Литература §1 Дифференциальная геометрия кривых

§ 4 Кривизна кривой на поверхности
Кривизна кривой на поверхности. Пусть кривая на гладкой поверхности задана естественной параметризацией r(s). Тогда ее вектор кривизны лежит в нормальной плоскости кривой. Разложим вектор кривизны на сумму двух составляющих: по нормали к поверхности k_m и по касательной плоскости k_g. Векторы m и k_m коллинеарны k_m = k_nm, где k_n - скалярная проекция вектора кривизны на нормаль к поверхности

(4.1) kn = k_nm + k_g.

4.1. Определение. Скалярная проекция k_n вектора кривизны на нормаль к поверхности называются нормальной кривизной кривой. Модуль проекции вектора кривизны k_g = |k_g| на касательную плоскость поверхности называется геодезической кривизной.

Сосредоточимся на изучении нормальной кривизны. Обозначим через  угол между единичными векторами главной нормали кривой n и нормали поверхности m, (n,m) = cos. Умножая равенство (4.1) скалярно на вектор m, получим

(4.2) k_n = = kcos.

Пусть поверхность параметризирована вектор-функцией r(u, v). Тогда параметризация кривой на поверхности имеет вид

r(s) = r(u(s), v(s)).

Продифференцируем равенство по s дважды

и подставим значение второй производной в (4.2). Положим

L(u,v) = (r_uu(u,v), m),

(4.3) M(u,v) = (r_uv(u,v), m),

N(u,v) = (r_vv(u,v), m).

С учетом ортогональности m векторам r_u и r_v получим

(4.4) k_n = kcos =

Правая часть в выражении (4.4) зависит только от координат (u,v) точки на поверхности и направления вектора касательной к кривой.

Фиксируем на поверхности точку P. Любые проходящие на поверхности через P кривые, чьи соприкасающиеся плоскости в точке P совпадают, имеют в этой точке одну и ту же касательную прямую l и главную нормаль n. Как следует из формулы (4.4), кривизна этих кривых в точке P одинакова. Это позволяет свести изучение кривизны кривых, имеющих в точке P касательную прямую l и главную нормаль n, к изучению кривизны сечения поверхности плоскостью, проходящей через P в направлении l и n. Из формулы (4.4) также следует, что кривизны в точке P всех плоских сечений поверхности, проходящих через P в направлении l, отличаются только множителем cos = (m,n). Особый интерес представляет нормальное сечение поверхности в точке P в направлении касательной l, так как у него вектор главной нормали n коллинеарен m и k_n = k. Следовательно, абсолютная величина нормальной кривизны k_n является кривизной нормального сечения поверхности в точке P в направлении касательной l. Нормальная кривизна положительна, когда векторы n и m одинаково направлены и отрицательна при противоположной направленности векторов. Кривизна наклонных сечений, проходящих через касательную прямую l, вычисляется по формуле

Это позволяет изучение кривизны кривой на поверхности свести к изучению кривизн нормальных сечений.

Теорема (Менье). Если через касательную прямую проведены два сечения, нормальное и наклонное, то проекция центра кривизны нормального сечения на плоскость наклонного сечения есть центр кривизны наклонного сечения.

Доказательство. Радиусы кривизны наклонного и нормального сечений равны соответственно R = 1/k и R_n = 1/|k_n| и согласно (4.4)

R_n = R|cos | = R|(n,m)|.

Для нормального сечения n₀ =  m. Угол между векторами n₀ и n острый

cos(n₀,n) = (n,n₀) = |(n,m)|.

Центры кривизн относительно точки P задаются радиус-векторами Rn и R_nn₀, ортогональными касательной прямой l. Следовательно, плоскость, проходящая через точку P и центры кривизн сечений С и С₀ , перпендикулярна плоскостям нормального _o и наклонного  сечений, рис. 12. Подставляя значения R = |PС |, R_n = |PС₀ |, получим |PС | = |PС₀ |cos(n₀,n). Это означает, что треугольник PCС₀  прямоугольный, а центр кривизны наклонного сечения C  основание перпендикуляра, опущенного из центра кривизны нормального сечения на плоскость наклонного сечения.

Вторая квадратичная форма. Пусть гладкая кривая на поверхности задана внутренними уравнениями

u = ₁ (t), v = ₂ (t).

Производные находим по правилу дифференцирования параметрической функции

а s ²(t) заменим значением первой квадратичной формы. Для нормальной кривизны получим формулу

4.2. Определение. Выражение

называется второй квадратичной формой поверхности, а числа L, M, N  ее коэффициентами.
Пример 4.1. Найти коэффициенты первой и второй квадратичных форм явно заданной поверхности z = f(x,y).

Решение: Параметризируем поверхность, приняв u = x, v = y,

r = (x, y, f(x,y))

и вычислим производные

r_x = (1, 0, f_x(x,y)), r_xx = (0, 0, f_xx(x,y)),

r_y = (0, 1, f_y(x,y)), r_xy = (0, 0, f_xy(x,y)),

[r_x,r_y] = (  f_x(x,y),  f_y(x,y), 1), r_yy = (0, 0, f_yy(x,y)).

По формулам (3.5) и (4.3) находим

E = 1 + f_x², F = f_x f_y, G = 1 + f_y², |[r_x,r_y]| =

L = M = N =
Подставим в формулы (4.3) выражение вектора

m = g = EG  F ²

и преобразуем коэффициент

и аналогично M и N. Получим другие векторные выражение для коэффициентов второй квадратичной формы

(4.5) L = - (r_u, m_u), M = - (r_u, m_v) = - (r_v, m_u), N = - (r_v, m_v).

