Рабочая учебная программа по дисциплине конспект лекций по дисциплине

Теорема о взаимности возможных работ
Рассмотрим два состояния какого-либо сооружения, например балки на двух опорах (рис. 6.10,а). В состоянии i на эту балку действует обобщённая сила F_i, а состоянии j – обобщённая сила F_j. Обобщённые силы F_i и F_j в упомянутых состояниях прикладываются статическим способом. На рис. 6.10,а показаны действительные (, ) и возможные (, ) перемещения по направлению обобщённых сил.

Рис.6.10
Вычислим работу обобщённых сил F_i и F_j от их совместного воздействия. Сначала статическим способом приложим обобщённую силу F_i, которая на перемещении будет совершать действительную работу W_ext_,_ii (рис. 6.10,б). После окончательного формирования обобщённой силы F_i статическим способом приложим обобщённую силу F_j. Балка получит дополнительные деформации и перемещения: – возможное перемещение в направлении обобщённой силы F_i от действия обобщённой силы F_j, – действительное перемещение в направлении обобщённой силы F_j от её же воздействия (рис. 6.10,б внизу). Постоянная по величине обобщённая сила F_i совершает возможную работу W_ext_,_ij на перемещении , а статически приложенная сила F_j – действительную работу W_ext_,_jj на перемещении . Суммарная работа внешних обобщённых сил будет равна

.

Зависимости для вычисления действительной и возможной работы внешних обобщённых сил F_i и F_j:

,

,

.

Таким образом, выражение суммарной работы от совместного действия обобщённых сил F_i и F_j в случае, когда первой прикладывается сила F_i, а второй F_j, примет вид:

. (6.1)

Рассмотрим обратный порядок приложения обобщённых сил: первой приложим статическим способом обобщённую силу F_j, а затем, после её окончательного формирования, – обобщённую силу F_i (рис. 6.10,в). Суммарная работа внешних обобщённых сил F_i и F_j в этом случае запишется:

Учитывая, что , получим:

. (6.2)

Значение суммарной работы внешних обобщённых сил F_i и F_j не зависит от последовательности их приложения, т.е.

= .

Приняв во внимание соотношения (6.1) и (6.2) окончательно будем иметь:

, или

W_ext,ij = W_ext,ji . (6.3)

Выражение (6.3) и составляет содержание теоремы о взаимности возможных работ внешних сил: возможная работа i-й обобщённой силы (внешних сил i-го состояния) на перемещениях, вызванных j-й обобщённой силой (внешними силами j-го состояния), равна возможной работе j-й обобщённой силы (внешних сил j-го состояния) на перемещениях, вызванных i-й обобщённой силой (внешними силами i-го состояния). В строительной механике эта теорема носит имя итальянского учёного Энрико Бетти (1823–1892).

Без доказательства отметим справедливость теоремы Бетти для внутренних сил

W_int_,_ij = W_int_,_ji,

т.е. возможная работа внутренних сил i-го состояния на деформациях j-го состояния равна возможной работе внутренних сил j-го состояния на деформациях i-го состояния.

Из теоремы Бетти, как частный случай, вытекают другие теоремы взаимности строительной механики, широко используемые в расчётах сооружений.
Теорема о взаимности перемещений
По-прежнему рассмотрим состояния i и j одного и того же сооружения (рис. 6.11). В состоянии i на него действует сила F_i = 1, а в состоянии j – сила F_j = 1. Зафиксируем возможные перемещения и , возникающие в состояниях i и j от единичных сил.

Для состояний сооружения i и j применим теорему о взаимности возможных работ внешних сил (см. соотношение (6.3)):

, или . (6.4)

Соотношение (6.4) выражает содержание теоремы о взаимности перемещений: перемещение по направлению линии действия i-й единичной обобщённой силы, вызванное j-й единичной обобщённой силой, равно перемещению по направлению линии действия j-й обобщённой силы от i-й единичной обобщённой силы. В строительной механике эта теорема известна как теорема английского физика и механика Джеймса Максвелла (1831–1879).

Рис.6.11
Теорема о взаимности перемещений широко применяется в расчётах линейно деформируемых систем, в частности, в расчётах статически неопределимых систем методом сил, при построении линий влияния перемещений в стержневых сооружениях.

