Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика

Контрольные вопросы

Запишите первое начало термодинамики для изохорного, изотермического и адиабатического процессов.
Почему теплоемкость газа зависит от способов и условий нагревания?
Какая физическая величина в первом начале термодинамике не зависит от характера процесса?
Почему больше ? Получите соотношение Майера.
Какой процесс называется адиабатическим? Как связаны параметры состояния идеального газа при адиабатическом процессе?
Объясните, каким образом и почему меняется температура газа в баллоне.
Нарисуйте на – диаграмме все процессы, происходящие с газом в этом опыте.
Получите рабочую формулу (20.15) для определения .
Объясните, почему необходимо измерять зависимость ?

Используемая литература
[2] §83, 88; [3] §9.1-9.6; [7] §55; [4] §34; [5] §34.1-34.4; [10] §10.10; [11] §31-33.

Лабораторная работа 1-21

Определение отношения теплоемкостей акустическим методом

Цель работы: изучение распространения звуковых волн в газах, определение адиабатической постоянной воздуха.

Теоретическое введение
Термодинамические соотношения, определяющие величины теплоёмкостей при постоянном давлении () и при постоянном объёме (), приведены в работе 1-20 “ Определение отношения теплоемкостей для воздуха методом адиабатического расширения”. Там же отмечено, что отношение определяет скорость распространения звука в газах. Поэтому, измеряя величину скорости звука в газе, можно определить значение адиабатической постоянной .

Рассмотрим, чем определяется скорость звуковых волн в газе и как она зависит от температуры. Звуковыми или акустическими волнами называют упругие волны малой интенсивности, т.е. слабые механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде. В сплошной среде любую малую деформацию можно представить в виде элементарных деформаций растяжения (сжатия) и сдвига. Поэтому упругие свойства изотропных твердых тел вполне определяются двумя упругими константами – модулем Юнга (растяжение, сжатие) и модулем сдвига (чистый сдвиг). И, соответственно, в твердых телах могут распространяться продольные волны (волны сжатия, растяжения) и поперечные волны (волны сдвига).

Что же касается газов, то они в отличие от твердых тел способны как угодно изменить свою форму под действием сколь угодно малых сил. Лишь для изменения самого объема газа, как и для твердых тел, необходимы конечные внешние силы. Т.е. газы ведут себя как упругие тела только в отношении изменения объема. Из двух элементарных деформаций – растяжения (сжатия) и сдвига – только первая связана с изменением объема. Поэтому только в отношении деформации растяжения и сжатия газы ведут себя как упругие тела. Однако и в отношении этой деформации есть существенное различие в поведении газов от твердых тел. Твердое тело можно растянуть или сжать в каком–либо одном направлении. Его можно также сжать во всех направлениях, т.е. подвергнуть всестороннему сжатию или растяжению. В газах же имеем дело только со всесторонним сжатием (только деформации сжатия). Какой бы объем ни занимала данная масса газа, газ всегда оказывается сжатым, так как в отсутствие внешних сил объем газа будет увеличиваться беспредельно. Итак, газы ведут себя как упругие тела только в отношении деформации всестороннего сжатия.

Давление в газе зависит от степени его сжатия. Так же, как и в твердых телах, связь между давлением (напряжением) и сжатием (деформацией) определяется упругими свойствами тела. Упругие свойства газа характеризуются объемной упругостью (сжимаемостью), то есть соотношением между изменением объема (плотности) данной массы газа и изменениями давления в нем. Объемная упругость жидкостей и газов количественно может быть охарактеризована отношением действующего давления к величине относительного изменения объема, которое этим давлением вызвано.

Пусть объём газа при некотором давлении равен и при изменении давления на он изменится на . Следовательно, относительное изменение объёма есть , а коэффициент сжимаемости определяют как:

(21.1)

Обратная величина называется модулем сжатия:

(21.2)

Знак минус взят затем, чтобы было положительно ( и всегда противоположны по знаку).

Если выразить (21.2) через плотность (), то получим:

(21.3)

Найдем теперь, как связана скорость звуковых волн в газе с его упругими свойствами – с модулем сжатия. Звуковая волна в газе представляет собой последовательные чередующиеся области сжатия и разрежения, распространяющиеся со скоростью, зависящей от упругих свойств газа.