Матрица второй квадратичной формы

позволяет использовать матричную запись

II(₁, ₂) =  ^TB.

Главные кривизны и главные направления. Фиксируем точку P на гладкой поверхности. Тогда первая и вторая квадратичные формы зависят только от направления касательной прямой в точке P, задаваемого вектором . Первая квадратичная форма положительно определена. Как известно из линейной алгебры, существует невырожденное преобразование  = C, приводящее первую квадратичную форму к нормальному, а вторую  к каноническому виду. Столбцы матрицы C как ненулевые решения системы

(4.6) (B  kG) =0,

определены для корней характеристического уравнения

det(B  kG) == 0.

Уравнение имеет вещественные корни k₁, k₂, которые называются главными кривизнами. Развертывая определитель, получим

(EG  F ² )k²  (NE  2MF + LG)k + (LN  M ² ) = 0.

Произведение главных кривизн обозначается через K и называется полной или гауссовой кривизной поверхности в точке. Полусумма главных кривизн обозначается H и называется средней кривизной. По формулам Виета получаем выражение гауссовой и средней кривизны через коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности в данной точке

(4.7)

Характеристическое уравнение примет теперь вид

(4.8) k²  2Hk + K = 0.

Собственные векторы  = (₁ , ₂ )^T задают в каждой точке поверхности направления касательной прямой, которые называются главными. В касательной плоскости они определяют два взаимно перпендикулярных направления. Кривизна нормального сечения поверхности в главном направлении равна главной кривизне. Главные направления (₁ , ₂ ) удовлетворяют системе уравнений (4.6), или в координатном виде

(4.9)

Исключим k

Раскрыв скобки, получим

Уравнение можно представить в более компактной форме

(4.10)

Формула Эйлера.

4.3. Теорема (Эйлер). В каждой точке гладкой поверхности существуют две перпендикулярные касательные прямые l₁ и l₂, в направлении которых нормальная кривизна принимает наибольшее и наименьшее значения k₁ и k₂. Нормальная кривизна в направлении произвольной касательной l, составляющей угол  с прямой l₁, равна

(4.11) k_n = k₁ cos² + k₂ sin².

Доказательство. Фиксируем точку P на гладкой кривой и перейдем к системе координат с началом в точке P и осью z, направленной по нормали к поверхности. По теореме 3.6 в окрестности точки P поверхность допускает параметризацию r = (x, y, f(x,y)), причем для функции f выполнены условия f(0,0) = f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0. Коэффициенты первой и второй квадратичных форм при явном задании поверхности вычислены в примере 4.1

В точке P матрица G первой квадратичной формы единичная, второй

Выполним поворот осей координат в касательной плоскости Pxy так, чтобы вторая смешанная производная функции f в точке P в новых координатах x, y равнялась нулю, а две другие обозначим k₁ и k₂, рис. 13. Пусть кривая, проходящая через точку P в направлении касательной прямой l, имеет естественную параметризацию

Тогда Подставляя эти значения в формулу нормальной кривизны, получим

причем k₁ и k₂ являются наибольшим и наименьшим значениями, которые нормальная кривизна принимает на осях x и y.

Линии кривизны.

4.4. Определение. Кривая на поверхности, касательная которой в каждой точке имеет главное направление, называется линией кривизны.

Внутренние уравнения линии кривизны имеют вид u = ₁ (t), v = ₂ (t), где согласно определению ₁ (t) и ₂ (t) в каждой точке поверхности удовлетворяют уравнению (4.10). Исключим t и перейдем к заданию линии кривизны уравнением v = v(u). Тогда

и после исключения ₁ и ₂ получим для линий кривизны дифференциальное уравнение

(4.12)

Через каждую точку поверхности проходит две линии кривизны, пересекающиеся под прямым углом. На поверхности линии кривизны образуют ортогональную сетку.

4.5. Теорема. Сетка линий кривизны является координатной тогда и только тогда, когда коэффициенты F и M первой и второй квадратичных форм равны нулю.

Необходимость. Если сетка линий кривизны является координатной, то по геометрическому смыслу коэффициент F должен быть нулевым, так как линии кривизны разных семейств ортогональны. Тогда, развертывая уравнение (4.12),с учетом равенства F = 0 получим

Emdu ² + (EN - GL)dudv – GMdv ² = 0.

Этому уравнению удовлетворяют координатные линии u = t, v = v₀ , для которых dv = 0, а du может принимать любые значения (аналогичное утверждение справедливо для линий u = u₀ , v = t). Следовательно, M = 0.

Достаточность. Если F = M = 0, то из уравнения (4.12) имеем

dudv = 0.

Этому уравнению удовлетворяет оба семейства координатных линий:

u = u₀ , v = t и u = t, v = v₀ ,

т. е. координатные линии являются линиями кривизны.

4.6. Следствие. Если координатная сетка являются сеткой линий кривизны, то главные кривизны равны k₁ = L/E, k₂ = N/G.

Классификация точек поверхности. Произвольная точка P гладкой поверхности называется точкой эллиптического типа, если гауссова кривизна в этой точке K > 0; точкой гиперболического типа, если K < 0; точкой параболического типа, если K = 0.

Из формулы Эйлера следует, что в точке эллиптического типа все нормальные сечения поверхности имеют нормальные кривизны одного знака. Вся поверхность в некоторой окрестности точки эллиптического типа лежит по одну сторону от касательной плоскости. Примерами поверхности, у которой все точки эллиптического типа, являются эллипсоид, двуполостной гиперболоид, эллиптический параболоид.

