Литература §1 Дифференциальная геометрия кривых

§ 3 Дифференциальная геометрия поверхностей
Способы задания поверхности.

3.1. Определение. Гладкой поверхностью называется взаимно однозначное дифференцируемое отображение r: U R³, где U  открытое множество в R² с координатами (u,v), причем

(3.1) в U.

Отображение r: U R³ называется параметризацией поверхности. При выполнении условия (3.1) параметризация называется регулярной. Регулярная параметризация определяет гладкую поверхность.

Значения u и v полностью определяют точку. Параметры u и v называются внутренними координатами точки на поверхности. Если точка имеет координаты x,y,z, то при изменении u и v координаты тоже будут меняться

(3.2) x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v).

Соотношения (3.2) называются уравнениями параметризованной поверхности, а x(u,v), y(u,v), z(u,v)  ее координатными функциями. Равенства (3.2) определяют в области U вектор-функцию r(u,v) двух переменных. Предел, непрерывность и алгебраические операции над такими функциями определены так же, как и для вектор-функции одного переменного. Частные производные вектор-функции r(u,v) обозначаются путем добавления нижних индексов, соответствующих переменным, по которым проводится дифференцирование: r_u(u,v), r_v(u,v).

Помимо параметрического, существуют другие способы задания гладкой поверхности. По теореме о неявной функции поверхность локально может быть представлена в виде графика некоторой функции. Условие [r_u, r_v]  0 означает, что ранг матрицы Якоби

равен 2. Например, если в некоторой точке (u,v) минор

отличен от нуля, то в малой окрестности этой точки уравнения x = x(u,v), y = y(u,v) могут быть разрешены относительно u и v: u = u(x,y), v = v(x,y). Подставив u и v в третье уравнение, получим явное задание поверхности

z = z(u(x,y),v(x,y)) или z = f(x,y).

Поверхность можно задать как множество точек (x,y,z)R³, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0, причем gradF = (F_x,F_y,F_z)  0. В малой окрестности каждой точки (x,y,z) уравнение F(x,y,z) = 0 в силу условия gradF  0 можно разрешить относительно одной из координат.

Итак, поверхность может быть задана одним из следующих способов:

1) в параметрическом виде r = r(u,v);

2) в виде графика функции z = f(x,y);

3) в неявном виде уравнением F(x,y,z) = 0, причем gradF  0.

При изучении поверхности наиболее целесообразным является параметрическое представление.

Пусть : WU  некоторое взаимно- однозначное отображение u = (,), v = (,) области WR² с координатами (,) в область U с координатами (u,v). Если r: U R³  параметризация поверхности, то отображение : W R³, определяемое формулой

(,) = r( (,),  (,)),

называется параметризацией, полученной заменой внутренних координат.

3.2. Предложение. Пусть r(u,v)  регулярная параметризация поверхности. Чтобы параметризация (,), полученная заменой внутренних координат u = (,), v = (,), была регулярной, необходимо и достаточно, чтобы функции (,), (,) были дифференцируемы и якобиан

=  _  _   _  _  0.

Доказательство. Используя формулу дифференцирования сложной функции, получим

[_ (,),_ (,)] = [r_u _ + r_v _, r_u _ + r_v _] =

= [r_u(u,v), r_v(u,v)]( _  _   _  _ ),

откуда непосредственно вытекает доказываемое утверждение.

Кривые на гладкой поверхности. Пусть r = r(u,v)  гладкая поверхность. Зададим в пространстве R² с помощью репера Oij прямоугольную систему координат. Точка с координатами (u,v) определяется радиус-вектором  = u i + v j. Пусть

(3.3) u = ₁(t), v = ₂(t), t  [a,b]

уравнения некоторой параметризированной плоской кривой в области U. На поверхности ей соответствует кривая, которая в пространстве R³ задается уравнением r = r(₁(t),₂(t)). Уравнения (3.3) называются внутренними уравнениями кривой на поверхности, а область U  картой поверхности. Кривые, задаваемые внутренними уравнениями u = t, v = v₀ и u = u₀ , v = t называются координатными линиями на поверхности.

Введем вектор-функцию  (t) = ₁(t) i + ₂(t) j и запишем уравнения (3.3) в векторном виде  =  (t). Положим r( (t)) = r(₁(t),₂(t)). Если  (t) имеет непрерывные производные до k  го порядка включительно, кривую  =  (t) будем называть гладкой порядка k, и записывать  (t) C ^k(t). Поверхность r = r(u,v) называют гладкой порядка k, если r(u,v) имеет непрерывные частные производные до k  го порядка, и пишут r(u,v)  C ^k(u,v).

3.3. Предложение. Если кривая  =  (t) гладкая, то на гладкой поверхности кривая r = r( (t)) гладкая. Если параметризации (3.3) регулярная, то параметризация r( (t)) регулярная.

