Название работы	Кол-во страниц	Размер
Физика I. Физические основы механики и молекулярной физики	1	171.16kb.
Программа комплексного междисциплинарного экзамена по направлению...	1	100.78kb.
Лекции 34 34 Семинары Лабораторные работы	1	69.71kb.
Н. Э. Баумана Дисциплина Статистическая термодинамика	1	90.09kb.
Программа курса «Основы квантовой механики и квантовых вычислений»	1	21.75kb.
Программа учебной дисциплины опд. Ф. 01. Статистическая физика и...	1	162.24kb.
Основы механики деформируемого твердого тела проф. Б. Е. Победря...	1	52.32kb.
Примерная программа дисциплины теоретическая физика	1	195.96kb.
Основы механики сплошной среды	1	47.55kb.
Термодинамика и статистическая физика	1	67.19kb.
Должностная инструкция системного программиста	1	45.24kb.
Самостоятельная работа «Колебания математического маятника и груза...	1	41.84kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

Лабораторная работа 1-13

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний

Цель работы: ознакомление с экспериментальным методом измерения моментов инерции тел методом крутильных колебаний.

Теоретическое введение

Абсолютно твердым телом называется тело, деформациями которого в данных условиях можно пренебречь. При этом расстояния между любыми двумя точками тела остаются неизменными. При вращении тела с закрепленной осью все точки тела, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения. При таком движении путь S, скорость v, ускорение а разных точек тела неодинаковы, поэтому для описания движения неудобно пользоваться этими понятиями. Угол поворота α любой точки тела одинаков и может быть использован как мера перемещения тела. Угловое перемещение – это вектор, направленный по оси вращения по правилу буравчика, модуль которого равен углу поворота тела за время . Угловая скорость характеризует быстроту вращения и равна производной по времени от углового перемещения:

. (13.1)

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения так же, как и угловое перемещение. Быстроту изменения угловой скорости во времени характеризует угловое ускорение:

. (13.2)

Вектор углового ускорения направлен по оси вращения в ту же сторону, что и вектор угловой скорости , если величина угловой скорости увеличивается, и в сторону, противоположную , если ее модуль уменьшается.

Найдем связь между линейными и угловыми величинами. Величина линейного перемещения dS точки, вращающейся по окружности радиуса r:

. (13.3)

Разделив обе части уравнения (13.3) на , получим: . Так как производная пути по времени – это величина скорости: , а , то

. (13.4)

Теперь продифференцируем (13.4) по времени: , или:

, (13.5)

где – касательное (тангенциальное) ускорение, определяющее быстроту изменения модуля скорости : . Основной закон динамики твердого тела аналогичен второму закону Ньютона при поступательном движении:

(13.6)

и позволяет определить угловое ускорение твердого тела: угловое ускорение твердого тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения

. (13.7)

Моментом силы относительно оси называется вектор, направленный по оси вращения и связанный с направлением силы правилом буравчика, модуль которого равен произведению силы на ее плечо: . Плечо силы относительно оси вращения – это кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения (рис.13.1). Момент силы можно записать в векторном виде:

, (13.8)

где – радиус-вектор точки приложения силы.

Момент инерции твердого тела является мерой инертных свойств твердого тела при вращательном движении и аналогичен массе тела во втором законе Ньютона. Момент инерции материальной точки с массой относительно оси ОО равен произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси:

. (13.9)

Твёрдое тело можно мысленно разбить на материальные точки и просуммировать по всем элементарным массам, тогда момент инерции твёрдого тела можно записать как

. (13.10)

То есть момент инерции твердого тела относительно оси равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от этой оси. Момент инерции существенно зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения (в направлении, перпендикулярном оси). В случае непрерывного распределения массы сумма в (13.10) сводится к интегралу по всему объему тела:

. (13.11)

Вычислим момент инерции однородного диска плотностью ρ, высотой h, внутренним радиусом R₁ и внешним радиусом R₂ (рис.13.2) относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска. Разобьем диск на тонкие кольца толщиной dr и высотой h так, что внутренний радиус кольца равен r, внешний – (r+dr). Объем такого кольца , где – площадь основания тонкого кольца. Его масса:

. (13.12)

Подставим dm в (13.11) и проинтегрируем по r ():

.