Точка эллиптического типа называется точкой закругления или омбилической, если в ней главные кривизны равны. В точке закругления все направления являются главными, т. е. определитель (4.11) обращается в нуль при любых значениях du, dv. Следовательно, омбилические точки определяются уравнением

(4.13)

У сферы все точки являются точками закругления.

В точке гиперболического типа нормальные кривизны нормальных сечений имеют разные знаки. Поверхность в некоторой окрестности точки лежит по разные стороны касательной плоскости. Примерами поверхности, у которой все точки гиперболического типа, являются однополостной гиперболоид, гиперболический параболоид.

В каждой точке гиперболического типа имеются два направления, называемые асимптотическими, для которых нормальная кривизна поверхности равна нулю. Асимптотические направления определяются обращением в нуль второй квадратичной формы

Из формулы Эйлера следует, что асимптотические направления симметричны относительно главных направлений

Асимптотической кривой называется кривая на поверхности, которая в каждой точке имеет асимптотическое направление. Дифференциальное уравнение асимптотических линий получим, выполнив замену dv/du = ₂ /₁

(4.14)

В окрестности точки параболического типа ничего определенного о расположении поверхности относительно касательной плоскости заранее сказать нельзя. Примерами поверхности, у которой все точки параболического типа, являются конус, цилиндры.

В каждой точке параболического типа одно из главных направлений является асимптотическим. Точка параболического типа, в которой все направления являются асимптотическими, т. е. обе главные кривизны равны нулю, называются точками уплощения. Точки уплощения определяются уравнениями

(4.15) GL  2FM + EN = 0, LN  M ² = 0.

Поверхность может содержать точки различных типов. Примером является тор. Две окружности, по которым касаются тора плоскости, перпендикулярные оси симметрии, состоят из параболических точек. Эти окружности делят поверхность тора на две части. Внешняя состоит из точек эллиптического типа, внутренняя  гиперболического.

4.7. Определение. Огибающей семейства прямых называется такая кривая, что все прямые семейства являются касательными к этой кривой.

Любая гладкая кривая является огибающей семейства своих касательных. Если все прямые пересекаются в одной точке, огибающая стягивается в точку. При параллельных прямых  общая точка удаляется в бесконечность.

4.8. Теорема (Родриг). На гладкой поверхности только вдоль линии кривизны нормали к поверхности имеют огибающую. Если сетка линий кривизны является координатной, то выполняются условия

(4.16) m_u =  k₁ r_u, m_v =  k₂ r_v,

где k₁ и k₂  главные кривизны.

Необходимость. Главные направления определяются как ненулевые решения системы уравнений (4.9). Подставим выражения коэффициентов первой (3.15) и второй (4.5) квадратичных форм и произведем перегруппировку. Уравнения (4.9) примут вид

Вектор m  единичный, поэтому его производные m_u и m_v согласно лемме (1.2) ортогональны ему, т. е. параллельны касательной плоскости. Итак, вектор лежит в касательной плоскости и ортогонален базису r_u, r_v. Следовательно,

(4.17) = 0.

Система уравнений (4.9) имеет ненулевые решения только для главных кривизн. Пусть u = ₁(t), v = ₂(t)  внутренние уравнения линии кривизны. Если главная кривизна k(t) для этой линии не равна нулю, рассмотрим кривую r = r₁ (t), имеющую параметризацию

r₁ (t) = r(₁ (t),₂ (t)) + (1/k(t))m(₁ (t),₂ (t)).

Касательный вектор этой кривой в силу соотношения (4.17) равен

r₁ (t) = (r_u + (1/k)m_u)₁ + (r_v + (1/k)m_v)₂ + (1/k)m = (1/k)m.

Это означает, что кривая r = r₁ (t) является огибающей семейства нормалей поверхности вдоль линии кривизны.

Если вдоль линии кривизны главная кривизна k постоянна, r₁ (t) = 0 и все нормали пересекаются в одной точке. Если главная кривизна равна нулю, то из (4.17) следует, что

m(₁ ,₂ ) == 0,

т. е. вдоль линии кривизны вектор m постоянен и нормали поверхности  параллельные прямые.

Пусть сетка линий кривизны является координатной. Для линий кривизны u = t, v = v₀ и u = u₀ , v = t из (4.17) получим соответственно m_u + k₁r_u = 0, m_v + k₂r_v = 0.

Достаточность. На гладкой поверхности r = r(u,v) найдем линию u = ₁ (t), v = ₂ (t), в точках которой семейство нормалей поверхности имеет огибающую. Вектор-функция, параметризирующая огибающую, должна иметь вид

r₁ (t) = r(₁ (t),₂ (t)) + (t)m(₁ (t),₂ (t)),

где (t)  множитель, определяемый условием коллинеарности касательного вектора искомой кривой вектору нормали поверхности

r₁ (t) = (t)m(₁ (t),₂ (t)).

Подставлим значение производной вектор-функции r₁ (t). Для краткости аргументы опустим

Умножим равенство скалярно на m. Так как вектор m ортогонален r_u и r_v, а в силу леммы 1.2  m_u и m_v, имеем  =  . Соотношение принимает вид

Умножим это векторное равенство скалярно на r_u и r_v и заменим скалярные произведения коэффициентами первой и второй квадратичных форм в соответствии с равенствами (3.17) и (4.5). Получим эквивалентную систему уравнений

совпадающую с (4.9) после замены  = 1/k. Только для главных кривизн система уравнений имеет ненулевые решения, определяющие главные направления. Значит, только вдоль линии кривизны нормали к поверхности имеют огибающую.

