Лекции I семестр Управление техническими системами

Динамические характеристики систем регулирования.
Свойства систем в переходных (динамических) режимах отображаются в реакциях систем на типовые входные воздействия.

Сходящиеся (устойчивые) процессы:

Апериодический,
Апериодический с перерегули-рованием,
Колебательный быстро затухающий,
Колебательный медленно затухающий.

Расходящиеся (неустойчивые) процессы:

Колебательный неустойчивый,
Параболический неустойчивый. u(t)-ступенчатое входное воздействие.

Типовые входные воздействия

Ступенчатое (скачкообразное) воздействие.

если U₀=1 [размерность вх. возд.], то u(t)=1(t) – единичное ступенчатое воздействие.

Линейно-нарастающее (с постоянной скоростью) воздействие.

где u(t) – линейная функция времени.

Параболическое (с постоянным ускорением) воздействие.

где

Синусоидальное (качка) воздействие.

Воздействия в виде степенных функций времени.

изображение по Лапласу степенных функций времени имеет вид

При исследовании точности работы, например, следящих систем копировально-фрезерных станков и станков с программным управлением в установившихся режимах широко используются управляющие воздействия в виде степенных функций времени.

В нормальных режимах работы управляющее воздействие в виде линейной функции времени u(t)=At1(t) имеет место, например, в следящих системах копировально-фрезерных станков при постоянном угле копирования, в следящих системах станков с программным управлением – при обработке изделия с постоянной скоростью по одной или двум координатам. Управляющее воздействие в виде квадратичной степенной функции может быть, например, при обработке изделия с постоянным ускорением по одной из координат.

В ряде случаев более сложные воздействия на систему можно представить в виде суммы S степенных функций времени

Дельта-функция (единичная импульсная функция, функция Дирака).

Рассмотрим функцию

Если эту функцию трактовать как силу, действующую за промежуток времени от 0 до h, а в остальное время равную нулю, то, очевидно, импульс этой силы будет равен единице. Изображение этой функции будет т.е.

В механике бывает удобно рассматривать силы, действующие очень короткий промежуток времени, как силы действующие мгновенно, но имеющие конечный импульс. Поэтому вводят функцию (t) как предел функции ₁(t,h) при

Следует иметь в виду, что (t) не есть функция в обычном понимании. Многие авторы-физики функцию (t) называют функцией Дирака.

Эту функцию называют единичной импульсной функцией или дельта-функцией. Естественно положить

L – изображение функции (t) определим как предел изображения функции ₁(t,h) при (здесь воспользовались правилом Лопиталя для нахождения предела). Итак,

Линейные непрерывного действия системы автоматического регулирования

В системах непрерывного действия между величинами на входе и выходе всех элементов существует непрерывная функциональная связь. При наличии в системах непрерывного действия только линейных элементов движение системы можно описывать обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, что значительно упрощает её теоретическое исследование.

Линейность характеристик системы регулирования позволяет получить высокую плавность работы, возможность применения разнообразных корректирующих устройств и обеспечивает высокую точность работы системы.

Основными недостатками непрерывных автоматических систем являются: неполное использование мощности исполнительных элементов, малое быстродействие при малых управляющих и возмущающих воздействиях.

Математическое описание САУ
Анализ и синтез САУ проводят по дифференциальным или интегродифференциальным уравнениям, определяющим поведение систем в переходном процессе при действии возмущающих сил или после прекращения их действий.

Уравнения называются уравнениями динамики, если они описывают изменения входящих в них переменных во времени. Из уравнений динамики обычно можно получить уравнения статики, если положить все входящие в них производные и воздействия равными нулю или некоторым постоянным величинам. Уравнения статики описывают поведение систем в установившемся режиме.

Обычно САУ разбивают на отдельные элементы и для каждого из них записывают дифференциальное уравнение, которое составляется на основании физических законов, определяющих протекание процесса в изучаемом элементе. Чаще всего исходными являются законы сохранения вещества и энергии, записанные применительно к рассматриваемому явлению.

