Основные формулы и законы

Боровская теория водородоподобного атома

Момент импульса электрона

L_n = mv_nr_n =ћn,

где m - масса электрона; v_n - скорость электрона на n-й орбите; r_n- радиус n-й стационарной орбиты; ћ - постоянная Планка; n - главное квантовое число (n =1, 2, 3, ... ).

Радиус n-й стационарной орбиты

r_n = a₀n²,

где a₀ - первый боровский радиус.

Энергия электрона на n-й орбите

E_n =-E_i /n²,

где E_i - энергия ионизации атома водорода.

Потенциал ионизации

φ_i = E_i/e.

Потенциал возбуждения

φ_n = (E_n+1- E₁)/e.

Энергия, поглощаемая или излучаемая атомом водорода при переходе между уровнями с n₁ и n₂,

=E_i (1/n₁²-1/n₂²) =hcR (1/n₁²-1/n₂²),

где R - постоянная Ридберга; h - постоянная Планка.

Связь между и длиной волны излучения:

=hc/.

Волновые свойства частиц

Длина волны де Бройля

=h/p,

где р - импульс частицы.

Связь импульса частицы с кинетической энергией Т

p²=(2Е₀+ Т)Т/c²,

где E₀=m₀ c² - энергия покоя частицы.

При малых скоростях, когда v<² =2mТ.

Соотношение неопределенностей

p_xxћ, где x - неопределенность координаты; p_x - неопределенность соответствующей проекции импульса.

Электрон в одномерном прямоугольном потенциальном ящике

Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубокого потенциального ящика шириной l (0xl)

_n(x)=(2/l)^0.5 sin(nx/l), (n=1,2,3,...).

Вероятность обнаружения электрона в некотором интервале от х₁ до х₂

w= _n² dx,

где интегрирование ведется по соответствующему интервалу;

плотность вероятности обнаружения электрона в точке х

(х)= _n²;

среднее значение координаты х

<x>=x_n²dx.

Собственное значение энергии электрона в ящике

E_n=(ћn)²/[2ml ²].

Строение атома

Электронная конфигурация атома 1s² 2s² 2p⁶ 3s² ... , где числа - показатели степени, соответствуют заполнению электронами соответ-ствующих подоболочек.

Общее число состояний в n-й оболочке

Z(n)=2n².

Момент импульса одного электрона

,

где s =1/2 - спиновое квантовое число.

Свободные электроны в металле. Распределение Ферми-Дирака. Уровень Ферми. Работа выхода
Распределение свободных электронов в металле по энергиям при 0 К

dn() = (2m)^3/2 ^1/2d/2²ћ³,

где dn() - концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от до +d.

Максимальная энергия электронов в металле (энергия Ферми) при 0 К

_F=ћ²(3²n)^2/3 /2m,

где n - концентрация электронов в металле.

Средняя энергия электронов

_ср =3_F/5.

Вероятность нахождения электрона в состоянии с энергией при произвольных температурах Т (распределение Ферми-Дирака)

P = {exp[( -_F)/(kT)] +1}^-1.

Связь между глубиной U потенциальной ямы и работой выхода А электрона из металла

U=_max + A,

где _max - максимальная энергия электрона в яме.

Электропроводность полупроводников. Фотопроводимость.

P-n-переход

Удельная проводимость собственных полупроводников

=₀ exp(-E/2kT),

где E - ширина запрещенной зоны; ₀ - константа.

Условие возникновения тока в полупроводнике при облучении светом с частотой :

h  E.

Сила тока в p-n-переходе

I= I₀ [exp(eU/kT)-1],

где I₀ - предельное значение силы обратного тока; U - внешнее напряжение, приложенное к p-n-переходу.

Энергия связи ядер. Ядерные реакции

Энергия связи

E_св = c² m,

где дефект массы m = Zm_p + (A-Z)m_n - m_я; Z- число протонов в ядре; А - число нуклонов в ядре; m_p- масса протона; m_n - масса нейтрона; m_я - масса ядра.