Доказательство. Ясно, что если r(u,v) C ^k(u,v) и  (t) C ^k(t), то композиция r(₁(t),₂(t))C ^k(t). Далее

(3.4) r(₁(t),₂(t)) = r_u(u,v)₁(t) + r_v(u,v)₂(t).

При регулярной параметризации (3.3) для любого t [a,b] хотя бы одно из значений ₁(t) и ₂(t) отлично от нуля. Так как в силу условия (3.1) векторы r_u и r_v в любой точке (u,v) линейно независимы, нетривиальная линейная комбинация (3.4) не может быть нулевой, т. е. |r(₁(t),₂(t))|  0. Значит, параметризация r( (t)) регулярна.

Касательная плоскость поверхности. Пусть P  некоторая точка гладкой поверхности. Прямая касается поверхности в точке P, если она является касательной прямой к некоторой кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку P.

3.4. Предложение. Все прямые, касающиеся поверхности в точке P, лежат в одной плоскости.

Доказательство. Пусть поверхность задана уравнением r = r(u,v). Тогда согласно (3.4) касательный вектор любой кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку r(u₀ ,v₀), является линейной комбинацией векторов r_u(u₀ ,v₀) и r_v(u₀ ,v₀). Следовательно, каждый такой вектор, отложенный от точки r(u₀ ,v₀), лежит в плоскости, проходящей через эту точку и содержащей векторы r_u(u₀ ,v₀) и r_v(u₀ ,v₀). Тогда в этой же плоскости лежат и все рассматриваемые касательные прямые.

3.5. Определение. Плоскость, в которой лежат все прямые, касающиеся поверхности в точке r(u₀ ,v₀), называется касательной плоскостью в данной точке. Прямая, проходящая через точку r(u₀ ,v₀) и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.

В качестве нормального вектора к касательной плоскости естественно взять векторное произведение [r_u(u₀ ,v₀), r_v(u₀ ,v₀)], поскольку векторы r_u(u₀ ,v₀) и r_v(u₀ ,v₀) заведомо в ней лежат. Вектор

(3.5)

называется единичным вектором нормали к поверхности.

В соответствии с тремя способами задания поверхности уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности имеют следующий вид.

1) При параметрическом задании поверхности уравнение касательной плоскости

(r  r(u₀ ,v₀),r_u(u₀ ,v₀),r_v(u₀ ,v₀)) = 0, или

(3.6)

Уравнение нормали к поверхности

(3.7)

2) При явном задании поверхности z = f(x,y) используем параметризацию

x = u, y = v, z = f(u,v).

Уравнение касательной плоскости в точке (x₀ ,y₀) получим согласно (3.6)

или после развертывания определителя

(3.8) z  f(x₀ ,y₀) = f_x(x₀ ,y₀)(x  x₀) + f_y(x₀ ,y₀)(y  y₀).

Уравнение нормали к поверхности

(3.9)

3) При неявном задании поверхности уравнением F(x,y,z) = 0 в окрестности любой точки (x₀ , y₀ , z₀) в силу условия gradF  0 поверхность возможно представить уравнением, разрешенным относительно одной из координат. Например, если F_z(x₀ ,y₀ , z₀)  0, то уравнение поверхности представимо в виде z = f(x,y), причем в окрестности точки (x₀ , y₀ , z₀) по правилу дифференцирования неявной функции

f_x(x,y) =  F_x(x,y,z)/F_z(x,y,z), f_y(x,y) =  F_y(x,y,z)/F_z(x,y,z).

Уравнение касательной плоскости (3.10) примет вид

(3.10) F_x(x₀ ,y₀,z₀)(x  x₀) + F_y(x₀ ,y₀,z₀)(y  y₀) + F_z(x₀ ,y₀ ,z₀)(z  z₀ ) = 0,

а уравнение нормали к поверхности

(3.11)

3.6. Предложение. Пусть Pxyz  прямоугольная система координат с началом в произвольной точке P гладкой поверхности и осью z, направленной по нормали к поверхности в этой точке. Тогда на поверхности существует окрестность точки P, которую можно задать явным уравнением

z = f(x,y)

с непрерывно дифференцируемой функцией f(x,y), причем

f(0,0) = f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0.

Если поверхность допускает k раз непрерывно дифференцируемую параметризацию, то функция f(x,y) также k раз непрерывно дифференцируема.

Доказательство. Пусть в системе координат Pxyz поверхность задана уравнениями

x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v),

причем в силу выбора системы координат

(3.12) x(u₀ ,v₀) = y(u₀ ,v₀) = z(u₀ ,v₀) = 0.

Так как Pxy  касательная плоскость к поверхности в точке P, векторы r_u(u₀ ,v₀) и r_v(u₀ ,v₀) лежат в этой плоскости, т. е. имеют нулевые проекции на ось z,

(3.13) z_u(u₀ ,v₀) = z_v(u₀ ,v₀) = 0.

