Рабочая учебная программа по дисциплине конспект лекций по дисциплине

Рис.1.41
2) к геометрически неизменяемой системе – диску D_I присоединяется диск D₂ (ломаный стержень STD) – рис. 1.41, б – с помощью цилиндрического шарнира в точке Т и одной (вертикальной) из двух линейных связей, эквивалентных имеющейся в проекте сооружения шарнирной неподвижной опоре G; вторая линейная связь опоры пока что не используется; соединение соответствует типовому приёму 2б, причём требование к связям выполняется: направление оси линейной связи не проходит через шарнир Т; результат операции – диск D_II = D_I + D₂ , образованный с помощью только необходимых связей и включающий в себя диск «земля», следовательно, полученная на этом шаге синтеза система – геометрически неизменяемая и не имеющая избыточных связей;

3) к геометрически неизменяемой системе – диску D_II присоединяется диск D₃ (стержень KL) – рис. 1.41, в – с помощью двух цилиндрических шарниров в точках K и L, суммарно эквивалентных четырём линейным связям, из которых одна – избыточная, так как типовые приёмы соединения двух дисков по способу 2 (см. табл. 3) требуют лишь трёх связей; в качестве избыточной может рассматриваться, например, горизонтальная линейная связь в эквивалентном представлении шарнира L, тогда шарнир K и вертикальная связь в точке L обеспечивают правильное прикрепление диска D₃ к диску D_II типовым приёмом 2б; результат – геометрически неизменяемая система (диск D_III) с одной избыточной связью; к этому же заключению можно прийти другим путём – рассматривая стержень KL в качестве линейной связи, соединяющей точки одного и того же диска, – в этом случае она является избыточной;

4) в геометрически неизменяемую систему (диск D_III) с одной избыточной связью вводятся оставшиеся неиспользованными предусмотренные исходной расчётной схемой сооружения две линейные связи – вертикальная и горизонтальная в опорах В и G соответственно (см. рис. 1.41, г); получается система, схема которой совпадает с заданной, с тремя избыточными связями;

5) проверяя избыточные связи (1 – вертикальную в точке В, 2 – горизонтальную в точке G и 3 – стержень KL) по критериям = ? и = ? с определением возможных перемещений в системе с одновременно удалёнными всеми избыточными связями в количестве n_изб.св. = – W = 3 (см. рис. 1.41, б), находим, что с использованием гипотезы отвердения = 0, = 0 и = 0, а с учётом деформаций 0, 0 и 0, следовательно, все избыточные связи – лишние;

6) вывод: заданная система геометрически неизменяемая, с простой структурой, с тремя лишними связями, т.е. статически неопределимая.

Приведённое выше пошаговое изображение расчётной схемы системы в процессе её синтеза (см. рис. 1.41) не является обязательным – оно может быть полезным на начальной стадии выработки навыков выполнения кинематического анализа (в дальнейшем заменяясь соответствующими мысленными представлениями), а также в затруднительных случаях исследования структуры многоэлементных систем.

Вместо подробного описания процедуры качественного анализа можно применять сокращённую запись; в частности, для рассмотренного примера:

1) «земля» + D₁ = D_I – по способу 2 (приём 2а – соединение двух дисков с помощью трёх связей 1-го типа в форме неподвижной защемляющей опоры) ГНС только с необходимыми связями;

2) D_I + D₂ = D_II – по способу 2 (приём 2б – соединение двух дисков с помощью шарнира S и линейной связи в точке G; ось связи не проходит через центр шарнира) ГНС только с необходимыми связями;

3) D_II + D₃ = D_III – соединение двух дисков с помощью двух цилиндрических шарниров (четырёх эквивалентных простых связей; одна связь – избыточная) ГНС с одной избыточной связью;

4) D_III + две линейные связи в точках В и G = геометрически неизменяемая система с тремя избыточными связями;

5) для группы из трёх избыточных связей (п. 3 и 4): = 0, = 0, = 0, 0, 0, 0 все три связи – лишние;

Для системы, представленной на рис. 1.42, количественный анализ дает

W === 0

(D = 3 – стержни АРС, СSВ и СК; П = 0; Н = 2 – кратный шарнир С; С = 2 – стержни АК и КВ; С_о = 3).

Рис.1.42
Следовательно, система может быть геометрически неизменяемой, и структурный анализ необходим.