Выше был рассмотрен случай, когда в состоянии i и j сооружения действуют единичные сосредоточенные силы (рис. 6.11), т.е. силы, имеющие одинаковую природу и одинаковую размерность. На рис. 6.12 рассмотрена ситуация, когда в состоянии i на сооружение действует сосредоточенная сила F_i = 1, а состоянии j – сосредоточенный момент M_j = 1. Здесь же показаны и возможные перемещения и , вызываемые упомянутыми силами F_i = 1 и M_j = 1. Кажущееся противоречие в размерностях перемещений и , равенство которых определено соотношением (6.4), отпадает, если мы примем во внимание, что каждое из этих перемещений является удельным перемещением, т.е. что оно вызывается обобщённой силой, имеющей не произвольное, а единичное значение. Таким образом, размерность какого-либо удельного перемещения есть отношение размерности рассматриваемого обобщённого перемещения к размерности обобщённой силы, вызвавшей это перемещение. В случае, рассмотренном на рис. 6.12, имеем:

= см/кНсм = кН^-1, = рад/кН = кН^-1,

т.е. оба перемещения имеют одинаковую размерность.

Рис.6.12
Теорема о взаимности реакций
Задана любая статически неопределимая стержневая система, например, однопролётная балка, защемлённая на левом конце и шарнирно опёртая на правом. В состоянии i этой балки угловой связи i заделки А зададим поворот по часовой стрелке на единицу (рис. 6.13,а), а в состоянии j – правой опорной связи j линейное перемещение вверх на единицу (рис. 6.13,б). Так как рассматриваемая система статически неопределима, то в её опорных связях, за исключением горизонтальной связи левой опоры А, от упомянутых выше кинематических воздействий возникнут реакции. Горизонтальная связь левой опоры А является абсолютно необходимой и в ней реакция от рассматриваемых смещений связей i и j будет равна нулю (Н_А = 0).

Рис.6.13
На рис. 6.13 в состояниях i и j показаны реакции в смещаемых связях, а именно: r_ii – реакция в i-й связи от её смещения на единицу, r_jj – реакция в j-й связи от собственного смещения на единицу, r_ij – реакция в i-й угловой связи от перемещения j-й линейной связи на единицу, r_ji – реакция в j-й линейной связи от перемещения i-й угловой связи на единицу. К состояниям i и j применим теорему о взаимности возможных работ внешних сил (см. соотношение (6.3)):

W_ext_,_ij = W_ext_,_ji.

В нашем случае:

W_ext_,_ij = r_ii × 0 + r_ji × 1, W_ext_,_ji = r_jj × 0 + r_ij × 1,

r_ji × 1 = r_ij × 1, или r_ij = r_ji . (6.5)

Работа реакций остальных связей заданного сооружения (на рис. 6.13 – реакция вертикальной связи левой опоры А), не получивших перемещений, в выражения для возможных работ W_ext_,_ij и W_ext_,_ji не войдёт.

Равенство (6.5) является математическим представлением теоремы о взаимности реакций: реакция r_ij в i-й связи от перемещения j-й связи на единицу равна реакции r_ji в j-й связи от смещения j-й связи на единицу.

Принцип взаимности реакций, вытекающей из теоремы Бетти как частный случай, справедлив не только для реакций опорных связей различного типа, но и для реакций внутренних связей (изгибающих моментов, поперечных и продольных сил).

Как и в теореме о взаимности перемещений (см. п. 6.2.2), в рассматриваемой здесь теореме о взаимности реакций речь идёт об удельных реакциях, т.е. реакциях, вызванных единичными смещениями связей. Размерность удельной реакции определяется как отношение размерности рассматриваемой реакции к размерности перемещения, вызвавшего эту реакцию. Для удельных реакций r_ij и r_ji, показанных на рис. 6.13, имеем:

[r_ij] = кНсм/см = кН, [r_ji] = кН/рад = кН.

В строительной механике теорема о взаимности реакций известна как первая теорема английского физика Джона Рэлея (1842–1919). Она широко применяется в расчётах статически неопределимых систем методом перемещений.
Теорема о взаимности реакций и перемещений
На рис. 6.14 показаны два состояния произвольной статически неопределимой системы (рамы). В первом состоянии (состоянии i) на раму действует обобщённая сила F_i = 1. Опорная связь j получает единичное перемещение во втором состоянии (состоянии j). Введём обозначения: r'_ji – реакция в j-й связи от обобщённой силы F_i = 1 в состоянии i, – перемещение по направлению обобщённой силы F_i = 1 от смещения связи j на единицу в состоянии j. За положительное направление перемещения примем перемещение, происходящее по направлению обобщённой силы F_i = 1, а за положительную реакцию r'_ji реакцию, направление которой совпадает с перемещением j-й связи.