Тогда в силу линейной независимости векторов r_u(u₀ ,v₀) и r_v(u₀ ,v₀) (3.1)

Из теоремы об обратной функции следует, что в некоторой окрестности точки (u₀ ,v₀) для отображения x = x(u,v), y = y(u,v) существует обратное отображение u = u(x,y), v = v(x,y), причем

(3.14) u₀ = u(0,0), v₀ = v(0,0).

Тогда искомую функцию можно определить как

f(x,y) = z(u(x,y),v(x,y)).

Равенство f(0,0) = 0 следует из (3.14) и (3.12), равенства f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0  из формулы дифференцирования неявной функции по x

f_x(x,y) = z_u(u(x,y),v(x,y))u_x(x,y) + z_v(u(x,y),v(x,y))v_x(x,y)

и аналогичной формулы при дифференцировании по y и выражений (3.14), (3.13).

Наконец, если параметризация r(u,v) непрерывно дифференцируема k раз, то вместе с координатными функциями x(u,v) и y(u,v) непрерывно дифференцируемы k раз обратные функции u(x,y) и v(x,y). Тогда функция f(x,y) непрерывно дифференцируема k раз, как композиция k раз непрерывно дифференцируемых функций z(u,v), u(x,y) и v(x,y).

Направления на поверхности. Нормальное сечение. Пусть некоторая прямая l лежит в касательной плоскости к поверхности в точке P и проходит через эту точку. Говорят, что кривая на поверхности проходит через точку P в направлении прямой l, если l является касательной кривой в точке P. Если через точку P проходят две кривые, то углом между ними называется угол между их касательными в этой точке. Итак, угол между кривыми на поверхности, проходящими через точку P, зависит только от их направлений в точке P.

Проведем плоскость через нормаль к поверхности в точке P и прямую l. Пересечение этой плоскости с поверхностью в малой окрестности точки P является гладкой кривой, которая называется нормальным сечением поверхности в точке P в направлении прямой l. Прямая l является касательной прямой нормального сечения. Через точку P в направлении прямой l проходит множество кривых. Соприкасающаяся плоскость любой такой кривой пересекается с касательной плоскостью поверхности в точке P по прямой l.

Длина кривой на поверхности. Первая квадратичная форма. Пусть r = r(u,v) - уравнение гладкой поверхности. Рассмотрим гладкую кривую, заданную внутренними уравнениями u = ₁ (t), v = ₂ (t), t[a,b]. В пространстве эта кривая является годографом вектор-функции r₁(t) = r( (t)). Длина кривой выражается формулой (1.8)

Вычислим модуль вектора

r₁ (t) = r_u(₁ (t), ₂ (t)) ₁ (t) + r_v(₁ (t), ₁ (t)) ₂ (t).

Опуская для краткости t, получим

Введем обозначения

E(u,v) = (r_u(u,v), r_u(u,v)),

(3.15) F(u,v) = (r_u(u,v), r_v(u,v)),

G(u,v) = (r_v(u,v), r_v(u,v)).

Тогда модуль вектора получает выражение

(3.16)

а формула для длины кривой примет вид

(3.17)

Здесь для краткости опущены аргументы у E, F, G.

3.7. Определение. Выражение

(3.18)

называется первой квадратичной формой поверхности, а функции E, F, G  коэффициентами первой квадратичной формы.

Матрица первой квадратичной формы

(3.19)

является матрицей Грама базиса r_u, r_v в касательной плоскости. Обозначив через  столбец из координат касательного вектора кривой  =  (t) в базисе (i, j), запишем первую квадратичную форму в матричном виде

I(₁, ₂) = ^TG, Ф =

Угол между кривыми на поверхности. Пусть на поверхности заданы две кривые

u = ₁ (t), v = ₂ (t), t[a,b] и u = ₁ (), v = ₂ (), [, ],

проходящие через точку r(u₀ ,v₀)

(3.20) u₀ = ₁ (t₀) = ₁ (₀), v₀ = ₂ (t₀) = ₂ (₀).

В пространстве R³ эти кривые параметризуются соответственно

r₁(t) = r(₁ (t),₂ (t)) и r₂() = r(₁ (),₂ ()).

Угол между кривыми в точке r(u₀ ,v₀) равен углу между их касательными векторами

Как и раньше,

r₁ (t) = r_u(₁ (t),₂ (t))₁ (t) + r_v(₁ (t),₁ (t))₂ (t),

r₂ (t) = r_u(₁ (),₂ ())₁ () + r_v(₁ (),₁ ())₂ ().

Учитывая определение коэффициентов первой квадратичной формы (3.15) и равенства (3.20), получим

(r₁ (t₀), r₂ (₀)) = E(u₀ ,v₀)₁ (t₀) ₁ (₀) +F(u₀ ,v₀)( ₁ (t₀) ₂ (₀) +

+ ₂ (t₀) ₁ (₀)) + G(u₀ ,v₀)₂ (t₀) ₂ (₀).