В системе имеются три внешние связи (две шарнирные опоры), но ни у одного из исходных дисков нет трёх связей с «землей». Поэтому для того, чтобы система была геометрически неизменяемой, нужно, чтобы соединённые друг с другом её элементы образовывали бы единый диск. Для проверки этой возможности выполняем предварительное укрупнение структуры. Используя иное, чем в количественном анализе, представление о дисках и связях, синтез системы осуществляем следующим образом:

1) (D₁АРС) + точка К = D_I – по способу 1 (прикрепление точки к диску с помощью двух линейных связей – стержней АК и СК, направления осей которых не совпадают);

2) D_I + (D₂СSB) + (D₃КB) = D_II – по способу 3 (приём 3б – соединение трёх дисков с помощью трёх цилиндрических шарниров С, В и К, не лежащих на одной прямой);

3) D_II + «земля» = ГНС – по способу 2 (приём 2а – соединение двух дисков с помощью трёх линейных связей, оси которых не сходятся в одной точке и не параллельны);

4) вывод: рассмотренная система геометрически неизменяемая, с простой структурой, статически определимая (W = 0).

Возможны варианты: например, соединение стержней АРС, СК и АК в диск D₁ можно рассматривать по способу 3 (три диска и три шарнира А, С, К), а образование диска D_II – по способу 2 (D₁ и CSB с помощью шарнира С и связи КВ – приём 2б); перед соединением диска D_II с «землей» можно предварительно прикрепить к «земле» точку А по способу 1, а затем к двум дискам (D_II и «земля» + (^.)А) применить приём 2б (соединение цилиндрическим шарниром А и линейной связью в точке В.

Количественный анализ системы со схемой по рис. 1.43, а показывает, что система может быть геометрически неизменяемой (если к дискам отнести стержни КС и СР, а остальные стержни считать связями 1-го типа, то D = 2, П = 0, Н = 1, С = 0, С_о = 4, тогда W =– необходимое условие геометрической неизменяемости выполняется).

Рис.1.43
Структурный анализ начинается с поиска диска, имеющего три связи с «землей». Таких дисков в системе нет. Поэтому первым шагом синтеза не может быть соединение двух дисков, одним из которых является «земля». Предварительное укрупнение структуры системы невозможно – нет ни одной пары дисков, которые могли бы быть объединены типовыми способами. Следовательно, нужно оценить возможность соединения трёх дисков – таковыми оказываются «земля» и стержни КС и СG, связанные по способу 3 – тремя шарнирами, из которых один реальный (С), а два других – фиктивные (А и В). Шарниры А, В и С не лежат на одной прямой, следовательно, система имеет правильную структуру и является геометрически неизменяемой, а ввиду отсутствия избыточных связей (W = 0) – статически определимой.

На примере рассмотренной системы можно убедиться в необходимости внимательной проверки выполнения требований к расположению связей. Так, если изменить углы наклона внутренних стержней, то положение фиктивных шарниров (точек А и В) изменится, и они могут оказаться на одной прямой с шарниром С (см. рис. 1.43, б), а это – характерный признак мгновенно изменяемого соединения дисков, вследствие чего и система в целом должна быть квалифицирована как мгновенно изменяемая.

В расчётной схеме сооружения, показанного на рис. 1.44, дисками могут считаться стержни АС, СВ, GК, KL, LP и РS (D = 6), тогда H = 4 (простые шарниры в точках С, К, L и Р), С = 3 (внутренние линейные связи ЕК, CL и ТР), П = 0, С_о = 7 (две опорные связи в точке А, одна в точке В и по две в точках G и S). Характеристика W =– необходимое условие геометрической неизменяемости системы выполняется.

Рис.1.44
Но попытки осуществить синтез системы с помощью типовых способов оказываются безуспешными – это невозможно, так как все диски должны соединяться друг с другом и с диском «земля» одновременно, чтобы в результате обеспечить геометрическую неизменяемость (а система в действительности обладает этим качеством, но доказать это простейшими способами нельзя).
Системы со сложной структурой
Системы, для которых качественный (структурный) анализ расчётной схемы не может быть полностью выполнен с использованием только типовых способов (приёмов) геометрически неизменяемого соединения дисков, называются с и с т е м а м и с о с л о ж н о й с т р у к т у р о й.

К таким системам относится сооружение, изображённое на рис. 1.44.

Для выполнения качественного анализа систем со сложной структурой могут применяться:

1) непосредственное исследование кинематической природы связей (описание дано выше);

2) способ замены связей;

3) аналитический признак геометрической неизменяемости системы.

При реализации первого подхода, как правило, не требуется анализировать все связи системы – достаточно оценить некоторые из них (а при W = 0 – возможно, даже одну). Например, в системе, представленной на рис. 1.44, в силу того, что W = 0, все связи должны быть необходимыми – лишь в этом случае структура её будет правильной. Проверим кинематическое качество какой-либо связи, в частности, вертикальной линейной связи ЕК. Если это необходимая связь, то для неё должно быть выполнено условие 0 (см. табл. 2).