Рис.6.14
Для состояний i и j используем теорему о взаимности возможных работ внешних сил (см. соотношение (6.3)).

.

Возможная работа W_ext_,_ji внешних сил состояния j на перемещениях, вызываемых внешними силами состояния i, равна нулю, так как в состоянии i перемещения по направлению опорных связей в том числе и по направлению связи j, отсутствуют, т.е.

W_ext_,_ji = 0.

В соответствии с выражением (6.3) W_ext_,_ij = W_ext_,_ji, поэтому

, или . (6.6)

Соотношение (6.6) является математической формулировкой теоремы о взаимности реакций и перемещений: реакция в j-й связи сооружения от обобщённой силы F_i = 1 с обратным знаком численно равна перемещению в направлении i-й обобщённой силы от смещения j-й связи на единицу (вторая теорема Рэлея).

При определении размерности величины r'_ji и необходимо учитывать их удельный характер, т.е. то обстоятельство, что они вызываются, соответственно, единичной обобщённой силой и единичным смещением связи.

Теорема о взаимности реакций и перемещений применяется в расчётах статически неопределимых систем смешанным методом.

Определение перемещений в стержневой системе
При любом воздействии на конструкцию – силовом, температурном, кинематическом и прочих – ее элементы испытывают деформацию, в которой присутствует в общем (пространственном) случае полный комплекс составляющих – растяжение-сжатие, поперечный изгиб (то есть изгиб с сопутствующим сдвигом) и кручение, причем изгиб является косым, а кручение может быть стесненным – с переменной депланацией сечений. В результате такой сложной деформации элементов возникают перемещения точек и сечений конструкции.

При расчете статически неопределимых систем, кроме уравнений равновесия приходится составлять и решать уравнения совместности деформаций системы. Для составления таких уравнений необходимо уметь определять перемещения заданной системы. Это приходится часто делать и при расчете статически определимых систем, которые должны обладать не только достаточной прочностью, но и жесткостью, так как в процессе их эксплуатации нормируются не только напряжения, но и перемещения конструкций. Это означает, что перемещение различных точек сооружения, возникающие при его деформации, должны быть достаточно малыми. Например, наибольший прогиб главной балки междуэтажного перекрытия не должен превышать 1/400 длины её пролёта.

Таким образом, определение перемещений сооружения необходимо для оценки жёсткости сооружения и расчёта его по второму предельному состоянию. Кроме этого, определение перемещений необходимо:

1) для сопоставления теоретических и опытных перемещений при контроле сооружений после их постройки и после длительной эксплуатации;

2) для расчёта статически неопределимых систем, при динамических расчётах.

Таким образом, изучение общих методов определения перемещений упругих систем является одной из основных задач строительной механики. Одним из основных методов определения перемещений является метод Максвелла – Мора (если конструкция может рассматриваться как линейно деформируемая стержневая система) по формуле

=+ + +

+++ +

++++–

– , ( 6.7 )

записанной без учета деформаций стесненного кручения (при необходимости дополнительные слагаемые аналогичной структуры, содержащие бимоменты B__, изгибно-крутящие моменты M_ и секториальную жесткость сечения EI_ , могут быть добавлены в (6.1)).

Для плоских стержневых систем формула Максвелла – Мора упрощается и в случае только силового воздействия принимает следующий вид:

= + + + . ( 6.8 )

Формулы ( 6.7 ) и ( 6.8 ) аналитически выражают качественно очевидный факт: каждый вид простой деформации вносит свой вклад в полное перемещение.

