Программа курса "Дифференциальная геометрия"

Программа курса

“Дифференциальная геометрия”

(2013-2014 гг., весенний семестр, лектор – И.А. Тайманов)

Теория кривых: регулярные кривые, длина кривой, уравнения Френе, кривизна и кручение кривых, натуральные уравнения кривых и определение кривой по натуральному уравнению.
Ортогональная группа O(N), касательные матрицы к единице группы, вложение группы в евклидово пространство как подмногообразия. Кватернионы и ортогональные преобразования трех- и четырехмерного евклидовых пространств как сопряжения в пространстве кватернионов.
Псевдоортогональные группы O(p,q), их приложения в физике – преобразования Лоренца в специальной теории относительности.
Понятие регулярной поверхности, локальное задание поверхности как образа отображения, как множества нулей отображения и как графика функции, эквивалентность этих определений.

Первая квадратичная форма на поверхности. Пример: первая квадратичная форма на единичной сфере, сферические координаты и геодезические на сфере.

Реализация плоскости Лобачевского на двуполостном гиперболоиде в псевдоевклидовом пространстве, псевдосферические координаты на ней.
Вторая квадратичная форма поверхности, теорема Менье. Инварианты пары квадратичных форм, главные кривизны, гауссова кривизна поверхности и ее геометрический смысл.
Деривационные уравнения поверхности, уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци, теорема Гаусса об определимости гауссовой кривизны первой квадратичной формой, теорема Бонне об определимости поверхности первой и второй квадратичной формами.
Понятие римановой метрики и связности. Символы Кристоффеля и их выражение через метрику. Пример: метрика Лобачевского на верхней полуплоскости.
Понятие тензора на многообразии (многомерной поверхности), векторы и ковекторы, действие гладких отображений на векторные и ковекторные поля и на метрические тензоры. ~~Отображение Гаусса поверхности и его действие на метрический тензор сферы.~~
Функция Лагранжа (лагранжиан), функционал действия и его экстремали, уравнения Эйлера-Лагранжа.
Изопериметрическая задача на плоскости.
Геодезические. Пример: геодезические на поверхности вращения (интеграл Клеро) и на плоскости Лобачевского.
Полугеодезическая система координат на поверхности, геодезические как локально кратчайшие линии.
Теорема Гаусса-Бонне для многоугольников на поверхности.
Симплициальные разбиения поверхности, эйлерова характеристика, теорема Бонне об интеграле гауссовой кривизны по поверхности, инвариантность эйлеровой характеристики.
Минимальные поверхности как критические точки функционала площади.

Список литературы:

И.А. Тайманов. Лекции по дифференциальной геометрии. Второе издание (исправленное и дополненное): Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2006.
С.П. Новиков, И.А. Тайманов. Современные геометрические структуры и поля. Москва: Московский центр непр. матем. обучения, 2005.