Рис.1.45
В соответствии с общей схемой выявления кинематической природы связи удаляем её и полученной системе, превратившейся в механизм с одной степенью свободы, задаём возможные перемещения, показанные схематически штриховыми линиями на рис. 1.45, а (при этом используется гипотеза отвердения). Искомая величина есть проекция на направление удалённой линейной связи ЕК взаимного (относительного) перемещения соединяемых ею точек Е и К. Задав отличное от нуля (числовое значение не играет никакой роли) малое перемещение какой-либо точки (например, С), определяем перемещения всех остальных характерных точек механизма (узлов, где соединяются диски). Для этого можно использовать:

а) мгновенные взаимные центры вращения дисков;

б) план мгновенных перемещений точек механизма (подобен плану мгновенных скоростей).

На рис. 1.45, б представлен план перемещений, на котором векторы и линии LС, PL, KL и РТ ортогональны одноимённым линиям на схеме механизма (рис. 1.45, а). Отрезок ЕК на плане – полное взаимное перемещение точек Е и К; его проекция на направление удалённой связи (в рассматриваемом случае – на вертикаль) и есть перемещение . Оно получилось отличным от нуля – признак того, что исследованная связь – необходимая. Её возвращение в систему устраняет возможность возникновения любых перемещений при отсутствии деформаций элементов (план перемещений вырождается в точку), следовательно, система – геометрически неизменяемая, а поскольку W = 0, то и статически определимая.

В двух других вышеуказанных вариантах качественного анализа систем со сложной структурой, основанных на способе замены связей и аналитическом признаке геометрической неизменяемости, используются, в отличие от остальных подходов, статические характеристики связей.

Сущность способа замены связей состоит в следующем. Если структура системы правильная, то любое конечное воздействие вызывает в ней, в случае устойчивого равновесия, единственное напряжённо-деформированное состояние с конечными значениями перемещений и силовых факторов, в том числе реакцию S некоторой связи, кинематическую природу которой требуется определить. Для системы со сложной структурой может оказаться трудоёмкой процедура составления и решения уравнений, с помощью которых находится S. Для упрощения осуществляется замена связей: исследуемая связь удаляется с приложением вместо неё реакции S, и в систему вводится новая (заменяющая) связь, причём таким образом, чтобы получилась система с простой структурой. Реакция заменяющей связи , согласно принципу суперпозиции, может быть представлена как сумма её составляющих – (от некоторого воздействия – нагрузки) и (от реакции S удалённой исследуемой связи):

=+. ( 7 )

Величина может быть записана в виде =, где – реакция заменяющей связи от усилия S = 1. Поскольку силовой фактор S обеспечивает равновесие системы с удалённой связью при действии нагрузки, то заменяющая связь в работу не включается, и усилие в ней равно нулю: = + = += 0, откуда S = –/. Очевидно, что для получения конечного значения усилия S нужно, чтобы знаменатель дроби не был нулевым, следовательно,

– ( 8 )

признак необходимой связи по способу замены связей.

Если для получения системы с простой структурой требуется произвести замену не одной, а нескольких (n) связей, то признак группы необходимых связей принимает вид

, ( 9 )

где – реакция i-й заменяющей связи от единичного усилия в удалённой k-й связи (от S_k = 1).

Для систем с W = 0 требования ( 8 ) и ( 9 ) являются необходимыми и достаточными условиями геометрической неизменяемости.

Рис.1.46
Например, в рассматриваемой системе со сложной структурой (см. рис. 1.44) удаляем одновременно три линейные связи, прикладывая вместо них реакции S₁ , S₂ и S₃ (рис. 1.46), а затем вводим в систему три заменяющие связи, обозначенные цифрами 1, 2 и 3 в прямоугольниках. Последовательно задавая S₁ = 1, S₂ = 1 и S₃ = 1, определяем вызываемые ими реакции заменяющих связей и формируем матрицу :

,

компоненты второго столбца которой вычислены при . Определитель этой матрицы Det () = –3/2 – это означает, что три исследованные связи – необходимые, что является гарантией геометрической неизменяемости системы. Заметим, что для неё было бы достаточно осуществить замену лишь одной связи. Читателю предлагается самостоятельно убе-диться в том, что при (неудачная – зигзагообразная геометрия нижней части системы) получается Det () = 0 – признак мгновенной изменяемости системы.

