Сборник для подготовки и проведения экзамена по алгебре за курс основной школы (9 класс) под редакцией С. А. Шестакова. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся

СОДЕРЖАНИЕ

35
ВВЕДЕНИЕ

Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ с момента его существования позволяют утверждать, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет год от года чуть больше или меньше 30%. Следовательно, большинство учащихся не в полной мере владеет техникой решения текстовых задач и не умеет из-за их часто нетрадиционной формулировки отнести задачу к тому или иному знакомому типу, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. По этой причине возникла необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела элементарной математики.

Задачи на смеси, растворы и сплавы при первом знакомстве с ними, вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие.

Задачи на смеси и сплавы, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в сборник для подготовки и проведения экзамена по алгебре за курс основной школы (9 класс) под редакцией С.А. Шестакова. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся.

Актуальность вытекает из необходимости рассмотрения решения задач на смеси, растворы и сплавы, т. к. они встречаются на ЕГЭ, а при изучении в школе предмета алгебры в 7-9 классах задания такого типа рассматриваются в не достаточном объёме.

Цель курсовой работы. Раскрыть методику решения задач на «смеси», «растворы», «сплавы».

Объект: учебный процесс обучения решению задач на смеси, растворы и сплавы.

Предмет: задачи на смеси, растворы и сплавы по учебникам алгебры 7-9 классов под редакцией Ш. А. Алимова, С. А. Телековского и А. Г. Мордковича.

Задачи:

- выполнить анализ школьных учебников по характеристике сюжетных задач на смеси, растворы и сплавы;

- раскрыть понятие, виды сюжетных задач на «смеси», «растворы», «сплавы»;

- представить требования и допущения при решении сюжетных задач на смеси, растворы и сплавы;

- описать различные варианты решений задач на смеси, растворы и сплавы;

- представить план-конспект урока на тему “Решение задач на смеси, растворы и сплавы”.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка

литературы. В I главе раскрывается понятие, виды и методы решения сюжетных задач на смеси, растворы и сплавы; выполняется анализ школьных учебников по характеристике сюжетных задач на смеси, растворы и сплавы.

Во II главе предоставляются требования и допущения при решении сюжетных задач на смеси, растворы и сплавы; план-конспект урока в 9 классе на тему “Решение задач на смеси, растворы и сплавы”.

ГЛАВА I. АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКОЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.1. Понятие сюжетной задачи, виды, этапы решения

При обучении математике задачи имеют образовательное, практическое, воспитательное значение. Они развивают логическое и алгоритмическое мышление учащихся, вырабатывают практические навыки применения математики, формируют диалектико-материалистическое мировоззрение, являются основным средством развития пространственного воображения, а также эвристического и творческого начал.

При обучении теоретическим знаниям задачи способствуют мотивации введения понятий, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают взаимосвязи одного понятия с другим. Решение задач является наиболее эффективной формой развития математической деятельности.

С давних пор задачи играют огромную роль в обучении. Решение задач выступает и как цель, и как средство обучения. Умение ставить и решать задачи является одним из основных показателей уровня развития учащихся, открывает им пути овладения новыми знаниями: знакомится с новой ситуацией, описанной для решения задачи и т.д. Иными словами, при решении задач человек приобретает математические знания, повышает свое математическое образование. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточной тренировке − и навык, что тоже повышает уровень математического образования.

При решении ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, повседневной жизнью.

Текстовые задачи используются как очень эффективное средство усвоения учащимися понятий, методов, вообще математических теорий, как наиболее действенное средство развития мышления учащихся, как универсальное средство математического воспитания и незаменимое средство привития учащимся умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике.

Воспитывающую роль играет не только фабула задачи, но и весь процесс обучения решению текстовых задач. Правильное решение текстовых задач без каких-либо логических натяжек воспитывает у учеников честность и правдивость. Решение задач требует от учеников настойчивости в преодолении трудностей и мужества. При решении задач формируются умения и навыки умственного труда: усидчивость, внимательность, аккуратность, последовательность умственных действий. Решение задач развивает также чувство ответственного отношения к учению.

Сюжетной называют такую задачу, в которой данные и связь между ними включены в фабулу. Содержание сюжетной задачи чаще всего представляет собой некоторую ситуацию, более или менее близкую к жизни. Эти задачи важны главным образом, для усвоения учащимися математических отношений, для овладения эффективным методом познания − моделированием, для развития способностей и интереса учащихся к математике [9].

В задаче выделяют основные компоненты:

1. Условие − начальное состояние;

2. Базис решения − теоретическое обоснование решения;

3. Решение − преобразование условие задачи для нахождения требуемого заключением искомого;

4. Заключение − конечное состояние.

Стандартной называется задача, в которой четко определено условие, известны способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компонентов. Если неизвестны два компонента, задача называется поисковой, а если три − проблемной [9].

Различают следующие виды сюжетных задач на смеси, сплавы, растворы:

1. На нахождение массовой концентрации вещества в смеси, растворе, сплаве.

2. На нахождение процентного содержания веществ в данной смеси, в данном растворе, сплаве.

3. На нахождение объемов веществ в смесях, сплавов, растворах [9].

Этапы решения задачи

Решение задачи осуществляется в несколько этапов.

1.Ознакомление с содержанием задачи. Осознание условия и требования задачи, усвоение и разработка элементов условия (или элементов цели). Поиск необходимой информации в сложной системе памяти. Соотнесение условия и заключения задачи с имеющимися знаниями и опытом и т. д.

2. Поиск решения − выдвижение плана решения задачи. Целенаправленные пробы различных сочетаний из данных и искомых. Попытки подвести задачу под известный тип. Выбор наиболее приемленного в данных условиях метода решения (из известных). Выбор стратегии решения, поиск плана решения и его корректировка на основе предварительной апробации, соотнесения с условием задачи и интуитивными соображениями, фиксирование определенного плана решения задачи и т. д.

