Основы механики деформируемого твердого тела проф. Б. Е. Победря 1 год

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

проф. Б.Е. Победря

1 год

Введение.

Задачи МДТТ. Физические свойства материалов. Диаграмма простого растяжения образца и характерные точки на ней. Упругость, пластичность. Нагрузка, разгрузка. Релаксация, ползучесть.

Кинематика сплошной среды.

Вектор перемещения, векторы скорости и ускорения. Описание Эйлера и Лагранжа. Тензор дисторсии. Разложение тензора дисторсии на симметрическую и антисимметрическую части. Малые деформации. Вектор поворота. Формула Чезаро для получения вектора перемещения по заданным деформациям. Тензор несовместности. Тождества Сен-Венана. Инварианты тензора деформации. Разложение тензора несовместности на шаровую часть девиатор. Обобщенный тензор несовместности.

Основные постулаты МСС.

Закон сохранения масс. Определение плотности по изменению объема. Постулат об изменении количества движения. Поверхностные и массовые силы. Векторы и тензор напряжений. Уравнения движения сплошной среды. Уравнения равновесия. Постулат об изменении момента количества движения. Массовые моменты. Симметричность тензора напряжений. Теорема живых сил. Первый закон термодинамики. Внутренняя энергия. Второй закон термодинамики. Функция рассеивания. Энтропия. Вектор теплового потока, массовый источник тепла. Свободная энергия Гельмгольца. Термодинамические параметры состояния. Гипотеза Дюамеля-Неймана. Выражение напряжений и энтропии через свободную энергию. Теплоемкость. Уравнение потока тепла.

Определяющие соотношения в теории упругости.

Определение упругого тела. Тензор модулей упругости. Тензор теплового расширения. Закон Фурье. Тензор теплопроводности. Упругий потенциал. Связь между изотермическими и адиабатическими модулями. Связанная задача термоупругости. Два способа линеаризации уравнения притока тепла. Граничные условия для задачи теплопроводности. Начальные данные. Нестационарные и стационарные задачи. Тензор модулей упругости и тензор упругих податливостей. Их взаимообратимость. Выражение тензора модулей упругости для изотропной, трансверсально изотропной и ортотропной сред. Различные упругие постоянные для изотропной упругой среды и соотношения между ними.

Постановки задачи теории упругости.

Уравнения движения теории упругости в перемещениях. Уравнения равновесия. Оператор Ламе. Первая краевая задача теории упругости. Вторая краевая задача и условие ее разрешимости. Смешанная краевая задача теории упругости. Граничные условия контактного типа. Сведение задачи термоупругости к обобщенной задаче теории упругости. Консервативные системы. Лагранжиан. Теорема единственности (Кирхгофа) для динамической задачи. Теорема единственности для статической задачи теории упругости. Теорема Клайперона о работе. Единственность второй краевой задачи теории упругости. Постановка задачи теории упругости для несжимаемой среды. Уравнения Бельтрами-Мичелла. Постановка второй краевой задачи теории упругости в напряжениях. “Новая” постановка задачи в напряжениях. Эквивалентность “новой” и классической постановок в напряжениях.

Фундаментальные решения теории упругости.

Три формулы Бетти. Самосопряженность оператора Ламе. Теорема взаимности. Изменение объема тела под действием массовых и поверхностных сил. Изменение объема от температурного поля. Тензор перемещений Кельвина. Теорема взаимности Максвелла. Тензор напряжений Кельвина. Формула Сомильяны. Вектор Галеркина, представление Галеркина. Явное выражение тензора Кельвина. Тензор фундаментальных решений. Двойная сила без момента. Центр дилатации (растяжения-сжатия). Центр вращения. Двойная сила с моментом. Решение задачи о шаровом слое под действием внутреннего и внешнего давления. Сферическая оболочка. Выражение тензора напряжений Кельвина. Задача Буссинеска о действии сосредоточенной силы, нормальной к границе полупространства. Решение Буссинеска-Черутти. Тензоры Грина 1-го и 2-го рода. Принцип Сен-Венана и его доказательство для упругого полупространства.

Статические задачи теории упругости.

