Название работы	Кол-во страниц	Размер
Рабочая учебная программа по дисциплине конспект лекций по дисциплине	3	708.63kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине конспект лекций по дисциплине	4	1539.61kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине конспект лекций по дисциплине	4	1526.27kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине конспект лекций по дисциплине	7	1314.67kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине конспект лекций по дисциплине	5	1826.22kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине конспект лекций по дисциплине	2	499.95kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине конспект лекций по дисциплине	2	486.97kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине конспект лекций по дисциплине	4	1144.59kb.
Конспект лекций по данной дисциплине. Основное назначение содействие...	8	1145.85kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине «Теория и практика перевода»	1	181.34kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине теория машин и механизмов	1	175.1kb.
Основы маркетинга Перевод с английского В. Б. Боброва Общая редакция...	74	10970.63kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

Определение коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений
Коэффициенты при неизвестных r_ij и r_ii и свободные члены R_iF системы канонических уравнений метода перемещений (см. п. 8.3) можно определить, используя эпюры внутренних усилий, полученные в основной системе от смещения наложенных связей на величину, равную единице, и от заданной нагрузки с помощью стандартных задач (см. п. 8.4).

Для определения реакций в наложенных связях от вышеупомянутых воздействий используют статический или кинематический способы.

Статический способ. Реакция в любой наложенной связи в основной системе метода перемещений от единичных кинематических воздействий и от нагрузки определяется из условия равновесия узла или любой части сооружения, содержащих рассматриваемую связь (см. пример в п. 8.7).

Кинематический способ. Используя принцип возможных перемещений, определим коэффициенты при неизвестных r_ij и r_ii.

Рис. 8.14
Рассмотрим i-е исходное состояние основной системы метода перемещений, в котором i-я наложенная связь получила перемещение на величину, равную единице, и определим реакцию в j-й наложенной связи r_ji от этого перемещения (рис. 8.14,а). За возможные примем перемещения в j-м состоянии основной системы (рис. 8.14,б). Суммарная возможная работа внешних (W_ext,ij) и внутренних (W_int,ij) сил i-го состояния на возможных перемещениях, имеющих место в j-м состоянии, в силу равновесия рассматриваемой системы равна нулю

W_ext,ij+ W_int,ij = 0. (8.8)

В соотношении (8.8) возможная работа внешних сил запишется:

W_ext,ij = r_ji · 1. (8.9)

Возможную работу внутренних сил вычислим с учетом только изгибных деформаций

(8.10)

После подстановки выражений (8.9) и (8.10) в зависимость (8.8) получим

(8.11)

Если i-е состояние основной системы будем рассматривать как исходное и как вспомогательное, повторно применяя принцип возможных перемещений, вычислим

(8.12)

Из соотношения (8.12) следует, что главные коэффициенты r_ii системы канонических уравнений всегда положительны. Формула (8.11) по существу подтверждает теорему о взаимности реакций (r_ji = r_ij), так как множители M_ik(s) и M_jk(s) в подынтегральном выражении можно менять местами.

Для определения реакций в наложенных связях от заданной нагрузки R_iF воспользуемся теоремой о взаимности возможных работ состояний F и i, изображенных на рис. 8.15,а,б.



(8.13)

Так как

то, используя равенство (8.13), получим:

(8.14)

(8.14)

где – перемещение в направлении обобщенной силы F от смещения i-й наложенной связи на величину, равную единице в основной системе метода перемещений.

Перемещение определяется по формуле, которую здесь приведем без доказательства:

(8.15)

В соотношении (8.15): – изгибающие моменты в основной системе метода перемещений от смещения i-й наложенной связи на величину, равную единице; – изгибающие моменты в любой статически определимой основной системе метода сил, полученной из рассматриваемой основной системы метода перемещений удалением лишних связей, в том числе обязательно и i-й связи, от единичного обобщенного фактора (рис.8.15,в).

Изгибающие моменты от полного значения обобщенной силы F можно представить в виде

отсюда

(8.16)

Соотношение (8.15) с учетом зависимости (8.16) перепишется:

(8.17)

После подстановки выражения (8.17) в формулу (8.14) окончательно получим

(8.18)

Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений с помощью соотношений (8.11), (8.12) и (8.18), как и в методе сил, можно произвести сопряжением соответствующих эпюр внутренних усилий, используя формулу Симпсона или правило Верещагина.

В двадцать второй лекции будет рассмотрено определение коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений в матричной форме.
Определение внутренних усилий в заданном сооружении.

Промежуточные и окончательные проверки правильности расчета
На данном этапе расчета стержневых систем методом перемещений мы имеем эпюры изгибающих моментов М₁, М₂,…, М_j, …, M_n, M_F, построенные в основной системе от смещения наложенных связей на величины Z₁ = 1, Z₂ = 1,…, Z_j = 1,…, Z_n = 1 и от заданной нагрузки, а также численные значения угловых и линейных перемещений узлов в заданном сооружении Z₁, Z₂,…, Z_j,…, Z_n,полученные в результате решения системы канонических уравнений (8.6). Окончательную эпюру изгибающих моментов для заданного сооружения получим, используя принцип независимости действия сил:

. (8.19)

Поперечные и продольные силы в сечениях заданной системы вычислим по эпюре изгибающих моментов из условий равновесия отдельных элементов и узлов.

Многоэтапность расчета статически неопределимых сооружений методом перемещений требует проведения проверок достоверности вычисления коэффициентов системы канонических уравнений, правильности решения этой системы уравнений, а также окончательной проверки эпюр внутренних усилий, полученных в результате расчета.

Главные и побочные коэффициенты r_ii и r_ij системы канонических уравнений (8.6) могут быть вычислены двумя способами – статическим (из условия равновесия узлов) и кинематическим (сопряжением соответствующих эпюр изгибающих моментов, построенных в основной системе метода перемещений от единичных кинематических воздействий). Кроме того, правильность вычислений любого побочного коэффициента r_ji может быть подтверждена независимым определением равного ему побочного коэффициента r_ij .

Свободные члены R_iF (грузовые коэффициенты) также могут быть получены статическим и кинематическим способами. При этом, используя соотношение (8.18), необходимо помнить, что грузовая эпюра изгибающих моментов должна быть получена в любой статически определимой основной системе метода сил, выбирая которую необходимо обязательно удалить i-ю наложенную связь.

При необходимости можно произвести универсальную и построчные проверки правильности вычислений коэффициентов при неизвестных системы канонических уравнений (8.6), а также проверку достоверности определения ее свободных членов. Для этого, как и в методе сил, используют суммарную эпюру изгибающих моментов M_S, полученную в основной системе метода перемещений суммированием эпюр изгибающих моментов от единичных кинематических воздействий:

(8.20)

На заключительном этапе производится проверка правильности эпюр внутренних усилий, построенных в заданном статически неопределимом сооружении. Если при решении задачи ошибки отсутствовали, то узлы заданного сооружения и любые его части должны находиться в равновесии. Это следует из того, что в реальном сооружении нет связей, в которых отрицались реакции в основной системе метода перемещений (см. п. 8.3).

Дополнительно для окончательной проверки эпюр внутренних усилий, полученных для заданного сооружения от силового воздействия, можно использовать любую, желательно статически определимую, основную систему метода сил, для которой должны выполняться кинематические условия

(8.21)

В соотношении (8.21): M(s) – изгибающие моменты от внешней нагрузки в заданном сооружении, вычисленные методом перемещений; – изгибающие моменты в основной системе метода сил от единичного усилия, действующего в направлении i-й удаленной связи.

Примеры расчета рамы на силовое воздействие методом перемещений
Пример 8.3.

Построить эпюры внутренних усилий от силового воздействия в раме, показанной на рис. 8.16,а. Соотношение между значениями изгибных жесткостей поперечных сечений ригеля (горизонтального элемента) и наклонных элементов задано: EJ_P : EJ_H = = 3 : 1,125.

Рис. 8.16
1. Расчет статически определимой части ригеля (рис. 8.16,б – правая консоль) и замена удаленной части соответствующими силами (рис. 8.16,в).

2. Вычисление погонных жесткостей элементов рамы. Сохраняя заданное соотношение между относительными значениями изгибных жесткостей поперечных сечений, примем EJ_P = 12, EJ_H = 5. В этом случае имеем (рис. 8.16,в):

3. Определение степени кинематической неопределимости рамы. Число неизвестных угловых перемещений узлов рамы n_θ = = 1, так как заданная стержневая система имеет только один жесткий узел, угол поворота которого Z₁ от заданного силового воздействия нам неизвестен.

