Рабочая учебная программа по дисциплине конспект лекций по дисциплине

Рис.4.24 Рис.4.25 Рис.4.26
4. Если в узле сходятся три и более стержней, то те из них, о которых заранее известно, что они являются нулевыми, при определении остальных нулевых стержней и нахождении усилий в стержнях, очевидно, могут быть мысленно отброшены.

5. Если обо всех стержнях кроме одного, сходящихся в незагруженном узле, известно, что они нулевые, то и последний стержень тоже будет нулевым. В этом легко убедиться, составив уравнение проекций сил на ось, совпадающую с направлением этого стержня.

Рассмотрим в качестве примера ферму, изображенную на рис.4.27.

Условие (4.1) выполняется: 22=15×2-8=22. Сделать вывод о ее геометрической неизменяемости на основе структурного анализа не удается, поэтому приходится пользоваться статическим методом анализа геометрической неизменяемости фермы, т.е. проанализировать возможность существования самоуравновешенной системы усилий в ее стержнях при отсутствии внешней нагрузки.

Рис.4.27
Из рассмотрения узлов 5 и 7, согласно признаку 2 нулевых стержней следует, что стержени 3-5 и 7-6 - нулевые. Далее, из рассмотрения узла 3, согласно признакам 4 и 2 следует, что стержень 2-3 нулевой. Далее, из рассмотрения узла 2, согласно признакам 4 и 1 следует, что стержни 1-2 и 2-6 - нулевые. Далее, из рассмотрения узла 6, согласно признакам 4 и 2 следует, что стержень 3-6 нулевой, а значит, в соответствии с признаком 5, нулевым будет и стержень 6-8. Далее, из рассмотрения узла 3, согласно признаку 5 следует, что стержень 1-3 нулевой. Аналогично доказывается, что соответствующие стержни на правой стороне фермы, а именно стержни 8-10, 10-14, 14-15, 9-10, 11-12, 12-14, 10-12 и 12-15 тоже будут нулевыми. Рассмотрим теперь узел 8. В соответствии с признаками 4 и 1 стержень 7-8 будет нулевым. Далее, последовательно рассматривая узлы 7 и 5, пользуясь признаком 5, докажем, что стержни 5-7 и 4-5 - нулевые. Аналогично доказывается, что соответствующие стержни на правой стороне фермы, а именно 8-9, 9-11,11-13, тоже будут нулевыми. Итак, нам удалось доказать, что все стержни фермы при отсутствии нагрузки являются нулевыми. Следовательно, в этом случае в них не может возникнуть ненулевые усилия, а значит ферма геометрически неизменяема.

Теперь рассмотрим ферму, изображенную на рис.4.28.

Рис.4.28
Условие (4.1) выполняется: 10=7×2-4=10. Сделать вывод о ее геометрической неизменяемости на основе структурного анализа не удается, поэтому приходится пользоваться статическим методом анализа геометрической неизменяемости фермы, т.е. проанализировать возможность существования самоуравновешенной системы усилий в ее стержнях при отсутствии внешней нагрузки.

Рассмотрим узел 1. Поскольку на него может действовать только вертикальная опорная реакция, в соответствии с признаком 3 нулевых стержней стержень 1-3 является нулевым. Из рассмотрения узла 7 тот же вывод можно сделать о стержне 5-7. Рассмотрим далее узел 3. На основании признаков 2 и 4 нулевых стержней можно заключить, что стержень 3-5 нулевой.

Рассмотрим далее равновесие опорных узлов. Учитывая отсутствие усилий в стержнях 1-3, 3-5 и 3-7, из рассмотрения равновесия узлов 3 и 5 (из уравнения проекций сил на оси, совпадающие с направлением стержней 2-3 и 6-5) легко заключить, что N_2-3 =N_3-4 и N_6-5 =N_4-5. Из уравнения равновесия проекций сил на вертикальную ось для узла 4 (рис.4.31), получим: , где V₄-вертикальная опорная реакция.

Рис.4.29 Рис.4.30 Рис.4.31
Легко убедиться, что в каждой их двух других опор действует вертикальная реакция величиной N, направленная вверх. Составим для фермы уравнение проекций всех сил на вертикальную ось. Поскольку внешняя нагрузка отсутствует, в него будут входить только опорные реакции. Очевидно, их равнодействующая равна нулю, а значит система находится в равновесии.

Таким образом, мы доказали, что в стержнях фермы при отсутствии внешней нагрузки может иметься система самоуравновешенных сил, что говорит о том, что ферма геометрически изменяема.

Если бы в процессе подобных рассуждений мы столкнулись с противоречием (например, невозможностью удовлетворить уравнениям равновесия) или доказали бы, что все стержни фермы - нулевые, то отсюда следовала бы невозможность существования такой системы усилий, а значит ферма была бы геометрически неизменяемой.
Статический расчет фермы
Статический расчет фермы заключается в определении реакций в ее опорах и нахождении усилий в ее стержнях.