3. Процесс решения ─ реализация плана решения. Проводиться практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения, запись результата и т. д.

4. Проверка решения задачи. Фиксация конечного результата, поиск путей рационализации решения, исследование особых и частных случаев, выявление существенного (потенциально полезного), систематизация новых знаний и опыта и т. д. [9].

Пример №1. Имеются два куска сплава меди с никелем. Никеля содержится в первом из них а%, а во втором b%. В каком отношении надо брать сплавы, от первого и второго куска, чтобы получить новый сплав, содержащий с% никеля? При каких условиях задача имеет решение и какой наибольший вес нового сплава можно получить, если первый кусок весит А, а второй В килограммов? [1].

Поиск решения. В задаче требуется найти отношение двух величин. Однако нам будет легче составлять уравнение, если мы вместо этого одного неизвестного отношения введем два неизвестных числа, а именно: вес части, взятый от первого куска, и вес части, взятой от второго куска. Но после того как уравнение будет составлено, мы будем определять не сами неизвестные, а только их отношение.

Решение. Пусть мы взяли от первого куска х, а от второго y килограммов. Тогда в полученном новом сплаве никеля будет

ах / 100 + by / 100 килограммов

По условию задачи:

ах / 100 + by / 100 = с ∙ (х + у) / 100

или ах + by = с ∙ (х + у), или ах / y + b = c ∙ (x/у + 1).

Отсюда отношение х/у равно (с − b) / (a − c), а у/х равно (a − c) / (с − b).

Исследование. Задача имеет одно и только одно решение, когда либо (с − b) / (a − c) ≥0, либо (a − c) / (с − b) ≥ 0. В том случае, когда (с − b) / (a − c) > 0, а значит и (a − c) / (с − b) > 0, число с будет заключено между а и b. Если а > b, то b < с < а; если же а < b, то а < с < b.

При (с − b) / (a − c) = 0 имеем: x/y = 0, с = b и а ≠ с. Это означает, что для получения требуемого нового сплава надо взять от первого куска нуль, а от второго любое возможное отличное от нуля число килограммов. Ведь при

b = с второй кусок сам содержится с% никеля. В этом случае искомое отношение, взятое в порядке х : y, равно нулю.

При (a − c) / (с − b) = 0 имеем: у/х = 0, а = с и с ≠ b. В этом случае сам первый кусок содержит с% никеля. Поэтому любая часть первого куска будет представлять собой требуемый сплав. В этом случае искомое отношение, взятое в порядке у : х, равно нулю.

Задача не имеет решения, если (с − b) / (a − c) < 0, а значит и (a − c) / (с – b) < 0. Действительно, в этом случае окажется либо с > а и с > b, либо с < а и с < b. В этих случаях требуемый сплав получить невозможно.

Наконец, если величина (с − b) / (a − c), а следовательно и величина (a − c) / (с − b), будет неопределенной, т. е. окажется, что а = b = c, то задача станет неопределенной. В этом случае соединение любых взятых частей от первого и второго кусков образует сплав с требуемым процентным содержанием никеля. В этом случае искомым отношение может быть любое число, большее или равное нулю.

Теперь переедем к решению второго вопроса, т. е. к определению возможного наибольшего веса нового сплава.

Пусть b < c < a. Равенства х/у = (с − b) / (a − c) позволяет нам выразить количества сплавов, взятых от первого и второго кусков, т. е. х и у, следующими формулами:

х = (с − b) ∙ q, y = (a − c) ∙ q,

где q > 0. Но мы не можем взять от каждого куска больше, чем он весит сам. Поэтому (с − b) ∙ q ≤ А и (a − c) ∙ q ≤ В. Отсюда

q ≤ A / (с − b) и q ≤ В / (a − c).

При A / (с − b) < В / (a − c) наибольшее значение q будет равно A / (с − b). В этом случае наибольший вес нового сплава будет равен

(с − b) ∙ q + (a − c) ∙ q,

где q = A / (с − b) т. е. будет равен

(а − b) / (c − b) ∙ A.

Если же окажется, что A / (с – b) > B / (a – c), то наибольшее значение q будет равно B/ (a – c), а наибольший вес нового сплава будет равен

(с − b) ∙ q + (a − c) ∙ q при q = В / (а − с), т. е. будет равен (a – b) / (a – c) · B.

Наконец, в том случае, когда окажется, что A / (с − b) = В / (a − c), наибольшее значение q будет равно A / (с − b) или В / (a − c), что одно и то же. Наибольший вес нового сплава в этом случае будет равен

(с − b) ∙ A / (с − b) + (a − c) ∙ В / (a − c),

т. е. будет равен А + В. [1].

1.2. Методы решения задач на смеси, растворы, сплавы

В задачах на концентрацию смесей, растворов и сплавов предполагается их однородность, и поэтому имеется прямо пропорциональная зависимость между объемами и массами рассматриваемых смесей, растворов и сплавов. Решение задач на концентрацию и процентное содержание основано на использовании следующих понятий и формул.

Пусть даны три различных вещества А, В и С массами М_а, М_в, М_с. Масса смеси, составленной из этих веществ, равна М_а + М_в + М_с.

Массовой концентрацией вещества А в смеси называется величина с_а, вычисляемая по формуле: с_а = М_а/(М_а + М_в + М_с).

Соответственно массовые концентрации веществ В и С в этой смеси вычисляются по формулам:

с_в = М_в/(М_а + М_в + М_с), с_с = М_с/(М_а + М_в + М_с).

Массовые концентрации с_а, с_в, с_с связаны равенством:

с_а + с_в + с_с = 1.

Процентным содержанием вещества А, В, С в данной смеси называются величины р_а%, р_в%, р_с% соотвественно, вычисляемые по формулам:

р_а% = с_а ∙ 100%, р_в% = с_в ∙ 100%, р_с% = с_с ∙ 100%.