Число независимых линейных перемещений n_Δ определим по шарнирной схеме, изображенной на рис. 8.17 (см. п. 8.1). Степень свободы шарнирной схемы вычислим, используя соотношение (8.2)

W = 2Y – C – C_o = 2 ∙ 3 − 2 −3 = 1.

Рис.8.17
Число независимых линейных перемещений узлов рамы совпадает со степенью свободы ее шарнирной схемы, т.е. n_Δ = 1. Степень кинематической неопределимости рамы вычислим по формуле (8.1)

4. Выбор основной системы метода перемещений. Угловую связь («плавающую» заделку) накладываем на узел b, линейную − горизонтально на узел а (рис. 8.16,г). Наложение горизонтальной линейной связи на узел а шарнирной схемы преобразует ее в геометрически неизменяемую систему. Таким образом, за неизвестные метода перемещений в данной задаче приняты угол поворота узла b − Z₁ и горизонтальное перемещение узла а − Z₂ заданной рамы от действующей на нее нагрузки. Численное значение этих неизвестных определим из системы канонических уравнений метода перемещений (см. п. 8.3)

(8.22)

5. Построение деформационных схем элементов рамы в основной системе метода перемещений от смещения наложенных связей на величину, равную единице (рис. 8.18,а − от поворота угловой связи по часовой стрелке, рис. 8.19,а − от смещения линейной связи по горизонтали влево). Для определения линейных смещений узлов от перемещения горизонтальной наложенной связи влево на величину, равную единице, использован полярный план перемещений (рис. 8.19,б). На рис. 8.19,а показано линейное перемещение всех узлов и, в частности, узла b, который получил линейное перемещение вместе с наложенной на него угловой связью, т.е. не повернувшись.

Рис. 8.18


Рис. 8.19
План перемещений позволяет легко определить перекосы элементов Δ, т.е. относительные отношения их концов в направлениях, перпендикулярных осям элементов в недеформированном состоянии. Из рис. 8.19,б видно, что D_ab = 0,75, D_be = 1,5, D_bB = D_ec = 1,25. Деформационные схемы, изображенные на рис. 8.18,а и рис. 8.19,а наглядно показывают растянутые и сжатые участки крайних волокон элементов, что позволит в дальнейшем правильно осуществить привязку имеющихся стандартных задач при построении эпюр изгибающих моментов в основной системе метода перемещений.

6. Построение эпюр изгибающих моментов М₁ и М₂ в единичных состояниях основной системы метода перемещений (рис. 8.18,б и рис. 8.19,в). При построении этих эпюр использованы стандартные задачи, рассмотренные в п. 8.4 (см. см.табл. 8.1 и табл.8.3). Ординаты эпюр изгибающих моментов отложены со стороны вытянутых волокон в соответствии с деформационными схемами, представленными на рис. 8.18,а и 8.19,а.

7. Построение эпюры изгибающих моментов М_F в основной системе метода перемещений от заданной нагрузки (рис. 8.20,а, б). Эта операция состоит, по существу, в привязке имеющихся эпюр изгибающих моментов для стандартных стержней различных типов к соответствующим стержням основной системы (см. табл. 8.1 и табл. 8.3).



Рис. 8.20
8. Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений (8.22), т.е. реакций r₁₁, r₁₂, r₂₁, r₂₂ в наложенных связях 1 и 2 от единичных кинематических воздействий и реакций R_1F и R_2F в этих же связях от заданной нагрузки в основной системе метода перемещений статическим способом. Перечисленные реакции изображены на соответствующих деформационных схемах (см. рис. 8.18,а; рис. 8.19,а; рис. 8.20,а). Рассмотрев равновесие узла b в единичных и грузовых состояниях основной системы, получим (рис. 8.21):

r₁₁ = 19, r₁₂ = –1,125, R_1F = 162.

Рис. 8.21


Рис. 8.22
Реакция в наложенной связи считается положительной, если ее направление совпадает с направлением смещения связи при построении соответствующей деформационной схемы в основной системе метода перемещений, и отрицательной − если не совпадает.

В соответствии с теоремой о взаимности реакций имеем:

r₂₁ = r₁₂ = –1,125.

Из равновесия узла а Σ(F_x)_a = 0 следует, что реакция в линейной связи 2 от ее смещения на величину, равную единице (r₂₂), в основной системе метода перемещений равна продольной силе в элементе ab, т.е. r₂₂ = N_ab (рис. 8.22,б). Эту продольную силу вычислим, последовательно рассматривая равновесие узлов е и b (N_ab = 2,2969). Таким образом, r₂₂ = 2,2969. Читателям предлагается самостоятельно произвести вычисление продольной силы в элементе ab.

Аналогично вычисляется и реакция R_2F для грузового состояния основной системы (рис. 8.22,в)

R_2F = –N_ab = –23,75.

Знак «минус» показывает, что направление реакции R_2F (направо) противоположно направлению смещения линейной связи 2 (налево).

9. Проверка правильности вычислений коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений (8.22). С этой целью используем суммарную эпюру изгибающих моментов M_S = M₁ + M₂ (рис. 8.23,а). Из основной системы метода перемещений образуем статически определимую основную систему метода сил, удалив все лишние связи, в том числе и наложенные (рис. 8.23,б), и построим в ней грузовую эпюру изгибающих моментов (рис. 8.23,в). В соответствии с изложенным в п. 8.6 имеем:

(8.23)

(8.24)



Рис.8.23
Суммы реакций соотношений (8.23) и (8.24) известны:

r₁₁ + r₁₂ + r₂₁ + r₂₂ = 19 − 2 ∙ 1,125 + 2,2969 = 19,0469,

R_1F + R_2F = 162 − 23,75 = 138,25.

Эти же суммы реакций вычислим сопряжением соответствующих эпюр изгибающих моментов

Совпадение левой и правой частей соотношений (8.23) и (8.24) без абсолютных погрешностей свидетельствует о правильности вычисления коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы уравнений (8.22).

Полезно иметь в виду, что достоверность вычисления побочного коэффициента r₁₂ можно подтвердить, определив статическим способом равный ему побочный коэффициент r₂₁ (рис. 8.22,а), а главных коэффициентов r₁₁ и r₂₂ − сопряжением соответствующих эпюр изгибающих моментов (рис. 8.18,б и рис. 8.19,в)


Эти проверки читателям предлагается выполнить самостоятельно.

10. Решение системы канонических уравнений (8.22).

Z₁ = –8,15; Z₂ = 6,35.

Полученные численные значения Z₁ − угла поворота узла b против часовой стрелки (на это указывает знак «минус») и Z₂ − горизонтального перемещения узла а влево в рассчитываемой раме от заданной нагрузки являются относительными, так как они вычислены при условно принятых жесткостях поперечных сечений элементов рамы (EJ_P = 12, EJ_H = 5).

11. Построение эпюр внутренних усилий в заданной раме. Ординаты эпюры изгибающих моментов в сечениях рамы вычислим, используя соотношение

M = –8,15M₁ + 6,35M₂ + M_F (рис. 8.24,а).
По эпюре изгибающих моментов построим эпюру поперечных сил Q (рис. 8.24,б), а по эпюре Q − эпюру продольных сил N (рис. 8.24,в).



Рис. 8.24
12. Кинематическая и статическая проверки расчета рамы. Используем основную систему метода сил и эпюру изгибающих моментов от X₁ = 1, показанные на рис. 8.25.



Рис. 8.25

Кинематическая проверка выполнена с нулевой абсолютной погрешностью вычислений.

Для статической проверки запишем условия равновесия для всей рамы (рис. 8.26):


Рис. 8.26
ΣF_x = − 40 + (62,82 − 18,79) ∙ 0,6 + (−5,97 + 22,95) ∙ 0,8 = −40 + 26,4 + 13,6 = 0;

ΣF_y = 43,36 − 16 ∙ 6 − 30 + (62,82 + 18,79) ∙ 0,8 + (5,97 + 22,95) ∙ 0,6 = −82,64 + 65,29 + 17,35 = 0.

Приведенные выше условия равновесия строго выполняются.
Читателям предлагается самостоятельно проверить третье условие равновесия для всей рамы, а именно

Σ_mom(F)_В = 0,

где В − точка, совпадающая с левой жесткой заделкой наклонной стойки (рис. 8.16,в).
Пример 8.4.