Для статически определимых ферм для решения данной задачи, как известно, достаточно только уравнений равновесия. Составив для каждого узла по два уравнения равновесия проекций всех сил на вертикальную и горизонтальную оси, получим замкнутую систему уравнений (4.2), решив которую найдем усилия во всех стержнях фермы и реакции опор. Данный алгоритм может быть относительно просто реализован в виде программы для ЭВМ. Кроме того, статический расчет фермы может быть выполнен с применением программных комплексов на основе метода конечных элементов.

В то же время, при расчете ферм с небольшим количеством стержней, а также при проверке результатов расчетов, полученных на ЭВМ, может потребоваться использование простейших приемов определения усилий в стержнях ферм. К ним относятся способ вырезания узлов и способ сечений.

Способ вырезания узлов уже использовался нами при статическом анализе геометрической неизменяемости фермы. Он заключается в мысленном вырезании узла фермы с заменой действия на него стержней соответствующими усилиями. Эти усилия связаны между собой и приложенной к стержню внешней нагрузкой (или опорными реакциями) посредством статических уравнений равновесия. Для любого узла можно составить два таких уравнения - равенства нулю суммы проекций всех сил, например, на вертикальную и горизонтальную оси. Очевидно, если в узле сходятся два стержня (например, рис.4.24 и рис.4.26), то из этих уравнений могут быть найдены усилия в обоих из них. Если узел соединяет три стержня, но усилие в одном из них уже найдено из рассмотрения равновесия другого узла или использованием способа сечений, то из этих двух уравнений могут быть найдены усилия в двух оставшихся стержнях.

Способ сечений состоит в мысленном рассечении фермы на две части и рассмотрении равновесия одной из них. При этом действие отбрасываемой части на рассматриваемую должно быть заменено усилиями в стержнях ферм. Если провести сечение таким образом, чтобы оно проходило через три стержня, то можно составить уравнения равновесия для рассматриваемой части фермы таким образом, чтобы найти усилия во всех трех стержнях.

В качестве примера рассмотрим ферму, изображенную на рис.4.1. Для определения усилия в любом из ее раскосов, а также в любом стержне верхнего или нижнего пояса достаточно провести вертикальное сечение в соответствующей панели фермы и рассмотреть равновесие любой отсеченной части. Очевидно, выгоднее рассматривать равновесие той части, для которой проще составить уравнение равновесия (рис.4.32).

Рис.4.32
Если составить уравнение равновесия моментов относительно точки А, то в это уравнение войдет только одно неизвестное усилие - усилие N_НП в стержне нижнего пояса. Следовательно, это усилие может быть определено из этого уравнения. Если составить уравнение равновесия моментов относительно точки В, то в это уравнение также войдет только одно неизвестное усилие - усилие N_ВП в стержне верхнего пояса. Следовательно, это усилие может быть определено из этого уравнения. Если составить уравнение равновесия проекций всех сил на вертикальную ось, то в это уравнение войдет только одно неизвестное усилие - усилие в раскосе N_Р. Следовательно, это усилие может быть определено из этого уравнения. Для определения усилия в стойке сечение нужно выполнять так, чтобы оно проходило через нее (рис.4.33).

Рис.4.33
Если составить уравнение равновесия проекций всех сил на вертикальную ось, то в это уравнение войдет только одно неизвестное усилие - усилие в стойке N_С. Следовательно, это усилие может быть определено из этого уравнения.

Если в сечение попадает количество стержней превышающее три, то чаще всего приходится комбинировать способ сечений и способ вырезания узлов, определяя усилия в части из стержней в сечении из рассмотрения равновесия узлов или при выполнении других сечений.

Таким образом, усилие в любом стержне статически определимой фермы может быть определено в один или несколько шагов путем последовательных вырезаний узлов и/или рассмотрением равновесия отсеченных определенным образом частей фермы.

Очевидно, при использовании этих способов необходимо предварительное определение опорных реакций из уравнений равновесия фермы.

Другие способы определения усилий в фермах
Рассмотренные выше способы определения усилий (способ вырезания узлов и способ сечений) можно отнести к основным способам расчета ферм.

Однако в некоторых случаях ни один из них не приводит к желаемому результату, и тогда приходится прибегать к другим способам расчета. Рассмотрим некоторые из них.

Способ замкнутого сечения
Пусть требуется определить усилия в стержнях фермы Шухова (рис.4.34,а). Применение способа вырезания узлов нецелесообразно, так как здесь нет узлов, в которых сходились бы только два стержня с неизвестными усилиями, и нельзя использовать способ проекций, так как невозможно провести сечение через три стержня.

а) б)

Рис.4.34
Проведем замкнутое сечение так, чтобы три стержня (1, 4, 7) пересекались по одному разу, а стержни 8, 9, 10 – по два раза. Рассмотрим равновесие отсеченной части фермы внутри замкнутого контура (рис.4.34,б). Усилия в стержнях 8, 9, 10, перерезанных замкнутым сечением дважды, уравновешиваются. А усилия в стержнях 1, 4, 7 можно определить способом моментной точки, после чего легко определить усилия в остальных стержнях фермы.
Способ совместных сечений
Применение этого способа приводит к системе двух уравнений с двумя неизвестными. Способ используется в тех случаях, когда удается провести два сечения таким образом, что каждое из них содержит четыре неизвестных, причем какие-то два неизвестных усилия повторяются в обоих сечениях. Ниже будет рассмотрен пример определения усилий способом совместных сечений.
Графический способ определения усилий

(диаграмма Максвелла-Кремоны)
Этот способ основан на графическом приеме разложения силы на два направления и состоит в следующем: буквами или цифрами обозначают полигоны (поля), т.е. площади, ограниченные со всех сторон стержнями или примыкающие к наружному контуру фермы и отделенные друг от друга внешними силами, включая опорные реакции (рис.4.35).