И наконец, рассмотрим аналитический признак геометрической неизменяемости. Он формулирует условие невырожденности системы разрешающих уравнений, формируемых для вычисления параметров напряжённо-деформированного состояния сооружения. Для линейно деформируемой системы (физические свойства материала которой описываются законом Гука, перемещения малы и расчётная схема не изменяется в процессе деформирования) разрешающие уравнения могут быть представлены в виде линейных алгебраических уравнений , где Y – вектор неизвестных силовых факторов и/или перемещений, А – матрица коэффициентов, зависящая от собственных (геометрических, жесткостных и др.) свойств сооружения, В – вектор параметров, отражающих влияние заданных воздействий. Единственное решение СЛАУ возможно лишь в случае, когда Det (A) – это и есть необходимое и достаточное аналитическое условие геометрической неизменяемости системы.
Выводы
Кинематический анализ должен предшествовать расчёту всегда, когда это практически возможно, – во всяком случае, для систем со сравнительно небольшим числом элементов. К сожалению, многоэлементные, особенно пространственные, системы могут иметь достаточно сложную структуру, трудно поддающуюся исследованию с помощью рассмотренных выше приёмов, требующих использования геометрических представлений, которые, ко всему прочему, плохо реализуются в компьютерных программах. В этих случаях может оказаться полезным использование аналогий с известными решениями, накопленный опыт и т.п. Если же кинематический анализ сложной системы оказывается неоправданно трудоемким, то он может не выполняться – при этом попытка автоматизированного компьютерного расчёта системы с не выявленной заблаговременно геометрической или мгновенной изменяемостью приведет к тому, что в процессе машинного счета будет обнаружена невозможность решения вырожденной системы уравнений или будут получены несоразмерно большие значения усилий (признак систем, близких к мгновенно изменяемым).

По мере накопления опыта кинематический анализ может выполняться не обязательно по вышеизложенной полной (двухэтапной) схеме, так как для систем с простой структурой во многих практических случаях оказывается достаточно только структурного анализа, чтобы сделать заключение о кинематической природе системы.

Теперь, когда понятны основное предназначение кинематического анализа (обеспечение функции «входного контроля» расчётной схемы системы) и методика его выполнения, отметим его прикладное значение:

– во-первых, выявленная в ходе структурного анализа последовательность образования системы (порядок соединения и добавления элементов и частей) позволяет для статически определимых систем определить рациональный порядок расчёта по следующему правилу: расчёт СОС выполняется в порядке, обратном последовательности её образования. Это значит, что определение реакций начинается со связей, наложенных на диски в последнюю очередь в процессе синтеза системы, и заканчивается реакциями связей, введённых на первом шаге образования системы. Иными словами, чем раньше появилась связь в ходе создания системы из начального набора несвязанных элементов-дисков, тем позднее в процессе расчёта определяется её реакция;

– во-вторых, с инженерной, практической точки зрения структурный анализ расчётной схемы сооружения является основой для назначения правильной последовательности укрупнительной сборки из отдельных конструктивных элементов и монтажа в проектном положении реальных строительных конструкций, в результате чего может быть обеспечена неизменяемость возводимого сооружения на каждом технологическом шаге.

Примеры кинематического анализа
Пример 1.1. Произвести кинематический анализ системы (рис.1.14).

Определяем степень свободы системы по формуле П.Л.Чебышева:

W = 3Д – 2Ш – С₀,

где Д – число дисков, Ш – число простых шарниров, С₀ – количество стержней.

Рис.1.14
Отбрасывая все шарниры и опорные стержни, находим, что система состоит из пяти дисков (Д=5). Отбрасывая опорные стержни, определяем число шарниров, приведенных к простым (Ш=6: по два в точках В и С, по одному – в точках А и Д). Число опорных стержней - С₀ =3.

Отсюда W = 3∙5 – 2∙6 – 3 = 0, то есть система может быть геометрически неизменяемой и статически неопределимой. Чтобы убедиться, что это так, выполним анализ структуры системы. Так как диски АВ, ВС и АС связаны тремя шарнирами А, В и С, не лежащими на одной прямой, то они образуют диск, к которому жестко присоединен диск ВД с помощью шарнира В и стержня СД, ось которого не проходит через центр шарнира. Эта неизменяемая фигура жестко присоединена к земле с помощью трех стержней, не пересекающихся в одной точке. Таким образом, система (рис.1.14) геометрически неизменяема и не является мгновенно изменяемой.

Пример 1.2. Выполнить кинематический анализ системы (рис.1.15).

Рис.1.15
Так как система является шарнирно-стержневой, то для определения ее степени свободы используем формулу (1.2):

W = 2У – С – С₀,

где У – число узлов фермы; С – число внутренних стержней; С₀ – число опорных стержней.

Здесь У=6, С=8, С₀=3, следовательно, W = 2∙6 – 8 – 3 = 1.

Таким образом, система имеет одну степень свободы, и не может использоваться как строительная конструкция.

Пример 1.3. Исследовать ферму (рис.1.16).

Рис.1.16
По формуле (1.2) определяем степень свободы фермы: W = 2∙7 – 11 – 3 = 0, следовательно, система может быть геометрически изменяемой и статически определимой.