Модули векторов r₁ (t₀) и r₂ (₀)) вычисляем по формуле (3.16). Косинус угла между пересекающимися кривыми на поверхности будет определен выражением

(3.21)

где _i , _i, i = 1, 2, являются числовыми значениями в точке (u₀ ,v₀). Формуле можно придать матричную форму записи

Геометрический смысл коэффициентов первой квадратичной формы. Длину координатной линии u = t, v = v₀ , t[t₀ , t₁ ] на гладкой поверхности с параметризацией r: UR³ найдем по формуле (3.17)

С другой стороны, в области U длина этой кривой

 =

Применяя к интегралу теорему о среднем, найдем

Таким образом, равен отношению малых дуг координатных линий v = v₀ на поверхности и в области U, т. е. задает масштаб карты поверхности вдоль этих координатных линий. Аналогично найдем, что задает масштаб карты поверхности вдоль других координатных линий u = u₀.

Для коэффициента F имеем

F = (r_u,r_v) = |r_u||r_v|cos,

где   угол между векторами r_u и r_v. Отсюда

Коэффициент F определяет угол между координатными линиями на поверхности.

3.8. Предложение. Чтобы координатные линии в каждой точке поверхности были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы F = 0.

Выясним смысл определителя матрицы первой квадратичной формы detG = EG  F ². Имеем

|r_ur_v|² = |r_u|²|r_v|²sin² = |r_u|²|r_v|²  |r_u|²|r_v|²cos² = EG  F².

По геометрическому смыслу модуля векторного произведения определитель detG равен квадрату площади параллелограмма, построенного на базисных векторах r_u и r_v.

На поверхности внутренние координаты можно ввести многими способами. Целесообразно выбирать их так, чтобы упростить коэффициенты первой квадратичной формы. Можно ввести на поверхности координаты так, чтобы E(u,v) = 1, F(u,v) = 0, G(u,v) > 0. Такая система называется полугеодезической.

При изотермических координатах E(u,v) = G(u,v), F(u,v) = 0. Как следует из уравнения (3.21), в этих координатах углы между линиями на поверхности и их изображениями на карте сохраняются. Эти координаты применяются в штурманских картах для прокладки курсов воздушных и морских судов.

Наконец, в чебышевских координатах E(u,v) = G(u,v) =1, F(u,v) совпадает с косинусом угла между координатными линиями. Длины координатных линий на поверхности и в области U сохраняются. Эти координаты применяются в задачах, связанных с раскроем ткани, листового металла.

Площадь поверхности. Пусть гладкая поверхность задана уравнением r = r(u,v), где (u,v)UR². Возьмем в области U некоторую замкнутую область , ограниченную конечным числом гладких кривых и вычислим площадь ее образа D = r().

3.9. Теорема. Всякая замкнутая ограниченная область D с кусочно гладкой границей имеет площадь, вычисляемую по формуле

(3.23) (D) =

Доказательство. Разделим область  кусочно гладкими кривыми на малые по диаметру области _i. Область D на поверхности разобьется на области D_i = r(_i), ограниченные кусочно гладкими кривыми, причем при достаточно малых диаметрах областей _i размеры областей D_i также малы. В каждой области D_i выберем произвольную точку P_i, в которой проведем касательную плоскость, и спроектируем область D_i в некоторую плоскую область G_i касательной плоскости. Пусть область D_i настолько мала, что в системе координат с центром в точке P_i и осью z, направленной по нормали к поверхности в этой точке, допускает явное задание z = f(x,y) в области G_i. Тогда площадь области D_i находится по формуле, полученной в математическом анализе

(D_i) =

а площадь всей области D равна

(3.24) (D) =

Пусть переход от явного задания к параметрическому осуществляется при помощи замены переменных

x = (u,v), y = (u,v).

Производя замену переменных под знаком двойного интеграла, получим

(D_i) =

где якобиан J = _u_v  _v_u. Параметризация поверхности определяется вектор-функцией

r(u,v) = (u,v)e₁ +  (u,v) e₂ + f((u,v), (u,v)) e₃.

r_u = _ue₁ + _ue₂ + (f_x_u + f_y_u)e₃,

r_v = _ve₁ + _v e₂ + (f_x_v + f_y_v)e₃,

r_ur_v = J(  f_xe₁  f_ye₂ + e₃).

Так как то для площади области D_i имеем

(D_i) =

Подставляя это значение в выражение (3.24) получим формулу (3.23).

Выражение называется элементом площади. Формула (3.23) при использовании элемента площади получает вид

(3.25) (D) =

Упражнения
Пример 3.1. Найти первую квадратичную форму поверхности, заданной уравнением z = f(x,y).

Решение: Принимая u = x, v = y, параметризируем поверхность

r = (x, y, f(x,y)).

