Литература §1 Дифференциальная геометрия кривых - umotnas.ru o_O
Литература §1 Дифференциальная геометрия кривых - umotnas.ru o_O
|
Похожие работы
|
Литература §1 Дифференциальная геометрия кривых - страница №6/6
6.9. Свойства геодезических: 1) В каждой точке геодезической, где кривизна не равна нулю, нормаль к поверхности совпадает с главной нормалью кривой. 2) В каждой точке геодезической вектор нормали к поверхности лежит в соприкасающейся плоскости. 3) В каждой точке геодезической спрямляющая плоскость кривой совпадает с касательной плоскостью к поверхности. 4) В каждой точке геодезической кривизна равна абсолютной величине нормальной кривизны. 5) Геодезическая в каждой точке имеет наименьшую кривизну среди всех кривых, проходящих через эту точку в том же направлении (т. е. она является “наипрямейшей” среди всех этих кривых). 6) Если линия, по которой касаются две поверхности, является геодезической для одной из них, то она должна быть геодезической и для другой. 7) При наложении поверхностей геодезические переходят в геодезические. Геодезическое кручение линии на поверхности. Пусть ((t) (t)) направление геодезической в данной точке поверхности. Рассмотрим третью квадратичную форму поверхности Перейдем к дифференцированию по естественному параметру кривой значение выразим через первую квадратичную форму отношение второй и первой квадратичных форм заменим нормальной кривизной поверхности. После сокращения получим (6.19) Главная нормаль геодезической коллинеарна нормали к поверхности m = n. По формуле Френе = kt + &b. Согласно определению кривизна геодезической равна абсолютной величине нормальной кривизны поверхности, k = |kn|. Обозначим кручение геодезической через &g. Из формулы (6.17) вытекает Следовательно, кручение геодезической линии, проходящей через точку в заданном направлении, выражается через главные кривизны поверхности в точке и кривизну нормального сечения (6.20) 1) Геодезическое кручение линии кривизны равно нулю. 2) Геодезическая тогда и только тогда является линией кривизны, когда она плоская. 3) На минимальной поверхности сумма квадратов кривизны и кручения геодезической линии равна K. 4) Геодезическое кручение асимптотической линии поверхности (kn = 0) равно 5) Геодезическая является асимптотической линией тогда и только тогда, когда она прямая. Каноническая метрика поверхности. Пусть L некоторая геодезическая гладкой поверхности, r(v) ее естественная параметризация (v длина дуги кривой L), |rv| = 1. Построим в окрестности кривой L полугеодезическую параметризацию поверхности r(u v), в которой кривая L задается уравнением u = 0. Согласно (6.7) при полугеодезической параметризации имеем (6.21) ds 2 = du 2 + G(u, v) dv 2. С учетом значений коэффициентов метрики (6.19) и выражения символов Кристоффеля (6.4) составим уравнения геодезических на поверхности (6.22) Второе уравнение в системе имеет решение v = v0, т. е. координатные линии v = v0 являются геодезическими. Линия L также является геодезической, т. е. должна удовлетворять первому уравнению при u = 0. Следовательно, для коэффициента G имеем Gu(0,v) = 0. Кроме того, так как линия L имеет естественую параметризацию, то по геометрическому смыслу коэффициентов метрики Из формулы (6.10) для ортогональной системы координат получим Положим B = При известной гауссовой кривизне поверхности определение B сводится к задаче нахождения решения уравнением (6.23) Buu + KB = 0 при дополнительных условиях B(0,v) = 1, Bu(0,v) = 0. В курсе уравнений с частными производными доказывается, что эта задача имеет единственное решение. Итак, в окрестности геодезической метрика поверхности определяется гауссовой кривизной (6.24) ds 2 = du 2 + B 2(u, v) dv 2. Необходимость следует из теоремы Гаусса. Достаточность является следствием из того, что метрика таких поверхностей приводится к одному виду (6.22). Поверхности постоянной гауссовой кривизны. Если гауссова кривизна K поверхности постоянна, коэффициент B можно получить в явном