Проанализируем систему. Она состоит из трех дисков – треугольники АВС, CFG и стержень DЕ, связанных между собой стержнями ВЕ, АD, ЕG, DF, которые можно заменить фиктивными шарнирами О₁, О₂ и шарниром С. Следовательно, можно сделать вывод: все стержни соединены между собой жестко и прикрепляются к земле так же жестко с помощью трех стержней, не пересекающихся в одной точке.

Для проверки системы на мгновенную изменяемость применим способ нулевой нагрузки – определим опорные реакции и усилия во всех стержнях при условии, что внешней нагрузки нет. Из условий равновесия всей системы (∑М_А = 0; ∑М_В = 0; ∑У =0) находим, что опорные реакции равны нулю. Вырезая узел Е и проектируя все силы на вертикаль, находим, что усилие в вертикальном стержне N_DЕ = 0. Затем, записывая уравнения проекций двух сил, сходящихся в узле D (третья сила - N_DЕ = 0), на направления нормалей к этим стержням, находим, что усилия в стержнях DА и DF также равны нулю. Наконец, рассматривая равновесие узлов A, F, B, G, находим, что усилия во всех стержнях системы при отсутствии нагрузки равны нулю, следовательно, система неизменяемая.

Пример 1.4. Выполнить кинематический анализ системы (рис.1.17,а).

Рис.1.17
По формуле (1.2) определяем степень свободы: W = 2∙9 – 11 – 7 = 0, то есть система обладает необходимым минимумом связей, чтобы быть геометрически неизменяемой. Для проверки того, является ли система действительно неизменяемой, используем метод замены стержней. Выберем заменяющую систему (рис.1.17,б). Здесь отброшен стержень ВD, а его действие заменено силами Х₁, и добавлен заменяющий стержень DG. Выбранная заменяющая система неизменяема: стержни АВ, ВС и земля жестко соединены тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой. А нижняя часть системы неизменяема, поскольку состоит из треугольника (например, GHI), к которому жестко прикреплены все остальные узлы с помощью диад, и все это прикреплено к земле тремя опорными стержнями.

Теперь определим усилие в заменяющем стержне от сил Х₁ = 1. Вырезая последовательно узлы E, I, G и рассматривая их равновесие, получим, что усилие в заменяющем стержне равно нулю, следовательно, исходная система - мгновенно изменяемая.

Статически определимые системы
Еcли чиcло ypавнений pавновеcия pавно чиcлy элементаpных cвязей cиcтемы С, включая опорные, то ycилия в этих cвязях можно однозначно опpеделить из этих ypавнений. Для этого необходимо, чтобы чиcло cвязей C было pавно в плоcкой cиcтеме 3D, а в пpоcтpанcтвенной - 6Б, так как общее чиcло cтепеней cвободы cиcтемы c жеcткими элементами и cвязями:

n = 3D - C (в плоcкой cиcтеме);

n = 6Б - C (в пpоcтpанcтвенной cиcтеме).

Опpеделенное таким обpазом чиcло cтепеней cвободы cиcтемы называетcя cтепенью или числом геометрической изменяемоcти cиcтемы. Реальные cиcтемы должны быть неизменяемыми, т.е. обладать нyлевой или отpицательной cтепенью изменяемоcти.

Cиcтемы c одной cтепенью изменяемоcти называютcя механизмами; c неcколькими cтепенями изменяемоcти - кинематичеcкими цепями. Cиcтемы c нyлевой cтепенью изменяемоcти называютcя cтатичеcки опpеделимыми.

Итак, в cтатичеcки опpеделимых cиcтемах n = 0. Заметим, что n = 0 для систем, находящихся в равновесном состоянии, является необходимым, а n = 0 и W = 0 необходимым и достаточным условием статической определимости и геометрической неизменяемости системы. Поcколькy ypавнения pавновеcия вcегда линейные, то для опpеделения внyтpенних cил в cтатичеcки опpеделимых cиcтемах можно пользоватьcя пpинципом незавиcимоcти дейcтвия cил. В cтатичеcки опpеделимых cиcтемах значения усилий можно однозначно определить методом сечений с применением уравнений равновесия статики.

Статичеcки опpеделимые cиcтемы имеют и cвои недоcтатки, главным из котоpых являетcя отcyтcтвие pезеpвиpования. В cлyчае pазpyшения одного из элементов заданной системы, она превращается в геометрически изменяемую. Данное обстоятельство снижает надежноcть и безопаcноcть статически определимых систем в эксплуатационных режимах. В этом отношении пpеимyщеcтво имеют cиcтемы c “лишними” cвязями, т.е. c отpицательной cтепенью изменяемоcти, полyчившие название cтатичеcки неопpеделимых cиcтем.