Энергетический эффект ядерной реакции (в МэВ)

Q=931[],

где - сумма масс (в а.е.м.) исходных ядер; - сумма масс ядер, образовавшихся в результате реакции.
Радиоактивность
Закон радиоактивного распада

N= N₀ exp(-t),

где N - число ядер, не распавшихся к моменту времени t; N₀ - исходное число ядер; - постоянная радиоактивного распада.

Среднее время жизни радиоактивного ядра

Период полураспада

T_1/2 ==.
Примеры решения задач
Пример 1. Определить длину волны излучения, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй.

Дано:

n₁ =2;

n₂ = 3.

-?
Решение
Воспользуемся сериальной формулой для атома водорода

=,

где E_i - энергия ионизации; n₁- номер орбиты, на которую перешел электрон; n₂ - номер орбиты, с которой перешел электрон.

Энергия фотона связана с длиной волны излучения соотношением =. Сопоставляя две формулы для , находим выражение для длины волны: =hc/.

Подставим значения величин: E_i =13,6 эВ = 13,61,.610^-19 Дж, h = 6,6310^-34 Джс, c = 310⁸ м/с, n₁ =2, n₂ = 3 и проведем вычисления:

= 6,6310^-34 310⁸ /[13,61.610^-19 (1/4-1/9)] м = 6,5810^-7 м = 0,658 мкм.
Пример 2. Вычислить длину волны де Бройля для протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U= 10 В.

Дано:

U=10 В.

Решение

Длина волны де Бройля определяется по формуле =, где h - постоянная Планка, р - импульс частицы. После прохождения протоном разности потенциалов U его кинетическая энергия Т становится равной eU. Так как величина Т гораздо меньше энергии покоя протона (938 МэВ), то для импульса протона можно воспользоваться нерелятивистским соотношением р=mv. При этом Т = р²/2m. После преобразований находим:

р² = 2mТ, р = (2meU)^1/2, =h/ (2meU)^1/2.

Подставим значения величин: е =1,610^-19 Кл, h = 6,6310^-34 Джс, m = 1,67210^-27 кг и проведем вычисления:

=6,6310^-34 /(21,67210^-271,610^-19 10)^1/2 м =9,110^-12 м = 9,1 пм.
Пример 3. Кинетическая энергия валентного электрона в некотором атоме составляет величину порядка 5 эВ. Оценить минимальные размеры атома, используя соотношение неопределенностей.

Дано:

Т =5 эВ.

Решение

Воспользуемся соотношением неопределенностей для координаты и импульса, которое имеет вид: p_x x ћ, где x - неопределенность координаты х; p_x - неопределенность соответствующей проекции импульса, ћ - постоянная Планка. При оценке размеров атома можно считать, что неопределенность координаты валентного электрона сравнима с линейными размерами атома: x, а неопределенность импульса p_x сравнима с самим импульсом: p_x  р  (2mТ)^1/2, где Т = р²/2m - кинетическая энергия электрона. После преобразований находим:

(2mТ)^1/2 ћ,  ћ/(2mТ)^1/2.

Подставим значения Т=501,610^-19 Дж, ћ = 1,0510^-34 Джс, m = 9,1110^-31 кг и проведем вычисления:

1,0510^-34/(29,1110^-3151,610^-19)^1/2 м = 8,710^-11 м.
Пример 4. Электрон в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность обнаружения электрона в средней трети ящика?

Дано:

1/3  x/ 2/3.

w -?

Решение

Вероятность обнаружения электрона в некотором интервале от х₁ до х₂ равна w =² dx, где - волновая функция электрона, которая в случае бесконечно глубокого одномерного прямоугольного потенциального ящика может быть представлена в виде (х)=(2/)^0.5sin(x/).