виде как функцию параметра u. Умножим уравнение (6.21) на 2Bu и преобразуем его левую часть Выражение в скобках константа, которая находится из дополнительных условий Для поверхности положительной гауссовой кривизны имеем: K = 1/a2, или Находим первообразную, определяя константу интегрирования из дополнительного условия: arccosB = u/a, или B = cos(u/a). Итак, любая поверхность положительной гауссовой кривизны в полугеодезической системе координат имеет метрику ds 2 = du 2 + cos 2(u/a) dv 2. Эту форму имеет сфера радиуса a при параметризации x = acos(u/a)cos(v/a), y = acos(u/a)sin(v/a), z = asin(u/a). Здесь u – длина дуги меридиана, отсчитываемая от экватора, v – длина дуги экватора. При K = 0 с учетом дополнительного условия получим B = 1. Поверхность имеет метрику соответствующую плоскости. Для поверхности отрицательной гауссовой кривизны имеем: Находим первообразную, определяя константу интегрирования из дополнительного условия = u/a. Умножив и разделив выражение под знаком логарифма на сопряженное придем к соотношению = u/a. Выполнив потенцирование и сложив два выражения, получим Итак, поверхность отрицательной гауссовой кривизны в полугеодезической системе координат имеет метрику ds 2 = du 2 + ch 2(u/a) dv 2. Примером поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны является псевдосфера. Это название носит поверхность, получаемая вращением трактрисы вокруг асимптоты. Ее параметрическое уравнение в цилиндрической системе координат r, z r = asin, z = a(ln|tg(/2)| + cos). Метрика псевдосферы ds 2 = a 2ctg 2d 2 +a 2sin2d после замены переменных приводится к каноническому виду. Значение поверхностей постоянной гауссовой кривизны определяется тем, что в достаточно малой окрестности точки кривизну можно считать постоянной. При K > 0 в окрестности выполняется сферическая геометрия, при K = 0 планиметрия, при K < 0 реализуется геометрия Лобачевского. Различие этих геометрий проявляется, например, в сумме углов треугольника. Сумма внутренних углов , , треугольника , образованного на гладкой поверхности тремя геодезическими, равна Для поверхности постоянной гауссовой кривизны интеграл равен произведению K на площадь треугольника. Однако, в достаточно малой области в сферической геометрии и геометрии Лобачевского приближенно выполняются соотношения евклидовой геометрии, тем точнее, чем меньше область. Если за такую область взять круг радиуса r, то отклонение в сумме углов треугольника будет порядка r2. Развертывающиеся поверхности. Поверхности, изометричные плоскости, называются развертывающимися. Согласно 6.12 гауссова кривизна K развертывающейся поверхности равна нулю. Все точки такой поверхности параболического типа и одно из главных направлений является асимптотическим. Пусть поверхность параметризирована так, что линии кривизны являются координатными, причем линии v = v0 - асимптотические. Тогда F = M = 0 и согласно следствию 4.6 L = k1E = 0, N = k2G 0, так как линии k1 = 0. Из условий Петерсона - Кодаци при i = 1 имеем = 0. Следовательно, Это означает, что коэффициент E зависит только от параметра u. Примем за параметр длину дуги линии v = v0. Метрика поверхности примет вид ds 2 = du 2 + Gdv 2 (сохранено прежнее обозначение u за длиной дуги). Согласно предложению 6.7 параметризация является полугеодезической, причем линии кривизны v = v0 образуют семейство геодезических. Так как они одновременно и асимптотические, то геодезические v = v0 являются прямыми. Итак, развертывающаяся поверхность имеет прямолинейные образующие, которые одновременно являются асимптотическими и линиями кривизны. Согласно 6.11 геодезическое кручение прямолинейной образующей равно нулю. Из формул Френе следует, что вдоль такой образующей вектор нормали m к поверхности постоянен. Для всех точек прямолинейной образующей касательная плоскость к поверхности одна и та же. Примерами развертывающихся поверхностей являются цилиндры, конусы. Развертывающиеся поверхности принадлежат к классу линейчатых