Расчет плоских ферм

Классификация ферм

Фермой называется стержневая система (рис.4.1), остающаяся геометрически неизменяемой после условной замены ее жестких узлов шарнирными.

Рис.4.1
Иногда используются пространственные фермы, расчет которых обычно сводится к расчету нескольких плоских ферм.

Расстояние между осями опор фермы называется ее пролетом. Стержни, расположенные по внешнему контуру, называются поясными и образуют пояса. Вертикальные стержни, соединяющие пояса, называются стойками, наклонные – раскосами. Стойки и раскосы образуют решетку фермы. Расстояние между соседними узлами пояса фермы называется панелью.

Классификацию ферм обычно проводят по пяти признакам:

1) характеру очертания внешнего контура; 2) типу решетки; 3) типу опирания фермы; 4) назначению; 5) уровню езды.

По характеру очертания различают фермы с параллельными поясами (рис.4.2, а), треугольные фермы (рис.4.2, б) и с ломанным, или полигональным расположением поясов (рис.4.2, в).

а)

б)

в)

Рис.4.2
В зависимости от типа решетки различают фермы различных типов. Наиболее распространенными являются раскосные фермы (рис.4.3), фермы с треугольной решеткой (рис.4.4), фермы с полураскосной решеткой (рис.4.5) и фермы с ромбической решеткой (рис.4.6). Раскосы, идущие вверх от опор к середине фермы, называют восходящими раскосами (рис.4.1), идущие наоборот - нисходящими раскосами (рис.4.3). Фермы, усиленные дополнительными стержнями (шпренгелями), называют шпренгельными фермами (рис.4.7).

Рис.4.3

Рис.4.4

Рис.4.5

Рис.4.6

Рис.4.7
Фермы, как правило, проектируют таким образом, чтобы основная нагрузка на них передавалась через узлы верхнего или нижнего пояса. Наличие шпренгелей позволяет увеличить количество узлов в этом поясе, что может потребоваться для облегчения конструкций, с помощью которых внешняя нагрузка передается на узлы фермы или, например, для уменьшения ширины плит перекрытий, опирающихся на стропильные фермы здания. (рис.4.8).

В зависимости от характера опорных закреплений различают балочные фермы (рис.4.9), консольные фермы (рис.4.10), консольно-балочные фермы (рис.4.11) и арочные фермы (рис.4.12, а,б,в). Кроме того, отдельно рассматриваются различные висячие системы (рис.4.13) и комбинированные системы (рис.4.14).

Рис.4.8

Рис.4.9

Рис.4.10

Рис.4.11
а)

б)

в)

Рис.4.12

Рис.4.13

Рис.4.14
В зависимости от назначения различают фермы стропильные, крановые, башенные, мостовые.

Мостовые фермы в зависимости от уровня езды делятся на фермы с ездой понизу, с ездой поверху и с ездой посередине.

Статическая работа ферм
Фермы часто используются для перекрытия пролетов, т.е. имеют такое же назначение, что и балки сплошного сечения.

Известно, что при изгибе балки нормальные напряжения в ее поперечных сечениях достигают максимальных значений в верхних и нижних точках сечения. Желание использовать материал балки наиболее экономичным образом заставляет сосредотачивать большую часть материала в наиболее напряженных зонах, что достигается применением балок двутаврового поперечного сечения (рис.4.15). При увеличении пролета и нагрузок высоту балки приходится увеличивать. Следовательно, количество материала в стенке, где напряжения малы, будет расти. Это приведет не только к перерасходу материала в малозагруженной зоне, но и значительно увеличит собственный вес конструкции. Поэтому для экономии материала и облегчения конструкции в вертикальной стенке устраивают вырезы (рис.4.16). С дальнейшим ростом пролета и нагрузок высота сечения конструкции еще увеличивается, и стенка двутавра постепенно переходит в систему стоек. Для того, чтобы полученная конструкция сохраняла геометрическую неизменяемость, т.е. не “сложилась” при действии горизонтальных нагрузок, к системе стоек добавляют систему раскосов, в результате чего и образуется решетка фермы (рис.4.17).

Рис.4.15 Рис.4.16 Рис.4.17
Таким образом, фермы могут быть использованы для перекрытия больших пролетов при действии высоких нагрузок, когда использование балок сплошного сечения оказывается невыгодным или невозможным.

Как и при изгибе балки на двух опорах под действием нагрузки, направленной вниз, стержни верхнего пояса балочной фермы будут сжатыми, а нижнего - растянутыми. В консольной ферме (рис.4.10) ситуация будет обратной.