Рис.4.35
В результате каждое внутреннее усилие и каждая внешняя сила обозначаются двумя значками, соответствующими названиям тех полигонов, границей которых эта внешняя сила или усилие является. Строят многоугольник сил на внешних силах, включая опорные реакции. Каждая из сил этого многоугольника обозначается буквами или цифрами, поставленными на ее концах, при этом сохраняется направление сил.

Затем выбирают узел, в котором сходятся два стержня. Приложенную в узле силу раскладывают по направлениям этих стержней, в результате чего определяют значения и направления действующих в них усилий (направления определяют растяжение–сжатие). Разложить силы на две составляющие можно построением силового треугольника. Такой треугольник должен быть замкнут, так как узел, для которого он строится, находится в равновесии. Если к узлу приложены две и более известных сил, то строят многоугольник равновесия известных и неизвестных сил. После этого переходят к следующему узлу и для него проводят аналогичные построения. Таким образом, определяют усилия во всех стержнях фермы.

Пример расчёта ферм на неподвижную нагрузку
Выполним статический расчет фермы, изображенной на рис.4.36.

Рис.4.36

Теперь исследуем правильность расстановки связей в ферме. Данная ферма образована двумя жесткими дисками. Контур первого из них ограничен узлами 1,4,6,5,2. Действительно, жесткий диск образован тремя шарнирными треугольниками, к которым двумя стержнями, не лежащими на одной прямой, присоединен узел 5. Второй диск, контур которого ограничен узлами 6,8,7,10,9, также образован тремя шарнирными треугольниками, т.е. представляет собой простейшую ферму. Два диска соединены между собой тремя связями, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке,- в узле 6 и стержнем 5-7. Таким образом, вся конструкция также представляет собой жесткий диск. Он прикреплен к основанию тремя связями, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке. Следовательно, на основе структурного анализа можно сделать вывод, что данная ферма является геометрически неизменяемой.

Определим опорные реакции в ферме. Горизонтальная нагрузка на систему отсутствует, следовательно горизонтальная реакция в левой опоре равна нулю H₁ = 0. Поскольку данная ферма симметрична и находится под действием симметричной нагрузки, очевидно, вертикальные реакции V₁ и V₁₀ должны быть равными. Найдем их из уравнения проекций всех действующих на систему сил на вертикальную ось: V₁+V₁₀ = 3∙20 кН. Следовательно, V₁=V₁₀ = 30 кН.

Теперь приступим к определению усилий в стержнях фермы. Прежде всего выделим нулевые стержни. Из рассмотрения узла 5 на основании признака 2 нулевых стержней следует, что стержень 5-6 нулевой.

Мысленно рассечем ферму сечением, изображенным на рис.4.37 и рассмотрим равновесие левой части. Напомним, что положительное значение продольного усилия соответствует растяжению стержня, а отрицательное - сжатию. Поэтому при составлении уравнений равновесия будем считать неизвестные стержневые усилия растягивающими.

Из уравнения моментов относительно точки А: 30кН ∙ 4м - 20кН ∙ 2м + N_2-5 ∙ 2м = 0 находим N_2-5 = -40кН, а из уравнения моментов относительно точки В (ее положение легко определяется из подобия треугольников А43 и АВС) 30кН ∙ 8м - 20кН ∙ 6м - N_3-6 ∙ 2м = 0 находим N_3-6 = 60кН.

Рис.4.37
Усилие N_4-6 можно определить из уравнения проекций всех сил на вертикальную ось 30кН - 20кН + N_4-6 ∙ sinα = 0.

Усилия в остальных стержнях левой половины фермы можно найти, например вырезанием узлов 2, 3 и 4.

Рис.4.38
Рассмотрим равновесие узла 2 (рис.4.38). Он соединяет три стержня, но в одном из них усилие уже найдено - усилие в стержне 2-5 является сжимающим и равно 40кН. Следовательно, двух уравнений равновесия этого узла будет достаточно, чтобы определить усилия в двух других стержнях. Из треугольника 123 следует, что β = 45⁰.

Рис.4.40
Теперь рассмотрим равновесие узла 3 (рис.4.40). Усилия в трех стержнях из четырех, соединяющихся в этом узле, уже известны. Из уравнения проекций всех сил на горизонтальную ось находим N_1-3 = 60кН. Запишем уравнение проекций сил на вертикальную ось: 40кН=20кН+20кН. Полученное равенство является истинным, что подтверждает правильность полученных значений усилий в стержнях ферм.

