Название работы	Кол-во страниц	Размер
«Формулы сокращенного умножения»	1	82.11kb.
Формулы сокращенного умножения	1	47.57kb.
Действие умножения. Знак умножения	1	64.36kb.
Алгоритмы умножения в gf(2n) и gf(pn)	1	94.69kb.
Ознакомление с действием умножения. Знак умножения	1	20.84kb.
Процессор умножения	1	30.04kb.
С сокращениями Быстрое умножение без калькулятора	1	17.78kb.
Обобщение по теме «Решение задач. Табличные случаи умножения и деления»	1	85kb.
Программа внедрения сокращенного минимума вертикального эшелонирования...	3	704.99kb.
Использование стандартных функций ms excel для решения систем линейных...	1	55.95kb.
Закон тождества: А=а закон двойного отрицания Переместительный (коммутативный)	1	17.31kb.
Программа вступительных испытаний для поступающих на базе основного...	1	82.64kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

Формулы сокращенного умножения.

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a² - b² = (a - b)(a + b)

Примеры:

• 
  15² - 2² = (15 - 2)(15 + 2) = 13 x 17 = 221
  
• 
  9a² - 4b²с² = (3a - 2bc)(3a + 2bc)
  

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа плюс квадрат второго числа.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112².

• 
  Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
  

112 = 100 + 1

• 
  Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
  

112² = (100 + 12)²

• 
  Воспользуемся формулой квадрата суммы:
  

112² = (100 + 12)² = 100² + 2 x 100 x 12 + 12² = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

• 
  (8a + с)² = 64a² + 16ac + c²
  

Предостережение!

 (a + b)² не равно a² + b²

Квадрат разности

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a - b)² = (b - a)²
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a - b)² = a² - 2ab + b² = b² - 2ab + a² = (b - a)²

Куб суммы

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Запомнить эту "страшную" на вид формулу довольно просто.

• 
  Выучите, что в начале идёт a³.
  
• 
  Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
  
• 
  Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a⁰ = 1, b⁰ = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
  

(a + b)³ = a³b⁰ + 3a²b¹ + 3a¹b² + b³a⁰ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Предостережение!

 (a + b)³ не равно a³ + b³

Куб разности



Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков "+" и "-". Перед первым членом a³ стоит "+" (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять "-", затем опять "+" и т.д.

(a - b)³ = + a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Сумма кубов - это произведение двух скобок.

• 
  Первая скобка - сумма двух чисел.
  
• 
  Вторая скобка - неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:

  a²- ab + b²

  Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.
  

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

Примеры:

• 
  a² + 2a + 1 = (a + 1)²
  
• 
  (aс - 4b)(ac + 4b) = a²c² - 16b²