В количественном измерении вклады различных видов деформаций могут значительно варьировать – это зависит как от типа конструкции, так и от особенностей воздействий. Например, для балок и рам, не имеющих затяжек, шпренгелей, подкосов и т.п., основную роль играет изгиб элементов, причем влияние присутствующего в поперечном изгибе сдвига (оцениваемое в формуле Максвелла – Мора слагаемыми, содержащими поперечные силы) обычно в несколько раз меньше, чем влияние собственно изгиба, определяемое слагаемыми с изгибающими моментами. В фермах главным (а при идеализированном представлении о работе стержней фермы – единственным) видом деформации элементов является растяжение-сжатие. Для арок вклады изгиба, сдвига и растяжения-сжатия в общем случае соизмеримы. В комбинированных системах часть стержней деформируется как преимущественно изгибаемые, а элементы типа вант, оттяжек, подвесок и т.п., конструктивно выполняемые часто в виде тросов, кабелей или очень гибких стержней, размеры сечений которых весьма малы в сравнении с их длинами, испытывают практически чистое растяжение-сжатие, влияние которого на перемещения конструкции может сказываться очень сильно. Это в равной мере относится и к системам типа шпренгельных балок, арок и рам с затяжками, подкосами и прочими безызгибными элементами (особенно работающими на растяжение).

Не следует забывать о возможном влиянии на перемещения системы податливости ее связей – внешних (опор) и внутренних (соединений элементов). Это влияние может быть существенным, если осадки опор, обусловленные деформациями основания или конструкций, на которые опирается рассматриваемое сооружение, соизмеримы с перемещениями, обусловленными собственными деформациями системы, а также в случаях, когда соединения элементов не являются идеально жесткими или шарнирными. Если соответствующие опоры или соединения стержней могут рассматриваться как упругоподатливые, их деформативность учитывается последним слагаемым формулы ( 6.7 ) и таким же членом формулы ( 6.8 ).

Упомянутая выше необходимость учитывать не только особенности самой конструкции, но и характер воздействий, может быть проиллюстрирована на примере параболической симметричной арки.

Если приложить к ней вертикальную нагрузку, равномерно распределенную по всему пролету (рис.6.15, а), то конструкция будет работать почти чисто на сжатие – реально возникающие изгибающие моменты и поперечные силы очень малы. Следовательно, главной причиной перемещений точек арки в этом случае является так называемое обжатие ее оси (укорочение за счет деформации сжатия), и при расчете по формуле ( 6.8 ) определяющий вклад даст слагаемое, содержащее продольные силы. Но если ту же арку загрузить равномерно распределенной нагрузкой асимметрично, например, по поло-вине пролета (рис. 6.15, б), то она подвергнется существенному изгибу, что видно из показанной схемы деформаций.

Рис.6.15
Вследствие этого при определении перемещений основное значение будет иметь первое слагаемое формулы ( 6.8 ). Преобладающим может быть влияние изгиба также в случае загружения арки небольшим числом (1 ... 4) сосредоточенных нагрузок даже при их симметричном расположении.

Таким образом, даже для одной и той же конструкции при разных воздействиях необходимость более или менее точного учета той или иной составляющей деформации может оцениваться по-разному.

Полное пренебрежение в расчете некоторым видом деформации элемента (формально это выражается в том, что жесткость сечения при этой деформации принимается бесконечно большой, вследствие чего соответствующий интеграл в формулах ( 6.7 ) или ( 6.8 ) обращается в нуль) приводит к занижению значения перемещения.

В некоторых зонах конструкции может получаться и завышение перемещений, но в тех местах, где перемещения наибольшие по абсолютной величине, их значения занижаются (равно как и в среднем по всей конструкции).

Следует особо отметить принципиальную разницу в последствиях необоснованного пренебрежения в расчетах теми или иными деформациями для статически определимых и неопределимых систем. Для первых из них это может привести к ошибочным (с недопустимыми погрешностями) значениям перемещений, но никак не скажется на правильности определения силовых факторов и, следовательно, не отразится на оценке прочности конструкции. В статически неопределимых системах силовые факторы невозможно найти без рассмотрения геометрической стороны задачи (использования условий совместности деформаций и перемещений).

И если в этих условиях перемещения определяются неправильно (без учета того, что следовало бы учитывать), это приводит к неверным значениям усилий в системе. Например, для балки (рис. 6.16, а) со средней упругой опорой, имеющей конечную жесткость С₁ , расчет в пренебрежении податливостью этой опоры (то есть при С₁ =) дает распределение изгибающих моментов, показанное на рис. 6.16, б. В действительности при разных реальных значениях С₁ эпюры изгибающих моментов получаются такими, как на рис. 6.16, в – с уменьшением жесткости опоры увеличиваются положительные моменты, и при малых значениях С₁ отрицательные моменты вообще могут не возникать, а в предельном случае при С₁ 0 (исчезающе малая жесткость опоры) балка работает как опертая по концам. Очевидно, что моменты, вычисленные без учета упругой осадки средней опоры, могут оказаться меньше истинных (во всяком случае, положительные – несомненно!). Если эти заниженные моменты использовать при подборе сечения балки по прочности, то возможные последствия такой ошибки легко предсказать.