Для большого диапазона изменения регулируемой величины уравнение статики обычно нелинейно. Для малых отклонений регулируемой величины можно пользоваться линеаризованными уравнениями, а для больших отклонений – нелинейными уравнениями.

Реальные элементы САУ почти всегда имеют нелинейные характеристики, обусловленные ограничением мощности, ограничением координат, зазорами, гистерезисом и т. д. Очевидно, что и связь между отдельными координатами элементов с нелинейными характеристиками будет описываться нелинейными дифференциальными уравнениями. Поэтому при составлении уравнений отдельных элементов систем приходится идеализировать их характеристики, т. е. не учитывать некоторые особенности характеристик исследуемых элементов, а также не учитывать отдельные связи, если они не оказывают существенного влияния на работу всей системы. При такой идеализации обычно удаётся упростить дифференциальные уравнения элементов и всей системы и заменить нелинейную связь между координатами линейной связью.

Дифференциальное уравнение общего вида для трёхкоординатной системы имеет вид

Если нелинейная функция F и все её производные однозначны и непрерывны, то при малых отклонениях координат она может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности произвольно выбранной точки (n+m+k+3)-мерного пространства (для САР эта точка соответствует установившемуся режиму):

где

так как выбранная точка (y₀, u₀, ₀) – установившийся режим работы, где и производные координат равны нулю, для приращений начальные условия будут нулевыми.

Ф – сумма членов ряда Тейлора высшего порядка малости и ими можно пренебречь (для устойчивых САУ отклонения переменных малы, ибо этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы).

Уравнение установившегося режима

(2)

есть уравнение статического равновесия системы.

Для того чтобы получить линеаризованное уравнение первого приближения для системы, необходимо из уравнения возмущённого состояния (1) вычесть уравнение установившегося состояния (2) и отбросить нелинейные члены Ф ряда Тейлора. Опустим знак , считая y, u и  отклонениями от их установившихся значений, и запишем линеаризованное дифференциальное уравнение системы для окрестности точки (y₀, u₀, ₀): , (3) где в левой части записаны выходная функция и её производные, в правой – входное и возмущающее воздействия и их производные.

Из этого дифференциального уравнение можно получить уравнения установившегося режима для приращений переменных (уравнение статики для приращений переменных).

Условия линеаризации дифференциального уравнения:

Функция F аналитическая, т. е. имеет непрерывные производные по всем аргументам;
Система автономна, т. е. время t не входит в функцию F явно;
Система стационарна (коэффициенты дифференциального уравнения не изменяются во времени);
Функция F не имеет разрывов непрерывности и неоднозначности по каким-либо из переменных.

Если нелинейная связь между координатами элемента задана в виде графической зависимости y = (u), показанная на рис.1, то при линеаризации нелинейная характеристика заменяется характеристикой в виде касательной, проведенной через рабочую точку А, соответствующую установившемуся значению координат до возмущения. Тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс определяет частную производную функцию (u_i) в рабочей точке, т. е.

Рис. 1.
В следящих системах используется большое число различных элементов и поэтому не представляется возможным вывести заранее уравнения для всех элементов, встречающихся на практике. Появление новых элементов в системах и учёт ряда дополнительных факторов, оказывающих влияние на систему, требует каждый раз заново решать задачу составления уравнений тех или иных элементов. Поэтому вывод исходных уравнений элементов всегда остаётся творческой задачей, которую необходимо решать при исследовании систем автоматического регулирования.

Пример. Составить дифференциальное уравнение генератора постоянного тока с независимым возбуждением.

При =const e_г=С_гФ. Электрические машины, как правило, работают в области насыщения: . Вблизи рабочей точки О может быть записано линейное уравнение в приращениях где

Запишем уравнения для контуров рассматриваемой системы:

Совместное решение системы уравнений дает аналитическую зависимость выходной координаты от входной:

Обозначим - постоянная времени обмотки возбуждения,

- передаточный коэффициент.