Как может возникнуть область сжатия в газе?

Представим себе пластину очень больших размеров, помещённую в газ (АА на рис.21.1), которой в некоторый момент времени сообщают быстрое перемещение со скоростью вдоль нормали к ней. В прилегающем слое газа возникнет сжатие и вследствие этого повышение давления. Это давление вызовет движение следующего слоя газа и т.д., то есть возмущение будет передаваться от слоя к слою. Возмущение за время распространится до линии ВВ на расстояние , где – скорость распространения упругой волны, и охватит область среды объёмом ( – площадь пластины) с массой .

В возмущённой области всё вещество в любой момент времени движется с постоянной скоростью . Следовательно, изменение импульса возмущённой области равно . По второму закону Ньютона изменение импульса за время равно импульсу действующей силы: . Таким образом, сила, действующая на площадку слева, равна , а увеличение давления, вызванное этой силой,

. (21.4)

Распространение возмущения в газе связано с увеличением его плотности в возмущённой области на ( – плотность газа в области сжатия, – плотность недеформированного газа). Относительное изменение плотности в возмущённой области объёмом равно относительному изменению объёма при смещении пластины на :

. (21.5)

Из (21.4) и (21.5) получим , или

. (21.6)

Таким образом, скорость распространения области сжатия в газе определяется тем, как изменяется его плотность при изменении давления.

Чтобы получить теперь окончательное выражение для скорости звука в газе, необходимо принять во внимание, что упругие свойства газов зависят от температуры. При быстром сжатии газа выделяется теплота, которая не успевает распространиться в соседние объёмы. Сжатие газа без отвода теплоты – это адиабатический процесс. При адиабатическом изменении состояния газа вместо закона Бойля-Мариотта, который справедлив при неизменной температуре (изотермическое сжатие), связь между объёмом и давлением дается уравнением Пуассона

, , (21.7)

где .

Так как плотности обратно пропорциональны объемам, то уравнение Пуассона можно переписать так: , или

. (21.8 )

Дифференцируя (21.8), находим

. (21.9)

Если сравнить выражение ( – модуль Юнга), определяющее скорость распространения продольных звуковых волн в твердых телах, и (21.6)

с (21.9) то видно, что величина играет в газе такую же роль, какую величина в твердом теле. Эта величина и определяет скорость распространения области сжатия. В отличие от модуля Юнга твердого тела, модуль сжатия газа зависит от того значения плотности , которое имеет газ в области сжатия.

Только в том случае, когда сжатие столь мало, что можно положить , модуль сжатия перестает зависеть от и скорость распространения области сжатия не зависит от величины сжатия (деформации).

В этом случае, как следует из (21.9)

, (21.10)

и скорость распространения слабых импульсов сжатия:

(21.11)

Звуковые волны можно рассматривать как ряд таких импульсов сжатия, следующих вплотную друг за другом и распространяющихся с одинаковой скоростью. Пока сжатия в звуковой волне не велики, она должна распространяться со скоростью, определяемой (21.11).

Используем уравнение состояния для идеального газа (– молярная масса, – универсальная газовая постоянная, – температура) в виде . Тогда выражение для скорости звуковых волн в идеальном газе принимает такой вид:

(21.12)

Отсюда отношение газовых теплоемкостей:

(21.13)

Из него следует, что для определения адиабатической постоянной достаточно при постоянной температуре в газе измерить скорость звука.

Отметим еще, что формула (21.12) имеет ясный физический смысл: передача возмущений в звуковой волне в газе осуществляется за счет теплового движения молекул, поэтому не удивительно, что скорость звука равна по порядку величины скорости теплового движения молекул .
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: звуковой генератор, осциллограф, стеклянная труба с вмонтированным в ее торцы микрофоном и телефоном.
Методика измерений
Наиболее удобный метод определения скорости звуковых волн основан на измерении длины волны стоячих звуковых волн. Стоячей звуковой волной называется волна, образующаяся в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые частоты и амплитуды. Точки, в которых амплитуда стоячей волны равна нулю, называются узлами, а точки, в которых амплитуда волны максимальна – пучностями. Расстояние между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны бегущих волн (рис.21.2). Эту величину называют длиной стоячей волны: .

