Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика

Экспериментальная установка и методика измерений
Метод определения коэффициента вязкости в данной работе основан на использовании формулы Пуазейля (18.8) для объёмного расхода при ламинарном протекании жидкости через трубу. Из нее и (18.7) выразим :

, (18.10)

где – разность давлений на концах капилляра; – радиус капилляра; – длина капилляра; – расход жидкости объемом за время .

Установка (рис. 18.3) состоит из герметичного сосуда 1, разделенного на две равные половины пробкой 2. В нижней половине сосуда расположен измерительный капилляр 3, конец которого выходит через пробку в верхнюю часть. В верхней половине сосуда находится более толстая (по сравнению с капилляром) трубка 4 (воздуховод), также соединяющая через пробку нижнюю и верхнюю части сосуда. Исследуемая жидкость 5 в процессе измерения перетекает через капилляр 3 из верхней части сосуда в нижнюю. Воздух при этом через воздуховод переходит из нижней части в верхнюю. Уровни жидкости в верхней и нижней половинах сосуда измеряются по шкале 6, имеющей нуль в средней части.

Обратное перемещение жидкости (для проведения повторного измерения) осуществляется поворотом сосуда на 180 на горизонтальной оси 7, вращающейся во втулке 8. Для предотвращения произвольного переворачивания сосуда ось имеет прямоугольное основание 9, которое перемещением оси вдоль втулки вводится в прямоугольный паз втулки.

Разность давлений на концах капилляра 3 создается за счет разности между уровнями жидкости в верхней и нижней половинах сосуда (рис.18.4). Это – гидростатическое давление, оно равно:

. (18.11)

Высота определяется суммой высот столбов в верхней и нижней частях сосуда. Так как установка выполнена симметрично относительно центра, то , и

. (18.12)

Таким образом, из (18.12) видно, что разность давлений на концах капилляра определяется уровнем жидкости и будет меняться. В то же время формула Пуазейля требует постоянного давления. Поэтому необходимо брать возможно меньший объем вытекающей жидкости и для расчетов брать среднее значение между начальным и конечным уровнями в каждом опыте. Например, для верхнего уровня ; и

. (18.13)

Чем меньший объем взят для вычисления результата, тем точнее будет формула Пуазейля. Однако при этом возникает погрешность измерения , т.е. разности начального и конечного уровней при истечении объёма :

. (18.14)

Оптимальным для данной установки будет разность уровней .

Если – внутренний радиус сосуда (см.рис.18.4), то

, (18.15)

так как объем вытекающей жидкости равен произведению изменения уровня жидкости в сосуде на площадь поперечного сечения сосуда .

Таким образом, расчетная формула приобретет вид:

;

(18.16)

В начальную часть формулы (18.16) входят постоянные величины, их следует вычислить и объединить в одну постоянную (для данной установки) величину :

. (18.17)

Переменные величины также объединим:

, (18.18)

где n – номер опыта. Тогда

. (18.19)
Порядок выполнения работы

Аккуратным движением сосуда "на себя" освободите ось от фиксации. Осторожно поверните сосуд капилляром вверх. При этом жидкость быстро (за 2-3 минуты) перетечет вниз. Дождитесь полного перетекания жидкости.
Поверните сосуд снова, капилляром вниз.
В течение времени, пока жидкость будет перетекать из верхней половины в нижнюю (20-25 мин.), отмечайте моменты времени (t₁, t₂, t₃ и т.д.), в которые верхний уровень будет проходить отметки, отстоящие одна от другой на 3-5 см (H₁, H₂, H₃ и т.д.). Например, 25; 20; 15; 10; 5 см. Время отсчитывайте с точностью до 1 с, уровень воды – до 1 мм. Отсчеты заносите в строки и таблицы 18.1.

Обработка результатов

Вычитая из каждого последующего момента времени предыдущий, найдите в каждом опыте.
Вычитая из каждого предыдущего уровня последующий, определите .
Прибавляя к каждому предыдущему уровню последующий, вычислите .
Вычислите для каждого интервала величину по (18.18).
Вычислите по формуле (18.17) постоянную установки . Радиус капилляра , длина капилляра , внутренний радиус сосуда .
Вычислите и занесите в таблицу коэффициент вязкости  для каждого интервала по формуле (18.19).
Найдите среднее значение .
По формуле (18.5) и среднему коэффициенту вязкости вычислите кинематическую вязкость .
По формуле (18.9) вычислите число Рейнольдса для наибольшей в опыте средней скорости (по первому интервалу).