Рассчитаем плоскую раму (рис.8.27, а) методом перемещений и выполним при этом все необходимые проверки. Последователь­ность расчета следующая.

1. Определение степени кинематической неопределимости

Степень кинематической неопределимости определяем по формуле:

,

где n_у - число неизвестных углов поворота, равное всегда коли­честву жестких узлов рамы, исключая опорные; n_л - число незави­симых линейных перемещений узлов рамы, равное степени геомет­рической изменяемости шарнирной схемы рамы, полученной из заданной путем введения во все жесткие узлы, включая опорные, полных шарниров.

В заданной раме n_у = 1. Для определения n_л вводим во все жесткие узлы, включая опорные, полные шарниры и находим сте­пень геометрической изменяемости полученной шарнирной схемы рамы (рис.8.27, б) по формуле (8.2):

n_л = W = 2У – С – С₀,

где У = 5 - число узлов в шарнирной схеме рамы, включая и опор­ные; С = 4 - число стержней в шарнирной схеме рамы; С_о = 5 -число опорных связей с землей шарнирной схемы рамы.

n_л = 2×5 - 4 - 5 = 1.

Полученное значение говорит о том, что шарнирная схема один раз геометрически изменяема. Действительно, под действием силы P узлы A, B и D могут переместиться влево, так как левый конец ригеля AB этой системы опирается на шарнирно-подвижную опору А, не препятствующую этому перемещению.

Таким образом, заданная рама имеет одно угловое и одно ли­нейное неизвестное перемещение, а общее количество неизвестных будет равно двум:

n = n_y + n_л = 1 + 1 = 2.

Заданная рама дважды кинематически неопределима.

2. Получение основной и эквивалентной систем метода перемещений

Основную систему метода перемещений получаем путем поста­новки дополнительной заделки в узле В, препятствующей неизвест­ному угловому перемещению, и дополнительного горизонтального опорного стержня в опоре А, препятствующего неизвестному ли­нейному перемещению (рис.8.27, в).

Рис.8.27
Загрузив основную систему внешней нагрузкой и неизвестными перемещениями Z₁ и Z₂ , равными по величине действительным перемещениям заданной системы, получим эквивалентную систе­му, деформирующуюся тождественно заданной (рис.8.27, г).

3. Составление канонических уравнений метода перемещений

Как было указано выше, суммарная реакция в каждой дополни­тельно введенной связи от всех действующих в эквивалентной системе факторов равна нулю, так как эквивалентная система пол­ностью совпадает с заданной (в которой эти связи отсутствуют) и реакций в них быть не может.

В развернутом виде канонические уравнения имеют вид:



4. Вычисление коэффициентов канонических уравнений и проверка правильности их вычисления

4.1. Определение коэффициентов канонических уравнений

Для определения коэффициентов необходимо построить еди­ничные и грузовые эпюры изгибающих моментов в основной сис­теме метода перемещений. Для их построения используются таб­лицы эпюр изгибающих моментов и реакций статически неопре­делимых балок (см. табл.8.1-8.3).

Единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов, постро­енные в основной системе для рассматриваемого примера, показа­ны на рис.8.28, а, в, д.

Для определения реактивного момента r₁₁, возникающего в до­полнительно поставленной заделке узла В от поворота этого узла на угол Z₁ = 1, вырезаем узел В из эпюры M₁ (рис.8.28, б) и решаем уравнение равновесия :

, откуда .

Реактивный момент в дополнительно поставленной заделке уз­ла В от линейного смещения Z₂ = 1 узлов В и С определяем из ус­ловия равновесия узла В, вырезанного из эпюры М₂ (рис.8.28, г):

.


Рис.8.28

Такая же по величине, согласно теореме о взаимности реакций, будет и реактивная сила r₂₁, возникающая в дополнительно постав­ленном горизонтальном стержне опоры А от поворота заделки уз­ла В на угол Z₁ = 1:

r₁₂ = r₂₁ = 0,375 EJ_с.

Реактивный момент R_1Pq , возникающий в заделке узла В от внешних нагрузок Р и q, найдем из уравнения равновесия узла В, вырезанного из эпюры М_Pq (рис.8.28, е):

кН×м.

Реактивное усилие r₂₂, возникающее в горизонтальном опор­ном стержне опоры А от перемещения узлов ВиС на величину Z₂ = 1, найдем проведя разрез I-I на эпюре M₂ (см. рис.8.28, в) и определив действующие в местах сечения элементов горизон­тальные усилия (рис.8.7,а) из уравнения равновесия :

.



Рис.8.29
Проведя разрез II-II на эпюре M_Pq (рис.8.28, д) и определив горизонтальные усилия в рассеченных элементах, из уравнения найдем реактивное усилие R_2Pq , возникающее в дополни­тельно поставленном опорном стержне опоры А от действия внеш­ней нагрузки (рис.8.29, б):

кН.

Определяя реактивные усилия, всегда следует иметь в виду, что они считаются положительными, если направления их действия совпадают с принятым направлением действия неизвестных пере­мещений Z₁ и Z₂.

4.2. Проверка правильности вычисления коэффициентов

Проверка правильности вычисления главных и побочных коэф­фициентов канонических уравнений метода перемещений выпол­няется аналогично проверке коэффициентов уравнений при рас­чете методом сил, то есть проверяется удовлетворение равенства

, где - сумма всех найденных еди­ничных коэффициентов;

- интеграл, опреде­ляемый по правилу Верещагина, т.е. умножением суммарной еди­ничной эпюры M_s (M_s = M₁ + M₂) на себя.

Удовлетворение этого равенства свидетельствует о правильнос­ти вычисления главных и побочных коэффициентов.

Таким образом, для выполнения этой проверки, называемой универсальной, необходимо построить суммарную единичную эпю­ру изгибающих моментов в основной системе метода перемещений M_s = M₁ + M₂ . Эта эпюра обычно строится путем сложения еди­ничных эпюр M₁ и M₂.

Для данного примера она представлена на рис.8.30, а.

Рис.8.30
Определив

;

видим, что равенство удовлетворяется. Таким образом, коэффици­енты вычислены верно.

4.3. Проверка правильности вычисления грузовых коэффициентов

Проверка правильности вычисления грузовых коэффициентов заключается в определении суммы всех найденных грузовых коэф­фициентов и величины , определяемой по правилу Верещагина, т.е. сопряжением суммар­ной единичной эпюры с эпюрой изгибающих мо­ментов , построенной в основной статически определимой си­стеме метода сил от действия только внешних нагрузок P и q. При правильном определении грузовых коэффициентов величины и должны быть равны, т.е. .

Построив эпюру (рис.8.30, б), определяем величины и :

.

Сопрягая эпюру M_s с эпюрой по правилу Верещагина и взяв полученное выражение со знаком «минус», определяем:

Равенство свидетельствует об отсутствии ошибок при вычислении грузовых коэффициентов. Здесь же следует еще раз отметить, что при сопряжении эпюр всегда надо помнить, что эле­менты рамы имеют различные жесткости ().

5. Решение системы канонических уравнений и проверка правильности вычисления неизвестных

Подставив найденные значения коэффициентов в канониче­ские уравнения, получим:

Решив эту систему уравнений, находим:

Проверку правильности решения системы уравнений произве­дем путем подстановки найденных значений Z₁ и Z₂ в оба уравне­ния. В результате оба уравнения должны обратиться в тождества. Это будет свидетельствовать о правильности решения системы ка­нонических уравнений:

Оба уравнения обратились в тождества. Следовательно, система решена верно.

6. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов Мок для заданной системы

Построение окончательной эпюры изгибающих моментов М_ок для заданной системы производим на основании принципа незави­симости действия сил по формуле:

М_ок = M₁ Z₁ + M₂ Z₂ + M_Pq ,

т.е. путем сложения «исправленных» единичных эпюр М₁, М₂ и грузовой эпюры М_Pq , построенных в основной системе метода перемещений.

Значения ординат «исправленных» эпюр M Z₁ и M Z₂ получим путем умножения ординат единичных эпюр M₁ и M₂, соответст­венно, на значения Z₁ и Z₂, найденные в результате решения системы канонических уравнений метода перемещений, с учетом их знака. Исправленные эпюры M₁ Z₁ и M₂ Z₂, полученные таким образом, представлены на рис.8.31, а и 8.31, б.