поверхностей. Однако, не всякая линейчатая поверхность является развертывающейся. Прямолинейная образующая поверхности является геодезической и согласно 6.11 - асимптотической. Если прямолинейная образующая не является линией кривизны, то нормальная кривизна асимптотического направления не экстремальна, K < 0 и поверхность неизометрична плоскости. На такой поверхности кручение геодезической не равно нулю, |&g| =. Следовательно, при движении вдоль прямолинейной образующей вращается вектор нормали m, а вместе с ним вращается касательная плоскость к поверхности. Примерами линейчатых неразвертывающихся поверхностей являются однополостной гиперболоид и гиперболический параболоид. Поверхность является примером риманова пространства двух измерений. Внутренняя геометрия поверхности определяется длинами кривой на ней. На гладкой параметризированной поверхности квадрат дифференциала длины кривой ds2 (линейного элемента в малом) выражается как квадратичная форма от дифференциалов координат а длина кривой, - интегралом от линейного элемента. В римановой геометрии это определение переносится на n измерений. В римановом пространстве длины измеряются «бесконечно малыми шагами» ds; сумма их вдоль кривой дает ее длину В координатах u1, ..., un риманова пространства квадрат линейного элемента ds2 выражается квадратичной формой от дифференциалов координат (6.25) ds2 = gijdu idu j (по i и j предполагается суммирование), где коэффициенты gij непрерывные функции координат u1, ..., un. Форма (6.23) симметрическая, gji = gij, положительно определенная, т. е. при ненулевых du1, ..., dun принимает только положительные значения. Кривая в римановом пространстве может быть задана параметрическими (внутренними) уравнениями где функции предполагаются дифференцируемыми. Тогда из (6.23) для линейного элемента длины кривой получим выражение ( по i и j суммирование), а для длины кривой интеграл В каждой точке квадратичную форму ds2 = gijdu idu j преобразованием координат можно привести к нормальному виду соответствующему квадрату линейного элемента евклидова пространства в прямоугольных координатах. Вблизи данной точки линейный элемент риманова пространства будет мало отличаться от евклидова, поэтому и геометрия в окрестности точки будет близка к евклидовой. Это позволяет ввести все понятия дифференциальной геометрии, которые определяются свойствами кривых в сколь угодно малой окрестности точки, где отклонения от евклидовой геометрии не играют роли. Так вводится понятие угла между кривыми u1 = (t), ..., u n = n (t) и u1 = (t), ..., u n = n (t), исходящими из одной точки, i (t0) = i (t0), i = 1, ..., n ( по i и j суммирование). Расстояние между двумя точками в римановом пространстве можно определить как длину кратчайшей из кривых, соединяющих эти точки. У каждой точки есть окрестность, где любые две точки можно соединить кратчайшей кривой, которая называется геодезической. Уравнения геодезической аналогичны соответствующим уравнениям на поверхности где символы Кристоффеля определены выражениями (6.3) для пространства n измерений. В римановой геометрии геодезические играют роль прямых. Гауссова кривизна характеризует отличие внутренней геометрии поверхности от евклидовой. Аналогично тому, как это сделано при выводе формулы Гаусса, в римановом пространстве перекрестным дифференцированием деривационных формул получаются соотношения (6.6) При n = 2 из этих соотношений существенным оказывается только одно, выражающее определитель второй квадратичной формы через коэффициенты метрики и их производные. В римановой геометрии при n > 2 существенными оказываются несколько соотношений. По ним составляется тензор кривизны, определяющий отличие римановой геометрии от евклидовой. По аналогии с гауссовой кривизной тензор кривизны можно назвать “римановой кривизной”. Упражнения Пример 6.2. Найти геодезическую кривизну сечения поверхности вращения, заданной в цилиндрической системе координат уравнением F(r,z) = 0, плоскостью z = h.