Узлы фермы, как правило, конструктивно выполняются жесткими. Однако, как показал опыт расчетов, напряжения в стержнях ферм, определенные с учетом жесткости узлов, и напряжения, определенные по шарнирной схеме, обычно отличаются не более, чем на несколько процентов. Поскольку выполнять расчет во втором случае значительно легче, жесткостью узлов фермы пренебрегают и расчет ведут по шарнирной схеме. Иными словами, при расчете фермы все ее узлы считают идеальными шарнирами.

Рис.4.18
Если все нагрузки на ферму приложены исключительно к узлам, а стержни ферм являются прямыми, то в стержнях ферм действуют только продольные усилия, а изгибающие моменты и перерезывающие усилия отсутствуют. Действительно, вырежем мысленно любой стержень из фермы, заменив действие остальных стержней на него усилиями, передаваемыми через шарниры (рис.4.18). Поскольку других нагрузок на стержень нет, равнодействующие этих сил должны быть направлены по оси стержня. Если бы это было не так, стержень не мог бы находиться в равновесии, в чем легко убедиться, составив уравнение моментов относительно любого из шарниров. Очевидно, единственным усилием, которое в этом случае будет возникать в стержне, будет постоянное по его длине продольное усилие.
Геометрическая неизменяемость ферм
Для обеспечения геометрической неизменяемости необходимо, во-первых, чтобы связей, наложенных на перемещение узлов фермы было достаточно, во-вторых, они были правильно размещены. Следовательно, исследование геометрической неизменяемости фермы состоит из двух шагов: проверки достаточности числа связей и анализе правильности их размещения (структурном анализе фермы).

Как обычно, при анализе геометрической неизменяемости смещения, вызванные деформированием стержней в расчет не берутся. Иными словами, при анализе геометрической неизменяемости ферм, как и любых других стержневых систем, будем считать стержни абсолютно жесткими.

Каждый узел плоской фермы имеет две степени свободы, т.е. имеет возможность линейного смещения, например, в вертикальном и горизонтальном направлениях. Следовательно, минимальное количество связей, необходимых для закрепления узлов фермы от смещений, должно равняться удвоенному числу узлов. Часть из этих связей должна обеспечивать закрепление фермы относительно основания

Условие (4.1) одновременно является условием статической определимости фермы. Действительно, для каждого узла можно составить два уравнения равновесия- условия равенства нулю проекций на вертикальную и горизонтальную оси всех действующих на узел внешних сил и сил, действующих со стороны стержней и реакций опор. Неизвестными же являются продольные усилия в каждом стержне и реакции в опорах. Записав все эти уравнения, получим систему уравнений, которую в матричной форме можно записать в виде:

AX=B, (4.2)

где Х - вектор неизвестных усилий в стержнях и опорных связях, В - вектор проекций внешних нагрузок на узлы, А - матрица системы.

Для того, чтобы система (4.2) была замкнутой, необходимо чтобы число уравнений совпадало с числом неизвестных, т.е. выполнялось условие (4.1).

Если количество стержней в ферме будет больше, чем требуется согласно (4.1), то ферма будет статически неопределимой, если меньше - то геометрически изменяемой.

При этом, важно отметить, что условие (4.1) является необходимым, но не достаточным для обеспечения геометрической неизменяемости. Как уже упоминалось, кроме обеспечения необходимого числа связей, требуется их правильное размещение.

Рис.4.19
Систему, в которой невозможны взаимные смещения узлов, в предположении, что все стержни абсолютно жесткие, называют жестким диском. В шарнирном треугольнике (например, ABC на рис.4.19) взаимное смещение узлов будет невозможным, следовательно он является жестким диском. Присоединение к такому треугольнику еще одного узла двумя не лежащими на одной прямой связями приведет к образованию системы, в которой также взаимные смещения узлов будут невозможны. Если продолжить этот процесс, то полученная система также будет жестким диском. Примером жесткого диска является простейшая ферма, т.е. ферма, состоящая из шарнирных треугольников (рис.4.19). Взаимные смещения узлов в такой фермы невозможны. Остается только позаботиться о прикреплении полученной простейшей фермы к основанию.

Для того, чтобы обеспечить неподвижность простейшей фермы относительно основания, необходимы как минимум три опорных связи, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке.

Рассмотрим в качестве примера ферму, изображенную на рис.4.1. Очевидно, она относится к простейшим фермам. Равенство (4.1) выполняется: 25=2×14-3=25. Линии действия трех опорных связей (опорных реакций на рис.4.1) не параллельны и не пересекаются в одной точке, следовательно ферма геометрически неизменяема.

Теперь выполним перестановку опорных связей. Отбросим на левой опоре одну связь, сделав неподвижную опору катковой, но добавим еще одну катковую опору в центре пролета фермы (рис.4.20).