В результате интегрирования находим:

w=(2/)sin(x/)²dx =

=(2/)sin y²dy(/)=(1/) [y-siny cosy].

Здесь проведена замена переменных x/ y. В нашем случае x₁=/3, x₂=2/3, и, следовательно, y₁=/3, y₂ = 2/3. В результате вычислений находим w = 0,609.
Пример 5. Записать электронную конфигурацию атома фосфора c вакансией в 2р-подоболочке.

Дано:

атом фосфора Р

с вакансией в 2р-

подоболочке.

Электронная

конфигурация?

Решение

Нейтральный атом фосфора Р имеет пятнадцать электронов, которые распределены по подоболочкам следующим образом: 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p³. При отсутствии одного из электронов в 2р-подоболочке конфигурация электронов приобретает вид: 1s² 2s² 2p⁵ 3s² 3p³.

Пример 6. Определить среднюю энергию _ср свободных электронов в металле при абсолютном нуле температур.

Дано:

Т= 0 К.

_ср - ?

Решение

Воспользуемся формулой для распределения свободных электронов в металле при 0 К: dn()=(2m)^3/2^1/2d/2²ћ³, где dn() - концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от до +d. Для определения средней энергии _ср нужно найти отношение dn()/dn(), где интегрирование по энергии в обоих интегралах нужно проводить в пределах от нуля до энергии Ферми _F. Значение верхнего интеграла равно (2m/ћ²)^3/2_F^5/2/[5²], а нижнего - (2m/ћ²)^3/2_F^3/2/[3²]. Отсюда находим, что _ср =3_F/5.

Пример 7. Найти энергию связи, приходящуюся на один нуклон в ядре трития ³H.

Дано:

ядро трития ₁H³.

E_св/А - ?

Решение

Для определения энергии связи, приходящейся на один нуклон, найдем вначале полную энергию связи ядра. Для этого воспользуемся соотношением E_св = c² m, где дефект массы m=Zm_p+(A-Z)m_n- -m_я; Z- число протонов в ядре; А - число нуклонов в ядре;

m_p- масса протона; m_n - масса нейтрона; m_я - масса ядра. Если вместо масс ядер использовать массы соответствующих атомов, то величину m можно представить в виде m = Z(m_p+m_е)+ (A-Z)m_n - m_а.

Энергия связи, приходящаяся на один нуклон, E_св/А= c²m/А. Если значения масс подставлять в атомных единицах массы, а величину c² выразить в единицах МэВ/а.е.м., то энергию связи, приходящуюся на один нуклон и выраженную в МэВ, получим с помощью соотношения

E_св/А= 931m/А=931[Z(m_p+m_е)+ (A-Z)m_n - m_а]/А.

Подставим значения величин и проведем вычисления: m_p=1,00728 а.е.м., m_e=0,00055 а.е.м., m_n=1,00867 а.е.м., m_Н=3,01605 а.е.м., Z=1, A=3, E_св/А=931[1,00728+0,00055+21,00867– 3,01605]/3 МэВ = 2,83 МэВ.

Пример 8. Период полураспада атомов некоторого радиоактивного вещества Т_1/2 =2,0 с. Определить вероятность Р того, что ядро не распадется на промежутке времени t, равном 10,0 с.

Дано:

Т_1/2 =2,0 с;

t=10,0 с.

Р - ?

Решение

Вероятность Р можно определить с помощью отношения Р = N/N₀, где N - число ядер, не распавшихся к моменту времени t; N₀ - исходное число ядер. Для нахождения отношения N/N₀ воспользуемся законом радиоактивного распада N= N₀ exp(-t), где - постоянная радиоактивного распада. Период полураспада связан с величиной соотношением T_1/2=0,693/. После преобразований находим:

Р = exp(-t)= exp(-0,693t/T_1/2).

Подставим значения величин и проведем вычисления:

Р = exp(-0,69310,0/2,.0) = exp(-3,465)=0,031.

<< предыдущая страница следующая страница >>