Решение
С
огласно принципу суперпозиции индукция магнитного поля равна векторной сумме: где – индукция поля, создаваемого током I1; – индукция поля, создаваемого током I2.
Если и направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой:
В = В1 + В2 . (1)
При этом слагаемые и должны быть взяты с соответствующими знаками.
В данной задаче во всех трех случаях модули векторов и одинаковы, так как точки выбраны на равных расстояниях от проводов (r1=r2=r/2), по которым текут равные токи. Вычислим эти индукции по формулам:
Проверим наименования:
Подставив данные, найдем модули и :
1-й случай: Векторы и направлены по одной прямой (см.рис.4.3,а), следовательно, индукция определяется по формуле (1). Приняв направление вверх положительным, вниз – отрицательным, запишем: В1 = – 80 мкТл, В2 = 80 мкТл. Подставив в формулу (1) эти значения, получим В = В1 + В2 = 0.
2-й случай: Векторы и направлены по одной прямой в одну сторону (см.рис.4.3,б). Поэтому можно записать В1 = В2 = – 80 мкТл. Подставив в формулу (1) значения В1 и В2, получим В=В1+В2=–160 мкТл.
3-й случай: Векторы индукции магнитных полей, создаваемых токами в точке, лежащей посередине между проводами (см.рис.4.3,в), взаимно перпендикулярны. Вектор индукции является диагональю квадрата, построенного на векторах и . По теореме Пифагора найдем
(2)
Подставив в (2) значения В1 и В2 и вычислив, получим
В = 113 мкТл .
Пример 3. Определить магнитную индукцию
В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии
r0 = 20 см от его середины (рис.4.4). Сила тока
I, текущего по проводу, равна 30 А, длина
l отрезка равна 60 см.
Р
Дано:
I=30 А;
l=60 см=0,6 м;
r0=20 см=0,2 м.
В = ?
ешение
Для определения магнитной индукции поля, создаваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:
(1)
Прежде чем интегрировать выражение (1), преобразуем его так, чтобы можно было интегрировать по углу . Выразим длину элемента d l проводника через d . Согласно рис.4.4, запишем Подставив это выражение d l в формулу (1), получим Но r – величина переменная, зависящая от и равная Подставив r в предыдущую формулу, найдем
(2)
Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком проводника, проинтегрируем выражение (2) в пределах от 1 до 2:
(3)
Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos1=–cos2 . С учетом этого формула (3) примет вид
(4)
Из рис.4.4 следует Подставив выражение cos в формулу (4), получим
(5)
Проверим наименования
Произведя вычисления по формуле (5), найдем В = 24.9 Тл.
Пример 4. По проводнику, согнутому в виде квадратной рамки со стороной длиной
а = 10 см, течет ток
I = 5 А. Определить магнитную индукцию
В поля в точке, равноудаленной от вершин квадрата на расстояние, равное длине его стороны.
Решение
Искомая магнитная индукция в точке А (рис.4.5) является векторной суммой индукций создаваемых в этой точке токами, текущими в каждом из четырех проводов, являющихся сторонами квадрата, т.е. .
Рис.4.5
Из соображений симметрии абсолютные значения всех четырех индукций одинаковы. На рис. 4.5 изображен только один из четырех векторов , соответствующий полю, создаваемому током в проводе DС. В соответствии с правилом буравчика вектор перпендикулярен плоскости треугольника АДС.
Результирующий вектор будет направлен вдоль оси ОО и равен сумме проекций всех векторов на направление этой оси, т.е. B=4B1cos. Из рис.4.5 следует, что и тогда
(1)
Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника, выражается формулой
(2)
где I – сила тока в проводнике; r – расстояние от проводника до точки поля, в которой надо определить магнитную индукцию; 1 и 2 – углы, образованные направлением тока в проводнике и радиус – векторами, проведенными от концов проводника к точке А.
В нашем случае , следовательно, и выражение (2) приобретает вид
Подставляем это выражение В1 в формулу (1):
(3)
Заметив, что и , так как 1 = 600 как угол равностороннего треугольника, равенство (3) перепишем в виде
B = 2
0I/(
a). (4)
Проверим наименования: Подставим значения величин , 0, I и a в выражение (4), получим
Пример 5. Бесконечно длинный прямой проводник, по которому идет ток
I = 5А, согнут под прямым углом (рис.4.6.). Определите индукции магнитного поля в точке
А, лежащей на биссектрисе прямого угла на расстоянии
a = 0,1 м от вершины и в точке
С (рис.4.7.), лежащей на расстоянии
d = 0,1 м от вершины прямого угла на продолжении одной из сторон.
Р
ешение
Согласно принципу суперпозиции индукции магнитного поля в точке
А - и в точке
С - равны векторной сумме индукций полей, создаваемых 1
й и 2
й частями проводников (см.рис.4.6.). Применяя правило буравчика, можно показать, что в точке
А каждая из частей проводников с токами создает индукции и , направленные перпендикулярно к плоскости чертежа за чертеж.
Для точки
С (см.рис.4.7.) правило буравчика не может быть применено к определению направления вектора , создаваемого пер-
вой частью проводника. Предполагаем, что он равен нулю ( = 0). В точке
С магнитное поле создается лишь второй частью проводника (). Направляем этот вектор перпендикулярно к плоскости чертежа к читателю.
Модуль вектора ВА = В’А + В’’А , или
, (1)
где для бесконечно длинного проводника 1 = 0, 2 = 1350, , , r0 = acos 450. После подстановки значений углов и других данных в формулу (1) получим ВА = 2,410-5 Тл.
Для точки С ВС = ВС’ + ВС’’, или
. (2)
Углы β1 и β2 между радиус– вектором и направлением тока в первой части проводника на рис.4.7 не показаны. Их значения равны 1800, β1’ = 900, β2’ = 0.
После подстановки значений углов и других данных в формулу (2) получим
Пример 6. По двум параллельным прямым проводникам длиной l = 2м каждый, находящимся в вакууме на расстоянии r = 10 см друг от друга, в противоположных направлениях текут токи I1 = 50A и I2 = 100A. Определить силу взаимодействия проводников между собой.
следующая страница >>
Основные формулы и законы - umotnas.ru o_O