Найдем производные

r_x = (1, 0, f_x(x,y)),

r_y = (0, 1, f_y(x,y))

и вычислим коэффициенты (3.15)

Вернемся к старым обозначениям переменных и составим первую квадратичную форму (3.18) поверхности

(3.26) I(xy ) =

Координатная плоскость Oxy является картой поверхности.

Ответ. I(xy ) =
Пример 3.2. Найти первую квадратичную форму поверхности

x ² + 3y ²  2z = 0.

Решение: Представим уравнение поверхности в явном виде

z = (1/2)x ² + (3/2)y ²

и воспользуемся результатом примера 3.1.

Ответ: I(xy ) =
Пример 3.3. Параметризировать поверхность вращения и найти ее первую квадратичную форму.

Решение: Введем прямоугольную систему координат с осью z, направленной по оси вращения. В цилиндрических координатах

x = r cos, y = r sin, z = z

уравнение поверхности вращения не зависит от  и имеет вид

F(r, z) = 0,

где плоская линия F(r, z) = 0 представляет осевое сечение поверхности. Параметризируем осевое сечение

r = f(), z = g()

и подставим значения r и z в выражения цилиндрических координат. Получим параметрические уравнения поверхности вращения

(3.27) x = f()cos, y = f()sin, z = g().

Продифференцируем уравнения поверхности

r_ = (f()cos, f()sin, g()),

r_ = ( f()sin, f()cos, 0)

и вычислим коэффициенты (3.15)

E = f ²() + g ²(), F = 0, G = f ²().

Составим первую квадратичную форму (3.18) поверхности

(3.28) I(, ) = (f ²() + g ²()) ² + f ²() ².

Координатные линии поверхности вращения  =₀ и  = ₀ представляют соответственно осевые сечения и сечения плоскостями, перпендикулярными оси z, и называются меридианами и параллелями, а параметры  и   широтой и долготой.

Ответ. I(, ) = (f ²() + g ²()) ² + f ²() ².
Пример 3.4. Поверхность, получаемая вращением окружности радиуса a, вокруг прямой, лежащей в одной плоскости с окружностью на расстоянии b от ее центра, называется тором. Найти первую квадратичную форму тора.

Решение. В координатах r, z осевое сечение тора (уравнение поверхности) имеет вид (r  b) ² + z ² = a ². Параметризировав осевое сечение r  b = a cos , z = a sin , получим параметрические уравнения тора

x = (b + a cos)cos , y = (b + a cos)cos , z = a sin,

где f() = b + a cos, g() = a sin. По формуле (3.28) найдем первую квадратичную форму.

Ответ. I(, ) = a ² ² + (b + a cos)² ².
Пример 3.5. Поверхность, получаемая вращением трактрисы вокруг асимптоты, называется псевдосферой. Найти первую квадратичную форму псевдосферы.

Решение: Введем прямоугольную систему координат, приняв ось симметрии поверхности за ось z. В координатах r, z осевое сечение псевдосферы (трактриса) имеет уравнение

r = a sin, z =  a(ln|tg(/2)| + cos).

Здесь f() = a sin, g() =  a(ln|tg(/2)| + cos), f ²() + g ²() = (cos/sin) ².

По формуле (3.28) найдем найдем первую квадратичную форму.

Ответ. I(,) = a ²(cos/sin) ² ² + a ² sin ²  ².

Пример 3.6. Поверхность, получаемая движением прямой в пространстве, называется линейчатой. Найти коэффициенты первой квадратичной формы линейчатой поверхности.

Решение: Пусть кривая r = r(t) лежит на поверхности и пересекает все прямолинейные образующие. Направляющий вектор образующей, проходящей через точку r(t), обозначим (t). Не ограничивая общности, можно считать его единичным. Любая точка линейчатой поверхности лежит на прямой, проходящей через некоторую точку кривой r = r(t) в направлении вектора (t). Векторное уравнение прямой имеет вид

(3.29) r = r(t) + u(t), |(t)| = 1.

Вся поверхность состоит только из таких точек. Таким образом, уравнение (3.29) является векторным уравнением (параметры u и t) линейчатой поверхности. Продифференцируем уравнение (3.29)

r_u = (t), r_t = r(t) + u(t)

и вычислим коэффициенты (3.18). Согласно лемме 1.2 ((t), (t)) = 0.

(3.30) E = 1, F = ((t),r(t)), G = (r(t),r(t)) + 2u(r(t),(t)) + u ²((t),(t)).

Рассмотрим более детально цилиндрические и конические поверхности. В системе координат с осью z, параллельной образующей, уравнение цилиндра F(x,y) = 0 совпадает с уравнением его направляющей в плоскости Oxy. Любая образующая цилиндра согласно выбору системы координат имеет направляющим вектором  = e₃. Параметризировав направляющую r(t) = x(t) e₁ + y(t) e₂, получим векторное уравнение (3.29) цилиндрической поверхности r(t) = x(t) e₁ + y(t) e₂ + ze₃. Принимая u = z, найдем значения коэффициентов

E = 1, F = 0, G = x ²(t) + y ²(t)

и составим первую квадратичную форму цилиндрической поверхности

(3.31) I(z,t ) = z ² + G(t)t ².