Ординаты окончательной эпюры изгибающих моментов М_ок определяем по вышеуказанной формуле в табличной форме (см. табл.8.5), предварительно приняв для этого нумерацию характер­ных сечений рамы и правило знаков для ординат эпюр изгибающих моментов (рис.8.30, в). В ригеле 0-2 эпюра изгибающих моментов изменяется по закону квадратной параболы, так как действует рав­номерно распределенная нагрузка. Поэтому в ригеле может иметь место экстремальное значение изгибающего момента. Для выясне­ния этого рассмотрим ригель 0-2, вырезанный из статически неоп­ределимой рамы, на который действуют равномерно распреде­ленная нагрузка q = 20 кН/м и опорные моменты в сечении 0: М₀ = 0 и в сечении 2: М₂ = -19,71 кН×м (рис.8.31, в).

Таблица 8.5

Номер сечения	M1×Z1, кН×м	M2×Z2, кН×м	Mpq, кН×м	Mок, кН×м
0	0	0	0	0
1	10,14	0	20,0	30,14
2	20,29	0	-40,0	-19,71
3	-13,53	24,12	-10,0	0,59
4	-3,38	0	10,0	6,62
4’	-3,38	0	10,0	6,62
5	6,76	-24,12	-10,0	-27,36
6	-20,29	0	0	-20,29
7	0	0	0	0
8	0	0	0	0
9	0	12,06	0	12,06

Аналитическое выражение изменения изгибающего момента в зависимости от текущей абсциссы z для рассматриваемого элемен­та имеет вид:

. (8.25)

Для нахождения положения сечения, в котором может возник­нуть экстремальное значение изгибающего момента, приравняем первую производную изгибающего момента нулю:

. (8.26)

Определив из уравнения равновесия величину опорной реакции Q₀ и решив (8.26), найдем z₀, т.е. абсциссу сечения, где возникает экстремальное значение момента:

;

кН;

Таким образом: м.

Подставив найденное значение z₀ = 1,75 м в аналитическое вы­ражение изменения момента (8.25), определяем величину:

кН×м.

По найденным значениям ординат строим окончательную эпю­ру изгибающих моментов для заданной системы (рис.8.31, г).

7. Проверка правильности построения окончательной эпюры изгибающих моментов М_ок

Для того, чтобы убедиться в правильности построения эпюры М_oк , производим статическую и деформационную проверки.

Для статической проверки, как и в методе сил, вырезаем неза­крепленный жесткий узел В из эпюры М_oк , прикладываем действу­ющие в нем изгибающие моменты и проверяем удовлетворение уравнения равновесия (рис.8.31, д):

.

Следовательно, узел В находится в равновесии, что свидетель­ствует о правильности построения эпюры М_oк . Однако, как и в методе сил, уравнения равновесия жестких незакрепленных узлов системы иногда удовлетворяются и при неправильно построенных в основной системе единичных и грузовых эпюрах, а также непра­вильном вычислении величин неизвестных перемещений. Поэтому для полной гарантии правильности построения эпюры М_oк сделаем деформационную проверку, физический смысл которой состоит в проверке отсутствия перемещений в сечениях заданной системы, в которых заведомо они отсутствуют.

Проверим отсутствие перемещений по направлению опорного стержня опоры А заданной системы. Выбрав основную систему ме­тода сил и приложив единичную сосредоточенную силу Х = 1 в сечении А по направлению опорного стержня, строим единичную эпюру изгибающих моментов М_X=1 (рис.8.9, е) и после чего вычис­ляем интеграл Мора по правилу Верещагина. Сопрягая эту эпюру с эпюрой М_oк , получим:

Вертикальное перемещение сечения А отсутствует, следователь­но, эпюра М_oк построена верно.

Рис.8.31
8. Построение эпюры Q по эпюре М_ок

Эпюру Q для заданной системе по эпюре М_oк строим, как и в методе сил, используя для определения ее ординат формулу (8.26).

Учитывая принятое правило знаков при построении эпюры М_oк , обход рамы производим слева направо, начиная с опоры А и находясь все время лицом к оси каждого участка рамы. Последова­тельность обхода показана на рис.8.30, в пунктиром со стрелками.

Участок 0-2. На этом участке действует распределенная внешняя нагрузка q = 20 кН/м и опорные моменты М_пр = М₂ = -19,71 кН×м и М_лев = М₀ = 0:

, где 0 £ z £ l₁ = 4 м.

Откуда, при z = 0:

кН,

a при z = 4

кН.

Участок 3-4. На этом участке нагрузка отсутствует, поэтому:

кН.

Участок 4¢-5. Аналогично:

кН.

Участок 6-7. Аналогично:

кН.

Участок 8-9. На этом участке нагрузка также отсутствует, по­этому:

кН.

По найденным ординатам строим эпюру Q для заданной рамы (рис.8.32, а).

Рис.8.32
9. Построение эпюры N для заданной рамы

Ординаты эпюры N определяем из уравнений равновесия и вырезанных из эпюры Q узлов рамы. К вырезан­ным узлам прикладываем действующие в них поперечные силы Q и искомые продольные силы N, составляем уравнения равновесия узлов и решив их, вычисляем ординаты эпюры N. При этом нор­мальные силы направляем от узла, предполагая, что все элементы рамы растянуты, а направление поперечных сил принимаем соглас­но следующему правилу: если поперечная сила положительная, то она должна вращать узел по ходу часовой стрелки, а если отрица­тельная - то против хода часовой стрелки.

Узел D:

кН (растяжение);

кН (сжатие).

Узел В:

;

кН (сжатие).

По найденным ординатам строим эпюру N (рис.8.32, б).

10. Статическая проверка рамы в целом

Для выполнения этой проверки необходимо убедиться в спра­ведливости трех уравнений равновесия ; ; для любой отсеченной части рамы. Отсечем заданную раму от всех опор и приложим в местах сечений действующие в них силовые факторы, величины и направления которых берем из эпюр M_ок , Q и N (рис.8.32, в).

Составив уравнения равновесия, проверяем их удовлетворение, т.е. обращение их в тождество:

;

;

.

Все уравнения обратились в тождества, следовательно, рама находится в равновесии и эпюры Q, N и M_ок построены верно.

Учет продольных сил в расчетах сооружений методом перемещений
Необходимость учета продольных сил при расчете стержневых систем методом перемещений требует особого подхода к определению количества неизвестных в решаемых задачах. При этом формула (8.1) остается справедливой, т.е. по-прежнему

.

Число неизвестных угловых перемещений n_θ остается таким же, как и в случае, когда влиянием продольных сил на конечный результат расчета мы пренебрегаем, т.е. оно равно количеству жестких узлов сооружения. В рассматриваемом случае иным становится число неизвестных линейных перемещений узлов системы n_Δ, которое определяется по шарнирной схеме сооружения, образуемой теперь не только введением режущих цилиндрических шарниров в жесткие узлы, но и удалением тех элементов, где требуется учесть продольные силы.

Пример 8.5.

Определить степень кинематической неопределимости рамы, изображенной на рис. 8.33,а с учетом влияния продольных сил во всех стержнях и для ее расчета выбрать основную систему метода перемещений.

Шарнирную схему рамы образуем введением во все жесткие узлы, включая и опорные, цилиндрических шарниров и удалением стержней 1А, 12, 2В (рис. 8.33,б). Степень свободы этой шарнирной схемы определим по формуле (8.2):

W = 2Y − C − C_o = 2 ∙ 4 − 0 − 4 = 4.

Рис. 8.33
Степень кинематической неопределимости рамы равна

Основная система метода перемещений показана на рис. 8.33,в.

Пример 8.6.

Определить степень кинематической неопределимости комбинированной системы с учетом влияния продольных сил в стержнях 1А и 13 (рис. 8.34,а) и выбрать основную систему метода перемещений для ее расчета.

Рис. 8.34
Шарнирная схема заданной стержневой системы показана на рис. 8.34,б. Обращаем внимание, что при образовании этой шарнирной схемы стержни 1А и 13 удалены. Степень свободы шарнирной схемы

W = 2Y − C − C_o = 2 ∙ 6 − 5 − 5 = 2.

Степень кинематической неопределимости рамы

Основная система метода перемещений изображена на рис. 8.34,в.

Чаще всего продольные силы при расчетах сооружений учитываются в незагруженных элементах, имеющих на концах цилиндрические шарниры. Продольную силу в таких элементах от взаимного смещения их концов в направлении оси на величину, равную Δ определим методом сил (рис. 8.35,а).