Опустим знак , подразумевая под переменными приращения.

Тогда - дифференциальное уравнение генератора.

Передаточная функция САУ
Передаточной функцией звена (системы) называется отношение изображений Лапласа выходной функции к входному воздействию при нулевых начальных условиях

Эталонная передаточная функция – отношение изображений Лапласа требуемой (безошибочной) выходной функции к заданному входному воздействию при нулевых начальных условиях слева. Эта функция устанавливает заданную форму безошибочного преобразования входного воздействия в выходную функцию.

Преобразуем по Лапласу при нулевых начальных условиях полученное выше дифференциальное уравнение трёхкоординатной системы управления (3), используя следующую теорему.

Теорема.

Пусть где Ф-класс преобразуемый по Лапласу функцией, тогда справедливо следующее преобразование

В результате преобразования при равных нулю возмущающем воздействии и его производных получим:

отсюда - передаточная функция по каналу управления,

если в уравнении (3) принять входное воздействие и его производные равными нулю, то получим - передаточная функция по каналу возмущения.

Знаменатель передаточной функции называют характеристическим полиномом, а, приравняв знаменатель к нулю, получим характеристическое уравнение. Корни знаменателя называются полюсами, а корни числителя – нулями.

Передаточная функция зависит от конструкции устройства и свойств материала конструкции, но не зависит от входных воздействий и выходной функции.

Правило определения передаточной функции замкнутой САУ

Пусть структурная схема исходной САУ преобразована в эквивалентную так, что отсутствуют перекрёстные связи и прямые параллельные цепи, и пусть известны передаточные функции динамических звеньев, тогда передаточная функция элементарного (без внутренних обратных связей) замкнутого контура и всей САУ имеет вид

где W_пк(p) – передаточная функция прямого канала САУ,

W_ос(p) – передаточная функция обратной связи,

причём знак “+” в знаменателе соответствует отрицательной, а знак “-” - положительной обратной связи.

Если входное воздействие инвертируется в цепи от точки входа до выхода, то передаточная функция записывается со знаком “-”.

В цепи главной отрицательной обратной связи системы автоматического регулирования устанавливаются, как правило, безынерционные, апериодические или интегродифференцирующие звенья. Идеальные (или реальные) интегрирующие и дифференцирующие звенья в главной обратной связи не устанавливают, так как наличие в цепи интегрирующего звена приводит к нулевому уровню выходной функции, а дифференцирующих – к прекращению прохождения сигнала по цепи обратной связи в установившемся режиме вследствие большого сопротивления:

Заметим, что не во всех случаях целесообразно предъявлять к системе такие жёсткие требования, как

Например, в технической литературе показано, что целесообразно применение апериодических обратных связей для улучшения динамических свойств автоматических систем управления судовыми механизмами и курсом судов. Один из способов определения эталонной передаточной функции – преобразование исходной структурной схемы к эквивалентной с единичной обратной связью (рис. 1).

На рис.1 обозначено:

u(t) – входное воздействие;

W_пк(p) – передаточная функция прямого канала САУ;

W_ос(p) – передаточная функция обратной связи;

y(t) – выходная функция;

Ф_этI(р) - эталонная передаточная функция контура с единичной обратной связью

W_эт(р) - эталонная передаточная функция последовательно с контуром включенного звена эквивалентной структурной схемы.

Рис.1. Преобразование типовой структурной схемы непрерывной САУ.

Если W_ос(р)=1, тогда W_эт(р)=1 и Ф_эт(р)=Ф_эт_I(p)W_эт(р)=1, т.е. y=u.

Если W_ос(р) - интегродифференцирующая цепь, апериодическое или безынерционное звено и допускается лишь изменение масштаба копирования, то т.е. y=k_ЭТu.

В интегрирующих системах и

Переходная функция САУ
Переходной функцией называется реакция системы (звена) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

Если u(t)=1(t), то

Импульсной переходной функцией (весовой функцией) называется реакция системы (звена) на воздействие вида  - функции (единичный мгновенный импульс) при нулевых начальных условиях.