Итак, значения усилий в стержнях левой половины фермы определены. Усилия в стержнях на правой половине фермы находятся исходя из симметрии фермы и симметричности приложенной к ней нагрузки. Значения усилий (кН), определенные в результате расчета, приводятся на рис.4.41.

Рис.4.41
Проверки правильности определения усилий в стержнях фермы также можно осуществить вырезанием узлов или использованием способа сечений.
Пример расчета фермы на подвижную нагрузку
Рассмотрим ферму, изображенную на рис.4.36. Необходимо:

1. Используя теорию линий влияния, определить усилие в стержне фермы 2-3 от действия неподвижной системы сил, изображенной на рис.4.36.

2. Определить максимальное и минимальное усилия в стержне фермы 2-3 при движении по ездовой линии (по горизонтали от узла 1 к узлу 10) системы из двух сил (рис.4.57).

Рис.4.57
3. Определить усилие от постоянной равномерно распределенной нагрузки q=10кН/м, приложенной к поясу фермы, совпадающему с ездовой линией (рис.4.58).

Рис.4.58
Построим линию влияния для стержня фермы 2-3. Для этого достаточно определить усилие в этом стержне при различных положениях единичной силы на ездовой линии.

Рис.4.59
Cоставим уравнения равновесия узла 2 (рис.4.60):

Рис.4.60

Рис.4.61
Согласно этой формуле, при x=0 ордината линии влияния, как и следовало ожидать, равна нулю, а при x=2м она равна 1/2. По этим точкам строится левая ветвь линии влияния (до точки С на рис.4.63).

Таким образом, при x=4м ордината линии влияния равна 1 (точка D на рис.4.63), а на правой опоре, как и следовало ожидать - нулю. По этим точкам строится правая ветвь линии влияния, и далее передаточная прямая CD. В рассматриваемом случае ее направление, как мы видим, совпадает с направлением левой ветви линии влияния, а сама линия влияния оказалась симметричной.

Рис.4.62
Теперь приступим к определению усилий в стержне 2-3.

Рис.4.63
Наиневыгоднейшим положением подвижной системы двух сил на ездовой линии (рис.4.57) будет положение, когда одна из них находится ровно посередине пролета фермы (рис.4.64), т.к. в этом случае одна из сил оказывается над единственной в рассматриваемом случае вершиной линии влияния. Ордината линии влияния под силой в центре фермы равна 1, ординату под точкой приложения второй силы легко определить из подобия треугольников: откуда y=0,8 (рис.4.64). В соответствии с (4.3) усилие в стержне составит. В силу симметрии линии влияния, в случае, когда над ее вершиной в центре пролета фермы окажется не левая, а правая сила, результат будет тем же.

Построенная линия влияния не имеет отрицательных ординат, следовательно, при любом положении системы сил на ездовой линии в стержне будут возникать только растягивающие усилия. Поэтому, максимальным возможным усилием в стержне 2-3 для рассматриваемой подвижной нагрузки является 36 кН, минимальным -0 кН.

Рис.4.64
Наконец, определим усилие в стержне от действия неподвижной равномерно распределенной по всей длине ездовой линии нагрузки (рис.4.58) q=10 кН/м. Площадь фигуры, ограниченной линией влияния (рис.4.63) составляет. Размерность площади фигуры оказалась такой, поскольку единичная сила, а следовательно и ординаты линии влияния продольного усилия не имеют размерности.
Расчет трехшарнирных арок
Общие определения арки

Рис.5.1
Арка - система криволинейных стержней. К статически определимым системам относятся трехшарнирные арки, имеющие шарнирные опоры на краях и один промежуточный шарнир, чаще всего - центральный (рис.5.1).

Пролет арки - расстояние между ее опорами L. Опору арки принято также называть пятой арки, центральный шарнир - замком арки, а расстояние f от прямой, соединяющей опорные шарниры до замка арки, - стрелой арки или стрелой подъема арки.

Арки относятся к распорным системам, т.е. таким системам, в опорах которых, в отличие от безраспорных систем, при действии только вертикальной нагрузки возникает ненулевое горизонтальное усилие, называемое распором.

Инженер-строитель может столкнуться с необходимостью выбора между безраспорной системой (балкой) и распорной системой (аркой) для выполнения перекрытия некоторого пролета, например, мостового. При этом арку сопоставляют с соответствующей балкой, т.е. простой балкой на двух опорах, перекрывающей такой же пролет и находящейся под действием такой же вертикальной нагрузки, что и арка.

Частным случаем трехшарнирной арки является трехшарнирная арка с затяжкой (рис.5.2).

Рис.5.2
Затяжка - горизонтальный стержень, предназначенный для полного или частичного восприятия горизонтального распора. Для того, чтобы система при наличии затяжки осталась статически определимой, одну опору арки делают катковой. В этом случае, при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки горизонтальные реакции в опорах будут равными нулю, а затяжка будет воспринимать распор полностью.

При нагрузке определенного вида очертание арки можно задать таким, чтобы в ней не возникало изгибающих моментов. Такие арки называют арками рационального очертания.

