, M]: = c D. Доказательство. Для случая D=0 утверждение справедливо для любого числа c согласно свойству 8). Пусть D0. Тогда m D =dxdy dxdy = M D. Откуда и c=. Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то D: dxdy = f()D. Теорема 2. Если f – интегрируема на D и D=D1D2 (разбиение произведено некоторой линией), то f(x) – интегрируема на D1 и D2 и dxdy = dxdy + dxdy . Доказательство. Докажем сначала, что функция будет интегрируема на D1. Возьмем произвольное . Для него существует такое, что при будет выполнено неравенство S(f,) – s(f,)1 области D1, удовлетворяющего условию также будет выполнено неравенство S(f,1) – s(f,1)1 - разбиение D1 с характеристикой . Дополним это разбиение до разбиения всего D так, чтобы характеристика разбиения не изменилась () = (1) . В этом случае S(f,1) –s(f,1) S(f,) – s(f,) , откуда следует неравенство S(f,1) – s(f,1)D1 доказана. Аналогично доказывается интегрируемость функции на области D2 . Если существование интегралов доказано, то для доказательства требуемого равенства следует выбрать последовательность разбиений , областей D1 , D2 со стремящимися к нулю характеристиками и наборами произвольными наборами промежуточных точек . Таким образом, получим две сходящиеся последовательности интегральных сумм ( f, ,), ( f, , ) для D1 и D2 . Для объединения разбиений m = + и тоже получим сходящуюся последовательность интегральных сумм ( f,m, m). Для этих сумм имеет место соотношение ( f,m, m) = ( f, ,)+ ( f, , ). Переходя к пределу в этом равенстве при , получим требуемое соотношение между интегралами. Теорема 3. Если f интегрируема на D и P – прямоугольник, содержащий D, то функция интегрируема на P и =. Доказательство. Следует из свойства аддитивности по множеству. Так как функция интегрируема на D, то она ограничена |f| M. Пусть 0 >0. Так как область D квадрируема, то существует окрестность U (открытое множество) ее границы D c площадью (U) 0 , D U . Можно показать, что существует раздутие границы D , лежащее внутри U. Это раздутие границы D , представляющее собой объединение окрестностей всех точек границы, обозначим через U . Так как функция интегрируема на D, то существует такое, что S(f,D) - s(f,D) 0 при (D)(1) где D – разбиение области D. Пусть разбиение P области P выбрано с характеристикой . Разобьем разность сумм Дарбу на три суммы S(F,P)-s(F,P)= = + +. В первой сумме суммирование распространяется на слагаемые, для которых множества разбиения Pk пересекаются с границей D. Ко второй сумме относятся слагаемые, для которых Pk содержатся в D, за исключением слагаемых, попавших в первую сумму. В третьей сумме содержаться все остальные слагаемые. Отметим, что в третью сумму попадают только слагаемые, равные нулю. Тогда можно сделать следующие оценки для этих сумм. 0 в силу (1). = 0, так как в области, где проходит суммирование F=0. MPk 2M(U) M 0. Из этих оценок следует выполнение условий критерия интегрируемости для функции F на P. Для доказательства равенства = следует выбрать сходящиеся последовательности интегральных сумм для F и P так, чтобы в число линий разбиения входила граница области D, а промежуточные точки выбирать внутренними для каждой из подобластей разбиения. В этом случае для областей разбиения Pk, не попадающих в D , будет выполнено условие F(Mk)=0 , соответствующие слагаемые F(Mk)Pk будут равны нулю и интегральная сумма по множеству P совпадет с интегральной суммой по множеству D . Теорема (Неравенство Коши-Буняковского). Для интегрируемых на D функций f и g справедливо неравенство . Доказательство. 0=+2 Так как это справедливо для любых , то - 0, откуда и следует требуемое неравенство. §6. Вычисление двойных интегралов
Рассмотрим прямоугольник D=[a,b][c,d]={(x,y):a x b, c y d }. Теорема. Если f интегрируема на D и для x существует ), то существует и выполнено равенство =. Интеграл принято обозначать и называть повторным в отличие от интеграла , который называется двойным. Доказательство. Для заданных разбиений x={a=x0xn=b}, y={c=y0ym=d} рассмотрим разбиение ={ Dij} области D, где Dij=[xi,xi+1] [yj, yj+1],введем обозначения , ={(i, j)}, i[xi, xi+1], j[yj, yj+1], xi=xi+1 – xi, yj=yj+1-yj . Тогда будут выполнены неравенства mij f(x,y) Mij для (x,y)Dij (1) (2) (3) Умножая неравенства (3) на xi и суммируя, получим При ()0 суммы слева и справа (суммы Дарбу) будут сходиться к интегралу , средняя сумма представляет собой интегральную сумму для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение. Замечание. Аналогичное утверждение получается, если поменять местами x,y. Если f интегрируема на D и для y существует , то существует и и выполнено равенство Интеграл обозначается и называется повторным. Следствие (перемена порядка интегрирования). Если f интегрируема на D и для y существует , x существует , то существуют интегралы, и выполнено равенство
Рассмотрим область D={(x,y): y1(x) y y2(x), x[a,b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные функции на [a,b]. Области такого вида будем называть областями типа A. Области вида где x1(y), x2(y) – непрерывные функции на [c,d] называются областями типа B .