Подставим значение cos = Ответ: Решение: Радиус кривизны сечения r0 = ach(h/a). Перепишем уравнение катеноида в виде r ach(z/a) = 0 и вычислим cos = Подставляя значения в формулу, полученную в примере 6.2, найдем kg = th(h/a)/(ach(h/a)). Ответ: th(h/a)/(ach(h/a)). Решение: Параметризируем поверхность r = (a chu cosv, b chu sinv, c shu), вычислим производные ru = (a shu cosv, b shu sinv, c chu), rv = ( a chu sinv, b chu cosv, 0), [ru,rv] = ( bc chu cosv, ac chu sinv, ab shu)chu и найдем коэффициенты метрики Параметризируем сечение u = u0 = 1(t), v = t = 2(t). При z = h из уравнения поверхности находим shu0 = h/c, chu0 = /c. Подставим значения производных 1(t), 2(t) в формулу (6.13) геодезической кривизны Вычислим коэффициент Кристоффеля = = 0,5[G(2Fv – Gu) – FGv]/(EG – F 2), 2Fv – Gu = (b 2 a 2) sh2u cos2v – (a 2 sin 2v + b 2 cos 2v) sh2u = = – (a 2 cos 2v + b 2 sin 2v) sh2u, –FGv + G(2Fv - Gu)) = 0,5((a 2– b 2) 2 ch 2u sh2u cos 2v sin 2v – – (a 2 sin 2v + b 2 cos 2v)(a 2 cos 2v + b 2 sin 2v) ch 2u sh2u = = –a 2b 2 ch 2u sh2u, На линии u = u0 геодезическая кривизна получит значение Подставим значения shu0 и chu0 Из формулы вытекает, что горловое сечение h = 0 однополостного гиперболоида является геодезической кривой. Пример 6.5. Найти геодезическую кривизну линии v = 2 u 2 в точках A(0,2) и B(1,1) на поверхности с метрикой ds 2 = v > 0. Решение: Геодезическая кривизна линии, заданной явно, вычисляется по формуле (6.14). По метрике находим g12 = 0, g11 = g22 = 1/v 2, g = 1/v 4. Коэффициенты Кристоффеля для ортогональных координат (6.4) Подставим значения коэффициентов Кристоффеля в формулу геодезической кривизны при явном задании кривой (6.14). Дифференцируем дважды уравнение линии v = 2 u 2 и подставим значения производных в формулу. Геодезическая кривизна линии получит выражение Подставив значения u, найдем в точке A kg = 3, в B kg = Ответ. в точке A 3, в B Решение: Параметризируем сферу x 2 + y 2 +z 2 = a 2 r = (a cos cos, a cos sin, a sin) и вычислим коэффициенты метрики I(,) = a 2 2 + a 2cos 2 2. Интегрируя уравнение геодезических (6.18), проходящих через точку (0, 0) , получим или где c, C постоянные интегрирования, причем Уравнение геодезических перепишем в виде . Положим и перейдем к координатам x, y, z. z = Ax + By, x 2 + y 2 +z 2 = a 2. При произвольных значениях A и B геодезическая определяется сечением сферы плоскостью z = Ax + By, проходящей через центр сферы. Дополнительная геодезическая = 0 является меридианом, проходящим через точку (0, 0). Ответ: окружности радиуса a. называется поверхностью Пуанкаре. Найти геодезические на поверхности Пуанкаре. Решение: E = G = 1/v 2, F = 0. Составим уравнения геодезических (6.18), проходящих через точку P0 (u0, v0)
и u = u0. Интегрируя, получим u = (c 2 – v 2 )1/2 + C или (u C) 2 + v 2 = c 2. Постоянные интегрирования удовлетворяют условию c 2= (u0 C) 2 + v02. Итак, искомыми геодезическими на поверхности Пуанкаре являются произвольные полуокружности с центром на оси u и прямая u = u0, проходящие через точку P0, рис. 16. Ответ: (u C) 2 + v 2 = c 2, c 2= (u0 C) 2 + v02, u = u0. Пример 6.8. Найти кратчайшее расстояние от Москвы (56 с.ш.,37 в.д.) до Владивостока (43 с.ш., 132 в.