Масса всего диска равна

,

тогда окончательно:

. (13.13)

В частном случае сплошного диска или цилиндра радиусом R подставим в (13.13) R₁=0, R₂=R и получим:

. (13.14)

Если ось вращения не проходит через центр масс тела, вычисления по формуле (13.11) могут быть довольно сложными. В этом случае расчет момента инерции облегчается применением теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

. (13.15)

В данной работе момент инерции тела (платформы) определяется экспериментально методом крутильных колебаний. Рассмотрим общие закономерности колебательного движения крутильного маятника.

Испытуемое твердое тело 1, имеющее вид диска радиуса R, подвешено на упругой металлической проволоке 2 (рис.13.3) так, что нижний конец проволоки проходит через центр тяжести диска, а верхний закреплен. При повороте диска на некоторый угол  вокруг оси ОО возникают упругие силы, которые стремятся возвратить диск к положению равновесия. Возвращающий момент сил М обусловлен упругими деформациями, возникающими при закручивании стальной проволоки, с которой скреплена платформа. При малых углах поворота α можно считать, что этот момент сил прямо пропорционален углу поворота, то есть выполняется закон Гука:

, (13.16)

где – коэффициент пропорциональности, называемый модулем кручения, величина которого зависит от материала проволоки и ее размеров. Знак «–» показывает, что момент упругих сил возвращает тело к положению равновесия, то есть векторы момента сил и углового перемещения направлены в противоположные стороны, их проекции на ось вращения имеют противоположные знаки.

По основному закону динамики вращательного движения (13.7):

, (13.17)

где – момент инерции тела относительно оси ОО, – угловое ускорение. Из (13.2), (13.16) и (13.17) получаем уравнение для угла поворота α:

. (13.18)

Уравнение (13.18) можно записать так:

, (13.19)

где принято обозначение: , или:

. (13.20)

Уравнение вида (13.19) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его решением является гармоническая функция:

. (13.21)

Здесь ω – круговая частота колебаний, φ₀ – начальная фаза, φ=ωt+φ₀ – фаза колебаний в данный момент времени, A – амплитуда колебаний (максимальное значение угла поворота α). Убедимся в том, что (13.21) является решением дифференциального уравнения (13.19), непосредственной подстановкой, вычислив производные:

;

. (13.22)

Из (13.22) следует (13.19). Вообще, если вторая производная по времени какой-либо физической величины пропорциональна самой величине с противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со временем по гармоническому закону, то есть по закону синуса или косинуса.

Период крутильных колебаний, то есть время одного полного колебания, найдем из (13.20):

. (13.23)

Из выражения (13.23) выразим момент инерции тела:

. (13.24)

Неизвестный модуль кручения К можно исключить из (13.24) следующим образом. На диск помещают дополнительный груз, момент инерции которого I_груз. относительно оси колебаний известен. При этом полный момент инерции тела с дополнительным грузом станет равным I₁=I+I_груз, и период T₁ крутильных колебаний изменится:

, (13.25)

или:

. (13.26)

Поделив почленно (13.26) на (13.24), получим:

,

откуда окончательно для неизвестного момента инерции платформы:

. (13.27)
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: лабораторная установка с секундомером и металлические диски.
Описание установки (вариант 1).

В первом варианте установки (рис.13.3) платформа 1, момент инерции которой требуется определить, подвешена на проволоке 2. На платформу 1 симметрично на расстоянии a от центра помещают три дополнительных груза массой m и радиусом r каждый. Эти три груза относительно оси ОО создают дополнительный момент инерции I_груз, который находится по теореме Штейнера (13.15) и равен:

. (13.28)

Здесь момент инерции одного дополнительного груза относительно оси, проходящей через его центр масс, найден из (13.14): .