Рис. 8.35
Основная система метода сил показана на рис. 8.35,б. Реакцию в удаленной связи определим из условия

(8.27)

Используя эпюру продольных сил от X₁=1 (рис. 8.35,в,г), получим при ЕА=const:

Решив уравнение (8.27), имеем:

,

где – погонная жесткость стержня при его продольных деформациях.

Окончательную эпюру продольных сил определим с помощью соотношения

N = N₁ X₁ (рис. 8.35,д).

УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ
Предмет и задачи устойчивости
Устойчивостью называется способность сооружений сохра­нять свое первоначальное положение или первоначальную форму равновесия в деформированном состоянии при действии внеш­них сил.

В соответствии с этим надо различать устойчивость поло­жения сооружения и устойчивость форм равновесия в нагруженном состоянии.

Положение сооружения или форма равновесия в нагруженном состоянии считаются устойчивыми, если при всяком, сколь угодно малом дополнительном возмущении, сооружение отклоняется от исследуемо­го положения или равновесного состояния, однако после исчезно­вения дополнительного возмущения полностью возвращается в исходное состояние (для упругих систем), или проявляет тенденцию к возвращению в исходное состояние (для упруго-пластических систем).

Положение сооружения или форма равновесия в нагруженном состоянии считаются неустойчивыми, если при каком-либо сколь угодно малом отклонении от исследуемого равновесном сос­тоянии и после исчезновения возмущения сооружение не проявля­ет тенденцию к уменьшению получаемых отклонений, а иногда отклоняется еще далее - до нового положения или новой формы равновесного состояния.

Переход сооружения из одного равновесного состояния к дру­гому равновесному состоянию называется потерей устойчи­вости системы. Состояние перехода называется критиче­ским состоянием. При этом, величины внешних сил, действую­щие на сооружение называются критическими.

Как это следует из понятия устойчивости, в механике различа­ют два вида потери устойчивости сооружения: потерю устой­чивости положения и потерю устойчивости, вызван­ной сменой формы равновесного состояния.

В качестве примера потери устойчивости положения соору­жения рассмотрим равновесное положение жесткой пластинки, изображенной на рис.13.1, расположенной на двух опорах при действии собственного веса величиной G и силы P.

Учитывая, что левая подвижная опора способна развить реак­цию только вверх, т.е. представляет собой одностороннюю связь, следовательно, при условии состояние пластинки явля­ется устойчивым. В данном случае левая опорная реакция - вели­чина конечная и направлена вверх.

С ростом силы P, при левая опорная реакция прини­мает нулевое значение, а равно­действующая сил P и G пройдет через правый шарнир. Это при­знак того, что наступило крити­ческое состояние. Поэтому зна­чение силы P считается критиче­ским и обозначается P_кр .

Очевидно, что даже при незначительном росте величины силы P произойдет опрокидыва­ние пластины и она займет новое равновесное положение. То есть произойдет потеря устойчивости положения пластины.

При изучении потери устойчивости сооружений, связанная со сменой формы деформированного состояния в строительной меха­нике различают два рода потери устойчивости.

Потерю устойчивости, связанную только со сменой формы деформированного состояния, называют потерей устойчивос­ти первого рода, что свойственно только упругим системам.

Потерей устойчивости второго рода принято назы­вать первое предельное состояние системы по несущей способ­ности системы, т.е. состояние системы, когда при дальнейшем уве­личении внешних сил равновесие между внешними и внутренними силами нарушается.

Основная задача теории устойчивости заключается в опреде­лении критических значений внешних сил. При этом наибольшее практическое значение имеет определение критических значений внешних сил при потере устойчивости системы по первому роду.

Критерии определения устойчивости упругих систем
В теории устойчивости основными критериями определения критических значений внешних нагрузок являются энергетиче­ский, динамический и статический.

В основе энергетического критерия заложен известный прин­цип Лагранжа-Дирихле, согласно которому, если система находится в состоянии устойчивого равновесия, ее полная потен­циальная энергия обладает минимумом по сравнению со всеми соседними состояниями системы; если в состоянии неустойчивого равновесия - то максимумом; а если в безразличном, т.е. кри­тическом - то потенциальная энергия является постоянной вели­чиной.

В общем случае изменение (вариацию) полной потенциаль­ной энергии системы dU при переходе ее от рассматриваемого состояния к соседнему можно записать таким образом:

dU = dV - dT,

где dV - вариация потенциальной энергии внутренних сил; dT -вариация потенциальной энергии внешних сил.

Следовательно, критическое состояние системы, согласно энер­гетического критерия, определяется из условия

dU = 0 или dV = dT.

При решении задач устойчивости по динамическому критерию исходят из предположения, что колеблющаяся система около свое­го положения равновесия, не способна возвращаться к первона­чальному положению. Данное предположение равносильно утверж­дению, что в критическом состоянии спектр собственных частот рассматриваемой системы стремится к нулю, т.е. = 0 (i = 1, 2, 3, ...). Здесь - собственная частота рассматриваемой системы при i-ой форме колебаний.

Следовательно, при решении задач по динамическому крите­рию составляется уравнение собственных колебаний заданной си­стемы, далее определяется выражение частот собственных колеба­ний и из условия их равенства нулю определяется критическое значение внешних сил.

Так например, для сжатого осевой продольной силой P стержня постоянного поперечного сечения с распределенной массой, часто­та основного тона поперечных колебаний выражается формулой

,

где - собственная частота поперечных колебаний при отсутст­вии сжимающей силы, т.е. при P = 0.

Очевидно, и период колебаний, т.е. стержень, колеблющийся около своего положения равновесия, не способен возвращаться к первоначальному состоя­нию.

Суть статического критерия заключается в следующем. Иссле­дуемой системе задается отклоненная форма равновесия, совпада­ющая по характеру перемещений с ожидаемой новой формой рав­новесного состояния системы после потери устойчивости системы, и определяются значения рассматриваемых внешних нагрузок, способных удержать систему в новой форме равновесного состоя­ния.

Значения внешних нагрузок, способных удержать систему в новом равновесном состоянии, при соблюдении граничных усло­вий по исходному состоянию, является критическим.

В дальнейшем, здесь рассматривается решение задач теории устойчивости с применением только статического критерия, так как он является основным критерием при выполнении практиче­ских расчетов упругих консервативных систем.

Задача Эйлера
Рассмотрим решение задачи устойчивости упругого стержня, постоянного поперечного сечения, расположенной на двух шар­нирно опертых концах, при действии продольной силы перемен­ной величины Р (рис.13.2).Впервые эта задача была поставлена и решена Л. Эйлером в середине XVIII века.
На начальном этапе действия постоянно возрастающей силы Р, очевидно, что в попереч­ных сечениях стержня во­зникают только продольно сжимающие силы и стер­жень испытывает сжатие, сохраняя прямолинейную форму деформированного состояния (1). Считая дан­ную форму деформирован­ного состояния в качестве начальной, предполагают, что при некотором значении внешней силы Р = P_кр стержень изогнется, т.е. в некотором новом равновесном состоянии принимает искривленную форму (2), изображенную на рис.13.2.

Обозначая величину прогибов стержня через y (z) в сечении, расположенном на расстоянии z от начала системы координат y z, значения изгибающих моментов в указанном поперечном сечении от действия внешней силы Р принимают значения

Из теории изгиба, при малых прогибах и пренебрегая продоль­ными деформациями, деформированное состояние стержня за счет изгиба, описывается уравнением

Произвольные постоянные С₁ и С₂ определяются из граничных условий закрепления балки, т.е. y(0) = 0; y(l) = 0.

Последнее уравнение имеет два возможных решения: либо С₁ = 0.

В первом случае получается, что С₁ = С₂ = 0 и перемещения согласно (13.4) тождественно равны нулю, т.е. y = 0. Это решение очевидно соответствует первоначальному равновесному сос­тоянию, которое нас не интересует. Во втором случае, т.е. пред­полагая, что С₁ ¹ 0.

При выполнении практических расчетов, как правило, определяется критическое значение внешней силы, соответствующее низшей форме потери устойчивости системы. Поэтому мы далее будем рассматривать решение задачи по определению только наименьшего значения критических сил.