Рис.6.16

Расчет статически неопределимых систем методом перемещений на силовое воздействие
Степень кинематической неопределимости сооружения
Расчет статически неопределимых систем методом сил на различные воздействия сводится к определению усилий в лишних связях из системы канонических уравнений этого метода. Вычисление внутренних усилий в различных элементах сооружения и построение их эпюр в методе сил производится в основной системе, как правило, статически определимой, испытывающей заданные воздействия и воздействия усилий в лишних связях. Таким образом, выявление напряженно-деформированного состояния сооружений в расчетах методом сил начинается с получения картины распределения внутренних усилий и завершается вычислением перемещений отдельных узлов и сечений сооружения.

Возможен принципиально иной подход к расчету сооружений, когда выявление их напряженно-деформированных состояний начинается с определения перемещений от заданных воздействий и завершается построением эпюр внутренних усилий. Такой подход в расчетах сооружений реализуется в методе перемещений.

В методе перемещений сохраняются допущения, ранее принятые при расчете сооружений методом сил, а именно: материал, из которого изготовлены элементы сооружений, подчиняется закону Гука; перемещения отдельных сечений и узлов сооружений малы по сравнению с их геометрическими размерами. C учетом сформулированных допущений сооружения можно рассматривать как линейно-деформируемые системы, для которых справедлив принцип независимости действия сил и вытекающий из него принцип пропорциональности.

Известно, что для определения изгибающего момента в произвольном сечении заданного стержня необходимо знать величины поворотов в концевых сечениях и относительные линейные смещения концов стержня друг относительно друга.

При расчете статически неопределимой системы методом перемещений первоначально необходимо установить общее число неизвестных перемещений, подлежащих определению для адекватного вычисления величин внутренних усилий.

За неизвестные в методе перемещений принимаются перемещения узлов от заданных воздействий: линейные перемещения шарнирных и жестких узлов Z₁ и Z₂ и повороты жестких узлов Z₃ (рис. 8.1,а,б). Суммарное количество неизвестных угловых (n_θ) и линейных (n_Δ) перемещений узлов называется степенью кинематической неопределимости сооружения.

n_kin = n_θ + n_Δ. (8.1)

Число неизвестных угловых перемещений n_θ равно количеству жестких узлов сооружения. Жестким считается узел, в котором концы, по крайней мере, двух из сходящихся в нем стержней жестко связаны между собой (например, узлы 1, 2, 3, на рис.8.2, а).

Рис.8.2
Для сооружений, в которых перемещения от внешних воздействий обусловлены преимущественно изгибными деформациями, при определении числа независимых линейных перемещений узлов вводятся дополнительные допущения:

1. Элементы сооружений считаются нерастяжимыми и несжимаемыми, т.е. пренебрегают изменением их длин под действием продольных сил.

2. Предполагается, что длины хорд искривленных стержней равны их первоначальным длинам, т.е. А′В′ = АВ (рис. 8.3).

Считая сформулированные допущения справедливыми, число независимых линейных перемещений узлов сооружения n_Δ можно определить по его шарнирной схеме, полученной из заданного сооружения введением во все жесткие узлы, включая и опорные, врезанных цилиндрических шарниров (рис.8.2, б и рис.8.4, б). Число неизвестных линейных смещений узлов системы равно числу стержней, которые необходимо ввести в шарнирную схему, чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую систему. Следовательно, число независимых линейных смещений узлов равно степени геометрической изменяемости шарнирной системы, полученной из заданной, путем введения во все жесткие узлы, включая и опорные, полных шарниров.

На основании о пренебрежении продольными деформациями элементов, для плоской рамы (рис.8.1, а), линейные смещения узлов отсутствуют. При этом, шарнирная схема (рис.8.2, б) является геометрически неизменяемой.

Рис.8.4
Рамы, шарнирные схемы которых являются геометрически неизменяемыми, относятся к категории, так называемых, закрепленных или несвободных. Для таких рам число неизвестных перемещений легко определяется и оно всегда равно числу жестких узлов: n = n_θ . В нашем примере n_kin = 3.