По аналогичным формулам вычисляются концентрации веществ в смеси и для случая, когда число различных смешиваемых веществ (компонентов) равно четырем, пяти и т. д.

Объемные концентрации веществ в смеси определяются такими же формулами, как и массовые концентрации, только вместо масс компонент М_а, М_в, М_с в этих формулах будут стоять объемы компонент V_а, V_в, V_с. В тех случаях, когда речь идет об объемных концентрациях, обычно предполагается, что при смешивании веществ объем смеси будет равен сумме объемов компонент. Это предположение не является физическим законом, а представляет собой соглашение, принимаемое при решении задач на объемную концентрацию.

Пример № 2. В сосуд емкостью 6 л налито 4 л 70%-ного раствора серной кислоты. Во второй сосуд той же емкости налито 3 л 90%-ного раствора серной кислоты. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился r%-ный раствор серной кислоты? Найти все значения r, при которых задача имеет решение.

Решение. Обозначим через х л объем 90%-ного раствора серной кислоты, который переливается из второго сосуда в первый. В этом объеме содержится 0,9х л чистой (100%-ной) серной кислоты. Первоначально в первом сосуде объем чистой серной кислоты был равен 0,7 ∙ 4 л. После того как в первый сосуд долили х л 90%-ного раствора серной кислоты, в нем будет содержаться 0,7 ∙ 4 + 0,9х л чистой серной кислоты. Используя определение объемного процентного содержания, в соответствии с условием задачи получаем уравнение:

[(0,7 ∙ 4 + 0,9х) : (х + 4)] ∙ 100% = r%.

Решая это уравнение, находим величину перелитого объема:

х = 4 ∙ (r − 70) / (90 − r).

Остается выяснить, при каких значениях r задача имеет решение. Из условия задачи очевидно, что количество доливаемого раствора не может превысить 2 л, так как объем первого сосуда равен 6 л, т. е. 0 ≤ х ≤ 2. Используя найденное значение для х, получим ограничения на r:

0 ≤ 4 ∙ (r − 70) / (90 − r) ≤ 2.

Решая данное неравенство (с учетом того, что 70 ≤ r ≤ 90), получим

70 ≤ r ≤ 76 ∙ 2/3.

Ответ: 4 ∙ (r −70) / (90 − r) (л); задача имеет решение при 70 ≤ r ≤ 76 ∙ 2/3.

Как решать сюжетные задачи на смеси, растворы и сплавы?

Работа с неизвестными. Одним из важных этапов решения сюжетной задачи следует признать выбор неизвестных. От того, насколько удачен этот выбор, иногда существенно зависит сложность предстоящей работы над задачей. Основное элементарное соображение состоит в том, что набор неизвестных должен быть достаточным для перевода условия задачи на язык соотношений с целью нахождения искомый величины. Сюда же следует отнести и пожелание компактности вводимого набора: лишних неизвестных, без которых можно обойтись, лучше не заводить, ибо они только загромождают получающуюся систему и затрудняют ее исследование.
Основные закономерности. Прежде всего, для решения сюжетных задач на смеси, растворы и сплавы необходимо знание определенных закономерностей, зависимостей между различными величинами. В основе физических явлений, описываемых этими задачами лежит концентрация, получаемая одной интересующих нас величины на другую, а в результате она приобретает понятный и естественный физический смысл: концентрация показывает массу (объем) данного вещества в единице массы (объема) смеси.

Для подсчета величин, связанных с концентрацией, достаточно лишь составить пропорцию, из которой сразу станет ясно, что на что нужно поделить или умножить. Например, нахождение массы данного вещества, а в m кг смеси в m раз больше, т. е. m ∙ х кг данного вещества. Впрочем при наличии известной сноровки в таких вопросах ответ кажется очевидным и без всяких пропорций.

Использование неравенств. В многих задачах возникает следующая ситуация: система уравнений, составленная по условию задачи, задается по мимо истинного значения искомый величины также одно или несколько ложных значений, которые не удовлетворяют некоторым оценкам, вытекающим из физического смысла задачи. Более удобно отбрасывать ложные значения в процессе решения системы, а не на последнем этапе. Для этого заранее выясняется, какие конкретно неравенства не выполнимы для посторонних решений системы и включаются в систему. Они становятся как бы исходными данными задачи и могут видоизменяться в ходе решения системы, превращаясь в оценки для искомой величины.

Пример № 3. Для составления смеси из двух жидкостей А и В были взяты два сосуда: первый емкостью 10 л, второй – 20 л. Сначала в оба сосуда было налито всего 15 л жидкости А. Затем первый сосуд был дополнен доверху жидкостью В и было произведено перемешивание. После этого второй сосуд был дополнен доверху смесью из первого сосуда. После того как в первый сосуд было доставлено жидкости А столько, сколько было в него ее налито сначала, отношения количества жидкости А ко всему объему имеющейся жидкости в сосуде для первого и второго сосудов стали равными. Сколько литров жидкости А было налито первоначально в первый сосуд?

Решение. Пусть в первый сосуд вначале было налито х л из 15 л жидкости А. После доливания (10 − х) л жидкости В, концентрация жидкости А в нем стала равной х/10. Во второй сосуд было отлито 20 − (15 − х) = 5 + х (л) этой смеси, а в первом ее осталось 10 − (5 + х) = 5 − х л. После добавления жидкости А в первый сосуд в нем стало 5 − х + х = 5 (л) смеси. Поэтому:

1/5 ∙ (х / 10 ∙ (5 − х) + х) = 1 / 20 ∙ ((15 − х) + х / 10 ∙ (5 + х)),

5 – х ≥ 0

х² − 13х + 30 = 0,

х ≤ 5

(х − 3) ∙ (х − 10) = 0,

х ≤ 5

х = 3.

Ответ: 3 л.