Устойчивость стержней с различными
концевыми условиями их закрепления
Рассмотрим однопролетный упругий стержень постоянного поперечного сечения, по концам которого приложены сжимающие силы Р, всегда направленные параллельно оси недеформирован­ного стержня. Поместим начало системы декартовых координат xyz в центре тяжести левого крайнего сечения. Ось z направим по продольной недеформированной оси стержня, а ось y - по направ­лению наименьшей жесткости поперечного сечения.

С целью введения различных условий закрепления в концевых сечениях стержня предполагается, что в новом равновесном (кри­тическом) состоянии (2) в общем случае могут быть приложены поперечные силы и изгибающие моменты. Кроме того, концевые сечения могут перемещаться перпендикулярно оси недеформиро­ванного стержня и поворачиваться вокруг оси x.

Дважды дифференцируя каждый член уравнения (13.1), получим диф­ференциальное уравнение, описывающее деформированное состоя­ние рассматриваемого стержня в общем виде.

Составляя первые три производные от функции прогиба, соста­вим выражение для углов поворота, изгибающих моментов и попе­речных сил, возникающих в произвольном сечении, расположен­ном на расстоянии от начала принятой системы коорди­нат.

Произвольные постоянные С₁, С₂, С₃ и С₄ определяются из граничных условий закрепления стержня. Очевидно, что произ­вольные постоянные в первоначальном, т.е. докритическом равно­весном состоянии независимо от граничных условий закрепления стержня, тождественно приравнивают нулю, так как и в первона­чальном равновесном состоянии (1).

В новом равновесном (критическом) состоя­нии необходимо учесть, что независимо от гра­ничных условий закреп­ления стержня произ­вольные постоянные С₁, С₂, С₃ и С₄ одновре­менно не могут быть равными нулю. Данное обстоятельство является необходимым и доста­точным условием для определения нового равновесного состояния системы соответственно величинам критических значений внешних продольных сил Р.

Продемонстрируем данный подход при решении задач по опре­делению критической величины силы Р для стержней с различ­ными концевыми условиями закрепления (рис.13.4).

В случае, когда стержень c двумя концами шарнирно оперт (pиc.13.4, а), граничные условия задачи имеют вид:

y(0) = y(l) = 0; M_x(0) = M_x(l) = 0.

Однако из тpетьего ypавнения, а затем из пеpвого ypавнения поcледней cиcтемы легко ycтановить, что в данном cлyчае C₄ = 0, C₁ = 0, cледовательно, алгебpаичеcкая cиcтема отноcительно неиз­веcтных пpоизвольных поcтоянных пpинимает вид.

Так как C₂ и C₃ одновpеменно не могyт быть pавными нyлю в новом - кpитичеcком pавновеcном cоcтоянии cтеpжня, поэтомy не­обходимо тpебовать, чтобы опpеделитель поcледней cиcтемы одно­pодных ypавнений был pавен нyлю.

Поcледнее выpажение, как нетpyдно заметить, полноcтью cов­падает c pезyльтатом pешения задачи Эйлеpа.

Для cтеpжня, изобpаженного на pиc.13.4, б, гpаничные ycловия задачи.

Из поcледнего ypавнения имеем, что C₄ = 0, cледовательно в пеpвом ypавнении C₁ = 0. Поэтомy cиcтема ypавнений пpеобpазyетcя к видy.

Опpеделитель котоpого в кpитичеcком cоcтоянии cтеpжня дол­жен быть pавен нyлю.

Устойчивость рам при действии узловых
нагрузок. Метод перемещений
Предположим, что все элементы заданной системы изначально имеют прямолинейную форму и сопряжены между собой под пря­мым углом. В данном случае при действии узловых нагрузок на­чальная форма равновесного состояния системы соответствует до­критической стадии работы конструкций, в поперечных сечениях элементов системы возникают только продольные силы и они ра­ботают либо на сжатие, либо на растяжение.

Как и для обычных стержней, продольными деформациями оси элементов заданной системы пренебрегаем.

Принимая, что рассматриваемая рамная система с произволь­ным n раз кинематически неопределимой системой (n = 1,2,3,...), канонические уравнения метода перемещений для нового равно­весного, т.е. критическом состоянии, как и в классическом методе перемещений записывается в форме.

При расчетах на устойчивость система (13.12) преобразуется. Так как мы рассматриваем только случай действия узловых нагрузок, то во введенных связях они никакой реакции не вызывают. То есть в данном случае следует принимать..

Так как единичные реакции (i,k = 1,2,3,...,n), как и при рас­чете обычных статических задач определяются из условия равнове­сия узлов или отдельных частей основной системы при заданных единичных смещениях, и так как показали результаты решения за­дач, изложенных в п. 13.5 в узловых сечениях элементов значения моментов и поперечных сил в общем случае являются функциями от параметра внешних продольных сил. Следовательно, и единич­ные реактивные усилия во введенных связях в общем случае являются функциями от параметра и обозначаются.

Так как в новом равновесном (критическом) состоянии, состав­ные элементы искривляются, следовательно, все неизвестные Z_i за­ведомо не могут быть равны нулю. Поэтому определитель одно­родной системы алгебраических уравнений (13.13), составленный из коэффициентов при неизвестных, должен быть равен нулю.

Раскрыв определитель (13.14) и приравняв его нулю, получим трансцендентное уравнение относительно параметра критической нагрузки. Решив это уравнение относительно и по минималь­ному значению корня определяют критическое значение внешних сил.

ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙ
Предмет и задачи динамики сооружений
Динамика сооружений - это один из специальных разде­лов строительной механики, посвященный методам расчета соору­жений на динамические нагрузки. Динамические нагрузки по своей природе весьма разнообразны. К такого рода воздействиям относятся природные явления, т.е. сейсмические толчки, ветровые порывы, а также различные динамические воз­действия технологического или аварийного происхож­дения: движение неуравновешенных частей машин и механизмов; падение летящего тела при соударение его с элементами конструк­ций; работа копров, молотов и других ударных механизмов; дви­жение поездов, кранов и т.д.

Особенностью динамических нагрузок является то, что при их действии сооружение переходит в состояние движения, причем при периодическом повторении динамических воздействий в опреде­ленных условиях происходит накопление энергии системы, выра­жающееся в постепенном увеличении амплитуды колебаний.

Это явление, называемое резонансом, особенно опасно для сооружения тем, что разрушение может произойти и при воздейст­виях с малой интенсивностью.

Существенным отличием динамических методов расчета от ста­тических является введение в уравнениях состояния нового пере­менного - времени и, ввиду их значительности, инерционных сил. При этом, если при решении аналогичных задач при статическом нагружении, уравнения состояния выражались при помощи алгеб­раических или трансцендентных уравнений, то соответствующая динамическая задача требует уже решения дифференциальных уравнений с производными по времени.

В динамике сооружений следует различать два типа движения или колебания системы. Колебания системы при отсутствии дей­ствия внешних сил называются свободными. Если колебания си­стемы сопровождаются действием внешних динамических нагру­зок, то колебания называются вынужденными.

Для описания динамических колебаний необходимо ввести в рассмотрение следующие понятия: круговая частота w и пе­риод колебаний. Круговая частота определяет число циклов колебания в течении секунд, а период определяет интер­вал времени, в течении которого совершается полный цикл коле­баний.

Системы в динамике сооружений различаются по числу степе­ней свободы. Числом степеней свободы системы называет­ся число независимых геометрических параметров (обобщенных координат), определяющих положение системы (материальных то­чек) в любой момент времени при ее (их) движении. Число сте­пеней свободы системы складывается из числа степеней свободы материальных точек, принадлежащих системе. Число степеней сво­боды является основной характеристикой системы при динамиче­ских воздействиях.

В динамике сооружений различают два основных подхода: ки­нетостатический и энергетический.

Кинетостатический подход состоит в том, что сооружение в произвольный момент времени предполагается находящимся в равновесном состоянии под действием заданных динамических и вызванных ими инерционных нагрузок. Далее для составления уравнений состояния применяются классические методы строи­тельной механики (метод сил, перемещений или смешанный).

Энергетический подход основан в определении в равновес­ном состоянии через закон сохранения энергии с учетом инерци­онных сил. В частности, когда силы сопротивления движению не учитываются, энергетический принцип в общем случае записы­вается в виде,

где K - кинетическая энергия системы; V - потенциальная энергии системы или работа внешних или внутренних сил, так как система в процессе колебания находится в равновесном состоянии.