Если u(t)= (t), тогда y(t)=k(t).

В преобразованиях Лапласа

Частотные характеристики
Частотными называются характеристики звеньев (систем) в форме графиков или таблиц, отображающие изменение амплитуды и фазы выходной функции (т.е. реакцию) звеньев или систем относительно синусоидального входного воздействия в установившемся режиме при изменении частоты от 0 до . Очевидно, что при экспериментальном определении частотных характеристик диапазон изменения частоты входного гармонического воздействия ограничен техническими возможностями аппаратуры. Для линейных систем справедлив ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ, который можно сформулировать следующим образом.

Реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.

Это позволяет ограничиться изучением систем только с одним входом.

В качестве входных воздействий были выбраны гармонические воздействия в виду нескольких обстоятельств

реально встречающиеся воздействия, как правило, могут быть представлены в виде суммы гармоник различных частот (разложение Фурье)
в установившихся режимах гармонические сигналы передаются линейными элементами и системами без искажений
обычно не возникает затруднений в экспериментальном исследовании поведения таких элементов и систем при гармонических воздействиях.

Пусть на вход стационарного линейного элемента или системы воздействует гармонический сигнал u=Umcost. (1)

Решим уравнение линейной стационарной системы с одним входом

(2)

здесь p – оператор дифференцирования, подставив в правую часть выражение (1). Общее решение имеет вид где y_с – общее решение однородного уравнения, а y_в – частное решение неоднородного уравнения.

Составляющая y_с(t) определяет свободные движения (переходный процесс). В устойчивых системах она со временем затухает: при Вынужденное движение описывается частным решением y_в(t). Чтобы найти его, отобразим входное воздействие (1) с помощью формулы Эйлера в пространство Фурье где , . (5)

Используя принцип суперпозиции, решение уравнения (2) можно также представить в виде суммы y=y₁+y₂, где y₁ – решение при u=u₁, а y₂ – решение при u=u₂. Найдем отдельно каждое из этих решений. Подставим выражение для u₁ в правую часть уравнения (2) вместо u. Так как

уравнение (2) примет вид

(3)

Частное решение последнего уравнения будем искать в виде

(4)

где A₁ не зависит от времени. При подстановке этого выражения в (3) получим

откуда

Очевидно, это выражение совпадает с частотной передаточной функцией рассматриваемой системы:

Подставив это выражение в формулу (4), получим

(6)

Теперь найдем частное решение y₂ исходного уравнения, подставив вместо u выражение для u₂ из (5). Так как

то (2) в этом случае

Частное решение этого уравнения будем искать в виде

Проделав те же выкладки, что и при нахождении частного решения y₁, получим

(7)

Сложив (6) и (7) для y₁ и y₂, найдем математическое описание вынужденного движения:

При гармоническом воздействии в устойчивых системах после окончания переходного процесса, выходная величина также изменяется по гармоническому закону, но с другими амплитудой и фазой. При этом отношение амплитуд выходной и входной величин равно модулю, а сдвиг фазы – аргументу частотной передаточной функции. И, следовательно, амплитудная частотная характеристика показывает изменение отношения амплитуд, а фазовая частотная характеристика- сдвиг фазы выходной величины относительно входной в зависимости от частоты входного гармонического воздействия.

Из приведённой физической интерпретации частотных характеристик ясно, как строить их экспериментальным путём.

Для экспериментального построения частотных характеристик имеется специальная аппаратура, в состав которой входят генератор гармонических колебаний с регулируемой частотой и устройства для измерения амплитуды и фазы колебаний.

Частотные характеристики используются для описания как устойчивых, так и неустойчивых систем. Но в последнем случае они не имеют такого ясного физического смысла.

Функцию W( j) можно представить в виде

где

Если то

На комплексной плоскости (рис.1) частотная передаточная функция W(j) определяет вектор , длина которого равна А(), а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) - (). Кривую, которую описывает конец этого вектора при изменении частоты от 0 до  (иногда от - до ), называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФХ).