. (18.9)

Таблица 18.1

n	0	1	2	3	4	5	6
, с
, с	0
, с	-
, м
, м
, м	-
, м	-
	-

, Пас	-
, Пас
, Пас
,
	-		-	-	-	-	-
Re	-		-	-	-	-	-

Замечание: Необходимую для расчёта среднюю скорость жидкости в капилляре можно найти по формуле:

,

где - объем жидкости, прошедшей через капилляр за время ; – площадь сечения капилляра.

Оцените погрешность динамической вязкости для одного из опытов.
Сделайте выводы: определите характер течения жидкости (турбулентный, ламинарный), считая критическим значением Re=2000; сравните _ср с табличным значением для воды.

Замечание: находится по стандартной методике расчёта погрешностей при косвенных измерениях, исходя из (18.16):

.(18.20)

Здесь ; ; ; ;

; .

Можно показать, что (18.20) сводится к более простой формуле, если находить относительную погрешность :

_.
Контрольные вопросы

Напишите и объясните формулу Ньютона для внутреннего трения.
Каков физический смысл днамического коэффициента вязкости? В каких единицах измеряется эта величина?
Что такое кинематический коэффициент вязкости?
Как изменяется скорость движения газа по радиусу канала при ламинарном режиме течения?
Запишите формулу Пуазейля. При каких условиях ее применяют?
В чем состоит метод Пуазейля определения вязкости?
Что такое число Рейнольдса? Что оно характеризует?
Какое течение жидкости называют ламинарным?
Какое течение жидкости называют турбулентным?
Объясните механизм внутреннего трения жидкости.
От каких факторов зависит вязкость жидкости?
Как и почему меняется вязкость жидкости с изменением температуры?

Используемая литература
[1] §72-78; [2] §39-43; [3] 10.6-10.8; [7] §28-33; [4] §45; [10] §16.1; [11] §28.

Лабораторная работа 1-19

Определение динамического коэффициента вязкости
Цель работы: определение коэффициента вязкости воздуха.
Теоретическое введение
В практикуме три лабораторных работы посвящены определению коэффициента вязкости. В работе 1-18 изучается стационарное течение жидкости; в работе 1-17 и данной работе – в газе.

Во всех трех работах используется формула Пуазейля для объема вещества, который протекает за единицу времени через поперечное сечение трубы. Жидкость и газ обладают общими чертами, отличающими их от твердых тел. Так, всякий объем жидкости или газа способен как угодно изменять свою форму под действием сколь угодно малых сил. Это их общее свойство. Общая черта жидкостей и газов состоит также в том, что только в отношении деформации всестороннего сжатия (изменения объема) они ведут себя как упругие тела. Напомним, что из двух элементарных деформаций – сжатия (растяжения) и сдвига только первая связана с изменением объема.

Элементарная деформация сдвига, как было сказано, не сопровождается изменением объема. Все же при быстрых деформациях сдвига в жидкостях и газах могут возникать заметные силы; однако эти силы зависят не от величины деформации, а от скорости изменения деформации. И если скорость деформации стремится к нулю, то и силы стремятся к нулю. Поэтому эти силы следует рассматривать не как упругие силы, а как силы трения – это силы внутреннего трения, или силы вязкости.

Поскольку в этой работе реализована только несколько другая методика измерения коэффициента вязкости, то теоретическое введение следует изучать по работе 1-17, там же представлен и вывод формулы Пуазейля.

Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: стеклянный сосуд с краном, пробка с капилляром, штатив, секундомер, мерный стакан (колба), линейка, вода.
В предлагаемом методе определения динамического коэффициента вязкости используется истечение воздуха через капилляр. Известно, что скорости истечения бесконечно тонких цилиндрических слоев воздуха, расположенных на различных расстояниях от оси капилляра, различны и распределены по сечению капилляра по параболическому закону. Наибольшая скорость будет на осевой линии капилляра и, по мере приближения к стенкам, скорость уменьшается, а слой, прилегающий к стенке, неподвижен, т.е. "прилипает" к ней.