д.). Решение: Принимая форму Земли за шар радиуса a, параметризируем земную поверхность r = (a sin cos, a sin sin, a cos). Отмечая широту и долготу Москвы и Владивостока соответственно индексами 0 и 1, получим для центрального угла дуги геодезической, проходящей через Москву и Владивосток, cos = sin0 sin1 cos(1 0) + cos0 cos1. Подставляя значения координат, найдем cos = 0,3597. Кратчайшее расстояние равно длине дуги геодезической s = a . Принимая радиус Земли равным 6378 км, найдем s = 7670 км. Ответ: 7670 км. Решение: В примере 6.7 найдены геодезические на рассматриваемой поверхности (u C) 2 + v 2 = c 2. Определим геодезическую, проходящую через A и B C 2 + 4 = c 2, (1 C) 2 + 1 = c 2. Решение C = 1, c 2 = 5 выделяет геодезическую (u + 1) 2 + v 2 = 5, вдоль которой согласно (6.17) u = . Длину кривой вычисляем по формуле (3.17) Интегрируя, получим Ответ: Пример 6.10. Выяснить условия, при котором координатная линия на поверхности вращения является геодезической. Решение: Уравнение геодезических на поверхности (6.15) Координатная линия u = u0 является геодезической тогда и только тогда, когда Для координатной линии v = v0 соответствующее условие Пусть осевое сечение поверхности вращения задано уравнениями r = f(), z = g(), а метрика Широта и долгота образуют ортогональную систему криволинейных координат на поверхности вращения. Вычислим коэффициенты Кристоффеля (6.4), полагая u = , v = Таким образом, линии = 0 на поверхности вращения всегда геодезические. Линия = 0 является геодезической только тогда, когда f (0) = 0. Пример 6.11. Доказать, что поверхность x = ucosv, y = usinv, z = a(ln(u/a) + v) изометрична поверхности x = r cos, y = r sin, z = и найти преобразование изометрии. Решение: Найдем гауссовы кривизны обеих поверхностей. Для первой поверхности Гауссову кривизну вычислим по формуле K = Вычислив производные, найдем K = 2a 2/( u 2 + 2a 2) 2. Для второй поверхности Согласно предложению 6.12 для локальной изометрии поверхностей необходимо и достаточно совпадение гауссовых кривизн в соответствующих точках. Приравнивая гауссовы кривизны поверхностей, получим равенство r 2 = u 2 + a 2. Метрики изометричных поверхностей в соответствующих точках совпадают. Приравняем метрики и произведем замену r 2 = u 2 + a 2, rdr = udu, = Из равенства метрик вытекает Таким образом, d = . Интегрируя, получим = При найденном соответствии координат метрики совпадают, поверхности изометричны. Ответ: r = = локально изометричен поверхности вращения и найти эту поверхность. Решение: Вычислим метрику геликоида При параметризации осевого сечения r = f(), z = g() имеем метрику поверхности вращения ds 2 = (f 2() + g 2())d 2 + f 2()d 2. Метрики совпадают при = u, = v, f (u) = Уравнение поверхности вращения, изометричной геликоиду, r = z = после исключения параметра представляет катеноид r = h ch(z/h). Ответ: r = h ch(z/h). Решение: Пусть кривая r = r(t) (направляющая) лежит на поверхности и пересекает все прямолинейные образующие. Обозначим через (t) единичный вектор образующей, проходящей через точку r(t). Векторное уравнение прямой имеет вид (пример 3.6) r = r(t) + u(t), |(t)| = 1. Продифференцируем уравнение дважды ru = (t), rt = r(t) + u(t), ruu = o, rut = (t), rtt = r(t) + u(t) и вычислим коэффициенты первой и второй квадратичных форм. E = 1, F = (, r), G = (, r), L = 0, M = (, r,)/|[, r]|, N = (ru, rt, rtt)/|[, r]| и составим метрику ds 2 = [du + (r, )dt] 2 + [(r, r ) - (r, ) 2+ 2u(r, ) + u 2(, )]dt 2. Согласно предложению 6.12 для развертывания поверхности необходимо и достаточно, чтобы K = 0. Из формулы гауссовой кривизны (4.7) следует, что для линейчатой поверхности это эквивалентно условию (, r, ) = 0. Пусть внутренние координаты точек на поверхности A(u1, t1), B(u2, t2). Возможны два случая 1) = 0. Перейдем к новым переменным X(u, t) = u + Y(u, t) = Метрика поверхности в координатах X, Y совпадет с метрикой плоскости ds 2 = dX 2 + dY 2. Расстояние между точками A, B (A,B) = где Xi = X(ui, ti), Yi = Y(ui, ti), i = 1,2. 