4.9. Следствие. Линиями кривизны поверхности вращения являются ее меридианы и параллели.

Действительно, в осевом сечении поверхности вращения нормали лежат в плоскости сечения и, следовательно, имеют огибающей эволюту меридиана. Вдоль параллели нормали образуют конус, т. е. пересекаются в одной точке.

Упражнения
Пример 4.2. Найти коэффициенты первой и второй квадратичных форм эллиптического параболоида

Решение: Примем координаты u = x, v = y проекции точки поверхности на плоскость Oxy за внутренние координаты и воспользуемся результатами примера 4.1.

E = 1 + x ²/9, F = xy/12, G = 1 + y ²/16,

L = M = 0, N =
Пример 4.3. Найти коэффициенты первой и второй квадратичных форм однополостного гиперболоида

Решение: Параметризируем поверхность

r = (a chu cosv, b chu sinv, c shu)

и вычислим производные

r_u = (a shu cosv, b shu sinv, c chu),

r_v = ( a chu sinv, b chu cosv, 0),

[r_u,r_v] = (  cb chucosv,  ca chu sinv, ab shu) chu,

r_uu = (a chu cosv, b chu sinv, c shu),

r_uv = ( a shu sinv, b shu cosv, 0),

r_vv = (  a chu cosv,  b chu sinv, 0).

По формулам (3.15) и (4.3) находим

E = ((a ²cos ²v + b ²sin ²v) sh ²u + c ²ch ²u),

F = (b ²  a ²) chu shu cosv sinv,

G = (a ²sin ²v + b ²cos ²v) ch ²u, |[r_u,r_v]| = Bchu,

B = ,

L =  abc /B, M = 0, N = abc ch ²u /B.
Пример 4.4 Найти коэффициенты второй квадратичной формы поверхности вращения.

Решение: Пусть в цилиндрической системе координат (r, , z) осевое сечение поверхности определяется уравнениями r = f(), z = g(). Параметризируем поверхность

r = (f()cos, f()sin, g())

и вычислим производные

r_ = (f()cos, f()sin, g()),

r_ = (  f()sin, f()cos, 0),

[r_ ,r_] = (  g()cos,  g()sin, f()) f(),

r_ = (f()cos, f()sin, g()),

r_ = (  f()sin, f()cos, 0),

r_ = (  f()cos,  f()sin, 0).

По формулам (4.3) находим

|[r_ ,r_]| = ,

L = M = 0, N =
Пример 4.5. Найти вторую квадратичную форму сферы радиуса a.

Решение: Осевое сечение сферы в цилиндрической системе координат r ² + z ² = a ². Параметризируем осевое сечение r = acos , z = asin и воспользуемся результатами примера 4.4.

Ответ: II (, ) = a ² + a cos ²  ².
Пример 4.6. В точке P(3, 2, 2) найти нормальную кривизну эллиптического параболоида

в направлении, определяемом сечением параболоида плоскостью x  2y + 2z  3 = 0.

Решение: Коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности получены в примере 4.2 для внутренних координат u = x, v = y.

E = 1 + x ²/9, F = xy/12, G = 1 + y ²/16,

L = M = 0, N =

В точке P имеем E = 2, F = 1/2, G = 5/4, L = 2/9, M = 0, N = 1/6.

Кривая на поверхности определяется уравнениями

Представим кривую как сечение цилиндра плоскостью

Уравнение кривой во внутренних координатах

Дифференцируя уравнение (2u/3 +1)u + (v/2  2)v = 0, получим в точке P соотношение между координатами направляющего вектора 3u  v = 0. Для задания направления годится любой ненулевой вектор, удовлетворяющий полученному условию. Положим (u, v ) = (1, 3).

Вычислим значение квадратичных форм в точке P для заданного направления

I(u, v ) = 2 + 2(1/2)3 + (5/4)3 ² = 65/4,

II(u, v ) = 2/9 + 203 + (1/6)3 ² = 31/18

и найдем нормальную кривизну как отношение второй квадратичной формы к первой

k_n = 62/585.
Пример 4.7. В точке P(2, , 3) найти нормальную кривизну однополостного гиперболоида 3x ² +6y ²  2z ²  6 = 0 в направлении, определяемом сечением гиперболоида плоскостью x + 3y  z  5 = 0.

Решение: В примере 4.3 при параметризации

r = (a chu cosv, b chu sinv, c shu)

получены коэффициенты первой и второй квадратичных форм однополостного гиперболоида

E = ((a ²cos ²v + b ²sin ²v) sh ²u + c ²ch ²u),

F = (b ²  a ²) chu shu cosv sinv,

G = (a ²sin ²v + b ²cos ²v) ch ²u,

B = ,

L =  abc /B, M = 0, N = abc ch ²u /B.

Приведем уравнение к каноническому виду и определим полуоси a = , b = 1, c = и внутренние координаты точки P

a chu cosv = 2, b chu sinv = , c shu = 3.

Подставляя значения a, b, c, найдем shu = chu = 2, v =  /4. Определим значения коэффициентов квадратичных форм и точке P

E = 21/2, F = , G = 6, L =  1/2, M = 0, N = 2.

Уравнение кривой во внутренних координатах

a chu cosv + 3b chu sinv  c shu  5 = 0

после дифференцирования определяет направление

((a cosv + 3b sinv) shu  c chu) u +(  a sinv + 3b cosv) chu v = 0.