В настоящей книге при решении конкретных задач ограничим­ся применением кинетостатического подхода, а для вывода уравне­ния - метода сил.
Системы с одной степенью свободы

Рассмотрим систему в виде невесомой балки с сосредоточенной массой m, горизонтальным перемещением и поворотом которого будем пренебрегать. При таких предпосылках единственная матери­альная точка, т.е. сосредоточенная масса величиной m может со­вершать перемещения только в вертикальном направлении, следо­вательно, система имеет одну степень свободы.

Будем исследовать дви­жение системы из ее ис­ходного положения равно­весия при t = 0 (рис.14.1, а), считая перемещение вниз положительным.

Пусть на балку дейст­вует динамическая сила .

В процессе движения на массу действует сила инерции и сила сопротивления по Фойхту. Сила сопротивления движению возникает от различных внешних и внутренних причин: сопротивление движению внешней среды, тре­ние в местах соединения элементов и опорных частях, внутреннее неупругое сопротивление материалов конструкций и т.д.

Заметим, что система, обладающая свойствами внутреннего со­противления называется консервативной, а система, лишенная данного свойства - неконсервативной.

Вводим следующие обозначения: - вертикальное перемеще­ние балки в точке закрепления массы m от действия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в той же точке; - вер­тикальное перемещение балки в точке закрепления массы m от динамической силы, при этом:; - верти­кальное перемещение балки в точке закрепления массы от дей­ствия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в точке приложения внешней силы при ее отсутствии.

Применяя метод суперпозиции, очевидно, что, в произ­вольный момент времени полное перемещение сосредоточенной массы m принимает значение,откуда и определяется дифференциальное уравнение движения рассматриваемой системы.

Для различных конструкций средние значения приводятся в таблице 14.1.
Таблица 14.1

Наименование конструкции
Стальные мосты Железобетонные мосты Железобетонные балки Железобетонные рамы Железобетонные ребристые перекрытия	0,17 0,63 0,56 0,25 0,57

Выражение (14.5) определяет перемещение сосредоточенной массы при действии силы , изменяющейся во времени по произвольному закону. Первый член выражения характеризует соб­ственные колебания системы, а второй, интегральный член - вы­нужденные колебания.

Величина k_Д называется коэффициентом динамичности и характеризует эффект от динамической нагрузки по отношению к аналогичной статической нагрузке величиной P(t) = P₀ = const.

Коэффициент динамичности существенно зависит от отноше­ния. При коэффициент динамичности стремится принять максимальное значение и колебания системы при называются резонансными, а амплитуда колебаний принимает опасное значение.

.
Пример расчета балки в виде системы

с одной степенью свободы
Проверить прочность бал­ки в рабочем режиме вибрато­ра, расположенного по середи­не пролета балки (рис.14.2, а), учитывая только вертикальную составляющую вертикальной силы: , прини­мая: G = 15 кН - вес вибрато­ра; Р₀ = P_a = 3 кН - вес не­уравновешенных частей вибра­тора; e = 0,01 м - эксцентриси­тет относительно оси враще­ния неуравновешенных частей; = 30 с^-1 - круговая частота внешней силы; l = 4 м - про­лет балки. Поперечное сечение балки выполнено из двутавра №20, материал Ст3. Следо­вательно, Е=2,1×10⁸ кН/м² - мо­дуль деформации материалов; J_x =1,84×10^-5 м⁴ - момент инер­ции; W_x = 1,84×10^-4 м³ - момент сопротивления поперечного сече­ния; R = 25×10⁴ кН/м² - расчетное сопротивление; = 0,1 - лога­рифмический декремент. Интенсивность распределенных нагрузок принимается равной: q = 4 кН/м.

На первом этапе для выполнения расчетов необходимо определить величину коэффициента динамичности. Для этого сначала определим величину коэффициента затухания.

Воспользуемся эпюрой моментов, изображенной на рис.14.2, б и по формуле Мора определим.

Круговая частота собственных колебаний без учета затуханий: c^-1.

Свободные колебания системы с произвольным
числом степеней свободы
Рассмотрим свободные колебания системы с конечным числом степеней свободы. В качестве объекта рассмотрим упругую невесо­мую балку, изображенную на рис.14.3 и с n сосредоточенными мас­сами m₁, m₂, m₃,..., m_n. Пренебрегаем продольными деформация­ми оси балки в процессе колебаний. При этом положение системы однозначно определяется перемещениями сосредоточенных масс y_i (t) (i = 1,2,3,...,n) в произвольные моменты времени t, вызван­ными упругими деформациями балки в поперечном направлении.

Во время движения, пренебрегая сопротивлением внутренних и внешних сил, на балку будут действовать в качестве внешних сил инерционные силы, (i = 1,2,3,...,n). Применяя метод сил, перемещение произвольной массы y_i (t) записывается в виде суммы,

где - перемещение i-ой массы от статической единичной силы, приложенной к k-ой массе от статической единичной силы по направлению соответствующей инерционной силы.

Система дифференциальных уравнений движения (14.12), опи­сывающая свободные колебания заданной балки, представляет со­бой замкнутую систему дифференциальных уравнений второго по­рядка

Пример динамического расчета рамы
На раме с размерами, указанными на рис.14.6, в точках 1 и 2 установлены два одинаковых вибратора весом G = 20 кН каждый и весом неуравновешенных частей Р₀ =1,2 кН, размещенные на оси вращения с эксцентриситетом е = 0,015 м. Вибраторы вращаются синфазно с частотой n = 600 об/мин.

Рама выполнена из двух двутавров № 50 (ГОСТ 8239-72), т.е. J_x = 3,29×10^-4 м⁴; W_x =0,157×10^-2 м³. Рама изготовлена из стали с харак­теристиками Е = 2,1×10⁵ МПа, R = 190 МПа.

Пренебрегая собственным весом рамы и внутренним трением мате­риала, требуется:

1. Составить канонические урав­нения по методу сил, определяющие свободные колебания рамы, и полу­чить значения частот и периодов соб­ственных колебаний рамы;

2. Вычислить отношения ампли­туд и графически изобразить возможные формы собственных ко­лебаний рамы;

3. Проверить ортогональность собственных форм колебаний си­стемы;

4. Определить круговую частоту вынужденных колебаний и изо­бразить примерный вид графика коэффициента динамичности;

5. Составить канонические уравнения по методу сил, определя­ющие вынужденные колебания системы, и определить амплитуд­ные значения инерционных сил;

6. Построить статическую эпюру изгибающих моментов от всех вибраторов и эпюру амплитудных значений изгибающих моментов при вынужденном режиме колебания рамы;

7. Построить эпюру моментов при одновременном действии статических и динамических сил и определить положение опасного сечения конструкции;

8. Вычислить максимальное значение напряжения в опасном сечении и проверить условия прочности для принятого поперечно­го сечения рамы.

Решение:

Расчетная схема рассматриваемой системы показана на рис.14.6. Под действием периодической возмущающей нагрузки рама совер­шает колебательное движение.

Рис.14.6

Пренебрегая внутренним трением материала рамы и ее собственным весом, упругие перемещения сечений 1 и 2 по принципу независимости действия сил записы­ваются в виде:

(14.32)

где - перемещение i-ого сечения от статической единичной силы, приложенной в k-ом сечении (i = 1,2; k = 1,2) по направле­нию соответствующей инерционной силы; , - перемеще­ния сечений 1 и 2 от всех динамических нагрузок. При этом:

(14.33)

где

(14.34)

С учетом выражений (14.33) и (14.34) и m₁ = m₂ = m уравнение (14.32) в стационарном режиме колебаний можно переписать в виде:

(14.35)

где .

Решая систему уравнений (14.35) определяют амплитудные зна­чения инерционных нагрузок (способом Крамера):

, (i = 1,2), (14.36)

где приняты следующие обозначения:

.

Учитывая, что в данном случае P₁ = P₂, амплитуды динами­ческого прогиба и изгибающего момента в произвольном i-ом (i = 1,2,...) сечении могут быть определены по формулам:

(14.37)

Уравнения движения (14.32) при свободных колебаниях рамы, т.е. при P₁ = P₂ = 0, принимают вид

(14.38)

Относительно амплитуды перемещения последняя система уравнений преобразуется в виде:

(14.39)

где .

Здесь - частота собственных колебаний рамы.

Система алгебраических уравнений (14.39) относительно ампли­туды перемещения сосредоточенных масс имеет различные реше­ния. Очевидное решение свидетельствует об отсутст­вии движения системы и не подходит по смыслу поставленной задачи.