Задание геометрии арки
При задании геометрии арки необходимо определить величины пролета L, стрелы f, и функцию y(x), описывающую очертание оси арки (рис.5.1). Для арки с затяжкой, кроме того, необходимо задать высоту над затяжкой f’ (рис.5.2).

Задав значения L и f, мы определяем положение трех точек - опор и замка арки. Если дополнительно потребовать, чтобы ось арки была очерчена по окружности или по параболе, то положение этих трех точек однозначно определит функцию y(x), поскольку через три точки можно провести только одну окружность и только одну параболу.

Угол в (5.1) и (5.2) - угол наклона касательной к оси арки в данной точке (рис.5.1). На левой половине арки, на правой. Справедливость формул (5.1) и (5.2) читателю предлагается проверить самостоятельно.

Понятно, что ось арки может быть очерчена не только по параболе или окружности.

Статический расчет трехшарнирной арки
В принципиальном отношении расчет трехшарнирной арки не отличается от расчета других статически определимых систем: вначале определяются опорные реакции, затем строятся эпюры изгибающего момента, продольного и перерезывающего усилия, после чего выполняются проверки и, при необходимости, определяются перемещения. Единственная особенность, с которой приходится сталкиваться, - появление чисто вычислительных трудностей, связанных с криволинейностью очертания оси арки.

Как в любой статически определимой системе, реакции в опорах трехшарнирной арки находятся исключительно из статических уравнений (уравнений равновесия). Примем положительные направления реакций в опорах арки в соответствии с рис.5.3.

Из условия равенства нулю суммы проекций всех действующих на систему сил на вертикальную ось имеем:

где - сумма проекций всех действующих на арку внешних сил на вертикальную ось. В (5.3) внешняя сила считается положительной, если она направлена вниз.

Далее, составим уравнение моментов всех действующих на систему сил относительно произвольной точки. Здесь в качестве точки, относительно которой будут вычисляться моменты, выберем точку А. Поскольку линии действия трех опорных реакций из четырех проходят через эту точку, в уравнении останется только одна неизвестная реакция - V_B.
где - суммарный момент действующих на систему внешних сил относительно точки А. В (5.4) он считается положительным, если направлен по часовой стрелке.

Рис.5.3
Уравнений (5.3) и (5.4) достаточно, чтобы найти вертикальные реакции в опорах арки. Составив аналогичные уравнения для балки, соответствующей арке (рис.5.3), легко убедиться, что при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки эти уравнения совпадут с (5.3) и (5.4), а значит вертикальные реакции V_A и V_B в опорах арки и соответствующей ей балки будут одинаковыми.

Четвертое уравнение - условие равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на систему с одной (любой - левой или правой) стороны от промежуточного шарнира относительно этого шарнира.

При отсутствии горизонтальной составляющей внешней нагрузки горизонтальные реакции в опорах арки будут равны и направлены противоположно друг другу, что следует из уравнения (5.5):

Горизонтальное усилие H, возникающее в опорах, называется распором.

Из уравнений (5.3)-(5.6) можно найти четыре неизвестные опорные реакции H_A, H_B, V_A и V_B, после чего приступить к определению изгибающих моментов в сечениях арки.

Рассмотрим сечение, находящееся на произвольном расстоянии х от левой опоры арки (рис.5.3). Рассматривая равновесие части арки с одной стороны от данного сечения, найдем в нем изгибающий момент. Будем рассматривать часть арки слева от сечения.

Как мы уже выяснили, при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки вертикальные опорные реакции V_A и V_B в арке и в соответствующей ей балке будут одинаковыми, а горизонтальные реакции в опорах арки равны и противоположно направлены. Изгибающий момент в балке определяется по формуле. Сопоставляя эту формулу с (5.8), с учетом (5.7) .

Таким образом, при условии отсутствия горизонтальной составляющей нагрузки, зная распор в арке и изгибающий момент в любом сечении балки, соответствующей рассматриваемой арке, момент в этом же сечении арки можно найти и по формуле (5.9).

Для определения продольного и перерезывающего усилий рассмотрим сечение в арке, отстоящее от левой опоры на произвольное расстояние х (рис.5.3).

Рис.5.4

Рис.5.6
При определении опорных реакций и распора в арках с затяжкой, затяжку мысленно удаляют, заменяя ее действие на остальную часть конструкции усилиями H (рис.5.7).

Далее составляют обычные уравнения равновесия.

Если далее рассматривать распор в затяжке Н как одну из внешних нагрузок (рис.5.7), то построение эпюр внутренних усилий можно выполнить аналогично арке без затяжки по формулам (5.8), (5.10) и (5.11).