В точке P получим 2u + 4v = 0. Положим (u, v ) = (2, ). Вычислим значение квадратичных форм в точке P для заданного направления

I(u, v ) = (21/2)2 ² + 2()2() + 63 = 4(15 + ),

II(u, v ) = (1/2)2 ² +23 = 4

и найдем нормальную кривизну как отношение второй квадратичной формы к первой

k_n = 1/(15 + ).
Пример 4.8. Найти гауссову и среднюю кривизны поверхности, заданной явно уравнением z = f(x, y).

Решение: В примере 4.1 вычислены коэффициенты первой и второй квадратичных форм при явном задании поверхности

E = 1 + f_x², F = f_x f_y, G = 1 + f_y², EG – F ² = 1 + f_x² + f_y²,

L = M = N =

Подставим вычисленные значения в формулы (4.7)

2H = K =
Пример 4.9. Найти главные кривизны поверхности вращения и вычислить гауссову и среднюю кривизну.

Решение: В примере 4.4 при параметризации поверхности вращения

r = (f()cos, f()sin, g())

вычислены коэффициенты первой и второй квадратичных форм

E = f ²() + g ²(), F = 0, G = f ²(),

L = M = 0, N =

По следствию 4.6 на поверхности вращения главные кривизны определены формулами

k₁ = L/E, k₂ = N/G.

Подставляя значения коэффициентов, найдем (для краткости аргументы опущены)

k₁ = k₂ =

Гауссову и среднюю кривизну вычислим по главным кривизнам

K = 2H =
Пример 4.10. Найти главные радиусы кривизны эллипсоида вращения

в точке P().

Решение: Согласно 4.9 линиями кривизны поверхности вращения являются меридианы и параллели. Проведем через точку P Осевое сечение эллипсоида, проходящее через точку P, имеет уравнение

F(r, z) =

Точке P соответствуют значения r₀ = 5/, z₀ = , рис. 14. Отрезок O₁P, равный расстоянию точки P от оси z, является радиусом сечения эллипсоида плоскостью z =, а точка O₁  центр сечения. Нормальное сечение поверхности в направлении широты z = определяется плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности OP перпендикулярно осевому сечению. Точка O при проектировании на плоскость z = попадает в точку O₁. По теореме Менье OP  радиус кривизны R₂ нормального сечения в широтном направлении. Из треугольника OPO₁ найдем R₂ = r/sin, где   острый угол между OP и осью z. По уравнению осевого сечения имеем

sin =

Подставляя значения r₀ , z₀ , найдем sin = 3/, R₂ = (5/3)

Радиус кривизны осевого сечения в точке P определяет другое главное значение R₁. Кривая M₀M  эволюта осевого сечения. Нормаль к поверхности в точке P касается эволюты в точке M. Отрезок MP является радиусом кривизны меридиана в точке P.

Параметризируем осевое сечение

r = 5cos, z = 3sin,

вычисляем производные

r =  5sin, z = 3cos, r =  5cos, z =  3sin

и по формуле (1.24) находим его кривизну

k =

В точке P cos = , sin = . Подставляя значения , найдем R₁ = .

Ответ.
Пример 4.11. Найти главные кривизны и главные направления в точке P(3, 2, 2) эллиптического параболоида

.

Решение: В примере 4.6 вычислены значения коэффициентов первой и второй квадратичных форм параболоида в точке P

E = 2, F = 1/2, G = 5/4, L = 2/9, M = 0, N = 1/6.

По формулам (4.7) находим гауссову и среднюю кривизны и составим квадратное уравнение (4.8)

k ²  (22/81)k +4/243 = 0.

Его корни k₁ = (11 + )/81 и k₂ = (11  )/81 являются главными кривизнами.

Для определения главных направлений составим уравнение (4.10)

или

Решения уравнения определяют главные направления

₂/₁ = (  1)/3, ₂/₁ =  ( + 1)/3.

Отношения ₂/₁ определяют тонгенс угла наклона касательной на карте поверхности в точке P. Сечения поверхности плоскостями

3(y  2)  (  1)(x  3) =0 и 3(y  2) +( + 1)(x  3) =0

определяют направления с экстремальными значениями нормальной кривизны.

Ответ: (11 + )/81, (11  )/81,

dy/dx = (  1)/3, dy/dx =  ( + 1)/3.
Пример 4.12. Найти главные кривизны и главные направления в точке P(2, , 3) однополостного гиперболоида

3x ² + 6y ²  2z ²  6 = 0.

Решение: В примере 4.7 при параметризации поверхности

r = (a chu cosv, b chu sinv, c shu)

вычислены значения коэффициентов первой и второй квадратичных форм в точке P

E = 21/2, F = , G = 6, L =  1/2, M = 0, N = 2.

По формулам (4.7) находим гауссову и среднюю кривизны

K =  1/61, 2H = 19/61

и составим квадратное уравнение (4.8)

k ²  (19/61)k  1/61 = 0.

Его корни k₁ = (11 + 19)/122 и k₂ =  (11  19)/122 являются главными кривизнами.

Для определения главных направлений составим уравнение (4.10)

или

Решения уравнения определяют главные направления

₂/₁ = (6 +)/, ₂/₁ = (6 )/.

Ответ: (11 + 19)/122,  (11  19)/122,

v/u = (6 +)/, v/u = (6 )/.
Пример 4.13. Определить тип точек однополостного гиперболоида

Решение: В примере 4.3 при параметризации поверхности

r = (a chu cosv, b chu sinv, c shu)

вычислены коэффициенты первой и второй квадратичных форм

E = ((a ²cos ²v + b ²sin ²v) sh ²u + c ²ch ²u),

F = (b ²  a ²) chu shu cosv sinv,

G = (a ²sin ²v + b ²cos ²v) ch ²u, EG – F ²= B ² ch ²u,

B = ,

L =  abc /B, M = 0, N = abc ch ²u /B.