Любая образующая конической поверхности проходит через вершину конуса. В системе координат с началом в вершине имеем уравнение конической поверхности r = u(t). Вектор-функция (t) = x(t) e₁ + y(t) e₂ + z(t) e₃ параметризирует линию пересечения конуса с единичной сферой с центром в начале координат. Находим коэффициенты

E = 1, F = 0, G = u ²B², B²(t) = ((t),(t))

и составляем первую квадратичную форму поверхности

(3.32) I(u,t) = u ² + u ²B²(t)t ².

Ответ. I(u,t) = u ² +2((t),r(t))u t + u ²[(r(t),r(t)) + 2u(r(t),(t)) + u ²((t),(t))]t ².

Пример 3.7. Найти первую квадратичную форму эллиптического цилиндра

Решение: Параметризируем направляющую цилиндра

x = acos, y = bsin

и воспользуемся формулой (3.31).

Ответ: I(z, ) = z ² + (a ²sin ² + b ²cos ²) ².
Пример 3.8. Найти первую квадратичную форму конической поверхности, которая пересекается сферой радиуса R с центром в вершине конуса по кривой Вивиани.

Решение: В прямоугольной системе координат с началом в вершине конуса линия пересечения конуса с единичной сферой является кривой Вивиани (пример 1.6)

() = (cos ² , sin cos , sin).

Воспользуемся результатами примера 3.6. Параметрические уравнения конической поверхности

x = u cos ² , y = u sin cos , z = u sin.

Вычислим B²() = ((),()). Подставляя значения координатных функций (), получим B() = 1 + cos ² . Составим первую квадратичную форму (3.32) поверхности.

Ответ. I(u, ) = u ² + u ²(1 + cos ²) ².
Пример 3.9. Найти первую квадратичную форму эллиптического конуса

Решение: Параметризируем линию пересечения конуса с единичной сферой, определяемую уравнениями

Исключим z из первого уравнения

и параметризируем направляющую цилиндрической поверхности

x = a cos, y = b sin,

Преобразуем выражение B²(), используя уравнение единичной сферы

B²()= x ²() + y ²() + z ²() =

Подставим значения производных x () и y ()

B²() =

Заменим константы, отмеченные штрихом, их значениями

B²() =

Составим первую квадратичную форму эллиптического конуса

Ответ. I(u, ) = u ² + u ² ².
Пример 3.10. Пусть r = r(s) некоторая кривая, заданная в параметрическом виде, s  естественный параметр. В каждой точке кривой проведем прямую в направлении вектора мгновенной скорости вращения репера Френе (s) = &(s)t(s) + k(s)b(s). Получим линейчатую поверхность, которая называется поверхностью мгновенных скоростей вращения. Вычислить первую квадратичную форму поверхности мгновенных скоростей вращения.

Решение: Обозначим через (s) единичный вектор Дарбу

(s) =

Для вычисления производной вектора (s) привлекаем формулы Френе ,

Вычислим коэффициенты (3.30)

E = 1, F =

и составляем первую квадратичную форму.

Ответ. I(u,s ) =
Пример 3.11. Найти угол, под которым пересекаются кривые

   = (5/12) и  ²   ² = (5/144)  ²

на поверхности с первой квадратичной формой

I(, ) = (1 + 8cos ² cos ² ) ²  16 cos sin cos sin  + (1 + 8sin ²) sin ²  ².

Решение: Решив систему уравнений

   = (5/12),

 ²   ² = (5/144)  ²,

найдем точку пересечения кривых ( /4,  /6). Вычислим значения коэффициентов первой квадратичной формы

E = 1 + 8 cos ² cos ² , F =  8 cos sin cos sin , G = (1 + 8 sin ²) sin ²

в точке пересечения кривых ( = /4,  =  /6):

E = 4, F = , G = 3/2.

Параметризируем кривые в окрестности точки пересечения и найдем внутренние координаты касательных векторов. Полагая  = t для первой кривой и  =  для второй, получим соответственно

₁ = t, ₁ = t   /6, ₁ = 1, ₁ = 1,

₂ = , ₂ = 1, ₂ =  3/2.

Косинус угла пересечения кривых найдем, подставив значения E, F, G, ₁, ₁, ₂, ₂ в формулу (3.21) (положительное направление на кривой соответствует возрастанию параметра )

cos = = 0,2000.

Ответ:  = = 1,3694.

Пример 3.12. Найти длину кривой от точки A() до точки B() на поверхности с первой квадратичной формой

I(u,v ) = (cosu/sinu) ² u ² + sin ²u v ².

Решение: Параметризируем кривую

u = arcsin(), v = t, t []

и вычислим

u = sin ²u = I(u,v ) = .

