Основные формулы и законы

4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Основные формулы и законы

Связь магнитной индукции В с напряженностью Н магнитного поля:

где – магнитная проницаемость изотропной среды; ₀ – магнитная постоянная. В вакууме =1, тогда магнитная индукция в вакууме

Закон Био–Савара–Лапласа:

где dB – магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника длиной d с током I; r – радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция; а – угол между радиусом-вектором и направлением тока в элементе проводника.

Магнитная индукция кругового тока:

где R – радиус кругового тока.

Магнитная индукция на оси кругового тока:

где h – расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля прямого тока

B =₀I/() ,

где r₀ – расстояние от оси проводника до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током (рис.4.1,а ):

Обозначения ясны из рисунка. Направление вектора магнитной индукции обозначено точкой – это значит, что направлен перпендикулярно плоскости чертежа.

При симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис.4.1,б), cos₂=cos₁=cos, тогда

.

Магнитная индукция поля соленоида:

B =₀nI ,

где n – отношение числа витков соленоида к его длине.

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле (закон Ампера):

или F = IBℓ sin=,

где ℓ – длина проводника, – угол между направлением тока в проводнике и вектором магнитной индукции . Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и прямого отрезка проводника. Если поле неоднородно и проводник не является прямым, то закон Ампера можно применять к каждому элементу проводника в отдельности:

Сила взаимодействия параллельных проводников с током:

F=₀I₁I₂/(2) ,

где d – расстояние между проводниками.

Магнитный момент плоского контура с током:

,

где – единичный вектор нормали (положительной) к плоскости контура; I – сила тока, протекающего по контуру; S – площадь контура.

Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле:

, или M = p_mB sin,

где – угол между векторами и .

Потенциальная энергия (механическая) контура с током в магнитном поле:

П_мех = , или П_мех = – p_mВ cos.

Отношение магнитного момента p_m к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по круговой орбите:

где Q – заряд частицы; m – масса частицы.

Сила Лоренца^¹:

или F = QBsin,

где  –скорость заряженной частицы; – угол между векторами  и В.

Магнитный поток:

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

Ф = BS cos, или Ф = B_nS,

где S – площадь контура; – угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

(интегрирование ведется по всей поверхности).

Потокосцепление (полный поток):

=NФ.

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг другу витков.

Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле:

A = IФ .

ЭДС индукции:

Разность потенциалов на концах проводника, движущегося со скоростью  в магнитном поле:

U = Bl sin,

где – длина проводника; – угол между векторами и .

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур:

, или

где R – сопротивление контура.

Индуктивность контура:

L =/I .

ЭДС самоиндукции:



Индуктивность соленоида:

L =₀n²V ,

где n – отношение числа витков соленоида к его длине; V – объем соленоида.

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:

а) (при замыкании цепи),

где  – ЭДС источника тока; t – время, прошедшее после замыкания цепи;

б) I = I₀ e^–^Rt^/^L (при размыкании цепи),

где I₀ – сила тока в цепи при t = 0; t – время, прошедшее с момента размыкания цепи.

Энергия магнитного поля:

Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии магнитного поля соленоида к его объему):

w = BH/2 , или w = B ²/(2₀) , или w =₀H ²/2 ,

где В – магнитная индукция; Н – напряженность магнитного поля.

Примеры решения задач
Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном направлении токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В в точке, отстоящей от одного проводника на расстоянии r₁=5 см и от другого – на расстоянии r₂ = 12 см.
Решение
Дано:

I=60 А;

d=10 см =0,1 м;

r₁=5 см=0,05 м;

r₂=12 см=0,12м.

В = ?

Для нахождения магнитной индукции В в указанной точке А (рис.4.2) определим направления векторов индукции и полей, создаваемых каждым проводником в отдельности, и сложим их геометрически, т.е.

Абсолютное значение индукции найдем по теореме косинусов:

(1)

Значения индукции В₁ и В₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от провода до точки, индукцию в которой мы вычисляем:

Подставив В₁ и В₂ в формулу (1) и вынеся за знак корня, получим

(2)

Проверяем наименования:

Вычислим cos. Заметим, что =DAC. Поэтому по теореме косинусов запишем d ²= r₁² + r₂² – 2r₁r₂cos, где d – расстояние между проводами. Отсюда

Подставив данные, вычислим значение косинуса:

Подставив в формулу (2) значения ₀, I, r₁, r₂ и cos, найдем

Пример 2. По двум длинным прямолинейным проводам, находящимся на расстоянии r = 5 см друг от друга в воздухе, текут токи силой I=10 А каждый. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого токами в точке, лежащей посередине между проводами, для случаев: 1) провода параллельны, токи текут в одном направлении (рис.4.3,а); 2) провода параллельны, токи текут в противоположных направлениях (рис.4.3,б); 3) провода взаимно перпендикулярны, направление токов указано на рис. 4.3,в.

следующая страница >>