Вычислим гауссову кривизну (4.7)

K =  (abc /B ²) ² < 0.

Все точки однополостного гиперболоида гиперболического типа.

Пример 4.14. Определить тип точек поверхности вращения, у которой осевое сечение определяется явным уравнением r = f(z).

Решение: При параметризации осевого сечения r = f(), z =  гауссова кривизна поверхности (пример 4.9)

K =

В точках выпуклости (f(z) < 0) кривой r = f(z) поверхность эллиптического типа, в точках вогнутости (f(z) < 0)  гиперболического. Точки, где вторая производная f(z) равна нулю, параболического типа.

Пример 4.15. Определить тип точек тора (r  b) ² + z ² = a ².

Решение: Параметризируем осевое сечение тора

r = b + acos , z = asin,   [0, 2]

и вычислим гауссову кривизну (пример 4.9)

K = cos / (a(b + acos)).

Внешняя часть поверхности тора (cos > 0) гиперболического типа, внутренняя (cos < 0) - эллиптического. Окружности, по которым тор пересекается с цилиндром r = a +b, состоят из точек параболического типа.

Пример 4.16. Определить тип точек поверхности, образованной бинормалями произвольной гладкой кривой (поверхность бинормалей).

Решение: Пусть кривая задана естественной параметризацией r = r(s). Поверхность бинормалей кривой имеет параметризацию (пример 3. ) r = r(s) + u b(s). Используя формулы Френе, вычислим производные

r_u = b(s), r_s = t(s)  &(s)u n(s), r_uu = 0, r_us =  &(s)n(s),

r_ss =  &(s)k(s)u t(s) + (k(s)  &(s)u) n(s)  & ²(s)u b(s)

и находим коэффициенты первой и второй квадратичных форм

E = 1, F = 0, G = 1 + & ²(s)u ², [r_u, r_s] = &(s)u t(s) + n(s),

L = 0, M =  &(s)/,

N = (k(s)(1 + & ²(s)u ²)  &(s)u)/.

По формуле (4.7) вычислим гауссову кривизну поверхности

K = 

Поверхность бинормалей пространственной кривой состоит из точек гиперболического типа. У плоской кривой все точки поверхности бинормалей параболического типа.

Пример 4.17. Найти омбилические точки на поверхности эллиптического параболоида

Решение: Условие (4.13), определяющее наличие омбилических точек, для поверхности, заданной явно, принимает вид (пример 4.1)

Подставив значения производных, получим

что равносильно условиям

xy = 0, p(1 + (x/p) ²) = q(1 + (y/q) ²).

При q  p равенство возможно только при x = 0, q(1 + (y/q) ²) = p. Получим две омбилические точки на поверхности эллиптического параболоида

Ответ: (0, (p  q)/2), (0,  (p  q)/2).
Пример 4.18. Найти асимптотические линии на поверхности однополостного гиперболоида

Решение: В примере 4.3 при параметризации поверхности

r = (a chu cosv, b chu sinv, c shu)

вычислены коэффициенты второй квадратичной формы

L =  abc/B, M = 0, N = abc ch ²u/B,

B = .

Подставляя значения коэффициентов в формулу (4.14), получим уравнение асимптотических линий

 du ² + ch ²u dv ² = 0.

Нахождение асимптотических линий сводится к отысканию первообразной dv/du =  1/chu.

v =

Уравнение можно записать в виде e ^u = tg((v  v₀)/2), или e ^u = |tg((v  v₀)/2)|. Выразим синус и косинус через тангенс половинного угла

|sin(v – v₀)| = 2e ^u/(1 + e ^2u) = 1/chu, cos(v – v₀) = (1 – e ^2u)/( 1 + e ^2u) = – thu.

Обозначим через v_ значение v₀, при котором sgn(sin(v – v_)) = , где  = 1. Тогда

chu sin(v – v_) = , chu cos(v – v_) = – shu.

Найдем уравнение асимптотической линии в декартовых координатах

x/a = chu (cos(v – v_) cosv_ – sin(v – v_) sinv_) = (– z/c) cosv_ –  sinv_ ,

y/b = chu (sin(v – v_) cosv_ + cos(v – v_) sinv_) =  cosv_ + (– z/c) sinv_ .

При любом фиксированном v_ это – уравнение прямой, полностью принадлежащей гиперболоиду

x ²/a ² + y ²/b ² = ((– z/c) cosv_ –  sinv_) 2( cosv_ + (– z/c) sinv_) 2 = z ²/c ² + 1.

Уравнение асимптотической линии можно записать в канонической форме

Для произвольной точки P(x₀, y₀, z₀) система

(– z₀ /c) cosv_ –  sinv_ = x₀ /a,

 cosv_ + (– z₀ /c) sinv_ = y₀ /b.

имеет решение

cosv_ = – (x₀ z₀ _/(ac) –  y₀ _/b)_/(z₀²_/c ² + 1),

sinv_ = – (y₀ z₀ _/(bc) +  x₀ _/a)_/(z₀²_/c ² + 1),

cos ²v_ + sin ²v_ = (x₀²_/a ² + y₀²_/b ²)_/(z₀²_/c ² + 1).

В точке P, принадлежащей однополостному гиперболоиду, cos ²v_ + sin ²v_ = 1, решение состоит из тригонометрического синуса и косинуса. В каждой точке гиперболоида два значения (cosv_ , sinv_ ), соответствующих  = 1. Таким образом, в каждой точке две прямолинейные образующие гиперболоида являются асимптотическими линиями поверхности.