По формуле (3.17) получим

Ответ:

Пример 3.13. Найти площадь поверхности, имеющей на карте форму кругового сектора

 = {(u,v) | u ² + v ²  R ², 0  v  u  }.

Первая квадратичная форма поверхности

I(u,v ) = (p ² + v ²) u ² + 2uv u v + (p ² + u ²) v ², p >0.

Решение: Вычислим По формуле (3.23)

 =

Перейдем в двойном интеграле к полярным координатам

u = cos, v = sin, dudv = dd,

 =

Ответ.
Пример 3.14. Найти уравнение нормальной прямой поверхности

x = u + v, y = 3u  3v, z = 2uv

в точке с координатами u = 2, v = 3.

Решение: Находим координаты точки

x(2, 3) = 5, y(2, 3) =  3, z(2, 3) =12

и значения производных

x_u(2, 3) = 1, y_u(2, 3) = 3, z_u(2, 3) = 6,

x_v(2, 3) = 1, y_v(2, 3) =  3, z_v(2, 3) = 4.

Вычисляем векторное произведение [r_u, r_v] = (30, 2,  6) и по формуле (3.6) составляем уравнение нормальной прямой

Ответ.
Пример 3.15. Составить уравнение касательной плоскости поверхности

2x ² + 3y ² + z ²  4 xy  4xz + 4x + 8y  8z  28 = 0

в точке (2,  1,  1).

Решение: Запишем уравнение поверхности в матричной форме

(X, AX) + 2(B, X) + c = 0,

Точка задается координатным столбцом X₀ = (2,  1,  1) ^T, причем

(X₀, AX₀) + 2(B, X₀) + c = 0.

Столбец 2(AX₀ +B) определяет вектор градиента поверхности в точке X₀.

Уравнение касательной плоскости (3.10) в матричной записи

(AX₀ +B, X  X₀) = 0

после упрощения примет вид

(AX₀ +B, X) + (B, X₀) + c = 0.

Вычислим

AX₀ +B = (B, X₀) + c =  24

и составим уравнение касательной плоскости

6x  3y  9z  24 = 0, или 2x  y  3z  8 = 0.

Ответ. 2x  y  3z  8 = 0.

Пример 3.16. Линия, пересекающая все меридианы поверхности вращения под постоянным углом , называется локсодромой. Корабль, сохраняющий неизменный курс, движется по локсодроме. В переводе с греческого локсодрома означает кособегущая. Найти уравнение локсодромы на сфере радиуса R.

Решение: Параметризируем сферу как поверхность вращения. В цилиндрических координатах осевое сечение сферы имеет уравнение

r ² + z ² = R ².

Полагая r =Rcos , z = Rsin , получим первую квадратичную форму

I(,) = R ²  ² + R ²cos ²  ².

Меридиан является координатной линией с касательным вектором (1, 0). При явном задании локсодромы  =  () ее касательный вектор (1, ()).По формуле (3.21) имеем

cos =

откуда  () = tg / cos. Интегрируя, получим уравнение

 = tg ln|tg(_/2 + _/4)| + ₀.

Представим уравнение локсодромы в цилиндрических координатах

tg(_/2 + _/4) = e ^⁽^ ^ ^ ⁰⁾^/tg^,

cos = sin( +  / 2) = 2 tg(_/2 + _/4)/(1 + tg ²(_/2 + _/4)) = 1/ch((   ₀)_/tg ).

Подставив значение cos и sin в выражения сферических координат, получим

r = R/ch((   ₀)/tg ), z = R th((   ₀)/tg ).

Знак «плюс» соответствует локсодроме, отклоняющейся к востоку, «минус» - к западу. Локсодрома проектируется на плоскость экватора в виде спирали с полюсом в центре сферы. Меридианы проектируются в лучи, направленные по полярным радиусам. Значение  = ₀ соответствует долготе, при которой локсодрома пересекает экватор.

Ответ. r = R/ch((   ₀)/tg ), z = R th((   ₀)/tg ).
Пример 3.17. Найти длину локсодромы на сфере радиуса R.

Решение: В примере 3.16 получено уравнение локсодромы

 = tg ln|tg(_/2 + _/4)| + ₀ ,   (-_/2, _/2).

Примем  за параметр, значение  =  () подставим в выражение первой квадратичной формы сферы и вычислим интеграл (3.17)

S =

Пределы интегрирования определяются протяженностью локсодромы от южного полюса сферы северного. Таким образом, при спиралеобразном характере локсодромы вблизи полюсов ее длина конечна и отличается от длины меридиана множителем 1/cos.

Ответ:  R/cos.
Пример 3.18. На картах, выполненных в изотермических координатах, локсодрома изображается прямой линией, что важно при прокладке курса воздушных и морских судов. Найти параметризацию сферы в изотермических координатах и вычислить первую квадратичную форму.

Решение: Параметризируем сферу в географических координатах (широта , долгота )

x = Rcos cos , y = Rcos sin , z = Rsin

и найдем ее первую квадратичную форму (пример 3.16)

I(, ) = R ²  ² + R ²cos ²  ².