Подставив (13.28) в (13.27), для вычисления искомого момента инерции платформы окончательно получим:

. (13.29)

Для измерения линейных размеров и расстояний используется штангенциркуль и линейка, время определяется по секундомеру, масса каждого дополнительного груза m=730 г.

Порядок выполнения работы

1. 
   Исследуемое тело – платформу (без дополнительных грузов) приведите в крутильные колебания.
   

Внимание! Угол закручивания не должен превышать 10-15⁰, иначе можно сломать установку. Кроме того, при больших углах закручивания не выполняется закон Гука (13.16), и колебания не будут гармоническими.

Секундомером измерьте время t, которое требуется для совершения 20 полных колебаний. Опыт повторите 5 раз, найдите среднее время t_ср и вычислите период колебаний:

. (13.30)

2. 
   На исследуемое тело установите 3 дополнительных груза (диска) и вновь (5 раз) определите время 20 колебаний, найдите t_1ср. и период колебаний:
   

. (13.31)

3. 
   Штангенциркулем измерьте радиус дополнительных дисков r и линейкой – расстояние a между осями. Измерения проводятся три раза; значения a и r усредняются.
   
4. 
   Вычислите момент инерции по формуле (13.29).
   
5. 
   Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 13.1.
   
6. 
   Вычислите абсолютную и относительную погрешности измерений.
   

Замечание 1: погрешность времени рассчитывается по стандартной методике расчета погрешностей случайной величины:

, (13.32)

где коэффициент Стьюдента для числа опытов n=5 и доверительной вероятности α=0.95 равен: . При этом погрешность периода колебаний из (13.30):

. (13.33)

Замечание 2: для вычисления относительной погрешности момента инерции можно воспользоваться формулой:

.

Замечание 3: можно рассчитать момент инерции в каждом из 5 опытов, а затем усреднить. Расчёт погрешности в этом случае производится по стандартной методике расчета погрешностей случайной величины (аналогично (13.32)).

7. 
   Сделайте выводы.
   

Таблица 13.1.

, ,					,				,
№	t	Δti	t1	Δt1i		T	T1			ΔIi
	c	с	c	с		с	с	кг.м2		кг.м2
1
2
3
4
5
	tср=.		t1ср.=			Tср.=	T1ср.=	Iср.=		Σ(ΔIi)2=
		Δt=		Δt1=		ΔT=	ΔT1=			ΔIср=

Описание установки (вариант 2).

Установка (рис.13.4) состоит из штатива, исследуемого диска 1, закрепленного на проволоке 2, и одного съемного груза в виде диска 3. Ось съемного груза совпадает с осью диска. Для измерения линейных размеров и расстояний используется штангенциркуль и линейка, время определяется по секундомеру. Массу съемного диска необходимо определить из его размеров и плотности.

Масса диска (плотность стали ρ=7800 кг/м³), а его объем , тогда

, (13.34)

а момент инерции дополнительного съемного диска из (13.34) и (13.13):

. (13.35)

Далее из (13.27) и (13.35) получим расчетную формулу для момента инерции платформы:

. (13.36)
Порядок выполнения работы
Исследуемое тело (без дополнительного кольца) приводится в крутильные колебания.

Внимание! Угол закручивания не должен превышать 10-15⁰, иначе можно сломать установку. Кроме того, при больших углах закручивания не выполняется закон Гука (13.16), и колебания не будут гармоническими.

1. 
   Секундомером измерьте время t, которое требуется для совершения 20 полных колебаний, и вычислите период колебаний по формуле (13.30). Опыт повторите 5 раз.
   
2. 
   На исследуемое тело установите дополнительное кольцо и вновь (5 раз) определите время 20 колебаний, найдите t_1ср. и период колебаний (13.31).
   
3. 
   Линейкой и (или) штангенциркулем измерьте внутренний R₁ и внешний R₂ радиусы дополнительного кольца и его толщину h (рис.13.4). Вычислите момент инерции по формуле (13.36).
   