Ответ.  = 1.
Пример 4.19. Найти линии кривизны поверхности

x = ucosv, y = usinv, z = hv.

Решение: Вычислим производные

r_u = (cosv, sinv, 0), r_uu = ( 0, 0, 0),

r_v = ( usinv, ucosv, h), r_uv = ( sinv, cosv, 0),

[r_u, r_v] = (hsinv,  hcosv, u), r_vv = ( ucosv,  usinv, 0)

и найдем коэффициенты первой и второй квадратичных форм

E = 1, F = 0, G = u ² + h ², L = 0, M =  h/, N = 0.

Составим уравнение линий кривизны

или (u ² + h ²)dv ²  du ² = 0.

Выполним замену переменной u = h sint. Уравнение приведется к виду dv ²  dt ² = 0. Решаем его, находим dt/dv = 1. Задача привелась к нахождению первообразной

t = v + v₀.

Подставим значение u в выражения x и y

x = hsh(v₀  v)cosv, y = hsh(v₀  v)sinv, z = hv

и перейдем цилиндрическим координатам r = = hsh(v₀  v), tg = y/x = tgv,

r = hsh(v₀  ), z = h.

В проекции на плоскость z = 0 линии кривизны представляют две спирали, раскручивающиеся в противоположных направлениях.

Ответ. x = r = hsh(v₀  ), z = h.
Пример 4.20. Найти линии кривизны гиперболического параболоида

2z = p > 0, q> 0.

Решение: Полагая u = x_/ + y_/, v = x_/ – y_/, получим параметризацию поверхности

r = ((u + v), (u – v), uv).

Вычислим производные

r_u = (, , v), r_v = (, – , u),

[r_u, r_v] = ((u + v), (v – u), ), r_uu = r_vv = 0, r_uv = (0, 0, 1)

и подсчитаем коэффициенты первой и второй квадратичных форм

E = (p + q)/2 + v ², F = uv + (p – q)/2, G = (p + q)/2 + u ², L = N = 0, M  0.

Уравнение линий кривизны получим, развертывая определитель (4.12),

((p + q)/2 + u ²) dv ² – ((p + q)/2 + v ²) du ² = 0.

Положим u = sh, v = sht. Уравнение упрощается dt ² – d ² = 0. Интегрируя, получим вдоль линии кривизны  = t + t₀. Перейдем к декартовым координаты

x = ( sh(t + t₀) + sht),

y = ( sh(t + t₀) – sht),

z =  sh(t + t₀) sht (p + q)/2.

Преобразуем суммы гиперболических синусов в произведения

sh(t + t₀) + sht = –i sin(it + it₀) – i sin(it) = 2 sh(t + t₀ /2) ch(t₀ /2),

sh(t + t₀) – sht = –i sin(it + it₀) + i sin(it) = 2 ch(t + t₀ /2) sh(t₀ /2).

Для семейства линий кривизны, соответствующего верхнему знаку, имеем

x = sh(t + t₀ /2) ch(t₀ /2),

y = ch(t + t₀ /2) sh(t₀ /2),

z = sh(t + t₀) sht (p + q)/2.

Перейдем к явному заданию линии кривизны, исключив t. Обозначим  = sh ²(t₀ /2). Уравнение линии кривизны примет вид

  0.

Второе семейство линий кривизны представляется уравнениями

x = –ch(t + t₀ /2) sh(t₀ /2),

y = –sh(t + t₀ /2) ch(t₀ /2),

z = –sh(t + t₀) sht (p + q)/2.

Для данного семейства костанту обозначим  = sh ²(t₀ /2) и перейдем к явному заданию линий кривизны

  0.

Найдем уравнение линий кривизны, проходящих через точки P(x₀, y₀, z₀) параболоида. Подставляя координаты точки P в уравнение, получим для определения  квадратное уравнение

  0.

По теореме Виета уравнение имеет при y₀  0 корни разных знаков. При y₀ = 0 в точке параболоида z₀  0 и один корень нулевой, другой отрицательный. Значит, для произвольной точки P существует единственное значение . Для линии кривизны другого семейства квадратное уравнение

  0

определяет единственное неотрицательное значение . Итак, через любую точку параболоида проходит две линии кривизны.

Представим линию кривизны линией пересечения двух цилиндров

  0,

  0.

Линии кривизны проектируются на координатную плоскость Oxy гиперболами, а на плоскости Oxz и Oyz – параболами.

§ 5 Сферическое отображение поверхности.
Пусть P  произвольная точка гладкой поверхности, а m  единичный вектор нормали в этой точке. Отложим его от начала координат. Тогда его конец определит точку  (P) на единичной сфере. Выполним такое построение для каждой точки поверхности. Построенное отображение поверхности в единичную сферу называется сферическим или гауссовым отображением. Образы множеств точек при гауссовом отображении называются сферическими изображениями.
Пример 5.1.

1) Сферическое изображение любой образующей цилиндрической поверхности есть точка, а сферическое изображение всего цилиндра есть некоторая дуга большого круга на единичной сфере.

2) Сферическое изображение плоской области есть точка.

3) Сферическое изображение эллиптического или гиперболического параболоидов есть открытая полусфера.

Третья квадратичная форма поверхности. Пусть гладкая поверхность задана уравнением r = r(u,v). Найдем первую квадратичную форму сферического изображения этой поверхности. Пусть некоторая гладкая кривая на поверхности задана внутренними уравнениями u = ₁ (t), v = ₂ (t), t[a,b]. Тогда длина ее сферического изображения равна

(5.1) S( (r)) =

Не ограничивая общности, можно принять, что линии кривизны являются координатными. В силу теоремы Родрига

.