В случае свободных колебаний струн, стержней, столбов газа в них устанавливаются стоячие волны, частоты которых удовлетворяют определенным условиям, то есть могут принимать только определенные дискретные значения, называемые собственными частотами. Если – длина столба газа, – фазовая скорость волны, – длина волны, то для столбов газа в трубах, закрытых или открытых с обоих концов, на длине укладывается целое число длин стоячей волны – условие стоячей волны

, (). (21.14)

Поскольку частота и длина волны связаны соотношением , то ограничение на частоты стоячей волны должно быть следующим:

. (21.15)

Для измерения скорости звука в воздухе используется установка, представленная на рис.21.2.

Звуковые колебания в воздухе, находящемся в трубке 1, возбуждаются динамиком 2, подключенным к звуковому генератору. Микрофон 3, соединенный с электронным осциллографом, позволяет анализировать характер распространения звука в трубе.

Другими словами – левому торцу трубы (динамик) сообщаются гармонические колебания от внешнего источника (генератора звуковых колебаний). В столбе газа распространяются звуковые волны, которые отражаются от правого торца трубы (микрофона). Возникновение стоячей волны в этом столбе газа при заданном внешнем воздействии на одном из торцов трубы представляет собой не что иное, как явление резонанса. Значительная амплитуда стоячей волны (резонанс) появляется, когда частота внешнего воздействия (звукового генератора) совпадает с собственной частотой (21.15).

Измеряя частоту для последовательных резонансов и , из (21.15) можно записать уравнение для определения скорости звуковой волны в газе

;

, (21.16)

и тогда из (21.13) получим для показателя Пуассона :

, (21.17)

где – средняя молярная масса воздуха.

Порядок выполнения работы

Ознакомьтесь с краткой теорией вопроса и принципом действия установки.
Измерьте длину трубки от динамика до микрофона.
Запишите в табл.21.1 температуру .
Подключите приборы к сети.
Изменяя частоту генератора от 500 до 2000 Гц, установите частоты , при которых на экране осциллографа наблюдается резкное увеличение амплитуды сигнала.
Все результаты измерений занесите в таблицу 21.1.
Выключите установку.
Вычислите , найдите среднее значение этой величины , и по (21.17) определите .
Вычислите погрешность .

Замечание 1: относительная погрешность вычисляется по стандартной методике расчёта погрешностей косвенных измерений. Исходя из (21.17) получим: . Абсолютная погрешность разностей частот определяется по методике расчёта случайных погрешностей прямых измерений:

, (21.18)

где – отклонение от среднего результатов i-того опыта; – коэффициент Стьюдента для n опытов.

Замечание 2: можно рассчитать в каждом опыте, а затем усреднить и получить . Тогда погрешность рассчитывается по формуле, аналогичной (21.18).

Запишите результаты в виде  = _ср  . При записи результата подумайте, сколько знаков после запятой следует поставить.

Таблица 21.1

n	, Гц	, Гц	, Гц	, м	, м	, К	, К
0		-
1
2
3
4
5
6
7
8
Средн.	-

Контрольные вопросы

Дайте определения и , используя первое начало термодинамики.
Представьте примеры, в которых на опыте измеряют и в которых – _.
Сравните значения скорости звука в газах и твёрдых телах и модули упругости в них.
В чём отличие зависимости для газов и твёрдых тел?
Сравните зависимости в газах для изотермического и адиабатического процессов.
Почему распространение звука в газах – адиабатический процесс?
Объясните, почему модуль сжатия характеризует упругие свойства газов.
Запишите условие стоячих волн в трубке.
Объясните, как выводится соотношение для скорости упругих волн в газах.
Выведите (21.17).

Используемая литература

[2] §67, 69; [3] §9.1-9.6; [7] §55; [4]§ 34; [10] §10.10; [11] §31-33.