1. Основные химические понятия.

Приведем некоторые указания к решению задач на растворы.

Основными компонентами этого типа задач являются:

а) массовая доля растворенного вещества в растворе;

б) масса растворенного вещества в растворе;

в) масса раствора.

Предполагают, что:

а) все получившиеся смеси и сплавы являются однородными;

б) смешивание различных растворов происходит мгновенно;

в) объем смеси равен сумме объемов смешиваемых растворов;

г) объемы растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными.

2.Определения и обозначения.

Массовая доля растворенного вещества в растворе - это отношение массы этого вещества к массе раствора.

ω=m_(в-ва)/m_(р-ра) (1)

где ω - массовая доля растворенного вещества в растворе;

m_(в-ва) - масса растворенного вещества в растворе;

m_(р-ра) - масса раствора.

Следствия формулы (1):

m_(в-ва) = ω ∙ m_(р-ра) (2)

m_(р-ра) = m_(в-ва)/ω (3)

Введем обозначения:

ω₁ - массовая доля растворенного вещества в первом растворе;

ω₂ - массовая доля растворенного вещества во втором растворе;

ω₃ - массовая доля растворенного вещества в новом растворе, полученном при смешивании первого и второго растворов;

m_1(в-ва), m_2(в-ва), m_(в-ва) - массы растворенных веществ в соответствующих растворах;

m_1(р-ра), m_2(р-ра), m_(р-ра) - массы соответствующих растворов.

Основными методами решения задач на смешивание растворов являются: с помощью расчетной формулы, “Правило смешения”, “Правило креста”, графический метод, алгебраический метод.

Приведем описание указанных методов.

I. С помощью расчетной формулы

В наших обозначениях, получим формулу для вычисления массовой доли вещества в смеси.

1. Масса полученного при смешивании раствора равна:

m_(р-ра) = m_1(р-ра) + m_2(р-ра).

2. Определим массы растворенных веществ в первом и во втором растворах:

m_1(в-ва) = ω₁ ∙ m_1(р-ра), m_2(в-ва) = ω₂ ∙ m_2(р-ра).

3. Следовательно, масса растворенного вещества в полученном растворе вычисляется как сумма масс веществ в исходных растворах:

m_(в-ва) = m_1(в-ва) + m_2(в-ва) = ω₁ ∙ m_1(р-ра) + ω₂ ∙ m_2(р-ра).

4. Таким образом, массовая доля растворенного вещества в полученном растворе равна:

ω = m_(в-ва) / m_(р-ра) (1)

или

ω = (ω₁ ∙ m_1(р-ра) + ω₂ ∙ m_2(р-ра)) / (m_1(р-ра) + m_2(р-ра)).

или

ω = (ω₁ ∙ m₁ + ω₂ ∙ m₂) / (m₁ + m₂) (4)

где m_1, m₂ − массы соответствующих растворов.

Замечание: При решении задач удобно составлять следующую таблицу.

	1-й раствор	2-й раствор	Смесь двух растворов
Масса растворов	m₁	m₂	m₁ + m₂
Массовая доля растворенного вещества	ω₁	ω₂	ω
Масса вещества в растворе	ω₁ ∙ m₁	ω₂ ∙ m₂	ω ∙ (m₁ + m₂)

II. “Правило смешения”.

Воспользуемся формулой (4): ω = (ω₁ ∙ m₁ + ω₂ ∙ m₂) / (m₁ + m₂),

Тогда ω₁ ∙ m₁ + ω₂ ∙ m₂ = ω ∙ (m₁ + m₂);

ω₁ ∙ m₁ − ω ∙ m₁ = ω ∙ m₂ − ω₂ ∙ m₂;

m₁ ∙ (ω₁ − ω) = m₂ ∙ (ω − ω₂).

Отсюда m₁ / m₂ = (ω − ω₂) / (ω₁ − ω), при ω₁ > ω₂ (5)

Таким образом, отношение массы первого раствора к массе второго равно отношению разности массовых долей смеси и второго раствора к разности массовых долей первого раствора и смеси.

Аналогично получаем, что при ω₁ > ω₂ , m₁ / m₂ = (ω₂ − ω) / (ω − ω₁).

Замечание: формула (5) удобна тем, что на практике, как правило, массы веществ не отвешиваются, а берутся в определенном отношении.

III. “Правило креста”.

“Правилом креста” называют диагональную схему правила смешения для случаев с двумя растворами.

Слева на концах отрезков записывают исходные массовые доли растворов (обычно слева вверху-большая), на пересечении отрезков - заданная, а справа на их концах записываются разности между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части показывают в каком отношении надо слить исходные растворы.

IV. Графический метод.

Отрезок прямой (основание графика) представляет собой массу смеси, а на осях ординат откладывают точки, соответствующие массовым долям растворенного вещества в исходных растворах. Соединив прямой точки на осях ординат, получают прямую, которая отображает функциональную зависимость массовой доли растворенного вещества в смеси от массы смешанных растворов в обратной пропорциональной зависимости

ω = (ω₁ ∙ m₁ + ω₂ ∙ m₂) / (m₁ + m₂), y = k / x.

Полученная функциональная прямая позволяет решать задачи по определению массы смешанных растворов и обратные, по массе смешанных растворов находить массовую долю полученной смеси.

Построим график зависимости массовой доли растворенного вещества от массы смешанных растворов. На одной из осей ординат откладывают точку, соответствующую массовой доли ω₁, а на другой – ω₂. Обозначим на оси абсцисс точки А и В с координатами (0,0) и (m₁ + m₂), соответственно. На графике точка А(0,0) показывает, что массовая доля всего раствора равна ω₁, а точка В(m₁ + m₂) - массовая доля всего раствора равна ω₂. В направлении от точки А к точке В возрастает содержание в смеси 2-го раствора от 0 до (m₁ + m₂) и убывает содержание 1-го раствора от (m₁ + m₂) до 0. Таким образом, любая точка на отрезке АВ будет представлять собой смесь, имеющую одну и ту же массу с определенным содержанием каждого раствора, которое влияет на массовую долю растворенного вещества в смеси.