Для квадрата модуля вектора получим

Здесь (r_u,r_u) = E, (r_u,r_v) = F, (r_v,r_v) = G. Сетка линий кривизны ортогональна, поэтому F = 0. Преобразуем выражение

По следствию 4.6 L = k₁ E, N = k₂ G, M = F = 0. Используя обозначения средней и гауссовой кривизн, получим

Формула получена в предположении, что линии кривизны задают координатную сетку, но в силу инвариантности первой и второй квадратичных форм относительно выбора базиса, она остается справедливой при любом выборе координатных линий. Очевидно, что

(5.2) |m(t)|² = 2HП (__)  K I (__).

Выражение (5.2) называется третьей квадратичной формой поверхности

Ш(__) =

Из формулы (5.2) вытекают векторные представления для коэффициентов третьей квадратичной формы

P(u,v) = (m_u, m_u) = 2HL  KE,

(5.3) Q(u,v) = (m_u, m_v) = 2HM  KF,

R(u,v) = (m_v, m_v) = 2HN  KG.

Матрица третьей квадратичной формы равна 2HB  KG, где B и G  матрицы соответственно первой и второй квадратичных форм.

Подставляя значение |m(t)| в (5.1), получим длину сферического изображения кривой. Если две линии пересекаются на поверхности, то их сферические изображения также пересекаются и угол между ними можно вычислить по коэффициентам третьей квадратичной формы. Формулы для длины дуги сферического изображения кривой и косинуса угла между сферическими изображениями кривых полностью аналогичны соответствующим формулам (3.17) и (3.21) с заменой E, F, G на соответствующие коэффициенты третьей квадратичной формы (5.3).

Площадь сферического изображения поверхности. Согласно (3.23) площадь сферического изображения гладкой поверхности D, определяемой уравнением r = r(u,v), (u,v)R², равна

(5.4) ((D)) =

Из линейной алгебры следует, что существует невырожденное преобразование C, приводящее одновременно матрицу G к нормальному виду, а матрицу B  к каноническому виду

G = C^TC, B = C^TC,

где   диагональная матрица с диагональными элементами k₁ и k₂. Для определителя det(2HB  KG) получим

det(2HB  KG) = det(C^T(2H  KE)C) = detCdet(2H  KE)detC =

= (2Hk₁  K)(2Hk₂  K)det(CC).

Главные кривизны удовлетворяют уравнению k²  2Hk + K = 0

Подставляя это значение в (5.4), получим формулу площади сферического изображения поверхности

(5.5) ((D)) =

Геометрическая интерпретация гауссовой кривизны.

Пусть D  малая окрестность точки P на гладкой поверхности. Тогда при стягивании D к точке P отношение площади ее сферического изображения  (D) к площади самой окрестности D стремится к абсолютной величине гауссовой кривизны в точке P.

Действительно

При D0 имеем 0. Применяя теорему о среднем и переходя к пределу, получим

Изменение площади поверхности при деформации. Пусть гладкая поверхность D задана параметризацией r(u,v). Не ограничивая общности, можно считать, что линии кривизны являются координатными. Построим поверхность D₁ , сдвигая каждую точку поверхности в направлении единичного вектора нормали на величину (u,v). Тогда вектор-функция

r₁ (u,v) = r(u,v) + (u,v)m(u,v)

задает параметризацию поверхности D₁. Согласно теореме Родрига (4.15) имеем

r_1u = r_u + m_u + _u m = (1 - k₁)r_u + _u m, r_1v = (1 - k₂)r_v + _v m,

[r_1u, r_1v] = (1 - k₁) (1 - k₂)[r_u, r_v] + _u (1 - k₂)[m, r_v] + _v (1 - k₁)[r_u, m] =

= (1 - 2H +  ²K) |[r_u, r_v]| m + _u (1 - k₂)[m, r_v] + _v (1 - k₁)[r_u, m].

Вычислим скалярный квадрат вектора

detG₁ = (1 - 2H +  ²K) ²detG + _u² (1 - k₂) ²G + _v² (1 - k₁) ²E.

5.1. Предложение. Если при деформации поверхности смещение постоянно, то в соответствующих точках

m₁ = m, detG₁ = (1 - 2H +  ²K) ²detG.

Оценим изменение площади поверхности при деформации

(D) = (D₁)  (D) =

Имеем

Следовательно,

(D) =

Пусть в области  средняя кривизна поверхности отлична от нуля. Положим  =  H, где   достаточно мало, чтобы знак (D) определялся первым членом. Тогда площадь поверхности при деформации уменьшится. Более строгими выкладками можно доказать, что при надлежащем выборе  при уменьшении площади поверхности ее граница остается неизменной.

5.2. Определение. Минимальной называется поверхность, у которой в каждой точке средняя кривизна равна нулю.

Приравнивая нулю выражение средней кривизны (4.7), получим уравнение минимальной поверхности

(5.6) GL  2FM + EN = 0.

Геометрическая интерпретация средней кривизны. Пусть D  малая окрестность точки P на гладкой поверхности. Найдем относительное изменение площади D при деформации

При D0 имеем 0. Применяя теорему о среднем и переходя к пределу, получим

где все величины относятся к точке P. При малом  главная часть изменения равна –2H.

При малой дефорации поверхности главная часть относительного изменения площади малой окрестности точки P пропорциональна смещению точки P с коэффициентом пропорциональности –2H.
<< предыдущая страница следующая страница >>