Лабораторная работа 1-22

Определение теплоемкости твердых тел
Цель работы: усвоение основных понятий в термодинамике, оценка удельных теплоемкостей некоторых твердых тел.
Теоретическое введение
Среди различных тепловых свойств важное место занимает теплоемкость , под которой для тела (или системы тел) понимают отношение

, (22.1)

где - бесконечно малое количество теплоты, полученное системой при повышении температуры на .

Средняя теплоемкость в интервале температур от до может быть представлена таким образом:

, (22.2)

где – количество теплоты, за счет получения которой температура системы повысилась от до .

Так как количество сообщенной теплоты зависит от характера процесса (от пути процесса), определений (22.1) и (22.2) недостаточно, и необходимо указать, каким именно способом повышается температура. Действительно, если температура тела повышается вследствие адиабатического процесса, то и . Если в системе происходит изотермический процесс, то или , а .

Обычно на опыте имеют дело с двумя видами теплоемкостей: при постоянном давлении – , и при постоянном объеме – :

, . (22.3)

Здесь , – энтальпия, а , – внутренняя энергия, а – первое начало термодинамики.

Таким образом, теплоемкости и есть частные производные от энтальпии и внутренней энергии по температуре (при постоянных давлении и объеме). Уравнения

и (22.4)

можно рассматривать как определения. Они не имеют прямого отношения к теплоте и характеризуют зависимость энтальпии и внутренней энергии от температуры в условиях постоянного давления или объема и позволяют найти энтальпию или внутреннюю энергию системы при любой температуре, если известны и .

Теплоемкости и связаны между собой простым термодинамическим соотношением:

(22.5)

где – температурный коэффициент линейного расширения, – модуль всестороннего сжатия (см. определение в работе 1-21), – объем тела, – температура.

Относительная величина разности для твердых тел невелика и ею можно пренебречь при невысоких температурах. Напомним, что в газах это не так: .

Чтобы теплоемкость вещества не зависела от массы тела, вводят понятие удельной и молярной теплоемкостей. Удельная теплоемкость измеряется в , а молярная – в . Из соображений размерности ясно, что , где – молярная масса вещества.

Экспериментальные факты, относящиеся к теплоемкости типичных неорганических, химически простых, одноатомных кристаллических тел, можно свести к следующим пунктам.

При комнатных температурах значения теплоемкости таких веществ близки к , т.е. . Это так называемый закон Дюлонга – Пти.
При низких температурах теплоемкость заметно уменьшается и в области абсолютного нуля температур приближается к нулю (рис. 22.1).

Эту особенность температурной зависимости теплоемкости твердого тела при низких температурах можно объяснить только с помощью квантовой теории (модели Эйнштейна и Дебая).
Методика измерений
Для экспериментального определения теплоемкости исследуемое тело помещается в калориметр, который нагревается электрическим током. Если температуру калориметра с исследуемым образцом очень медленно увеличивать от начальной на , то энергия электрического тока пойдет на нагревание образца и калориметра:

(22.6)

где и – ток и напряжение нагревателя; – время нагревания; и – массы калориметра и исследуемого образца; , – удельные теплоемкости калориметра и исследуемого образца; – потери тепла в теплоизоляцию калориметра и в окружающее пространство.

Для исключения из уравнения (22.6) количества теплоты, расходованной на нагрев калориметра и потери теплоты в окружающее пространство необходимо при той же мощности нагревателя нагреть пустой калориметр (без образца) от начальной температуры на ту же разность температур .

Потери тепла в обоих случаях будут практически одинаковыми и очень малыми, если температура защитного кожуха калориметра в обоих случаях постоянная и равна комнатной: .

(22.7)

Из уравнений (22.6) и (22.7) вытекает

. (22.8)

Уравнение (22.8) может быть использовано для экспериментального определения удельной теплоемкости материала исследуемого образца. Изменяя температуру калориметра, необходимо построить график зависимости разности времени нагрева от изменения температуры исследуемого образца (рис.22.2). Зависимость от линейная: , поэтому угловой коэффициент можно определить по графику как тангенс угла наклона графика к оси абсцисс: , откуда удельная теплоёмкость образца

. (22.9)
Экспериментальная часть
Для определения теплоемкости твердых тел предназначена экспериментальная установка ФПТ1-8, общий вид которой показан на рис. 22.3: 1 – блок приборов; 2 – блок рабочего элемента; 3 – нагреватель; 4 – исследуемые образцы; 5 – рукоятка. Образцы нагреваются в калориметре, схема которого приведена на рис. 22.4.