4. 
   Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 13.2.
   
5. 
   Вычислите абсолютную и относительную погрешности измерений.
   

Замечание: для вычисления относительной погрешности можно воспользоваться формулой:

,

при этом рассчитывается по усредненным значениям периода; либо рассчитывается в каждом из пяти опытов, затем усредняется, и погрешность рассчитывается как погрешность случайной величины, аналогично формуле (13.32). Можно рассчитать погрешность обоими способами и сравнить результаты.

6. 
   Сделайте выводы.
   

Таблица 13.2

, , , ,
№	t	Δti	t1	Δt1i	T	T1		ΔIi
	c	с	c	с	с	с	кг.м2	кг.м2
1
2
3
4
5
	tср=.		t1ср.=		Tср.=	T1ср.=	Iср.=	Σ(ΔIi)2=
		Δt=		Δt1=	ΔT=	ΔT1=		ΔIср=

Контрольные вопросы

1. 
   Дайте определение углового перемещения, угловой скорости и ускорения. Как направлены эти вектора?
   
2. 
   Запишите формулы, связывающие линейные и угловые величины перемещения, скорости, ускорения.
   
3. 
   Что такое момент силы относительно оси? От чего он зависит? Как направлен вектор момента силы?
   
4. 
   Что такое момент инерции материальной точки, твердого тела, от чего он зависит?
   
5. 
   Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.
   
6. 
   Выведите дифференциальное уравнение крутильных колебаний (13.18).
   
7. 
   Докажите, что выражение (13.21) является решением дифференциального уравнения (13.18).
   
8. 
   Какие колебания являются гармоническими?
   
9. 
   Что такое период колебаний, частота колебаний?
   
10. 
    Сформулируйте теорему Штейнера и покажите, где в работе она используется.
    
11. 
    Можно ли пользоваться расчетными формулами в этой работе, если углы отклонения крутильных колебаний будут большими? Почему?
    

Используемая литература

[5] §2.8, 7.1, 19.1, 19.2; [3]§4.1-4.3, 27.1, 27.2; [1]§36-39, 52, 53; [6]§1.4, 1,31-1.34, 3.3, 3.6; [7] §2,3 4, 16, 17, 18, 19, 140, 141, 142.

Лабораторная работа 1-14

Изучение упругой деформации растяжения
Цель работы: определение модуля Юнга и коэффициента Пуассона для резины; проверка закона Гука.
Теоретическое введение
Жидкости сопротивляются изменению их объема, но не сопротивляются изменению формы. С этим свойством связан характерный для жидкостей закон Паскаля: передаваемое жидкостью во все стороны давление одинаково.

Твердые же тела сопротивляются как изменению объема, так и изменению формы; они сопротивляются, как говорят, любому деформированию. Для твердых тел не справедлив закон Паскаля. Передаваемое твердым телом давление различно в разных направлениях. Давления, возникающие в твердом теле при его деформировании, называются напряжениями. В отличие от давления в жидкости, упругие напряжения в твердом теле могут иметь любые направления по отношению к площадке, на которую действуют силы. Но при всем разнообразии деформации твердых тел оказывается возможным любую деформацию тела свести к двум основным типам, которые поэтому называют элементарными деформациями. Ими являются растяжение (сжатие) и сдвиг. Любые другие типы деформаций (изгиб, кручение, …) можно представить как комбинацию деформаций растяжения и сдвига.

В данной работе изучаются величины, характеризующие упругую деформацию растяжения. Пусть на цилиндр первоначальной длины и диаметра действует растягивающая сила (рис. 14.1). При этом образец увеличивает свою длину на , – абсолютное удлинение. Величину

(14.1)

называют относительным удлинением (относительной деформацией). При растяжении , при сжатии . При однородном растяжении величина во всех точках тела одинакова.