Замечание: Данный способ является наглядным и дает приближенное решение. При использовании миллиметровой бумаги можно получить достаточно точный ответ.

V. Алгебраический метод

Задачи на смешивание растворов решают с помощью составления уравнения или системы уравнений.

Пример № 4. Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раствора 4 л, другого – 6 л. Если их слить вместе, то получится 35 % раствор кислоты. Если же слить равные объемы этих растворов, то получится 36 % раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных растворов?

Решение. Пусть х л кислоты содержится в первом растворе, у л кислоты содержится во втором растворе. Тогда х/4 – концентрация кислоты в первом растворе, у/6 – концентрации кислоты во втором растворе. Если слить два раствора, то получим раствор массой 4л+6л=10л, причем масса кислоты в нем будет х + у, тогда (х + у) / 10 – концентрация кислоты, после сливания обоих растворов. Так как по условию в полученном таким образом растворе содержится 35% кислоты, то ее концентрация там равна 0,35. Таким образом, получаем (х + у) / 10 = 0,35 или х + у = 3,5.

Если будем сливать равные объемы растворов по m литров, то mx/4 + mх/6 – масса кислоты в полученном растворе, 2m – масса полученного раствора. Тогда (mx/4 + mх/6) / 2m – концентрация кислоты в полученном растворе. По условию (mx/4 + mх/6) /2 m = 0,36 или (х/8 + у/12) = 0,36.

Таким образом, получили систему двух уравнений

х + у =3,5 х + у = 3,5 х = 3,5 − у

х/8 + у/12 = 0,36 6х + 4у = 17,28 6(3,5 − у) + 4у = 17,28

х = 3,5 – у х = 1,64

у = 1,86 у = 1,86.

Ответ: в первом растворе содержится 1,64 л кислоты, во втором – 1,86 л.

1.3. Анализ в школьных учебниках по характеристике сюжетных задач на смеси, растворы и сплавы

Для анализа выбрали учебники за 7 – 9-е классы под редакцией Ш. А. Алимова, С. А. Телековского и А. Г. Мордковича.

В учебниках по алгебре за 7, 8 и 9 классы (Ш. А. Алимов) сюжетные задачи на смеси, растворы и сплавы встречаются очень редко. В каждом из учебников по 3-4 задачи.

Алгебра 7 класс Ш. А. Алимов.

Задача № 552^* (стр. 128). Плотность гранита составляет 2600 кг/м³. Выразить массу m, как функцию от его объема V.

Найти значение функции при V = 1,5 м³; V = 10 м³.
Каков должен быть объем гранита, чтобы его масса была 5,2 ц; 7,8 т?

а) плотность, масса, объем – основные величины рассматриваемые в задаче;

б) функциональное отношение между ними задается формулой m = ρ∙V, а основное отношение, реализованное в задаче, задается формулой: a∙b = c;

в) задачные ситуации: 1) написать функцию m через V; 2) найти значение m; 3) найти объем;

г) известно ρ, V при 1) ситуации, m неизвестна;

известно m, ρ при 2) ситуации V неизвестен;

д) связь между неизвестными и известными величинами находится по формуле m = ρ∙V;

е) искомая величина 1) масса, 2) объем.

Алгебра 9 класс Ш. А. Алимов.

Задача. Масса одного слитка металла 153 г, другого 230 г, причем плотность первого на 2,9 г/см³ больше плотности второго. Каков объем каждого слитка, если объем первого на 13,6 см³ меньше объема второго?

а) плотность, масса, объем – основные величины, рассматриваемые в задаче;

б) функциональное отношение между ними задается формулой m=ρ∙V, а основное отношение, реализованное в задаче, задается формулой: a∙b = c;

в) задачные ситуации: сравнить плотность слитков, их объемы и найти V₁, V₂;

г) известно m₁, m₂, неизвестны все остальные величины;

д) связь между неизвестными и известными величинами находится по формуле m=ρ∙V;

е) искомые величины V₁, V₂.

Сравнивая эти две задачи, можно сказать, что сложность задач увеличивается. В 7 классе нам дается одна задачная ситуация, одно неизвестное, и беря значения из условия, подставляем их в формулу, мы отвечаем на поставленный вопрос задачи. В 9 классе нам предлагается уже 2 задачной ситуации, четыре неизвестных, которые имеют определенную связь. А в ответ задачи нужно записать два неизвестных. Составляем уравнение, решив его мы найдем только одно неизвестное. Арифметическим действием находим второе неизвестное.

В учебниках по алгебре 7 и 8 классах под редакцией Телековского сюжетных задач на смеси, растворы и сплавы тоже встречаются редко. По 3-4 задачи. А в учебнике за 9 класс их нет вообще. Проанализируем условия сюжетной задачи на смеси, растворы и сплавы.

Алгебра 7 класс С. А. Телековский.

Задача №1182 (стр. 210). Масса 4,5см³ железа и 8 см³ меди равна 101,5 г. Масса 3 см³ железа больше массы 2 см³ меди на 6,8 г. Найдите плотность железа и плотность меди.

а) плотность, масса, объем – основные величины, рассматриваемые в задаче;

б) функциональное отношение между ними задается формулой m=ρ∙V, а основное отношение, реализованное в задаче, задается формулой: a∙b = c;

в) задачные ситуации: выразить массы металлов, сравнить их массы и найти ρ₁ и ρ₂;

г) известны m₁, m₂, неизвестны все остальные величины;

д) связь между неизвестными и известными величинами находится по формуле m=ρ∙V;

е) искомая величина ρ₁ и ρ₂.

.Алгебра 8класс С. А. Телековский.