Теорема. Если для области типа A существуют и для x[a,b] существует, то существует повторный интеграл и . Доказательство. Пусть D={(x,y): y1(x) y y2(x), x[a,b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные функции на [a,b]. Рассмотрим функцию f *(x,y) = где R=[a,b][c,d] прямоугольник, содержащий область D. По теореме 3 из параграфа 5 функция интегрируема на R и выполнено равенство . Для функции f * выполнены условия предыдущей теоремы, поэтому . Далее, =. На рисунке показано сечение поверхности плоскостью, проходящей через точку x, параллельно координатной плоскости yOz. Откуда и следует требуемое утверждение. Аналогично доказывается Теорема. Если для области типа B существуют и y[c,d] существует, то существует и . Примеры: Расставить пределы интегрирования в интеграле в том и другом порядке. 1. D={(x,y):0 x 1, x2 y 1+(x-1)2} 2. D={(x,y):0 x 1, x2-1 y cos(). §7. Замена переменных в двойном интеграле
Рассмотрим два экземпляра плоскости, плоскость переменных x, y и область D в этой плоскости, плоскость переменных , и область в этой плоскости Пусть имеется взаимно однозначное отображение области D на (1) (2) Будем предполагать, что отображения (1), (2) непрерывно дифференцируемы и якобианы этих отображений отличны от нуля Отметим, что В области рассмотрим некоторую кусочно-гладкую кривую Ее образ в D имеет параметризацию и будет также кусочно-гладкой кривой. Действительно, (3) Если (,)(0,0), то и (x,y)(0,0). Если предположить противное, то система (3) с не вырожденной матрицей коэффициентов должна будет иметь только тривиальное решение, что противоречит условию (,)(0,0). Определение. Кривая, составленная из точек области D вида или называется координатной линией. Неявное задание этой линии имеет вид (x,y)=0 (соответственно (x,y)=0). Определение. Числа 0 , 0 из области плоскости ( , ) определяющие положение точки из области D плоскости (x ,y) называются криволинейными координатами точки (x0 ,y0). Наоборот, на (x0 ,y0) можно смотреть, как на криволинейные координаты точки (0 , 0). Фиксируя значения или на плоскости ( ,) можно получить два семейства координатных линий. В области D появляется криволинейная координатная сетка. При сделанных предположениях две линии одного семейства не пересекаются между собой и через любую точку области D проходит по одной линии из каждого семейства
Пусть дано отображение и его обратное удовлетворяющее условиям предыдущего пункта и разбиение области D линиями =const, =const плоскости , . Рассмотрим прямоугольник [, +][, +] в плоскости , и его образ в плоскости x, y. Обозначим для краткости x=x(,), y=y(,), тогда x( + ,)= y( + ,)= x( , +)= y( , +)= x( + , +)= y( + , +)= Для вычисления площади фигуры с вершинами A(x,y), B(x( + ,), y( + ,)), C(x( + , +), y( + , +)), E( x( , +), y( , +)) рассмотрим параллелограмм A=A, B, C, E с координатами вершин A=A=(x,y), Этот параллелограмм построен на векторах AB, AE, a=AB =, b=AE =. Поэтому его площадь равна (A,B,C,E)=[a,b]= = Вершины A, B, C, E отличаются от вершин A,B,C,E на o(). Можно показать, что в этом случае площади будут отличаться на o(2) (A,B,C,E)= Используя это равенство, доказывается, что площадь области D будет равна D== (4) Докажем последнее равенство для случая, когда