Между слоями, движущимися с различными скоростями, возникает сила внутреннего трения (сила вязкости). При установившемся движении сила вязкости, действующая на элементарный объем и приложенная к боковой поверхности цилиндра, уравновешивает разность сил давлений, действующих на основание цилиндра. На концах капилляра при протекании по нему воздуха возникает разность давлений . При установившемся движении воздуха она будет неизменной. При малых скоростях течения объем воздуха, протекающего через сечение капилляра, равен:

отсюда

. (19.1)

где – радиус капилляра; – разность давлений в начале и конце капилляра; – динамический коэффициент вязкости; – длина капилляра; – объем газа, протекшего через сечение капилляра за время .

Таким образом, для определения коэффициента вязкости достаточно измерить разность давлений, время истечения газа, его объем, радиус и длину капилляра.

Схема установки представлена на рис. 19.1. Установка состоит из стеклянного сосуда А со шкалой C. Верхняя часть сосуда закрыта пробкой с капилляром B, а в нижней имеется трубка с краном К. Перед началом работы кран закрыт, сосуд заполнен водой на 3/4 объема и плотно закрыт пробкой с капилляром. Если открыть кран К, то вода из сосуда А будет вытекать каплями. При этом объем воды, вытекающий из сосуда, равен объему воздуха, прошедшего через капилляр , а давление у открытого конца трубки D равно сумме давлений: давления воздуха, находящегося над поверхностью воды в сосуде А, и гидростатического давления :

Это давление уравновешивается атмосферным:

Учитывая, что давление у верхнего конца капилляра равно атмосферному, разность давлений на концах капилляра выразится:

Поскольку в процессе опыта давление столба воды уменьшается (за счет истечения), то берут среднее значение

и выражение для коэффициента динамической вязкости примет вид:

. (19.2)
Порядок выполнения работы

Подготовьте установку к выполнению работы:
1. залейте сосуд на 3/4 объема водой;
2. закройте сверху плотно трубкой с капилляром;
3. подставьте под кран сливную емкость;
4. подготовьте к работе секундомер.
Откройте кран К. Когда вода начнет вытекать каплями:
1. отметьте уровень воды h₁;
2. подставьте мерный сосуд под трубку D;
3. запустите секундомер.

Когда в мерном сосуде будет 50 мл воды:

отметьте по шкале новый уровень воды h₂. При этом объем воды в мерном сосуде равен объему прошедшего через капилляр воздуха;
одновременно с этим остановите секундомер.

Результаты измерений занесите в таблицу 19.1.

Опыт повторите ещё 4 раза. При этом для очередного опыта значение h₁ будет равно значению h₂ для предыдущего.
В каждом опыте рассчитайте по формуле (19.2) коэффициент вязкости .
Выведите формулу для вычисления погрешности Dh.
Результаты вычислений занесите в таблицу 19.1.

Таблица 19.1

№	V ,	DV,	t, с	, с	h₁, м	h₂, м	Dh, м	h ,	h_ср. ,	Dh ,	, %
1	50
2	50
3	50
4	50
5	50

Контрольные вопросы

Какими общими чертами обладают жидкости и газы?
Почему возможно в лабораторных работах 1-17, 1-18 использовать формулу Пуазейля для определения коэффициента вязкости, хотя в работе 1-18 измеряют свойства жидкостей, а в 1-17 – газа?
Каков физический смысл коэффициента динамической вязкости?
Запишите формулу Ньютона для силы вязкости.
От каких параметров и как зависит коэффициент вязкости воздуха?
Запишите формулу Пуазейля.
Выведите рабочую формулу для коэффициента вязкости.

Используемая литература

[2] §128-130; [3] §10.6-10.8; [7] §48; [4] §2.27-2.29; [10] §16.2; [11] §25.

Лабораторная работа 1-20

Определение отношения теплоемкостей для воздуха

методом адиабатического расширения
Цель работы: анализ термодинамических величин, характеризующих состояние идеального газа; определение отношения теплоемкостей для воздуха.
Теоретическое введение
Теплота , приданная системе (телу), расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение работы .