Частотную передаточную функцию будем называть также амплитудно-фазовой частотной функцией. Её действительную часть U()= ReW(j) и мнимую часть V()=JmW(j) будем называть соответственно ВЕЩЕСТВЕННОЙ и МНИМОЙ ЧАСТОТНОЙ ФУНКЦИЕЙ. График вещественной частотной функции (кривая зависимости U=U() называют ВЕЩЕСТВЕННОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ, а график мнимой частотной функции – МНИМОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ.

Модуль А()=W(j) называют амплитудной частотной функцией, а её график – амплитудной частотной характеристикой.

Аргумент ()=argW(j) называют фазовой частотной функцией, её график – фазовой частотной характеристикой.

Рис. 1.
Кроме перечисленных частотных характеристик используют ещё логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) – логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ). Назовём функцию

L ()= 20 lg A()= 20 lgW( j)

логарифмической амплитудной частотной функцией. График зависимости логарифмической амплитудной частотной функции L() от логарифма частоты lg() называют логарифмической амплитудной частотной характеристикой ЛАЧХ.

При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе на отметке, соответствующей значению lg(), пишут само значение , а не значение lg,а по оси ординат – L().

ЛФЧХ называют график зависимости фазовой частотной функции () от логарифма частоты lg. При его построении по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, на отметке, соответствующей значению lg, пишут значение .

Единицей измерения L() является децибел, а единицей логарифма частоты в ЛЧХ – декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произвольную точку оси абсцисс, а не через точку =0. Частоте =0 соответствует бесконечно удалённая точка lg- при 0.

В инженерных расчётах используются, как правило, ЛЧХ.

Белл-логарифмическая единица десятикратного увеличения мощности. Так как А()- отношение напряжений, токов, перемещений, то увеличение этого отношения в 10 раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в 100 раз, что соответствует 2 Белам или 20 дБ.

Типовые динамические звенья САУ

Статические (позиционные) звенья:

Безынерционное звено.
Звено апериодическое I порядка.
Звено апериодическое I I порядка.
Колебательное звено.

II. Интегрирующие звенья:

Идеальное интегрирующее звено.
Реальное интегрирующее звено.

III. Дифференцирующие звенья:

Идеальное дифференцирующее звено.
Реальное дифференцирующее звено.
Форсирующее звено.

Трансцендентные звенья.

1. Звено запаздывания (чистого запаздывания, транспортного запаздывания).

Неустойчивые звенья.

Консервативное звено.
Звено неустойчивое апериодическое I порядка.

Статические (позиционные) звенья.

1. Безынерционное звено.

Уравнение связи выход-вход y = ku.
Переходная функция h(t)=k1(t)
Передаточная функция W(p)=k.

Амплитудно-фазовая характеристика

Логарифмические частотные характеристики

Пример. Усилитель постоянного тока с отрицательной обратной связью (инерционностью усилителя пренебречь).

Апериодическое (инерционное) звено I порядка.

2.1. Дифференциальное уравнение

2.2. Переходная функция

2.3. Передаточная функция

2.4. Амплитудно-фазовая частотная функция (частотная передаточная функция)

2.5. Логарифмические частотные характеристики

.

При 0 если то

при .

Обычно строят асимптотические ЛАЧХ: на стандартной сетке ( с масштабом 1 декада – увеличение частоты в 10 раз – 100 мм, 20 дБ – 40 мм) проводят вертикальную штриховую линию через точку с частотой, называемой сопрягающей, =1/Т. Левее сопрягающей частоты проводят прямую с уровнем 20lgk, а правее с наклоном – 20дБ/дек, соответствующую выражению 20lgk/T. Точная ЛАЧХ будет несколько отличаться от асимптотической, причём наибольшее отклонение будет  3 дБ.