Калориметр представляет собой латунный корпус 2 с коническим отверстием, куда вставляется исследуемый образец 1. На наружной поверхности корпуса в специальных пазах размещается нагревательная спираль 9. Снаружи корпус калориметра теплоизолирован слоями асбеста 3 и стекловолокна 6 и закрыт алюминиевым кожухом 4. Калориметр закрывается теплоизолирующей крышкой 10. Исследуемые образцы расположены в гнездах в блоке рабочего элемента 2. После окончания эксперимента образец можно вытолкнуть из конического отверстия корпуса калориметра с помощью винта 7. Для удаления нагретого образца из калориметра и установки образца в нагреватель используется рукоятка 5, расположенная в специальном гнезде рядом с исследуемыми образцами. Температура калориметра измеряется цифровым термометром, датчик 8 которого находится в корпусе калориметра.

В блоке приборов 1 (рис.22.3) расположен источник питания нагревателя, мощность которого устанавливается регулятором «Нагрев». Напряжение и ток в цепи нагревателя измеряются вольтметром и амперметром, расположенными на передней панели блока приборов. Время нагрева калориметра измеряется секундомером, расположенным в блоке приборов. Секундомер приводится в действие при включении питания блока приборов.

Массы образцов и относительные атомные массы материалов приведены в таблице 22.1.

Таблица 22.1

№ п/п	Материал образца	Молярная масса, кг/моль	Масса , г
1	Дюраль		80
2	Латунь		180
3	Сталь		150

Порядок выполнения работы

Снимите кожух блока рабочего элемента установки. Включите установку тумблером «Сеть».
Пустой калориметр плотно закройте крышкой. Включите тумблер «Нагрев». С помощью регулятора «Нагрев» установите необходимое напряжение в цепи.
При температуре калориметра °С включите отсчет времени. Сделайте 7-10 измерений времени нагрева пустого калориметра через интервал 1°С. Результаты занесите в таблицу 22.2.
Выключите тумблер «Нагрев», откройте крышку и охладите калориметр до начальной температуры .
Вращая винт влево, поместите в калориметр один из исследуемых образцов, взятый по указанию преподавателя. Плотно закройте крышку калориметра и подождите 3 минуты для того, чтобы температуры калориметра и образца сравнялись.
Включите нагреватель калориметра, установив такое же напряжение в цепи, как и при нагревании пустого калориметра.
Включите отсчет времени при той же начальной температуре . Сделайте 7-10 измерений времени нагревания калориметра с образцом через интервал температуры 1°С. Результаты занесите в таблицу 22.2.
Регулятор «Нагрев» установите в крайнее левое положение, выключите тумблер «Нагрев», откройте крышку калориметра. Для удаления образца из калориметра винт вращайте вправо, после чего с помощью рукоятки выньте нагретый образец.
Выключите установку тумблером «Сеть»

Таблица 22.2

; ;

№

п/п

град

с,

…

Обработка результатов измерений

Вычислите и . Постройте график зависимости разности времени нагревания калориметра с образцом и пустого калориметра от изменения температуры калориметра , проведя прямую по линейке в среднем по экспериментальным точкам (рис.22.2).
Определите по графику и .
Используя его значение, определите по формуле (22.9) удельную теплоемкость образца: .
Используя данные таблицы 22.1, определите молярную теплоемкость образца.
Оцените погрешность результатов измерений.
Сравните полученное значение удельной теплоёмкости с табличным.
Сделайте выводы.

Контрольные вопросы

Дайте определение теплоемкости тела; молярной теплоёмкости; удельной теплоёмкости. Укажите единицы измерения теплоёмкости.
Объясните, почему теплоемкости различны для разных термодинамических процессов.

