М. В. Фаронов, А. А. Пыркин

УДК 681.51

М. В. ФАРОНОВ, А. А. ПЫРКИН^¹

(Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики)
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ С НЕТОЧНО ЗАДАННОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ СТЕПЕНЬЮ В УСЛОВИЯХ ПОЛНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
В работе рассматривается задача стабилизации по выходу нестационарных параметрически неопределенных объектов с неточно заданной относительной степенью в условиях действия неизвестного возмущения, запаздывания и неучтенной динамики. Вводится модификация полученного в более ранних публикациях алгоритма управления, проводится анализ устойчивости замкнутой системы и обсуждаются условия устойчивости систем управления данного класса.
Введение

В настоящее время задачи адаптивного управления по выходу являются актуальными и находят применение на практике в случаях, когда параметры или переменные состояния объекта управления трудно или невозможно измерить, на объект действует неизвестное возмущение, или параметры подвергаются изменениям в процессе работы.

Данная статья посвящена разработке адаптивного алгоритма управления объектами с линейной частью и нелинейным блоком в обратной связи в условиях полной параметрической неопределенности и наличия переменных параметров в условиях действия неизвестного запаздывания по состоянию, ограниченного по амплитуде возмущения и паразитной неучтенной динамики.

Отметим, что задачи анализа систем с неучтенной динамикой, возмущением и запаздыванием не являются новыми, и им посвящено достаточно большое число публикаций. Так, в [3] представлены основные результаты, полученные при исследованиях сингулярно возмущенных систем, начиная с 1982 года. Статьи [8], [9] посвящены компенсации смещенного гармонического возмущения, действующего на неустойчивый объект управления с запаздыванием. Проблемы устойчивости нелинейных систем с запаздыванием рассматривались в работах [5], [6], [7].

Целью данной работы является анализ устойчивости приведенного в [1], [2] алгоритма управления и его модификация для случая, когда присутствуют переменные параметры, и известна только максимальная относительная степень, то есть поиск аналитических условий, выполнение которых гарантирует устойчивость системе управления с модифицированным «последовательным компенсатором».
Постановка задачи

Рассмотрим нелинейный объект управления вида

(1)

(2)

со скалярным входом и скалярным выходом, где – вектор переменных состояния системы (1); – вектор переменных состояния системы (2); – измеряемая выходная переменная объекта; функция – не измеряется; – сигнал управления; , , , , , , и – матрицы и векторы соответствующей размерности с неизвестными коэффициентами; как и в [4], будем полагать, что ; уравнение (2) представляет асимптотически устойчивую динамику, которая не учитывается при синтезе закона управления; число – определяет быстродействие системы (2); – ограниченное по амплитуде возмущающее воздействие; – вектор ограниченных переменных параметров; – гладкая нелинейная функция, удовлетворяющая условиям секторных ограничений вида

, (3)

где числа и неизвестны.

Требуется обеспечить сходимость выходной переменной системы (1), (2) в заданную окрестность положения равновесия за некоторое конечное время

, . (4)

Основной результат

Систему (1) можно записать следующим образом:

(5)

где – компоненты вектора переменных параметров .

Перепишем систему (5), (2) в форме вход-выход

, (6)

, (7)

где – оператор дифференцирования; выходная переменная измеряется; , , , , – полиномы с неизвестными параметрами; ; известна максимальная относительная степень передаточной функции , равная ; полином гурвицев и коэффициент ; – неизвестное запаздывание, полиномы определяются как .

Замечание 1. Измеряемой является только выходная переменная , а её производные не измеряются, что усложняет построение регулятора.

В соответствии с [2] выберем закон управления следующим образом:

, (8)

(9)

где число и полином степени выбираются так, чтобы передаточная функция была строго вещественно положительной, положительный параметр служит для компенсации нелинейности , число , а коэффициенты рассчитываются из требований асимптотической устойчивости системы (9) при нулевом входе .

Замечание 2. Будем сначала решать задачу для случая известной относительной степени объекта управления, а затем обобщим полученный результат.

Проведем ряд преобразований. Подставляя (8) в (7), а затем в уравнение (6), и представив модель в форме вход-состояние-выход, получаем:

, (10)

, (11)

где и , – вектор переменных состояния модели (12); , , , и – матрицы перехода от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход, причем в силу известной леммы Якубовича-Калмана (см., например, [4]) можно указать симметрическую положительно определенную матрицу , удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям:

, , (12)

где – некоторая положительно определенная матрица.

Перепишем (9) и (2) в векторно-матричной форме:

, , (13)

, , (14)

где и – векторы переменных состояния моделей (14) и (15) соответственно; матрица – гурвицева в силу расчета коэффициентов модели (9), , ; , и – матрицы перехода от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход, причем, следуя [4], будем допускать, что .

Введем в рассмотрение векторы отклонений

, (15)

. (16)

Дифференцируя уравнения (15) и (16), получаем

, (17)

, (18)

, (19)

, (20)

где было учтено, что и .

Положительно определенные матрицы и удовлетворяют уравнениям Ляпунова:

, (21)

, (22)

где и – положительно определенные матрицы.

Условия работоспособности закона управления (8), (9) для стабилизации системы (10), (11), (17) – (20) приведены в следующей теореме.

Теорема. Пусть для стабилизации системы (5), (2) используется закон управления (8), (9) с описанными выше допущениями. Пусть положительные числа , , и , удовлетворяют условиям:

, (23)

, (24)

(25)

, (26)

где .

Тогда при отсутствии возмущения () система (5), (2), (8), (9) экспоненциально устойчива в смысле нормы:

. (27)

При наличии возмущения система L_∞-устойчива, т.е. существуют числа такие, что:

(28)

В обоих случаях выполняется целевое неравенство (4).