Задача №1009 (стр. 200). Масса медной пластинки 325 г. Плотность меди 8,9 г/см³. Найдите объем пластинки.

а) плотность, масса, объем – основные величины, рассматриваемые в задаче;

б) функциональное отношение между ними задается формулой m=ρ∙V, а основное отношение, реализованное в задаче, задается формулой: a∙b = c;

в) задачная ситуация найти объем пластинки;

г) известно m, ρ, неизвестен V;

д) связь между неизвестными и известными величинами находится по формуле m=ρ∙V;

е) искомая величина V.

Сравнивая эти две задачи можно сказать, что в учебнике за 7 класс С. А. Телековского встречаются задачи более сложнее, чем в учебнике за 8 класс. Если в 7 классе нам предлагается две задачной ситуации, четыре неизвестных, нам нужно установить между ними связь, сравнить, а в ответ записать одно неизвестное. То в 8 классе нам предлагается совсем простая задача. Одна задачная ситуация, одно неизвестное, подставляем из условия задачи значения в формулу и находим неизвестное.

Рассмотрим учебники Алгебра 7-9 классов под редакцией Мордковича. В них как и в выше рассматриваемых учебниках сюжетные задачи на смеси, растворы и сплавы встречаются редко, по 2-3 задачи. Проанализируем условия задачи.

Алгебра 7 класс А. Г. Мордкович.

Задача №1142 (стр.146). Имеется лом стали двух сортов с содержанием 5% и 40%никеля. Сколько тонн стали каждого сорта нужно взять, чтобы сплавив их, получить 140 т стали, в которой содержится 30% никеля?

а) масса, процентное содержание вещества – основные величины, рассматриваемые в задаче;

б) задачная ситуация найти массу каждого лома;

а) известно m, полученной стали, процентное содержание в ней вещества, процентное содержание вещества в ломах, неизвестны все остальные величины;

д) искомые величины m₁, m₂.

В учебниках Алгебра 7-9 классов под редакцией А. Г. Мордкович все сюжетные задачи на смеси, растворы и сплавы на процентное содержание веществ в данной смеси, в данном растворе, сплаве. В задачах содержится 2-3 задачной ситуации. Составляются системы уравнений для нахождения ответа на вопрос задачи.

Рассмотрим решения сюжетных задач на смеси, растворы и сплавы из учебников по алгебре.

Алгебра 7 класс Ш. А. Алимов.

Задача. Плотность гранита составляет 2600 кг/м³. Выразить массу m, как функцию от его объема V.

Решение. Масса находиться по формуле m=ρ∙V.

m = 2600кг/м³ ∙ 1,5м³ = 27300 (кг);

m = 2600кг/м³ ∙ 10м³ = 26000 (кг);

V = m/ρ;

V = 520кг/2600кг/м³ = 0,2 (м³);

V = 7800кг/2600кг/м³ = 3 (м³).

Ответ: 27300 кг, 26000 кг, 0,2 м³, 3м³.

Алгебра 7 класс С. А. Телековский.

Задача. Масса 600 см³ алюминия и 1,5 дм³ железа равна 13 кг 320 г. Найдите плотность алюминия, если она меньше плотности железа на 5,1 кг/дм³.

Решение. Пусть плотность алюминия равна х кг/дм³. Тогда плотность железа равна (х + 5,1) кг/дм³. Масса алюминия будет равна 6 ∙ х кг, а масса железа 1,5 ∙ (х + 5,1) кг. По условию задачи масса алюминия плюс масса железа равна 13,320 кг. Составим уравнение:

6 ∙ х + 1,5 ∙ (х + 5,1) = 13,320,

решив уравнение получим х = 0,796 кг/ дм³.

Ответ: 0,796 кг/ дм³.

Алгебра 7 класс А. Г. Мордкович.

Задача. Имеется лом стали двух сортов с содержанием 5% и 40%никеля. Сколько тонн стали каждого сорта нужно взять, чтобы сплавив их, получить 140 т стали, в которой содержится 30% никеля?

Решение. Пусть 5%-ного лома взято х т, а 40%-ного лома у т. Тогда из условия ясно, что х + у = 140 т. Так как первый лом содержит 5% никеля, то в х т этой стали содержится 0,05х т никеля. Аналогично, в У т 40%-ного лома содержится 0,4у т. никеля. В полученной стали по условию задачи никеля содержится 140 ∙ 0,3 = 42 т, отсюда следует, что 0,05х + 0,4у = 42. Составим систему уравнений и решим ее:

х + у = 140 х = 40

0,05х + 0,4у = 42 у = 100.

Ответ: 40 т 5%-ного и 100 т 40%-ного лома.

Подведем итог. Решая задачи из разных учебников за 7 класс по алгебре на смеси, растворы и сплавы можно сказать, что у Ш. А. Алимова задача самая простая. Мы просто взяли значения, подставили их в формулу и ответили на вопрос задачи. В задаче из учебника С. А. Телековского мы ищем связь между известными и неизвестными величинами, составляем уравнение с одним неизвестным. В задаче из учебника А. Г. Мордковича мы вводим две неизвестные величины. Составляем систему уравнений. Конечно же сложнее задачи в учебниках под редакцией А. Г. Мордковича. Но количества сюжетных задач на смеси, растворы и сплавы во всех учебниках недостаточно. Во всех учебниках и за 7, и за 8 и за 9 классы должно быть минимум по две задачи на каждый вид, т. е. на нахождение массовой концентрации вещества; на нахождение процентного содержания веществ; на нахождение объемов веществ в смесях, растворах и сплавов. Следовательно, необходимо подобрать комплекс задач для 7-9 классов, направленные на повышение математических знаний учащихся, умений решать задачи разными способами.