Рис.4.20
В результате, количество опорных связей не изменилось, а осталось равным трем, т.е. равенство (4.1) осталось справедливым. Однако линии действия опорных связей стали параллельными - направленными вертикально вверх. В результате система получила возможность смещения в горизонтальном направлении, т.е. стала геометрически изменяемой.

Если же в ферме, изображенной на рис.4.1, выполнить перестановку стержней, как показано на рис.4.21, равенство (4.1) останется неизменным, но система окажется геометрически изменяемой за счет неправильного распределения связей. Это очевидно, т.к. шарнирами C, D, E и F образуется шарнирный квадрат, который при приложении малейшей нагрузки обращается в ромб.

Рис.4.21
Если ферма образована из двух жестких дисков, то для того, чтобы исключить взаимные смещения узлов в полученной системе, необходимо, чтобы они соединялись между собой как минимум тремя связями, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке.

В ферме на рис.4.21 два жестких диска ABCD (он представляет собой простейшую ферму) и FEGH (ферма, образованная из простейшей добавлением одной “лишней” связи) соединяются между собой только двумя связями DF и CE, что и приводит к геометрической изменяемости фермы, в чем мы уже убедились.

Рассмотрим арочную ферму, изображенную на рис.4.12,в. Условие (4.1) выполняется: 18=11×2-4=18. Эта ферма также образована двумя жесткими дисками (простейшими фермами). Они соединяются между собой шарниром С, т.е., на первый взгляд, только двумя связями, т.к. шарнир препятствует взаимному смещению соединяемых им узлов в вертикальном и горизонтальном направлениях. Однако, поскольку опоры А и В неподвижны, взаимных горизонтальных смещений точек А и В быть не может. Значит, роль третьей связи играет основание. Поэтому рассматриваемая система геометрически неизменяема, а в обеих опорах возникнут горизонтальные распорные реакции.

Выполним перестановку связей в этой ферме. Сделаем одну из опор катковой, сняв таким образом ограничение на взаимные горизонтальные смещения точек А и В. Однако, добавим стержень, который возьмет на себя роль третьей связи, соединяющей простейшие фермы (рис.4.22). Равенство (4.1) при этом не нарушится: 19=11×2-3=19, система останется геометрически неизменяемой, а роль основания по восприятию горизонтального усилия перейдет введенному стержню, работающему в качестве затяжки.

Рис.4.22

Ферма образована двумя шарнирными треугольниками ABC и DEF, связанными между собой тремя связями- AF, BE, и DC, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке. Прикрепление образованного в результате жесткого диска к основанию выполнено при помощи одной неподвижной и одной катковой опоры, т.е. также при помощи трех связей, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке. Следовательно, ферма геометрически неизменяема.

В случаях, когда простым структурным анализом не удается доказать геометрическую неизменяемость фермы, приходится пользоваться более сложными методами. Одним из них является статический метод анализа геометрической неизменяемости ферм. Идея метода заключается в следующем. Для геометрически изменяемой фермы система уравнений (4.2) не должна иметь решений, следовательно матрица А должна быть особенной, т.е. ее определитель должен быть равен нулю. Как известно, если в однородной системе линейных алгебраических уравнений АХ=0 определитель матрицы А равен нулю, то система кроме тривиального решения Х=0 допускает и ненулевое решение. Поэтому, в стержнях статически определимой, но геометрически изменяемой фермы при нулевой нагрузке может возникнуть система самоуравновешенных сил.

Для того, чтобы доказать геометрическую неизменяемость фермы, необходимо доказать, что при отсутствии внешней нагрузки в ее стержнях не может возникнуть усилий. Если же оказывается, что при отсутствии нагрузки в стержнях фермы могут существовать ненулевые усилия, то это указывает на равенство определителя матрицы А нулю, а значит и на геометрическую изменяемость фермы.

При выполнении анализа подобного рода, как и при выполнении статического расчета фермы, оказываются полезными правила определения нулевых стержней. Нулевым стержнем называется стержень, в котором при рассматриваемой нагрузке усилие равно нулю. Приведем эти правила.

1. Если в незагруженном узле под углом соединяются два стержня, то оба стержня - нулевые (рис.4.24). В этом легко убедиться, составив уравнения проекций сил на оси, совпадающие с направлением стержней.

2. Если в незагруженном узле сходятся сходятся три стержня, причем два лежат на одной прямой, то третий стержень - нулевой (рис.4.25). В этом легко убедиться, составив уравнение проекций сил на ось, перпендикулярную двум стержням, лежащим на одной прямой.

3. Если к узлу, в котором сходятся два стержня, приложена сила, направление действия которой совпадает с одним из них, то второй стержень - нулевой (рис.4.26). В этом легко убедиться, составив уравнение проекций сил на ось, перпендикулярную линии действия внешней силы.

<< предыдущая страница следующая страница >>