В качестве другого примера, рассмотрим раму, изображенную на рис.8.4, a, число жестких узлов которого равно 2. Следовательно, n_θ = 2.

Шарнирная схема рамы один раз геометрически изменяемая, так как для превращения ее в геометрически неизменяемую необходимо ввести 1 стержень, например, так, как это показано на рис.8.4, б. Итак, число линейных неизвестных перемещений n_Δ= 1. Общее число неизвестных перемещений в рассматриваемой системе, изображенной на рис.8.4, a, равно n_kin = 2 + 1 = 3.

Степень свободы полученной таким образом шарнирной схемы будет равна числу независимых линейных перемещений узлов заданной системы. Для подсчета количества степеней свободы плоской шарнирной схемы W используют формулу:

W = 2Y − C − C_o, (8.2)

где Y – число узлов; C – число стержней, соединяющих узлы;

C_o – число опорных связей.

Пример 8.1.

Определить степень кинематической неопределимости рам, показанных на рисунке 8.5.

Рис. 8.5,а: n_θ = 5, так как рама имеет пять жестких узлов (А, B, C, D, E); n_Δ = W = 2Y − C − C_o = 2 · 6 − 7 − 2 = 3 (узлы шарнирной схемы 1 – 6; стержни, соединяющие эти узлы: 12, 23, 45, 56, 14, 25, 36; опорные связи 44′, 66′); n_kin = n_θ + n_Δ = 5 + 3 = 8.

Рис. 8.5,б: n_θ = 2 (узлы А и В); n_Δ = W = 2 · 2 − 1 − 3 = 0 (узлы шарнирной схемы 1 и 2; стержень, соединяющий эти узлы 12, опорные связи 11′, 22′, 22′′); n_kin = 2 + 0 = 2.

Рис. 8.5,в: n_θ = 3 (узлы А, В, С); n_Δ = W = 2 · 7 − 6 − 6 = 2 (узлы шарнирной схемы 1 – 7; стержни, соединяющие эти узлы 12, 23, 34, 45, 56, 67; опорные связи 11′, 22′, 33′, 55′, 66′, 77′); n_kin = = 3 + 2 = 5.

Рис. 8.5
8.2. Основная система метода перемещений
Основная система метода перемещений (ОСМП) образуется наложением на узлы сооружения связей, препятствующим их угловым и линейным перемещениям (рис.8.6). Если число наложенных на узлы угловых и линейных связей совпадает со степенью кинематической неопределимости сооружения, то в основной системе метода перемещений все узлы будут неподвижными.

Рис.8.6

Получаемая в результате система, называется основной системой метода перемещений. Например, для расчета заданной системы, изображенной на рис.8.6, a по методу перемещений основная система будет иметь вид, представленный на рис.8.6, б. При этом n_kin = n_θ + n_Δ = 6 + 2 = 8.

Наложение связей повышает степень статической неопределимости сооружения, т.е. с позиций метода сил усложняет его расчет. Однако такой способ выбора основной системы позволяет представить любую, в частности плоскую стержневую систему, в виде набора стандартных стержней трех типов (рис. 8.7). На любое воздействие (силовое, температурное, кинематическое) каждый из этих произвольно ориентированных на плоскости стержней может быть рассчитан, например, методом сил.

Далее будет показано, что используя результаты расчета стержней, т.е. имея набор стандартных задач и используя основную систему метода перемещений, мы сможем определить угловые и линейные перемещения узлов сооружения от заданного воздействия (см. п.п. 8.3–8.6 настоящей лекции).

При выборе основной системы метода перемещений угловые связи накладываются на узлы сооружения и препятствуют только их поворотам. Такие связи называются «плавающими» заделками. Линейные связи, число которых определяется по формуле 8.2, на узлы накладываются так, чтобы шарнирная схема заданного сооружения была геометрически неизменяемой.

Пример 8.2. Для рам, показанных на рис. 8.5, выбрать основные системы метода перемещений.

Рис. 8.8
Рис. 8.5,а (n_θ = 5, n_Δ = 3). Угловые связи 1–5 накладываются на жесткие узлы A, B, C, D, E (рис. 8.8). Наложение линейных связей 6–8 на узлы может быть произведено различными способами. На рис. 8.8 показано два варианта размещения линейных связей 6–8. Предлагается выполнить кинематический анализ шарнирной схемы рамы, для каждого из вариантов основной системы метода перемещений и убедиться в правильности размещения линейных связей, т.е. в геометрической неизменяемости шарнирной схемы рамы.