область представляет собой квадрат [,][,] . Рассмотрим разбиения отрезков [,] с равноотстоящими узлами В этом случае i=i+1 - i = ( - )/n , j=j+1 - j = ( - )/n , ==( - )/n. Тогда площадь области D будет равна D=. . Можно показать, что последнее слагаемое является бесконечно малой при n , откуда и следует равенство (4). Замечание. Выражение dxdy иногда называют элементом площади в плоскости x,y, а выражение dd - элементом площади в плоскости , . dxdy = dd. Из (4) по теореме о среднем можно записать D=. Таким образом, в любой точке области M0=(0 ,0 ,0 ) =. Таким образом, модуль якобиана является коэффициентом искажения площади при данном отображении.
Экспонента =[-3,1][0,] Функция Жуковского ,= [0,][0.25,0.9] (в полярных кординатах) Дробно линейное отображение ,= [0.25,1][0,1].
Рассмотрим отображение и его обратное , непрерывно-дифференцируемое и имеющее отличный от нуля якобиан в области D. Лемма. Если функция f(x, y) интегрируема на D, то функция F(, )=f(x(, ),y(, )) интегрируема на . Доказательство. Любое разбиение области D порождает разбиение области и наоборот. Эти разбиения будем обозначать D={Dk} , ={k}. Здесь Dk и k – подобласти, переходящие друг в друга при заданном отображении . Для разбиений D={Dk} , ={k} колебания функций F, f будут равны между собой k(F)== =k(f). В дополнение к этому следует добавить, что стремление характеристики разбиения для одного из разбиений D={Dk} , ={k}влечет стремление к нулю характеристики другого разбиения. Например, расстояние можно оценить через Сделаем оценку для разности первых координат, используя теорему Лагранжа и неравенство Коши-Буняковского Далее =, поэтому между разностями сумм Дарбу будут выполнены соотношения S(F, )-s(F, )== С=C(S(f,D)-s(f, D)). Откуда и следует интегрируемость функции F(, ) на . Теорема. Пусть функция f интегрируема в D, тогда = . Доказательство. Согласно доказанной лемме интеграл справа существует. Выберем некоторое разбиение области на подобласти i и соответствующее ему разбиение области D на множества Di. Тогда по теореме о среднем для каждого i будет существовать точка (i , i ), для которой Di = ==. Для этих точек (j,j ) и соответствующих им точек (xj,yj ) можно выписать интегральные суммы . При переходе к пределу при измельчении разбиения левая и правая части этого равенства будут сходиться к интегралам , , соответственно. Пример 1. Рассмотреть область D={[,],r[r1,r2]} и сделать замену в интеграле , используя полярные координаты: . Для полярных координат якобиан отображения равен , . Поэтому, для областей указанного типа получим: == . Пример 2. Сделать замену переменных u=x+y, v=y – x в интеграле для области D={|x|+|y| 1}. Якобиан отображения . Нужный нам якобиан равен . Поэтому =. Пример 3. Сделать замену переменных x=u cos4v, y= u sin4v в интеграле для области D, ограниченной кривыми x=0, y=0, . Областью здесь является прямоугольник . Якобиан отображения будет равен: =. Поэтому =. Пример 4. Является ли конечной площадь области, заключенной между биссектрисой 2-4 –го координатных углов и кривой (x3+y3)2=x2+y2. Перейдем к полярным координатам r6(cos3+sin3)2=r2, . Тогда площадь указанной области будет равна: D=== ======. Последний интеграл расходится. следующая страница >> |
|