В изотермических координатах E = G, F = 0. Преобразуем первую квадратичную форму

I(, ) = R ²cos ² ((/cos ) ² +  ²)

и выполним замену параметра

u = = ln| tg(/2 + /4)|.

Выразим cos и sin через u, используя представления через тангенс половинного угла

cos = 1/chu, sin = thu.

Получим параметризацию сферы в изотермических координатах

x = R cos /chu , y = R sin /chu, z = Rthu

и первую квадратичную форму поверхности

I(u,) = R ² (u ² +  ²)/ch ²u.

Ответ: x = R cos /chu , y = R sin /chu, z = Rthu,

I(u, ) = R ² (u ² +  ²)/ch ²u.
Пример 3.19. Найти параметризацию поверхности вращения в полугеодезических координатах и вычислить ее первую квадратичную форму.

Решение: В примере 3.3 получена первая квадратичная форма

I(, ) = (f ²() + g ²()) ² + f ²() ²

поверхности вращения при параметризации осевого сечения

r = f(), z = g().

В полугеодезических координатах E = 1, F = 0. Возьмем в качестве параметра длину дуги

s =

и перейдем к естественной параметризации осевого сечения

r = f(s), z = g(s).

Первая квадратичная форма поверхности вращения примет вид

I(s,) = s ² + f ²(s) ².

Итак, полугеодезическими координатами поверхности вращения являются длина дуги меридиана s и долгота  .

Ответ: x = f(s)cos, y = f(s)sin, z = g(s),

I(s, ) = s ² + f ²(s) ².
Пример 3.20. На поверхности

3x ² + 4y ² + 5z ² + 4 xy  4yz + 2x + 4y  16z  10 = 0

найти точки, в которых нормаль к поверхности перпендикулярна плоскости 8x + 6y +3z = 0,

и составить уравнение нормальной прямой.

Решение: Запишем уравнение поверхности в матричной форме

(X, AX) + 2(B, X) + c = 0,

Направляющий вектор нормали к поверхности коллинеарен нормальному вектору плоскости N = (8, 6, 3)^T, т. е. искомые точки удовлетворяют уравнениям

AX₀ + B = N,

(X₀, AX₀) + 2(B, X₀) + c = 0.

Матрица A невырождена. Из первого уравнения находим

X₀ =  A ^ ¹N  A ^ ¹B.

Подставим значение X₀ во второе уравнение. С учетом симметричности матрицы A получим

 ²(N, A ^ ¹N)  (B, A ^ ¹B) + c = 0.

Если квадратное уравнение имеет решение, такие точки на поверхности существуют. Зная , находим X₀ и составляем уравнение нормальной прямой

X = X₀ + tN.

A^¹N, A^¹B являются решением матричного уравнения с расширенной матрицей (A|N,B)

(A|N,B) =

Итак, A ^ ¹N = (2, 1, 1) ^T, A ^ ¹B = (1,  1,  2) ^T.

Для определения  получим уравнение 25 ²  25 = 0.

Значению  = 1 соответствует точка (3, 0,  1) с нормальной прямой ;

значению  =  1  точка (1, 2, 3) с нормалью .

Ответ. (3, 0,  1), ; (1, 2, 3), .
Пример 3.21. На поверхности

4x ² + 2y ² + 3z ²  4 xz + 4yz  6x + 8y +4z  16 = 0

найти точки, в которых касательная плоскость параллельна плоскости x  y  z = 0, и составить уравнение касательной плоскости.

Решение: Нормальный вектор касательной плоскости N = (1, -1, -1)^T; искомые точки удовлетворяют уравнениям (пример 3.20)

AX₀ + B = N,

(X₀, AX₀) + 2(B, X₀) + c = 0.

У заданной поверхности

A = , B = , c =  16,

матрица A вырождена. Согласно теореме Фредгольма первое уравнение AX₀ + B = N совместно только при условии (W ^T,N  B) = 0, где W  произвольное решение однородной системы. Если существует , удовлетворяющее условию (W ^T, N) = (W ^T, B), задача имеет решение.

В этом случае преобразуем второе уравнение, исключив AX₀

AX₀ = N  B,

(N + B, X₀) =  c.

Решив систему, составим уравнение касательной плоскости (N, X  X₀) = 0.

Находим матрицу W

A =

Уравнение (W ^T, N) = (W ^T, B) принимает вид  =  7. Вычислим

N  B = (  4, 3, 5)^T, N + B = (  10, 11, 9)^T

и решим систему

Существует единственная точка (  1/4, 0, 3/2), удовлетворяющая условию задачи. Составляем уравнение касательной плоскости (x + 1/4)  y  (z  3/2) = 0.

Ответ. (  1/4, 0, 3/2), x  y  z +7/4 = 0.

<< предыдущая страница следующая страница >>