Если проводятся точные расчёты, то строятся точные ЛАЧХ звена Lт(), если приближенные расчёты, то строятся асимптотические ЛАЧХ Lа().

В подавляющем большинстве случаев строятся Lа(), причём индекс “а” опускается.

Пример 1. Определить передаточную функцию RС-цепи операторным методом.

сделав замену T=RC,

найдем

Пример 2. Определить передаточную функцию генератора по его дифференциальному уравнению.

Возьмём преобразование Лапласа от обеих частей уравнения при нулевых начальных условиях

3. Инерционное звено 2-го порядка.

Такие звенья описываются дифференциальным уравнением вида

Преобразуем по Лапласу это уравнение

или

Определим передаточную функцию звена

где

T – постоянная времени, с;

 – коэффициент затухания (безразмерная величина);

k – передаточный коэффициент.

В зависимости от величины  классифицируются звенья второго порядка по видам:

>1 – апериодическое звено II-го порядка.

Характеристическое уравнение звена имеет корни действительные и отрицательные данное звено можно представить в виде двух последовательно соединенных звеньев с различными постоянными времени:

тогда при T₁>T₂ переходная функция звена имеет вид

	Корни характ. уравн.	Переходная функция	Амплитудно-фазовая характеристика
1	2	3	4
>1	действительные, разные, отрицательные

=1, оба корня одинаковые и отрицательные.

Можно разложить на два последовательно соединенных апериодических звена с одинаковыми постоянными времени.

1	2	3	4
=1		То же, что и в случае 1.	То же, что и в случае 1.

0<�<1, корни разные, комплексно-сопряженные, с отрицательной вещественной частью; КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО.

Переходная функция звена имеет вид

где при малых , - имеет физический смысл собственной частоты колебаний, при малых .

Период собственных колебаний при малых .

0<�<1

Корни разные, комплексно-сопряженные, с отрицательной вещественной частью

Чем меньше , тем выше колебательность процесса.

=0, такое звено имеет специальное название – КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО.

Решение дифференциального уравнения имеет вид

где

В случаях 1, 2, 3 энергия рассеивалась и колебания затухали, здесь же энергия не рассеивается, а перетекает из одной “емкости” (“емкость” - в универсальном смысле) в другую.

1	2	3	4
=0	Корни равные, мнимые, комплексно-сопряженные

-1<�<0,

1	2	3	4
-1<�<0	Корни комплексно-сопряженные с положительной вещественной частью

Это неустойчивое колебательное звено.

<-1

1	2	3	4
<-1	Корни вещественные, разные, положительные		Форма АФХ такая же, как и в случае 5

=-1; отличается от случая 6 лишь тем, что корни одинаковые.

Логарифмические частотные характеристики колебательного звена
Частотная передаточная функция колебательного звена имеет вид откуда при ; при .

Логарифмическая амплитудно-частотная функция имеет вид

низкочастотная асимптота имеет наклон 0 дБ/дек;
высокочастотная асимптота имеет наклон – 40дБ/дек.
обе асимптоты пересекаются на сопрягающей частоте.

При значениях 0,5  1 характеристика близка к ломаной. Если же 0,5, то получается заметный “горб”. Здесь необходимо вычислять превышение на частоте В упрощенных расчетах достаточно находить

Величина погрешности на сопрягающей частоте для различных :

при =1 L=6,

=0,5 L=0,

=0,1 L=-14.

Если  от 1 до 0.3, то можно не строить точную ЛАЧХ, а доверитmся асимптотической.

Примеры колебательных звеньев: двигатели постоянного тока, LRC-цепи, регуляторы Уатта и др.

II. Интегрирующие звенья.

Идеальное интегрирующее звено.

Дифференциальное уравнение переходная функция передаточная функция

Дифференциальное уравнение может быть получено и в такой форме: проинтегрируем это уравнение и получим:

Выведем передаточную функцию:

- размерность передаточного коэффициента; в частном случае, когда входное воздействие и выходная функция имеют одинаковую размерность, [k]=c^-1.