(20.1)

Уравнение (20.1) – первое начало термодинамики. Символ (в некоторых учебниках используется обозначение ) указывает на то, что бесконечно малые изменения и не являются полными дифференциалами, то есть количество теплоты и работа зависят от пути процесса, по которому изменяется состояние системы. Только внутренняя энергия является функцией состояния системы и от пути процесса не зависит.

При поглощении веществом теплоты его температура, как правило, увеличивается. Отношение к повышению температуры называется теплоемкостью вещества

(20.2)

Так как величина зависит от характера процесса, то и теплоемкость от пути процесса зависит. Поэтому при определении теплоемкости необходимо указывать, каким именно способом изменяется температура. Часто встречающиеся виды процессов – при постоянном объеме () – изохорический и при постоянном давлении () – изобарический. Соответствующие им теплоемкости обозначают и .

Для газов эти величины связаны друг с другом простым образом. По определению

, . (20.3)

Из (20.1) , – энтальпия, или теплосодержание.

При постоянном объёме , так как работа .

Отсюда следует, что теплоемкости и есть частные производные от энтальпии и внутренней энергии по температуре (при постоянных давлении и объеме соответственно). Уравнения

и (20.4)

можно рассматривать как определения. Они позволяют найти и термодинамической системы, если известны зависимости или .

Каждое состояние термодинамической системы характеризуется совокупностью значений физических величин, отражающих ее свойства. Величины, имеющие простую физическую природу и допускающие непосредственное измерение (давление , температура , объем системы ), используют в качестве параметров состояния. Уравнением состояния называют выражение, связывающее эти параметры. Для однородных систем постоянного состава оно имеет вид

(20.5)

У идеальных газов особенно простое уравнение состояния

, (20.6)

где – объем одного моля; – универсальная газовая постоянная.

Используя определение теплоемкости (20.3), первое начало термодинамики и уравнение состояния для газов, можно записать для идеальных газов в расчете на один моль:

, (20.7)

так как при . Уравнение (20.7) называют соотношением Майера.

Если применить первое начало термодинамики (20.1) для описания адиабатического расширения (сжатия) идеального газа (; изменение состояния без теплообмена), учитывая определения:

, ,

соотношение Майера и введя обозначение (адиабатическая постоянная), то получим уравнение

(20.8)

Из него следует, что при адиабатическом процессе температура и объем идеального газа меняются таким образом, что произведение остается постоянным. Поскольку всегда больше единицы, то и, адиабатическое расширение сопровождается охлаждением, а сжатие – нагреванием газа. Комбинируя уравнение (20.8) с (20.6), можно получить соотношение, связывающее параметры и при адиабатическом процессе

(20.9)

Это равенство называется уравнением Пуассона. Еще одно уравнение для адиабатического процесса связывает параметры и

Величина для газов играет большую роль при адиабатических процессах. В частности, этой величиной определяется скорость распространения звука в газах; от нее зависит течение газов по трубам со звуковыми скоростями.

Экспериментальная часть
Экспериментальная установка и методика измерений

Экспериментальная установка (рис.20.1) состоит из стеклянного баллона 1, соединенного с манометром 2 и имеющего кран 3. Кран позволяет баллону сообщаться с атмосферой. К баллону подсоединен нагнетательный воздушный насос 4.

В работе определение отношения производится классическим методом Клемана и Дезорма, основанным на использовании уравнения изотермического процесса

(20.10)

и уравнения адиабатического процесса

(20.11)

соблюдающихся для идеального газа.

В равенствах (20.10) и (20.11) обозначает по прежнему давление, а – удельный объем газа.

Исследуются параметры идеального газа, последовательно проходящего через три состояния. Вначале с помощью насоса необходимо по возможности быстро накачать небольшое количество воздуха в баллон при закрытом кране 3. Через 2-3 минуты температура воздуха в баллоне понизится до температуры окружающей среды , газ придет в состояние равновесия. Об этом можно судить по прекращению изменений показаний манометра. Обозначим для первого данного состояния газа его удельный объем . В этих условиях давление в баллоне равно

где – показания манометра; он проградуирован в миллиметрах водяного столба и показывает давление в баллоне, избыточное над атмосферным давлением ( мм водяного столба).