Доказательство. В силу ограниченности объема доклада приведем лишь основную схему доказательства. Рассмотрим функционал Ляпунова-Крассовского следующего вида:

. (29)

Дифференцируя (29) в силу уравнений (10) – (22) и принимая во внимание неравенства для удвоенных произведений вида , получаем:

. (30)

Если условия теоремы (23) – (26) выполнены, то из (30) следует следующее неравенство:

. (31)

Из (31) нетрудно показать сходимость переменных , и в некоторую область, которая зависит от амплитуды возмущающего воздействия , а также от коэффициента и параметра . Очевидно, что чем меньше и больше , тем меньше область, в которую попадут траектории , и .

Переходя к неравенству для собственных чисел, из (31) и (29) получим:

, (32)

где , , а – максимальное и минимальное собственное число соответствующей матрицы. Из выражения (32) следует экспоненциальная устойчивость системы при и, после преобразований, выражение (28) при наличии возмущения, что и требовалось доказать.

Случай неизвестной относительной степени

Представленный выше результат был получен для известной относительной степени. Однако, если известна только максимальная относительная степень , то закон управления вида (8), (9) не гарантирует устойчивость системы. В этом случае переформулируем закон управления (8), введя в него дополнительный множитель:

, (33)

где и . Будем строить регулятор для максимальной заданной относительной степени.

Тогда при получаем:

, (34)

, (35)

где , и уравнение (35) описывает неучтенную динамику. Легко видеть, что система (34), (35) аналогична (6), (7). Таким образом, принцип состоит в том, что часть дополнительного множителя относится к системе, а часть – к неучтенной динамике. При этом относительная степень системы сводится к максимальной.

Адаптивный алгоритм настройки параметров

Заметим, что условия теоремы (23) – (26) не являются противоречивыми. При внимательном рассмотрении видно, что для их достижения необходимо при достаточно малом увеличивать параметры и , причем . Однако с учётом наличия дополнительного варьируемого параметра возникают дополнительные условия: . С учётом сказанного, можно предложить следующий алгоритм настройки. Параметр выбирается, исходя из алгоритма:

, (36)

где функция выбирается следующим образом:

(37)

Параметр настраивается следующим образом:

, (38)

Параметр вычисляется на основе алгоритма:

, . (39)

Таким образом, коэффициент настраивается по линейному закону (36), (37) до тех пор, пока переменная не попадет в некоторую малую область, заданную разработчиком системы, а параметры и настраиваются по квадратичному закону (38) и степенному закону более высокой степени (39) соответственно. В случае задачи слежения за ограниченным по амплитуде задающим воздействием функция в алгоритме (37) заменяется на ошибку слежения .

Пример работы алгоритма управления

Рассмотрим следующую систему:

(40)

, . (41)

Известно, что максимальная относительная степень системы . Был построен регулятор вида (34), (9) для максимальной относительной степени.

Рисунок 1 – Переходные процессы в системе управления (40), (41), (33), (9) для переменной и адаптивная настройка параметров регулятора

Таким образом, видно, что представленный закон управления обеспечивает сходимость выходной переменной в заданную окрестность =0,5.

Заключение

Рассмотрена задача стабилизации нелинейной системы (1), (2) в условиях полной параметрической неопределенности, наличия переменных параметров, неизвестного запаздывания по состоянию, возмущения и неучтенной динамики в случае использовании закона управления (8), (9). Показано, что для такого типа объектов опубликованный в [2] алгоритм управления при выполнении условий (23) – (26) обеспечивает сходимость выходной переменной или ошибки слежения в заданную окрестность положения равновесия. В случае, если известна только максимальная относительная степень, необходимо переформулировать закон управления (8) в форме (33).

ЛИТЕРАТУРА

Бобцов А.А. Алгоритм управления по выходной переменной для линейного объекта с неизвестными параметрами и динамической размерностью // А.А. Бобцов, А.А. Пыркин. – Научно-технический вестник СПбГУИТМО. – 2011. – № 4. – C. 160 – 161.
Бобцов А.А. Управление по выходу нелинейными системами с запаздыванием в условиях неучтенной динамики // А.А. Бобцов, М.В. Фаронов. – Известия РАН. Теория и системы управления. – 2011. – № 3. – С. 79–87.
Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах управления // М.Г. Дмитриев, Г.А. Курина. – АиТ. 2006. – № 1. – С. 3–51.
Мирошник И.В. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами // И.В. Мирошник, В.О. Никифоров, А.Л. Фрадков. – СПб.: Наука, 2000.
Ge S.S. Adaptive neural network control of nonlinear systems with unknown time delays // S.S. Ge, F. Hong, T. H. Lee. – IEEE Trans. Automat. Contr. – 2003. – vol.48, № 11 – pp.2004 – 2010.
Germani A. On the existence of the linearizing state-feedback for nonlinear delay systems // A. Germani, C. Manes. – Conf. Decision and Control. – 2001. – pp.4628-4629.
Hua C. Robust stabilization of uncertain dynamic time delay systems with unknown bounds of uncertainties. // C. Hua, C. Long, X. Guan. – Proc. Amer. Control Conf. – 2002. – pp.3365-3370.
Pyrkin А. Rejection of sinusoidal disturbance of unknown frequency for linear system with input delay // А. Pyrkin [et al.]. – Proc. Amer. Control Conf. – 2010.
Pyrkin А. Output control algorithm for unstable plant with input delay and cancellation of unknown biased harmonic disturbance // А. Pyrkin [et al.]. – Proc. 9th IFAC Workshop on Time Delay System. – 2010.

1 Научный руководитель – А. А. Бобцов (д.т.н., профессор, СПбНИУИТМО)