Рис.5.7
Преимущества и недостатки арок по сравнению с балками
1. Для большинства строительных конструкций, таких как перекрытия зданий, пролетные строения мостов и т.п. основной нагрузкой является вертикальная нагрузка, направленная вниз. Легко убедиться, что для такой нагрузки горизонтальные реакции в опорах арки будут направлены навстречу друг другу, т.е. значение распора Н будет положительным (см. например, “Пример расчета арки параболического очертания под действием вертикальной нагрузки” и “Пример расчета арки с затяжкой”). Основным достоинством арочных конструкций является то, что в этом случае, в соответствии с формулой (5.9) изгибающий момент в любом сечении арки всегда меньше, чем в том же сечении соответствующей балки. За счет этого, а также за счет действующих в арке продольных сжимающих усилий, растягивающие напряжения в сечениях арки малы или отсутствуют (рис.5.23). Это очень важно для каменных и бетонных конструкций, которые, как известно, могут выдерживать высокие сжимающие напряжения, но практически не работают на растяжение.

Рис.5.23
2. Арочные конструкции отличаются большей эстетичностью.

3. Балочные конструкции значительно более технологичны с точки зрения изготовления, транспортировки и монтажа по сравнению с арочными.

4. Арки передают на опоры значительные горизонтальные усилия (рис.5.24). В связи с этим, опоры арочных конструкций должны быть достаточно мощными, чтобы воспринять эти усилия и передать их на основание.

Рис.5.24

Использование арок с затяжками позволяет значительно уменьшить горизонтальные опорные реакции. Металлическую затяжку применяют, например, для уменьшения нагрузок на пяту каменного свода (рис.5.25).

Рис.5.25
Арки рационального очертания
Арка рационального очертания - такая арка, в каждом сечении которой при вертикальной нагрузке определенного вида изгибающий момент равен нулю.

. (5.17)

Поскольку f не зависят от координаты x, из (5.17) следует, что y(x) должна быть пропорционально изгибающему моменту в балке, соответствующей рассматриваемой арке.

Рис.5.27

Рис.5.28
Итак, для построения арки рационального очертания для нагрузки определенного вида достаточно построить эпюру изгибающего момента в балке, соответствующей данной арке, и, задавшись значением f, определить очертание арки по формуле (5.17). В частности, рациональным очертанием для арки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой, будет параболическое очертание, поскольку изгибающий момент в соответствующей балке меняется по закону параболы (рис.5.26). На рис.5.27 и рис.5.28 приведены примеры арок рационального очертания для нагрузок других видов.
Расчет плоских статически определимых рам

Построение эпюр для плоских рам
Плоской рамой называется стержневая система, элементы которой жестко или шарнирно соединены между собой, нагруженная в своей плоскости.

Вертикально (или под наклоном) расположенные стержни рамы называются стойками, а горизонтальные - ригелями. Жесткость узлов устраняет возможность взаимного поворота скрепленных стержней, то есть в узловой точке углы между их осями остаются неизменными.

Как и многие другие системы, рамы делятся на статически определимые и статически неопределимые (рис.6.1, б,в,д,е).

Промежуточный шарнир снижает степень статической неопределимости рамы на величину m - 1, где m - число стержней, сходящихся в шарнире. Если m >2, то шарнир называется кратным (рис.6.1, д).

Для определения степени статической неопределимости плоской рамы можно воспользоваться формулой:

n = 3К-Ш,

где n - степень статической неопределимости; К - число замкнутых контуров в предположении полного отсутствия шарниров; Ш - число шарниров в пересчете на одиночные.

Основание (земля) рассматривается как стержень.

Для рамы (рис.6.1, б) имеем:

К=1; Ш=0;

Для рамы (рис.10,д):

К=3; Ш=3

В более простых случаях, когда отсутствуют замкнутые контуры и промежуточные шарниры, то есть когда используются комбинации тех же опор, что и в балках (жесткая заделка, шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опоры), для определения степени статической неопределимости используется “балочная” формула.

В данной работе ограничимся рассмотрением простейших статически определимых рам трех видов:

1) с жесткой заделкой;

2) на двух шарнирных опорах (неподвижной и подвижной);

3) на двух шарнирно неподвижных опорах с простым промежуточным шарниром.

Рис. 6.1
Для изгибающих моментов специального правила знаков нет, а при вычислении момента в любом сечении знак принимается произвольно. Но результат вычислений всегда откладывается со стороны сжатого волокна элемента рамы. При этом знак на эпюре никогда не указывается. Такое условие полностью соответствует характеру построения эпюр в балках, где в соответствии с принятым для изгибающих моментов правилом знаков (см. 1.7) ординаты эпюр всегда оказывались расположенными со стороны сжатых волокон балки.

Рамы с жесткой заделкой
Пример 1. Рассмотрим жесткозащемленную плоскую раму (рис.6.2, а). В жесткой заделке рамы в общем случае нагружения возникают три опорные реакции: две силы и опорный момент. Для построения эпюр определение этих реакций не является безусловной необходимостью: расчет, как и в случае жесткозащемленной балки, можно вести от свободного конца, то есть всякий раз так выбирать отсеченную часть для рассматриваемого сечения, чтобы в нее не попадала опора с неизвестными опорными реакциями. Тем не менее, иногда целесообразно вычислить опорные реакции. Это позволяет проверить построение эпюр или облегчить их построение. Для вычисления реакций в жесткозащемленной раме используются три условия равновесия:

Построим эпюры для рассматриваемой рамы, не вычисляя опорные реакции.