2) 0. Согласно лемме 1.2 векторы , и ортогональны. Из условия компланарности векторов (, r, ) = 0 следует откуда (r, r ) = (r, ) 2 + (r, ) 2/(, ). Метрику поверхности преобразуем к виду и перейдем к новым координатам v(t) = X(u,t) = ucosv + Y(u,t) = usinv + Дифференцируем X, Y dX = [du + (r, )dt]cosv dY = [du + (r, )dt]sinv + и находим dX 2 + dY 2 = [du + (r, )dt] 2 + (, )dt 2 = ds 2. Расстояние между точками A, B (A,B) = где vi = v(ti), Xi = X(ui, ti), Yi = Y(ui, ti), i = 1,2. Пример 6.15. Найти расстояние между точками A(1, 3/2, 0) и B(2, 0, 1) эллиптического цилиндра Решение: Пусть r = r(t) параметризация направляющей цилиндра. Единичный вектор образующей = e3 постоянен, условие (, r, ) = 0 выполнено ( = o), поверхность развертывающаяся. Имеет место случай 1 (пример 6.14). Уравнение поверхности r = r(t) + z e3. Положим X = z, Y = = s(t), где s(t) длина дуги направляющей. Расстояние между точками A и B (A, B) = Параметризируем направляющую r = (2sint, -cost) и найдем s(t) = = 2E(t, /6). В точке A имеем 2sint1 = 1, -cost1 = -3/2, z1 = 0, t1 = /6, в точке B 2sint2 = 2, cost2 = 0, z2 = 1, t2 = /2. (A,B) = . По таблице эллиптических интегралов находим E( /2, /6) = 1,68575, E( /6, /6) = 0,52943, (A,B) = 2,51958. Ответ. = 2,51958. Решение: У конуса все образующие проходят через вершину O(r0), а конец вектора описывает кривую на единичной сфере. Уравнение линейчатой поверхности r = r0 + u(t). Условие (, r, ) = 0 выполнено (r = o), поверхность развертывающаяся. Имеет место случай 2 (пример 6.14). Полагая v = X = ucosv, Y = usinv, получим (A,B) = где (ui, ti), i = 1,2, координаты точек A и B на поверхности, v длина дуги сферической кривой r = (t). В рассматриваемом случае начало координат совпадает с вершиной конуса r =u(t). Найдем параметризацию кривой r = (t) Исключим z и положим x = a cost, y = b sint, Используя уравнение единичной сферы, вычислим (, ) = x 2 + y 2 + Подставим значения x, y (, ) = Значение v найдем как длину дуги кривой r = (t) v = Для точки A имеем u1 = |rA| = u1 a cost1 = 1, u1 b sint1 = 3/2, tgt1 = ; для точки B u2 = |rB| = u2 a sint2 = 4, u2 b cost2 = , tgt2 = . Выполнив замену = tgt и подставив значения констант, получим v = Расстояние между точками (A,B) = Ответ: Решение: Локсодрома составляет постоянный угол с меридианом поверхности. Так как меридианы и параллели образуют на поверхности вращения сетку линий кривизны, по формуле Эйлера нормальная кривизна поверхности kn = k1 cos 2 + k2 sin 2. Подставим значение kn в формулу (6.20) |&g| = |(k1 k2)cos sin |. Если поверхность вращения задана уравнениями r = f(), z = g(), то Геодезическое кручение локсодромы получает выражение |&g| = Решение: Полагая f(z) = a ch(z/a), g(z) = z, найдем f = sh(z/a), g = 1, f = (1/a) ch(z/a), g = 0, f 2 + g 2 = ch 2(z/a). Геодезическое кручение локсодромы (пример 6.18) |&g| = |sin2|/[a ch 2(z/a)]. Ответ: |sin2|/[a ch 2(z/a)]. Пример 6.19. В точке P(3, 2, 2) найти геодезическое кручение сечения эллиптического параболоида плоскостью x 2y +2z 3 = 0. Решение: При явном задании поверхности z = f(x,y), коэффициенты первой и второй квадратичных форм вычислены в примере 4.2 E = 1 + x 2/9, F = xy/12, G = 1 + y 2/16, L = M = 0, N = В точке P имеем E = 2, F = 1/2, G = 5/4, L = 2/9, M = 0, N = 1/6. Кривая на поверхности во внутренних координатах Продифференцируем уравнение (2u/3 +1)u + (v/2 2)v = 0. В точке P имеем 3u v = 0. Направление сечения в точке P зададим вектором во внутренних координатах (u, v ) = (1, 3). Значение квадратичных форм в точке P для заданного направления I(u, v ) = 2 + 2(1/2)3 + (5/4)3 2 = 65/4, II(u, v ) = 2/9 + 203 + (1/6)3 2 = 31/18 определяет нормальную кривизну сечения kn = 62/585. По формулам найдем значения средней H = 11/81 и гауссовой K = 4/243 кривизн. Геодезическое кручение сечения в точке P находим по формуле (6.20). Подставляя числовые значения, получим |&g| = Ответ: Литература
|
|
|