Какие соображения можно привести, чтобы понять, почему ?

Попытайтесь из формулы (22.5) получить для идеальных газов соотношение Майера: .
В чем особенности теплоемкостей твердых тел в отличие от газов?
В чем заключается метод электрического нагрева для определения теплоемкости твердых тел?
Выведите формулу для экспериментального определения теплоемкости.
Почему во время эксперимента нагревание пустого калориметра и калориметра с образцом необходимо производить при одной и той же мощности нагревателя?
Чем ограничена максимально допустимая температура нагревания калориметра?
Каковы источники ошибок данного метода измерений?

Используемая литература
[1] §87, 114; [3] §9.3, 9.5; [7] §53.

Лабораторная работа 1-23

Определение изменения энтропии при нагревании и плавлении олова
Цель работы: определение изменения энтропии при фазовом переходе первого рода на примере плавления олова.
Теоретическое введение
Состояния вещества, которые могут существовать одновременно в равновесии друг с другом, называются различными фазами вещества. В зависимости от агрегатного состояния различают газовую, жидкую и твердую фазы. Будем говорить далее о фазах чистого вещества. Переход из одной фазы в другую называют фазовым превращением или фазовым переходом. Характерная особенность фазовых превращений – скачкообразное изменение свойств вещества. Так, при нагревании льда его тепловое состояние меняется постепенно до тех пор, пока температура не становится равной 0⁰С. Тогда лед начинает превращаться в жидкую воду, обладающую совершенно другими свойствами. После фазового перехода вещество состоит из тех же атомов, но обладает другими свойствами.

По классификации фазовых переходов, принадлежащей П. Эренфесту, в фазовых переходах I рода скачком изменяются такие термодинамические характеристики как плотность, объем, энтропия – первые производные от свободной энергии Гиббса. При этом выделяется или поглощается теплота. Примерами таких переходов являются процессы испарения и плавления вещества.

Фазовые переходы II рода осуществляются без выделения или поглощения теплоты, не меняются объем, энтропия. Однако скачком меняются производные от этих величин (вторые производные от свободной энергии Гиббса) – теплоемкость, коэффициент теплового расширения и т. д. Примерами таких переходов являются фазовые переходы типа "парамагнетик-ферромагнетик", переход в сверхпроводящее состояние, переход жидкого гелия в сверхтекучее состояние.

В данной работе необходимо измерить температуру фазового перехода – температуру плавления олова, что и позволит рассчитать изменение энтропии при этом фазовом превращении.

Фазовый переход I рода сопровождается выделением или поглощением некоторого количества тепла (так называемая скрытая теплота перехода). Согласно условиям равновесия такой переход происходит обратимо при постоянном давлении и постоянной температуре. Первое начало термодинамики вводит одну функцию состояния (величину, не зависящую от пути процесса) – внутреннюю энергию . Второе начало термодинамики вводит другую функцию состояния – энтропию . Для обратимых процессов

, (23.1)

где – бесконечно малое количество теплоты, сообщаемое системе при малом изменении ее состояния, – ее температура. Символ указывает на то, что изменение не является полным дифференциалом, в отличие от . То есть, количество теплоты не является функцией состояния.

Можно воспользоваться вторым началом термодинамики и рассчитать изменение энтропии системы при переходе из состояния a в состояние b :

(23.2)

В нашем случае изменение энтропии при нагревании и плавлении олова определяется как сумма изменения энтропии при нагревании олова до температуры плавления и изменения энтропии при плавлении олова.

(23.3)

Выражение для нетрудно получить, учитывая, что количество теплоты , получаемое веществом при изменении его температуры, равно , где c – удельная теплоемкость, – масса вещества.

Тогда при нагревании от комнатной температуры до температуры плавления олова энтропия изменяется на

. (23.4)

Так как плавление вещества происходит при постоянной температуре , то при расчете по формуле (23.1) величину можно вынести из-под знака интеграла, а теплоту плавления необходимо выразить через удельную теплоту плавления :

. (23.5)

Окончательное выражение для изменения энтропии при нагревании и плавлении олова будет иметь вид:

. (23.6) << предыдущая страница следующая страница >>