Отношение силы к величине сечения , на которое она действует, называется механическим напряжением в данном сечении:

. (14.2)

Опыт показывает, что при малых деформациях, при малых относительных удлинениях для цилиндров разного сечения и длины , но сделанных из одного и того же материала, выполняется закон Гука: напряжения пропорциональны деформации:

, (14.3)

где – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала цилиндра, но не зависящей от его размеров. Он называется модулем упругости или модулем Юнга данного материала. Из (14.1), (14.2) и (14.3) можно получить закон Гука в школьной формулировке:

, или ; (14.4)

при этом коэффициент жёсткости зависит как от свойств материала, так и от длины и сечения образца.

Если с прекращением действия вызвавших деформацию внешних сил тело возвращается в исходное недеформированное состояние, то деформации называются упругими. Деформации будут упругими, если они достаточно малы.

Модуль Юнга, однако, еще не характеризует полностью упругие свойства тела. Это видно и из рисунка 14.1: продольное растяжение цилиндра связано с сокращением его поперечных размеров: удлиняясь, цилиндр одновременно становится более тонким. Характеристикой этого изменения является относительное поперечное сжатие

(14.5)

где – абсолютное поперечное сжатие. При растяжении , при сжатии .

Очевидно, что величина также пропорциональна растягивающему напряжению , и тем самым она пропорциональна и величине относительного удлинения . Вводится соотношение, называемое коэффициентом Пуассона:

. (14.6)

Коэффициент Пуассона , как и модуль Юнга , не зависит от размеров тела и является константой, характеризующей свойства вещества. Можно показать из общих требований механической устойчивости твердого тела, что значение коэффициента Пуассона меняется в пределах от 0 до 0.5. Значение достигается у пористых тел (например, у пробки), не меняющих при растяжении своих поперечных размеров. Близкие к 0.5 значения достигаются у таких тел, как резина, которые значительно легче поддаются изменению своей формы, чем изменению своего объема.

Таким образом, упругие свойства твердого тела характеризуются двумя величинами: и .

Отметим, что в наших рассуждениях мы подразумеваем, что твердое вещество изотропно – свойства его одинаковы во всех направлениях. Упругие свойства анизотропных тел – монокристаллов – характеризуются большим числом упругих постоянных (не 2, а 21 – в самом общем случае).

Упругие деформации, по определению, исчезают после снятия вызывающих их напряжений (абсолютно упругое тело). Конечно, реальные твердые тела вовсе не обладают этой способностью в полной мере. Только пока деформации тела не превосходят известных пределов, оно восстанавливает свою форму, и то лишь с известной степенью точности. Минимальное механическое напряжение, при котором реальные тела ведут себя приблизительно как тела абсолютно упругие, называется пределом упругости. Различные тела обладают различным пределом упругости, но для всех тел существует такое напряжение, что после снятия нагрузки тело уже не возвращается к исходному состоянию и сохраняет в заметной степени измененную форму. Такие деформации называются остаточными или пластическими.

Рассматривать тела как абсолютно упругие имеет смысл только при условии, что деформации тел заведомо не достигают предела упругости. При малых и медленных деформациях многие реальные твердые тела можно считать абсолютно упругими. Вопрос о том, как малы и медленны должны быть деформации, чтобы данное реальное тело можно было рассматривать как абсолютно упругое, должен быть решен на опыте путем изучения поведения тел при различных величинах деформаций.

Для этой цели применяются специальные машины, в которых образцы испытуемого материала подвергаются различным деформациям. Результаты испытаний материалов представляют в виде графиков, изображающих связь между деформациями образца и напряжениями (силами), в нем возникающими (рис.14.2). Как видно из рисунка 14.2, при малых деформациях напряжение пропорционально деформации: (участок 0-1). Это область область пропорциональности. Максимальное напряжение, при котором выполняется закон Гука, называется пределом пропорциональности. Далее напряжения растут медленнее, чем деформации (1-3 на рис.14.2). В этой области и лежит предел упругости тела. Точного определения предела упругости дать вообще невозможно, так как малые остаточные деформации наблюдаются всегда. Пределом упругости можно считать такое наибольшее механическое напряжение, после снятия которого остаточные деформации невелики (они не превышают некоторой определенной условно выбранной доли от наибольшей деформации, которой подвергается образец, например, 0.001%). Предел упругости лежит обычно близко за пределом пропорциональности . Дальше начинается область текучести участок 3-4 на рис.14.2). Под действием напряжения, равного пределу текучести , тело непрерывно увеличивает свою деформацию без увеличения нагрузки; оно будет течь как жидкость. При еще больших деформациях наступает разрушение (точка 5). Предел прочности – минимальное напряжение, при котором начинается разрушение тела.