Система (14.39) может иметь решения, отличные от нулевого, лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю, т.е. когда выполняется условие:

. (14.40)

Раскрыв определитель (14.40), получим квадратное уравнение относительно . После определения с учетом (14.39) вычисляются собственные частоты .

Первая частота называется частотой основного тона собст­венных колебаний. Каждой частоте соответствует определенная форма колебаний системы. Форму колебания можно изобразить графически. Для этого в уравнения (14.39) следует подставить зна­чение (i = 1, 2), причем:

. (14.41)

При этом одно из двух уравнений (14.39) становится лишним. Пренебрегая первым уравнением (14.39), из второго получим:

, (i = 1,2). (14.42)

После чего, задавая значение y_ii (i = 1,2), можно вычислить в долях , а - в долях и изобразить графический характер возможной формы колебаний первого и второго тона колебаний.

Формы колебаний должны быть ортогональны. Условие ортого­нальности собственных форм записывается в виде:

, (r,k = 1,2; r ¹ k). (14.43)

Определив собственные частоты и и вычислив частоту вынужденных колебаний , необходимо сопоставить с ближай­шей из или . Во избежание наступления резонансных колеба­ний рекомендуется, чтобы отличалась от любой из частот , не менее чем на 30%. Если при решении задачи окажется, что это требование не выполняется, то следует изменить значение или . Этого можно достичь путем:

- изменения геометрических или физико-механических характеристик материалов элементов рамы;

- уменьшения или увеличения частоты вращения вибратора.

При этом во всех случаях напряжения в опасных сечениях ра­мы должны удовлетворять условиям прочности.

Переходим к численной реализации решения в соответствии с постановкой задачи.

1. Определение частот и периодов собственных колебаний рассматриваемой системы

Предварительно определим изгибную жесткость элементов заданной системы:

кН×м².

Заданная система один раз статически неопределима. Основная система метода сил представлена на рис.14.7, а. Эпюра моментов в основной системе от действия силы Х₁ = 1 показана на рис.14.7, б, а от единичных внешних сил - на рис.14.8, а, б.

Сначала рассчитываем раму на действие силы . Канони­ческое уравнение метода сил в данном случае записывается в виде:

. (14.44)


Рис.14.7


Рис.14.8
Коэффициенты и находим перемножением эпюр и по формуле Мора.

Здесь определяется как результат перемножения эпюры (рис.14.7, б) самой на себя, как результат перемножения эпюры (рис.14.7, б) с (рис.14.8, а).

(14.45)

С учетом (14.45) из решения (14.44) получим:

.

Эпюра изгибающих моментов в заданной системе от действия сил Р₁ =1 и Х₁ = 5/16 изображена на рис.14.9, a.

Рис.14.9

Рассчитываем раму на действие силы Р₂ = 1. Каноническое уравнение метода сил в данном случае принимает вид:

. (14.46)

Здесь определяется как результат перемножения эпюры моментов, изображенных на рис.14.7, б и 14.8, б, в соответствии с формулой Мора:

. (14.47)

С учетом значения из (14.45) и значения из (14.47) и из (14.46) получим:

.

Эпюра изгибающих моментов от действия сил Р₂ = 1 и Х₁ = = 7/4 в заданной системе изображена на рис.14.9, б.

Единичное перемещение определяется по формуле Мора в результате перемножения эпюры самой на себя, применяя формулы умножения двух эпюр моментов в виде двух трапеций на произвольном участке. Получим:



м/кН.

Единичное перемещение определяется по формуле Мора перемножением эпюры самой на себя (рис.14.9, б):

м/кН.

Единичное перемещение определяется по формуле Мора в результате перемножения эпюр и , изображенных соот­ветственно на рис.14.9, а, б:

м/кН.

Решив уравнение (14.40), получим:

,

откуда

.

Окончательно =166,75×10^-6 м/кН; =10,.35×10^-6 м/кН.

По формуле (14.41) определяется значение собственной частоты рассматриваемой рамы:

c^-1;

c^-1.

Периоды собственных колебаний рассматриваемой системы принимают значения: c; c.

2. Определение амплитуды собственных колебаний и графическое изображение собственных форм

Для вычисления значения отношений амплитуды собственных колебаний из (14.42), предварительно определив кН∙с²/м, имеем при = 1 и при = 1, соответственно:

Формы собственных колебаний рассматриваемой системы изо­бражены на рис.14.10 (а - первая форма; б - вторая форма).

3. Проверка ортогональности собственных форм колебаний

Из условия ортогональности (14.43) имеем:

.


Рис.14.10
4. Определение круговой частоты вынужденных колебаний и изображение примерного вида графика коэффициента динамичности в зависимости от отношения частот вынужденных и собственных колебаний

В стационарном режиме круговая частота вынужденных колеба­ний системы имеет значение:

c^-1.

Сопоставим величину с величиной ближайшей собственной частоты рамы :

.

Во избежание резонансных колебаний надо изменить величину или . В данном случае, принимая n = 900 об/мин, получим:

c^-1;

,



Рис.14.11
Следовательно, при с^-1 при­нятое условие во избежание резонансных колебаний выполняется.

Примерный вид графика коэффици­ента динамичности в зависимости от изображен на рис. 14.11.

5. Определение амплитудных значений инерционных сил

В соответствии с принятым обозначением по формулам (14.34) и (14.35) последовательно определяем:

м/кН;

м/кН;

кН;

м/кН;

м/кН;

м²/кН;

м²/кН;

м²/кН.

По (14.33) определяем амплитудные значения инерционных сил:

= |D₁/D |= |3,72/0.5| = 7,44 кН;

= |D₂/D |= |9,64/0.5 |= 19,28 кН.

6. Определение эпюры изгибающих моментов от действия собственного веса вибраторов и амплитудных значений изгибающих моментов при вынужденном стационарном режиме колебания рамы

Значение изгибающих моментов, возникающих от действия собственного веса вибраторов, в произвольном сечении опреде­ляется по формуле:

.

Определяем значение в характерных сечениях (0; 1; 2; 3) рамы (см. рис.14.9):

сечение 0: = 20×(9/8 - 3/2) = -7,5 кН×м;

сечение 1: = 20×(-15/16 + 3/4) = -3,75 кН×м;

сечение 2: = 0;

сечение 3: = 20×(0 + 3) = 60 кН×м.

Эпюра изгибающих моментов приведена на рис.14.12.

Амплитудные значения изгибающих моментов от действия внешних динамических и инерци­онных нагрузок в соответствии с (14.37) определяются:

=

.



Рис. 14.12
Согласно последней формуле в характерных сечениях имеет

следующие значения:

сечение 0: кН×м;

сечение 1: кН×м;

сечение 2: = 0;

сечение 3: кН×м.

Эпюра изображена на рис.14.12 (пунктиром).

7. Построить эпюру моментов при одновременном действии статических и динамических сил и определить положение опасного сечения конструкции

Результирующее значение изгибающих моментов, действующих в характерных сечениях при одновременном действии статических и динамических нагрузок, определяется по формуле:

.

Эпюра M_k, как и эпюры и , изображены на рис.14.12.

Из рис.14.12 согласно эпюре М следует, что наиболее опасным яв­ляется сечение 3.

8. Определение максимального напряжения и проверка условий прочности в наиболее опасном сечении

кН/м² = 53,2МПа <R = 190 МПа.

Следовательно, условие прочности рассматриваемой рамы обес­печено.

Задание на контрольные работы №1 и №2
Внимание! В УМКД даются типовые тематические задачи и их решение. Сами задания на контрольные работы выдаются преподавателем индивидуально по окончании установочной сессии.
Контрольная работа №1

РАСЧЁТ ФЕРМЫ НА ПОСТОЯННУЮ И ПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ
Для фермы требуется:

1. От собственного веса фермы q = 5кН/м, равномерно распределённого по всей длине, определить аналитически усилия в стержнях О₄, D₃, U₃, D₄, V₄ и V₅. Длина панели d = 6м., высота фермы равна 4Н/3, где Н = 1.5d = 9.0м.

2. Построить линии влияния усилий в указанных стержнях фермы с определением числовых значений характерных ординат.

3. Линии влияния усилий загрузить постоянной нагрузкой от собственного веса фермы и сравнить с результатом, полученным в пункте 1.

4. Треугольную линию влияния усилия в одном из стержней фермы загрузить нагрузкой от железнодорожного подвижного состава класса К и эквивалентной нагрузкой класса К (табл. 1). Принять К = 10.
<< предыдущая страница   следующая страница >>