Импульсная переходная характеристика:

Пример. Двигатель постоянного тока, выходная координата которого - угол поворота ротора _. Постоянную времени двигателя принять малой и не учитывать.

после интегрирования получим в форме изображений Лапласа

III. Дифференцирующие звенья.

Идеальное дифференцирующее звено.

Дифференциальное уравнение определим передаточную функцию

Дифференциальное уравнение записывают и в такой форме:

Пример. Тахогенератор- генератор постоянного или переменного тока, предназначенный для измерения скорости вращения механизмов.

Стат. характ. ТГ Стат. характ. ТГ

пост. тока. перем. тока.
Тахогенератором пост. тока свойственны пульсации из-за коллектора.

Высокий уровень помех и у тахогенераторов переменного тока.

Если пренебречь инерционностью тахогенератора, то, считая входом угол поворота вала, выходом напряжение, тахогенератор можно считать идеальным дифференцирующим звеном.

Пусть измерительным устройством (датчиком скорости) в проектируемой системе является тахогенератор постоянного тока (рис.1.)

При использовании ТГ в качестве датчика угловой скорости в качестве преобразователя угла поворота

Рис. 1.

- конденсатор; если u_c – вход, i_c – выход, то конденсатор – идеальное дифференцирующее звено.

2. Форсирующее звено.

Дифференциальное уравнение переходная функция передаточная функция

ЛЧХ

=1/T

()

L ()

+20

+90

20lgk

, с^-1

, град

L, дБ

+45

Пример. ПД-регудятор.

IV. Трансцендентные звенья.

Звено чистого запаздывания.

(транспортного)

 - скорость перемещения ленты;

Q₁ – подается через шибер, может меняться (вход);

Q₂ – выход.

Время чистого запаздывания .
В природе нет ни одного процесса без чистого запаздывания.

преобразуем по Лапласу это выражение (теорема запаздывания), получим отсюда

Рассмотренные выше наиболее часто встречающиеся на практике основные типы звеньев характеризуются отсутствием корней с положительной вещественной частью характеристических уравнений числителя (т.е. нулей передаточных функций) и знаменателя (т.е. полюсов) называются МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫМИ. Из всех возможных звеньев с одинаковыми амплитудными характеристиками минимально-фазовые звенья обладают наименьшими по абсолютным значениям фазовыми характеристиками; второе их важное свойство – однозначное соответствие амплитудной и фазовой частотных характеристик (т.е. по амплитудной характеристике можно определить фазовую и наоборот (при k=1) для приведенных амплитудных характеристик).

- неминимально-фазовое звено.

В примерах рассматривались звенья, в которых переносчиком информации является постоянный ток. Иногда САУ строятся из звеньев с модулированным сигналом (на несущей переменного тока).

Передаточные функции и частотные характеристики систем различной структуры

Последовательное соединение звеньев.

Пусть

тогда а

При последовательном соединении звеньев передаточная функция системы равна произведению передаточных функций звеньев, входящих в систему.

Переходная характеристика системы не может быть найдена из переходных характеристик звеньев она определяется специальными методами.

Так как известны передаточные функции звеньев, то известны частотные функции звеньев Wi( j), тогда

Пример 1. Построение АФХ системы, состоящей из 2-х последовательно соединённых звеньев

A₁= A₁₁A₂₁; ₁= ₁₁+₂₁; вычисляем A₂, ₂; A₃, ₃ и т.д. строим АФХ системы.

Пример 2. Построить логарифмические характеристики системы, если заданы ЛЧХ двух последовательно соединенных звеньев.

При последовательном соединении звеньев ЛАЧХ системы получается суммированием ЛАЧХ звеньев.

Сначала проводят горизонтальную линию с ординатой 20lgk, где Затем отмечают сопрягающие частоты, в этих точках происходит излом результирующей ЛАЧХ.

Допущение: используются звенья направленного действия, т.е. отсутствует обратное действие нагруженного выхода на вход.

<< предыдущая страница