Область упругих деформаций в большинстве применяемых на практике материалов очень незначительна (например, для стали пределу упругости соответствует значение ). Поэтому наибольшие деформации, которые может выдержать данный материал без разрушения, определяются главным образом величиной области текучести. Материалы, для которых эта область мала, способны выдерживать без разрушения только малые деформации – это хрупкие материалы. Те же, которые способны без разрушения выдерживать большие деформации – вязкие материалы. Например, чугун и сталь имеют примерно одинаковую область упругих деформаций и примерно одинаково ведут себя в этой области – они в одинаковой степени упругие. Но область текучести у чугуна гораздо меньше, чем у стали, поэтому он гораздо более хрупок.

Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: лабораторная установка, набор грузов (гирь).
Лабораторная установка и методика измерений

Установка для измерения схематически показана на рис. 14.3. Исследуемый образец (резиновый шнур) 1 имеет на концах металлические зажимы 2. Верхний зажим закреплен неподвижно к штативу, к нижнему зажиму подвешена платформа 3 для размещения гирь 4. Параллельно образцу закреплена линейка 5. На шкале линейки 5 находится стрелка 6, основание которой закреплено на нижнем зажиме. При растяжении образца стрелка перемещается на величину абсолютного удлинения.

В нашем опыте роль внешней силы играет сила тяжести . Из определения напряжения , закона Гука для цилиндрического образца диаметром , искомое соотношение для модуля Юнга имеет вид:

. (14.7)
Порядок выполнения работы

1. 
   При свободной от гирь платформе штангенциркулем измерьте диаметр ненагруженного образца . Следите, чтобы штангенциркуль не зажимал резину, а лишь только касался ее поверхности. Результаты всех измерений и вычислений записывайте в таблицу 14.1.
   

Таблица 14.1

,
Измеряемая и рассчитываемая величина	Ненагруженный образец	1-й груз	2-й груз	3-й груз	4-й груз	5-й груз
m, кг	0
, мм
, мм	0
, мм		–	–	–	–
, мм	0	–	–	–	–
, Н	0
,		–	–	–	–	–
,	0
	0
,	–
	–	–	–	–	–
	–	–	–	–	–

2. 
   По шкале линейки найдите длину ненагруженного образца . За концы образца можно принимать внутренние концы зажимов. Оцените погрешность этой величины .
   
3. 
   Найдите начальное положение стрелки . Положение стрелки отмечают с точностью 0.5 мм, то есть погрешность измерения удлинения равна .
   
4. 
   Ставьте на платформу грузы парами (симметрично подвесу во избежание перекоса). Каждый раз отмечайте показания стрелки . Вычислите удлинения .
   
5. 
   При максимальной нагрузке штангенциркулем измерьте диаметр образца .
   
6. 
   Для проверки применимости закона Гука постройте графики зависимости модуля Юнга от напряжений .
   
7. 
   Рассчитайте ошибку определения модуля Юнга (достаточно рассчитать для одного опыта).
   
8. 
   Значения модуля Юнга, совпадающие с учетом ошибки друг с другом, т.е. не выходящие за границы значений интервала , позволяют определить истинное (среднее) значение модуля Юнга. С учетом этого определите среднее значение модуля Юнга.
   
9. 
   Определите значение коэффициента Пуассона.
   
10. 
    Сделайте выводы.
    

Замечание: относительная погрешность модуля Юнга может быть рассчитана по формуле:

.   следующая страница >>