Простое растяжение бруса. Сжатие бесконечной пластинки. Растяжение бруса под действием собственного веса. Задачи об изгибе упругой пластинки. Анализ точного решения. Постановка задачи об изгибе и кручении призматического бруса. Полуобратный метод Сен-Венана. Физический смысл крутки. Главный вектор сил и главный момент в задаче о кручении и изгибе бруса. Постановка задачи о кручении и изгибе бруса с помощью функции напряжения. Теорема о циркуляции касательного напряжения. Определение величины крутки и постоянных интегрирования в случае многосвязного сечения бруса. Мембранная аналогия. Центр изгиба. Изгиб и кручение бруса эллиптического сечения. Задача Альманзи. Постановка контактной задачи Герца. Анализ размерностей в задаче Герца. Точное решение задачи Герца. Упругое соударение шаров.

Плоская задача теории упругости.

Плоско деформированное состояние. Постановка плоской задачи теории упругости в напряжениях и перемещениях. Функции Эри, ее физический смысл. Постановка плоской задачи теории упругости с помощью функции Эри. Плоско напряженное состояние. Условие его существования. Обобщенное плоско напряженное состояние. Теорема Мориса Леви. Разбиение плоской задачи на задачу о пластинке и задачу о диске. Решение задачи Ламе об упругой трубе под давлением. Цилиндрическая оболочка. Гипотеза плоских сечений. Задача о внутреннем давлении на упругую трубу, армированную снаружи тонкой оболочкой. Задача о равномерном растяжении плоскости, ослабленной круговым отверстием. Коэффициент концентрации напряжений. Представление бигармонической функции в комплексном виде. Комплексное представление тензора напряжений, сил и моментов, действующих на контуре. Комплексное представление перемещений. Постановка плоских задач теории упругости методами ТФКП.

Динамические задачи теории упругости.

Теорема Гельмгольца. Волновые потенциалы (векторный и скалярный). Оператор Даламбера. Два типа волн в изотропной неограниченной среде. Продольные и поперечные волны. Плоские и сферические волны. Гармонические волны. Фаза волны. Волновое число. Волновой фронт. Поверхностные волны Релея. Характеристики и условия на них для волнового уравнения. Прямая и обратная волны. Слабые и сильные разрывы. Упругая волна в полубесконечном стержне.

Описание неупругого поведения материалов.

Физические основы неупругого поведения материалов. Упрочнение материалов. Деформационная анизотропия. Эффект Баушингера. Постулат макроскопической определенности. Процессы деформаций и напряжений. Простые процессы. Теория определяющих соотношений. Выпуклые и монотонные операторы. Материалы с жесткой и мягкой характеристикой. Вариационный принцип Лагранжа. Теорема о минимуме лагранжиана. Преобразование Лежандра. Обобщенное преобразование Лежандра. Кастильяниан. Вариационный принцип Кастильяно. Теорема о максимуме кастильяниана. Общий вариационный принцип. Вариационный принцип Рейсснера. Метод Ритца.

Теория пластичности.

Условия пластичности Мизеса и Треска. Свойства предельных поверхностей. Деформационная теория. Постановка задачи. Существование и единственность решения. Метод упругих решений и его сходимость. Теорема о простом нагружении. Термопластическая задача о шаровом слое под внутренним давлением. Теория пластического течения. Идеальная пластичность. Ассоциированный закон течения. Постулат Дракера. Остаточные деформации и напряжения, жесткопластическое тело. Несущая способность. Условия текучести Мизеса и Треска в плоской задаче. Определение линий скольжения, их свойства. Задача о шаровом слое из идеально пластического материала. Сжатие слоя между шероховатыми плитами (задача Прандтля). Теория упругопластических процессов. Постулат изотропии. Волны в упругопластическом стержне.

Реономные теории.

Основные соотношения линейной теории вязкоупругости. Метод преобразований Лапласа. Принцип Вольтерры. Метод аппроксимаций. Теория ползучести. Теория старения. Вязкопластическое течение. Понятие о “сложных” средах.

Литература

1. Новацкий В. Теория упругости. М., 1975.

2. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М., 1981.