Методика построения эпюр аналогична ранее рассмотренной для балок, т.е. сначала необходимо наметить характерные сечения. В дополнение к ранее указанным, в рамах характерными являются также сечения, расположенные бесконечно близко к жесткому узлу на всех элементах, сходящихся в этом узле.

Построение эпюры. Следуя установленным правилам, в рассматриваемой раме можно выделить 8 характерных сечений. Продольная сила в любом из них численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня. При этом следует учитывать, что положение продольной оси будет изменяться в зависимости от того, чему принадлежит рассматриваемое сечение - стойкам или ригелю.

Построение эпюры. Поперечная сила в любом сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную ось рамы. Положение поперечной оси также будет изменяться в зависимости от принадлежности данного сечения стойкам или ригелю. С учетом правила знаков, двигаясь от свободного конца к жесткой заделке, получим для (проекция пары М на любую ось равна нулю);

Необходимо обратить внимание на тот факт, что поперечная сила в верхних сечениях противоположных стоек от действия силы, приложенной к правой стойке (при заделке, расположенной слева, и наоборот) имеет противоположные знаки. Отчасти это можно объяснить противоположными направлениями оси y для сечений 4 и 7, но более строгое обоснование указанного равенства будет дано ниже.

Построение эпюры. Изгибающий момент в любом сечении численно равен алгебраической сумме моментов всех нагрузок, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно этого сечения (более строго: относительно оси x этого сечения). Обратим внимание на два важных замечания:

1) составляющая момента от действия сосредоточенного момента М всегда одинакова и равна М;

2) под плечом силы всегда понимается длина перпендикуляра, опущенного из центра тяжести данного сечения на линию действия силы. Это означает, что, например, плечо силы F для сечений 4-7 одинаково и равно 3 м.

Рис. 6.2

В плоских рамах сохраняются те же зависимости, что и в балках, а именно:

Из этого следует, что правила контроля эпюр остаются теми же, что и для балок .

Эпюры в плоских рамах строятся наиболее просто и при отсутствии нагрузок, распределенных вдоль стержней, представляют собой графически отрезки прямых, параллельные осям стержней.

Если проанализировать процесс построения эпюр (рис.6.2,б-г), то очевидно, что наиболее "сложно" вычислять ординаты в сечениях стержня, примыкающего к заделке ( на рис.6.2,б-г это сечения 7 и 8). Как уже отмечалось, с этой целью иногда вычисляют реакции и момент.

При принятом для всей рамы направлении осей (рис.6.2,а) уравнения равновесия имеют вид:

Полученный для каждой из величин знак "+" говорит, что направления их были выбраны правильно.

После вычисления опорных реакций значения величин в сечениях 7 и 8 (как, впрочем, и в любом другом) можно вычислять, двигаясь от жесткой заделки к свободному концу.

Разумеется, результаты получаемые для любого сечения при движении от свободного конца к жесткой заделке и при движении в обратном направлении одинаковы.

Рамы на двух шарнирных опорах
В дальнейшем для краткости будем говорить "шарнирная рама", имея в виду ее статическую определимость и отсутствие промежуточных шарниров.

Пример 2. Рассмотрим раму той же конфигурации, размеров и с теми же нагрузками, что и в предыдущем примере, но с шарнирным опиранием (рис.6.3,а).

Здесь также имеем 8 характерных сечений, но для построения эпюр необходимо вычислить сначала опорные реакции, т.к. ни для одного из сечений нельзя выбрать отсеченную часть так, чтобы избежать попадания в нее опоры с неизвестной реакцией.

Для определения опорных реакций в плоских шарнирных рамах используются следующие уравнения равновесия:

Первое уравнение равновесия используется в том из двух приведенных вариантов, который будет содержать одну неизвестную опорную реакцию.

Так, в рассматриваемом примере этим условием будет, которое будет содержать неизвестную реакцию H_A (в то время как условие содержало бы две неизвестных реакции). Если бы опоры располагались так, что вертикальным является один стержень, то в качестве первого шага использовалось условие = 0.

Рис. 6.3
Второе и третье уравнения равновесия - такие же, как и для балок, но в одно из них обязательно войдет реакция, вычисленная из первого уравнения (иногда - с нулевым плечом).

Построение эпюр N_z, Q_y и M_x в шарнирных рамах выполняется так же, как и в защемленных, но " с меньшими затратами", так как после вычисления реакций опор направление обхода рамы не играет роли, и выбор отсеченной части в каждом случае определяется ее простотой.

Вычислим реакции опор рамы (рис.6.3,а)

Уравнения статики:

Знак "-", полученный при вычислении реакции R_A, говорит, что принятое для нее направление нужно изменить на противоположное. Выполним проверку:

то есть реакции опор вычислены правильно.

Построение эпюры N_z.

Двигаясь по оси рамы от сечения 1 к сечению 6, получим:

N_z,1 = N_z,2 = N_z,3 = N_z,4 = R_B = 5 кН,

N_z,5 = N_z,6 = - F = - 45 кН.