Если теперь открыть кран 3 быстро, на несколько секунд, то баллон соединяется с атмосферой. Практически сразу давление воздуха в баллоне станет равным атмосферному . Процесс происходит быстро и его можно считать адиабатическим. При адиабатическом расширении газ охлаждается до температуры . Второе состояние газа характеризуется параметрами: – новый удельный объем, атмосферное давление и – температура ().

Затем кран 3 закрывают. Давление газа в баллоне начнет возрастать, так как охладившийся при адиабатическом расширении воздух станет снова нагреваться. Воздух нагревается изохорически до комнатной температуры . Возрастание давления прекратится, когда установится новое равновесное состояние газа, которому соответствуют показания манометра . Параметры газа в этом третьем состоянии: давление , удельный объем (ни масса, ни объем газа при последних изменениях не менялись), температура .

На рис.20.2 показаны адиабата (1-2) и изохора (2-3). Состояние газа 1 и 3 имеют одну и ту же температуру . Следовательно, точки 1 и 3 должны находиться на одной изотерме (пунктир 1-3).

Переход (1-2) из первого состояния во второе описывается уравнением Пуассона (20.9), которое в нашем случае следует записать так:

или , (20.12)

здесь и – удельные объемы газа до и после расширения.

С
равнивая конечное, третье состояние, с первым, видим, что температура газа в этих состояниях одинакова. Значит, к переходу (1-3) применим закон Бойля – Мариотта.

или (20.13)

Возведём равенство (20.13) в степень :, разделим его на (20.12): , преобразуем: ;

и прологарифмируем полученное выражение:

.

Выразим отсюда :

. (20.14)

Так как и , то можно воспользоваться приближенной формулой и записать (20.14) в виде

. (20.15)

Необходимо отметить, что на опыте не удается осуществить совпадение момента перекрытия крана с окончанием адиабатического расширения (состояние 2). Если кран закрыть раньше, чем давление упадет до атмосферного (на рис 20.2 точка 2′), то получим завышенное значение . Наоборот, при запаздывании (точка 2′′) получается заниженное значение , и чем больше время запаздывания , тем сильнее отличается от равновесного значения .

Адиабатический переход газа из состояния 1 в состоянии 2 происходит за какое-то время , величина которого неизвестна. Однако это время гораздо меньше, чем время, в течение которого необходимо держать кран в открытом положении. Поэтому время запаздывания можно считать равным полному времени открытия крана. Как показывает опыт, величины , и связаны следующим соотношением

, (20.16)

где – константа.

Из (20.16) следует, что истинное значение можно найти из графика зависимости , продолжив его до точки пересечения с осью ординат, т.е. при .
Порядок выполнения работы

Кран 3 закройте. Накачайте в баллон воздух, доведя показания манометра примерно до 220 делений и перекройте шланг, идущий к насосу. Подождите 2-3 мин, пока температура в баллоне не уравняется с комнатной; при этом давление будет падать. При необходимости скорректируйте давление, доведя его ровно до делений.
Быстро откройте кран 3, одновременно включите секундомер. Через с кран 3 перекройте.
После перекрытия крана давление в баллоне начинает расти. Через 2-3 мин определите давление газа в баллоне .
Снова накачайте в баллон воздух, доведя показания манометра до 200 делений в состоянии равновесия. Повторите измерения по пунктам 2 и 3 при .
Повторите измерения для всех , указанных в табл.20.1. Следите за тем, чтобы начальное давление в каждом опыте было одним и тем же. Все результаты измерений занесите в таблицу 20.1.

Обработка результатов измерений

Рассчитайте .
П
о данным измерений постройте график (рис.20.3). В среднем по точкам проведите прямую, аппроксимируя её до пересечения с осью ординат.
Найдите точку пересечения графика с осью ординат: это .
Определите . По формуле (20.15) вычислите величину .

. (20.15)

Оцените абсолютную и относительную погрешность .

Запишите все результаты в таблицу 20.2.

Таблица 20.1.

t , с	2	3	4	5	6	7	8
, дел.

Таблица 20.2

	, дел.	, дел.
		200

следующая страница >>