Рис. 8.5,б (n_θ = 2, n_Δ = 0). Так как для этой рамы n_Δ = 0 (см. пример 8.1), при выборе основной системы метода перемещений накладываются только угловые связи 1 и 2, препятствующие поворотам узлов А и В (рис. 8.9). Шарнирная схема этой рамы геометрически неизменяема, т.е. не требует наложения дополнительных линейных связей на узлы.

Рис. 8.5,в (n_θ = 3, n_Δ = 2). Угловые связи 1 и 2 накладываются на жесткие узлы А, В, С.

На рис. 8.10 показаны два варианта наложений на узлы рамы линейных связей 4 и 5. С учетом симметрии рамы предпочтение следует отдать симметричному варианту размещения линейных связей. В двадцать первой лекции будет показано, что использование симметричных основных систем метода перемещений так же, как и метода сил, существенно упрощает расчет сооружений.

Рис. 8.10
Система канонических уравнений метода перемещений
Плоская стержневая система с известной топологией и геометрическими размерами испытывает произвольное силовое воздействие (рис. 8.11,а). Изгибную жесткость поперечного сечения стержней, расположенных между узлами сооружения, будем считать постоянной (EJ_k = const).

Поскольку в заданной системе имеют место и повороты, и линейные смещения узлов, то основной системе надо придать такие же повороты и смещения, при этом добиваясь равенства нулю реакций во всех введенных связях, сопротивляющихся этим поворотам и смещениям. Тогда можно утверждать, что заданная и основная система в нагруженном состоянии являются эквивалентными.

Рис. 8.11
Степень кинематической неопределимости сооружения равна n. Накладывая на его узлы n угловых и линейных связей, образуем основную систему метода перемещений (рис. 8.11,б). Неизвестные угловые и линейные перемещения узлов Z₁, Z₂,…, Z_i,…, Z_j,…, Z_n определим из условия эквивалентности напряженно-деформированных состояний заданного сооружения (рис. 8.11,а) и его основной системы метода перемещений (рис. 8.11,б), т.е. из условий равенства нулю реакций в наложенных связях от их смещения на величины Z₁, Z₂,…, Z_i,…, Z_j,…, Z_n и от действующей нагрузки. Другими словами, подбор перемещений угловых и линейных связей в основной системе метода перемещений мы осуществляем, отрицая реакции в наложенных связях, ибо в заданном сооружении этих связей нет.

R₁ = 0, R₂ = 0,…, R_i = 0,…, R_j = 0,…, R_n = 0. (8.3)

Используя принцип независимости действия сил, реакции соотношения (8.3) представим в виде суммы реакций от смещений каждой из наложенных связей на величину, совпадающую с величиной соответствующего перемещения узла в заданном сооружении, и от приложенной нагрузки:

………………………………………………………………... (8.4)

………………………………………………………………...

В соотношениях (8.4): и соответственно реакции в i-й наложенной связи в основной системе метода перемещений от заданной нагрузки и смещения j-й связи на величину, равную Z_j. В соответствии с принципом пропорциональности реакции в наложенных связях запишем так:

……………..

(8.5)

……………..

Из формул (8.5) следует смысл коэффициентов r_ii и r_ij. Это реакции в i-й наложенной связи, соответственно от смещения i-й и j-й наложенных связей на величину, равную единице, в основной системе метода перемещений.

Подставляя выражения (8.5) в соотношения (8.4), в общем виде получим систему канонических уравнений метода перемещений:

(8.6)

В системе уравнений (8.6) коэффициенты при неизвестных r_ii, расположенные на главной диагонали, называются главными, коэффициенты r_ij – побочными, свободные члены R_iF – грузовыми коэффициентами. При этом побочные коэффициенты r_ij и r_ji подчиняются теореме о взаимности реакций, т.е. r_ij = r_ji.

Решению системы уравнений (8.6) предшествует определение коэффициентов при неизвестных r_ii, r_ij и свободных членов R_iF.

