Название работы	Кол-во страниц	Размер
Диссертация по специальности «геометрия и топология» защищена в 1993 г.	1	89.46kb.
Шихаб геометрия тензора конгармонической кривизны приближенно келеровых...	1	138.62kb.
Программа по курсу "Общая геометрия и топология"	1	77.12kb.
Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 01.	1	50.44kb.
Рабочая программа дисциплины гсэ. В. 10 Дифференциальная психология	1	199.45kb.
Программа курса "Дифференциальная геометрия"	1	21.8kb.
Программа дисциплины «Дифференциальная психология»	1	26.21kb.
Литература §1 Дифференциальная геометрия кривых	6	2317.84kb.
Рабочая программа модуля (дисциплины) математика линейная алгебра...	1	298.27kb.
Лакомкина Любовь Владимировна, №103-722-666 Приложение №3	1	40.96kb.
Программа дисциплины Топология для направления 010100. 62 "Математика"...	1	162.5kb.
Электронные базы данных elibrary	1	53.98kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет прикладной математики и кибернетики

Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия и топология»

для специальности 230401.65 «Прикладная математика» подготовки специалиста

Авторы программы:

Грушин В.В., д.ф.-м.н., профессор, vvgrushin@mail.ru.

Карасев М.В., д.ф.-м.н., профессор, mkarasev@hse.ru.

Одобрена на заседании кафедры прикладной математики «29» июня 2012 г.

Зав. кафедрой М.В. Карасев
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г

Председатель [Введите И.О. Фамилия]

Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.

Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов специальности 230401.65 «Прикладная математика», обучающихся по специализации «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач», изучающих дисциплину «Дифференциальная геометрия и топология».

Программа разработана в соответствии с:

• 
  ГОС 657100 Прикладная математика.
  
• 
  Образовательной программой 230401.65 «Прикладная математика».
  
• 
  Рабочим учебным планом университета по специальности230401.65 «Прикладная математика», специализации «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач», утвержденным в 2012 г.
  

2Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины является формирование перечисленных ниже компетенций, а также ознакомление студентов с основами общей топологии, теории гладких многообразий, тензорного анализа и римановой геометрии, теории интегрирования на многообразиях.

3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

• 
  Знать
  

• 
  основные понятия теоретико-множественной и дифференциальной топологии:
  

определение и свойства топологических пространств, гладких многообразий и их отображений, касательного расслоения;

• 
  связь локальных свойств отображений с дифференциалом отображения;
  
• 
  формулы Френе;
  
• 
  свойства первой и второй квадратичных форм поверхности, дифференциальных форм на гладких многообразиях.
  

• 
  Уметь
  

• 
  вычислять длины кривых и площади фигур в криволинейных координатах и на римановых многообразиях;
  
• 
  вычислять преобразование касательных векторов при отображениях многообразий;
  
• 
  вычислять первую и вторую квадратичные формы поверхности;
  
• 
  вычислять кривизну кривых и кривизну нормального сечения поверхности;
  
• 
  производить вычисления с дифференциальными формами.
  

• 
  Иметь навыки (приобрести опыт)
  

• 
  применения понятий, связанных с топологическими пространствами, гладкими многообразиями и их отображениями, касательными векторами, первой и второй квадратичными формами поверхности, дифференциальными формами.
  

4Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу «Дисциплины специализации».
Для специализации «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач» настоящая дисциплина является базовой.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

• 
  Дифференциальные уравнения.
  
• 
  Уравнения в частных производных.
  

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

 Дисциплина магистратуры «Асимптотический анализ».

5Тематический план учебной дисциплины

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы			Самостоя­тельная работа
			Лекции	Семинары	Практические занятия
1	Аксиомы и основные понятия	15	6		3	6
2	Топологические инварианты	15	6		3	6
3	Основы теории гладких многообразий	18	8		4	6
4	Дифференциальные расслоения	10	4		2	4
5	Дифференциальное исчисление на многообразиях	15	6		3	6
6	Дифференциальные формы	8	4		2	2

6Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	5-й курс, 1-й семестр	Параметры **
Текущий (неделя)	Контрольная работа	15-я неделя	Письменная работа 60 минут
	Домашнее задание	10-я – 14-я недели	Самостоятельная письменная работа, выполняется в течение четырех недель
Итоговый	Экзамен	В конце семестра	Устный экзамен.