1.4 Комплекс сюжетных задач на смеси, растворы и сплавы

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?
Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали одного и другого сорта следует взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30%?
Из сосуда, содержащего 54 л чистой кислоты, вылили несколько литров и после этого долили сосуд водой до прежнего объема. Затем из сосуда смеси столько же литров, как и в первый раз. В результате в смеси, оставшейся в сосуде, осталось чистой 24 л. Сколько кислоты вылили в первый раз?
Имеется два сплава с различным процентным содержанием меди. Масса первого сплава а кг, а второго b кг. От каждого из сплава отделили по куску равной массы и каждую из отдельных частей сплавили с остатком другого куска. В новых сплавах процентное содержание меди стало одинаковым. Какова масса каждого из отрезанных кусков?
Один вид железной руды содержит 72 % железа, другой – 58 %. Некоторое количество руды первого вида смешали с некоторым количеством руды второго вида и получили руду, содержащую 62 % железа. Если бы для смеси руды каждого вида на 15 кг больше, чем было взято, то получилась бы руда, содержащая р % железа. Сколько килограммов руды первого и второго вида было взято для составления первой смеси?
В первый сосуд вместимостью 6 л налито 4 л 70 % -ного раствора серной кислоты; во второй сосуд такой же вместимости налито 3 л 90 % -ного раствора серной кислоты (имеется в виду объемное процентное содержание). Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в первом сосуде получился q % -ный раствор серной кислоты?
В сосуд, содержащий 2 кг 80 % -го водного раствора уксуса добавили 3 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.
Имеются два сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве отношение масс золота и меди равно 8:3, а во втором – 12:5. Сколько килограммов золота и меди содержится в сплаве, приготовленном из 121 кг первого сплава и 225 кг второго сплава?
Одна смесь содержит вещества А и В в отношении 4:5, а другая смесь содержит те же вещества, но в отношении 6:7. Сколько частей каждой смеси надо взять, чтобы получить третью смесь, содержащую те же вещества в отношении 5:6?

ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ НА СМЕСИ, РАСТВОРЫ И СПЛАВЫ

2.1. Требования и допущения при решении сюжетных задач на смеси, растворы и сплавы

Задачи, связанные с понятиями “концентрация” и “процентное содержание”, являются традиционно трудными для обучающихся. В них речь идет о сплавах, растворах и смесях, которые получаются при сплавлении или смешивании различных веществ. При решении таких задач принимаются некоторые допущения. Первое: если смешиваются два раствора, объем которых х и у, то получившаяся смесь будет иметь объем х + у. Второе: получившиеся смеси и сплавы имеют однородную консистенцию.

При решении задач данного типа используются следующие допущения:

Всегда выполняется «закон сохранения объема или массы»:

Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то выполняются равенства:

V = V₁ + V₂ − сохраняется объем ;

M = M₁ + M₂ − сохраняется масса.

2. Точно такой же «закон сохранения» выполняется для отдельных составляющих частей (компонент) сплава (раствора), если первый сплав состоит из нескольких компонентов, например из А, В, С, а второй состоит из компонентов В, С, Д, то «новый» сплав, полученный при соединении этих двух сплавов, будет содержать компоненты А, В, С, Д. При чем масса этих компонентов «новом» сплаве равны сумме масс каждой из компонентов, входящих в первый и второй сплав.

3. При соединении растворов, сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонент.

4. Часто в задачах на смеси и сплавы используется понятия объемной концентрации и массой концентрации компонент, составляющих раствор или сплав. Объемная или массовая концентрация есть число, показывающее, какую долю всего объема или массы составляет данная компонента.

5.Например, если имеется 40%-й раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема занимает «чистая» соль. Значит, объемная концентрация соли в растворе равна 0,4. Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4:7, то в этом сплаве 4/11 частей от массы всего сплава составляет масса , а 7/11- масса меди и т.д. То есть массовые концентрации свинца и меди в сплаве соответственно равны 4/11 и 7/11.

Решение задач указанного типа требует чёткого владения понятиями «пропорция», «процент» и их свойствами.

Равенство двух отношений а/b = c/d ( bd ≠ 0 ) называется пропорцией, а числа а, b, c, d – членами пропорции, при этом числа a и d называются крайними членами пропорции, а числа b и с – средними членами пропорции.

Основное свойство пропорции состоит в том, что произведение её крайних членов равно произведению её средних членов, то есть ad = bc.

Если дана пропорция a/b = c/d (bd ≠ 0), то при любых числах к и р таких, что kb + pd ≠ 0, справедливо соотношение:

a/b = c/d = (ka + pc)/(kb + pd).

Решение задач данного типа основано на использовании следующих формул. Пусть даны два различных вещества А и В с массами МА и МВ соответственно. Масса смеси, составленной из этих веществ, равна М = М_а + М_в. Массовыми концентрациями веществ А и В в смеси называются величины соответственно С_а = М_а/М = М_а/(М_а + М_в) и С_в = М_в/М = М_в/(М_а + М_в), связанные соотношением С_а+ С_в =1. Процентными концентрациями веществ А и В в смеси называются величины соответственно Р_а% = С_а 100% и Р_в% = С_в 100%. По аналогичным формулам вычисляются концентрации веществ в смеси и в тех случаях, когда число различных смешиваемых веществ больше двух. При решении задач рассматриваемого типа практически всегда полезно разделять смесь на отдельные компоненты по формуле М = С_аМ + С_вМ.

Объёмные концентрации веществ в смеси определяются теми же формулами, где вместо масс М_а и М_в стоят объёмы V_а и V_в, при этом принимается соглашение, что при смешивании веществ объём смеси будет равен сумме объёмов компонентов. При пересчёте объёмной концентрации на массовую или наоборот необходимо пользоваться формулой М = Vρ, где ρ – плотность вещества.