Для определения этих коэффициентов системы канонических уравнений метода перемещений (8.6) необходимо предварительно построить эпюры моментов в основной системе от заданной системы внешних сил и от единичных перемещений Z_i = 1. Все коэффициенты, а также свободные члены уравнений разделяются на две группы: коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных дополнительных элементах; коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные усилия во введенных дополнительных элементах основной системы.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных элементах, определяются вырезанием узлов и составлением уравнений равновесия моментов SМ = 0, согласно методу сечений.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные усилия во введенных связях основной системы определяются разрезанием элементов рамы и составлением уравнения равновесия сил на отсеченной части Sy = 0. При этом направление оси y выбирается так, чтобы уравнение получилось наиболее простым по форме.

Следовательно, для того, чтобы построить эпюру моментов в основной системе от действия системы внешних сил и от Z_i = 1 (i = 1, 2,..., n), необходимо предварительно определить эпюру моментов в однопролетных статически неопределенных стержнях (входящих в состав основной системы, за исключением дополнительных элементов). Откуда следует, что в общем случае для реализации метода перемещений необходимо предварительно рассмотреть решение задачи об определении эпюр внутренних усилий в однопролетных статически неопределимых стержнях при кинематическом (линейном и угловом перемещении концевых сечений) и внешнем силовом и температурном нагружении.

Проверкой правильности расчета рамы методом перемещений служат равенство нулю суммы моментов, передающихся на каждый узел с примыкающих к нему стержней, а также иные условия равновесия рамы.

Заметим, что в методе сил эти условия выполняются в каждой единичной эпюре и поэтому не обеспечивают проверку решения канонических уравнений.
Стандартные задачи метода перемещений в расчетах на прочность
В п. 8.2 было отмечено, что основная система метода перемещений представляет собой совокупность стандартных стержней (см. рис. 8.7), которые на различного рода воздействия могут быть рассчитаны любым, известным читателю, методом, в частности, методом сил.

В первую очередь рассмотрим кинематическое воздействие на стандартные стержни – повороты угловых и смещения линейных связей. Рассмотрим решение одной из таких задач методом сил.

В стержне с постоянной изгибной жесткостью поперечного сечения (EJ = const) левая линейная связь получила вертикальное перемещение вверх на величину, равную Δ (рис. 8.12,а).

Используем основную систему метода сил, показанную на рис. 8.12,б. Усилие в лишней связи X₁ определим из условия:

δ₁₁X₁ + Δ₁_C = 0. (8.7)

(рис. 8.12,в);

(рис. 8.12,в).
Решив уравнение 8.7, получим:

где – погонная жесткость стержня.

Окончательную эпюру изгибающих моментов (рис. 8.12,г) получим, используя соотношение

М = M₁ X₁.

Если смещение правой и левой вертикальных связей происходит так, как показано на рис. 8.12,д, то вид эпюры изгибающих моментов от этих кинематических воздействий остается прежним (рис. 8.12,г).

Результаты расчета стандартных стержней на другие кинематические воздействия в окончательном виде приведены на рис. 8.13.

Вторая, более многочисленная, группа задач представлена расчетом стержней на различного рода силовые воздействия. Эпюры изгибающих моментов и реакции опорных связей стандартных стержней для некоторых видов нагрузок приведены в таблицах 8.1, 8.2, 8.3.

Таблица 8.1

u + u = 1

Таблица 8.2

Таблица 8.3

При неравномерном нагреве по высоте поперечного сечения балки и при равномерном нагреве по ее длине, изгибающие моменты и поперечные силы определяются согласно общеизвестных выражений:

;

.

где - температурный коэффициент линейного расширения; h -высота поперечного сечения; х - независимая переменная 0 £ x £ l; l - длина элемента.

Результаты расчетов эпюры моментов однопролетных статически неопределимых элементах, с различными граничными условиями их закрепления, от действия температурных нагружений, обобщены в таблице 8.4.
Таблица 8.4

Схема балки и

воздействия на нее

Эпюры изгибающих моментов

и реакции

Формулы

;

В заключении заметим, что применяя метод перемещений, следует твердо придерживается какого-либо определенного правила знаков. Принять, что углы поворота опорного сечения, а также реактивный момент, действующий на балку со стороны заделки, положительны, если в результате оси поворачиваются по часовой стрелке. Линейное смещение узла принято положительным, если оно совпадает по направлению с положительной реакцией, вызывающей растяжение опорного сечения стержня.

Более подробный перечень стандартных задач, используемых в расчетах стержневых систем методом перемещений, можно найти в учебниках и учебных пособиях по строительной механике и в справочнике проектировщика строительных конструкций. << предыдущая страница следующая страница >>