6.1Критерии оценки знаний, навыков

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

Сдача студентом экзамена оценивается по десятибальной системе в соответствии со знаниями и навыками, проявленными студентом на экзамене, а также с учетом выполнения контрольной работы и домашнего задания.

7Содержание дисциплины

1. 
   Аксиомы и основные понятия
   

Аксиомы топологии, первые определения и простейшие следствия из них. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. Индуцированная топология.

Количество часов аудиторной работы – 9 часов.

2. 
   Топологические инварианты

   Число компонент связности и линейной связности, хаусдорфовость, регулярность и

   нормальность, компактность.

   Количество часов аудиторной работы – 9 часов.

   
   
3. 
   Основы теории гладких многообразий

   Гладкие структуры и гладкие отображения, диффеоморфизмы, касательные векторы и касательные отображения, подмногообразия и задание их уравнениями, регулярные и критические точки отображения, вложения и погружения.

   Количество часов аудиторной работы – 12 часов.
   

4. 
   Дифференциальные расслоения

   Локально-тривиальные расслоения и их сечения. Касательное и кокасательное расслоения

   Количество часов аудиторной работы – 6 часов.
   

5. 
   Дифференциальное исчисление на многообразиях

   Риманова метрика и интегрирование на римановых многообразиях. Градиент функции и дивергенция векторного поля.

   Количество часов аудиторной работы – 9 часов.
   

6. 
   Дифференциальные формы

   Алгебра дифференциальных форм. Дифференциальные формы на многообразиях.

   Интегрирование дифференциальных форм.

   Количество часов аудиторной работы – 6 часов.

   
   

8Образовательные технологии

Рекомендуемые образовательные технологии:

– чтение лекций

– проведение практических занятий

– проведение экзамена.

Аудиторные занятия проводятся в форме лекций, практических занятий, обсуждения и защиты домашних заданий. Во время проведения практических занятий широко используются активные и интерактивные формы (обсуждение отдельных разделов дисциплины и методов решения задач, предложенных преподавателем; выбор вариантов задач в рамках конкретных тем домашних заданий).

Для обеспечения интерактивного и непрерывного учебного процесса, в качестве образовательных технологий широко используются коммуникационные средства, предоставляемые сетью «Интернет», в частности, студентам обеспечивается доступ к современной научной литературе в рамках изучаемого курса, осуществляется информационный обмен посредством электронной почты.

Самостоятельной работой студентов является выполнение домашних заданий.

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Тематика заданий текущего контроля

Примерные вопросы/ задания для контрольной работы:

1. 
   Вопрос.
   
2. 
   
   

Примерные вопросы/ задания для домашнего задания:

1. 
   Вопрос.
   
2. 
   
   

9.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу или к каждому промежуточному и итоговому контролю для самопроверки студентов.

10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1Базовый учебник

М. Спивак и др. Математический анализ на многообразиях. СПб. «Лань». 2005.

10.2Основная литература

1. 
   Я.Р. Магнус, Х. Нейдеккер. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике. М: Физматлит. 2002.
   
2. 
   Э.Б. Винберг. Курс алгебры.М: «Факториал Пресс». 2002.
   
3. 
   Ф. Грин, Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории. М: «КомКнига». 2007.
   

10.3Дополнительная литература

1. 
   Фоменко А.Т., Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы, Ижевск, 1999.
   
2. 
   Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н., Введение в топологию,
   

М., 1995.

3. 
   Дубнов В.Л., Введение в геометрическую теорию управления, (учебное пособие),
   

М., МИЭМ, 1989.

4. 
   Мищенко А.С., Фоменко А.Т., Курс дифференциальной геометрии и топологии,
   

М. 1980.

5. 
   Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия, М., 1979.
   
6. 
   Рохлин В.А., Фукс Д.Б., Начальный курс топологии. Геометрические главы,
   

М., 1977.

7. 
   Архангельский А.В., Пономарев В.И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях,
   

М., 1974.

10.4Справочники, словари, энциклопедии

10.5Программные средства

1. 
   программное обеспечение:
   

Wolfram MATHEMATICA, Maple, Mathcad, MATLAB.

2. 
   базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:
   

Zentralblatt Math database, Math Search, Sci.Net., www.poiskknig.ru, www.booksgid.com/science, www.kodges.ru, wbooks.ifolder.ru, depositfiles.ru, letitbib.net.

10.6Дистанционная поддержка дисциплины

11Материально-техническое обеспечение дисциплины

Традиционная аудитория с аудиторной доской.