При решении задач на смеси, растворы и сплавы важно помнить следующие моменты:

практически все задачи подходят под схему «часть, доля, всего», где «часть» − это масса или объём вещества А в смеси, растворе, сплаве, «доля» - это дробное или процентное выражение части вещества А, «всего» - это масса смеси, раствора, сплава; данная схема работает по формуле

«часть» = «доля» х «всего»;

один процент (1%) данного числа а есть сотая часть этого числа, само число а составляет 100% - одна целая часть. При решении задач с использованием процентов некоторая величина а принимается за 100%=1, а её часть – величина b – принимается за к%=0,01к и составляется равенство b = 0,01ka, из которого по двум известным величинам определяют третью величину; в данном случае b является «частью» числа а, 0,01к – «долей» числа b от числа а, выраженной дробью, число а принимаем за «всего»;
при рассмотрении задач на смеси, растворы, сплавы нужно иметь в виду, что математическое описание этих задач строится на предположении: никаких химических процессов, влияющих на количественные соотношения задачи, не происходит;
в качестве неизвестных чаще бывает удобно выбирать либо «часть», либо «долю»; при исследовании смеси, раствора, сплава важно держать в памяти две характеристики: общее количество данного вещества в смеси и количество данного вещества в 1единице смеси, то есть «часть» и «долю»;
все соизмеримые величины должны быть выражены в одних единицах измерения;
при решении желательно избегать работы с процентами: от процентов вещества в данной смеси всегда можно перейти к его абсолютному количеству, то есть дробному выражению доли.

2.2. План-конспект урока в 9 классе
«Решение задач на смеси, растворы, сплавы»

Цель урока: обобщение, углубление, систематизация знаний, умений, навыков учащихся, развитие творческих способностей учащихся.

Обобщить решение задач на сплавы, растворы и смеси различными способами.
Воспитывать интерес к предмету через межпредметные связи с химией, обращая внимание на аккуратность, дисциплинированность и самостоятельность.
Развивать устную и письменную речь, внимание и логическое мышление.

Ход урока.

I) Актуализация опорных знаний обучаемых.

С помощью таблицы повторить основные теоретические сведения по данной теме. При этом учащиеся составляют опорный конспект.

Теоретические сведения.

Пусть m г некоторого вещества растворяется в М г воды, тогда

- доля вещества в растворе;

- доля воды в растворе;

· 100 % - концентрация раствора, или процентное содержание вещества в растворе;

· 100% - процентное содержание воды в растворе;

При этом · 100 % + · 100% = 100%.

Примечание 1. Вместо воды можно брать любую жидкость – основание, в которой можно растворить то или иное вещество.

Примечание 2. С математической точки зрения растворы, смеси, сплавы не отличаются друг от друга. Поэтому доля или процентное содержание одного вещества в растворе, смеси, сплаве определяются по одному правилу.

Примечание 3. Вместо весовых мер веществ и воды можно брать доли или части (mч и Мч ).

II) Знакомство учащихся с текстом задач и выделение основных компонентов в них.

Таблица для решения задач имеет следующий вид:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание вещества (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества

III) Решение задач.

Рассмотрим решения задач с применением таблицы.

Задача 1. В сосуд содержащий 2 кг 80 % -го водного раствора уксуса добавили 3 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.

Решение.

Наименование веществ, смесей	% содержание (доля) вещества	Масса раствора (кг)	Масса вещества (кг)
Исходный раствор	80 % = 0,8	2	0,8·2
Вода	-	3	-
Новый раствор	х % = 0,01х	5	0,01х·5

Масса уксусной кислоты не изменилась, тогда получаем уравнение:

0,01х·5 = 0,8·2;

0,05х = 1,6;

х = 1,6:0,05;

х = 32.

Ответ: концентрация получившегося раствора уксусной кислоты равна 32 %.

Задача 2. Имеются два сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве отношение масс золота и меди равно 8:3, а во втором - 12:5. Сколько килограммов золота и меди содержится в сплаве, приготовленном из 121 кг первого сплава и 255 кг второго сплава?

Решение.

Наименование веществ, смесей	Доля вещества			Масса сплава (кг)	Масса вещества (кг)
Наименование веществ, смесей	золото	медь	всего	Масса сплава (кг)	Золото Мз	медь Мм
I сплав	8	3	11	121	8/11 · 121	3/11 · 121 или 121- Мз
II сплав	12	5	17	255	12/17 · 255	255- Мз
III сплав	-	-	-	376	Сумма I и II сплавов	Сумма I и II сплавов

8/11 · 121 = 88 (кг) – масса золота в I сплаве,

12/17 · 255 = 180 (кг) масса золота в II сплаве,

121+255=376 (кг) – масса III сплава,

88+180=268 (кг) -масса золота в III сплаве,

376-268=108 (кг) масса меди в III сплаве.

Ответ: 268 кг золота и 108 кг меди.

Задача 3. Одна смесь содержит вещества А и В в отношении 4:5, а другая смесь содержит те же вещества, но в отношении 6:7. Сколько частей каждой смеси надо взять, чтобы получить третью смесь, содержащую те же вещества в отношении 5:6.

Наименование веществ, смесей	Доля вещества в смеси			Масса смеси (кг)	Масса вещества (кг)
Наименование веществ, смесей	А	В	всего	Масса смеси (кг)	А	В
I смесь	4	5	9	х	4/9х	5/9х
II смесь	6	7	13	у	6/13у	7/13у
III смесь	5	6		x + у	4/9х +6/13у	5/9х+7/13у

По условию задачи А:В = 5:6, тогда

(4/9x + 6/13y)/(5/9x + 7/13y) = 5/6

В данном случае получилось одно уравнение с двумя переменными.

(52x + 54y)/(65x + 63y) = 5/6

(52x/y + 54)/(65x/y + 63) = 5/6

Решаем уравнение относительно x/y. Получим x/y=9/13.

Ответ : 9 частей первой смеси и 13 частей второй смеси.

IV) Домашнее задание: составить и решить не менее двух задач.

V) Итоги урока.

следующая страница >>