Для сечений 7 и 8 проще рассматривать отсеченную часть, продвигаясь от опоры А к сечению 7:

N_z,8 = N_z,7 = - R_A = - 45 кН.

Этот же результат получим из рассмотрения отсеченной части 1-6:

N_z,7 = N_z,8 = - R_B - q·4 = - 45 кН.

По вычисленным значениям строим эпюру N_z (рис.6.3,б)

Построение эпюры Q_y.

Из рассмотрения отсеченной части 1-5:

Q_y,1 = Q_y,2 = 0,

Q_y,3 = Q_y,4 = F = 20 кН,

Q_y,1 = R_A = 5 кН.

Из рассмотрения отсеченной части 8-6:

Q_y,8 = Q_y,7 = - H_A = - 20 кН,

Q_y,1 = R_A = 45 кН.

Эпюра Q_y, построенная по вычисленным значениям, показана на рис.6.3,в.

Построение эпюры M_x.

Из рассмотрения отсеченной части 1-5:

M_x,1 = M_x,2 = M = 40 кН·м (сжаты правые волокна стойки);

M_x,3 = M_x,2 = 40 кН·м (плечо силы F равно нулю);

M_x,4 = M_x,5 = M - F·3 = - 20 кН·м (сжаты левые волокна стойки в сечении 4 и нижние волокна ригеля в сечении 5);

Из рассмотрения отсеченной части 8 -6:

M_x,8 = 0,

M_x,7 = M_x,6 = H_A·6 = 120 кН·м

(сжаты правые волокна стойки и нижние волокна ригеля в сечениях 7 и 6 соответственно).

Эпюра M_x показана на рис.3,г.

Пример 3. Рассмотрим шарнирную раму более сложной конфигурации (рис.6.4,а).

Здесь необходимо рассматривать 10 характерных сечений для построения эпюр N_z, Q_y и M_x. Сечения 1-6 расположены на ригеле слева направо, а сечения 7-10 - на стойке сверху вниз. Как и в предыдущем примере, указанное расположение характерных сечений является безусловно необходимым, а их нумерация - произвольной.

Уравнения статики для вычисления опорных реакций имеют вид:

Проверка вычисления опорных реакций:

При построении эпюр N_z, Q_y и M_x целесообразно выбирать отсеченную часть, продвигаясь к центральному узлу рамы с четырех сторон, т.к. в этом случае определение внутренних силовых факторов в каждом из характерных сечений осуществляется наиболее просто.

Рис.6.4
Построение эпюр N_z, Q_y и M_x .

Из рассмотрения левой относительно центрального узла отсеченной части (сечения 1-2):

(сжаты верхние волокна).

Из рассмотрения правой отсеченной части (сечения 3-6):

Из рассмотрения верхней относительно центрального узла отсеченной части (сечения 7-8):

Из рассмотрения нижней отсеченной части (сечения 9-10):

Характер эпюры Q_y на участках рамы с распределенными нагрузками q₁ и q₂, а именно, наличие пересечений эпюры с осью рамы, говорит о том, что в этих точках момент M_x принимает экстремальные значения. Определение положений точек пересечения (т.е. тех точек, где Q_y = 0) выполняется так же, как и в балках.

Вычислим экстремальные значения момента M_x.

На участках под распределенной нагрузкой q₁:

(сжаты верхние волокна).

На участке с распределенной нагрузкой q₂:

(сжаты правые волокна).

Эпюры N_z, Q_y и M_x показаны на рис.6.4,б,в,г.

Рамы на двух опорах с промежуточным шарниром
Как отмечалось выше, рамы на двух шарнирно-неподвижных опорах с одним промежуточным шарниром также являются статически определимыми.

Пример 4. Рассмотрим построение эпюр для рамы с промежуточным шарниром (рис.6.5,а)

В дополнение к условиям равновесия, рассмотренным в примерах 3 и 4, здесь для определения неизвестных реакций используются условия, каждое из которых по своей сути выражает факт равенства нулю изгибающего момента промежуточном шарнире С (рис.6.5,а).

Для определения четырех неизвестных реакций возможно использование различных комбинаций уравнений равновесия, но чаще всего используются следующие уравнения:

При этом для проверки вычисленных реакций служат уравнения:

При заданных нагрузках (рис.6.5,а) уравнения равновесия принимают вид:

Знак "-", полученный при вычислении реакции, говорит о необходимости изменить принятое для нее направление на противоположное (перечеркнутая стрелка на рис.6.5,а).

Рис 6.5
Проверяем правильность вычисления опорных реакций.

Теперь вычисляем значения в характерных сечениях, выбирая для сечений 1-8 левую отсеченную часть, а для сечений 9-14 - правую.

Из рассмотрения левой отсеченной части:

(сжаты нижние волокна ригеля);

Вновь подчеркнем, что знаки "+" и "-" для изгибающих моментов принимаются относительно, то есть для разграничения противоположно направленных моментов, а эпюра строится со стороны сжатых волокон.

Из рассмотрения правой отсеченной части:

Эпюры, построенные по вычисленным значениям, приведены на рис.6.5,б,в,г.
Теоремы взаимности строительной механики << предыдущая страница следующая страница >>