1. Комплексные числа и действия над ними Комплексные числа

4.4. Показательная функция

Как известно, при действительном имеем

Аналогично определяем

если – комплексное.

Можно показать [5], что

, .

(Здесь и ниже символ означает одно из значений аргумента ).

Таким образом, комплексная показательная функция с комплексным показателем определяется равенством

, (4.7)

так как

Свойства показательной функции.

1. Область определения показательной функции – все множество комплексных чисел, т.е. . Утверждение следует из того, что действительная функция определена при любом действительном , а действительные функции и определены при любом действительном , а поэтому формула (4.7) имеет смысл при любом комплексном .

2. ; .

Это свойство следует из формулы (4.7).

3. Показательная функция принимает любое комплексное значение, кроме нуля, т.е. множество значений (область значений) показательной функции

Показательная функция не принимает нулевого значения, так как

Покажем теперь, что показательная функция примет значение любого комплексного числа , т.е. покажем, что уравнение

(4.8)

разрешимо относительно при любом .

Представим в тригонометрической форме:

, (4.9)

где – одно из значений , например, пусть – главное значение .

Теперь на основании (4.7) и (4.9) уравнение (4.8) примет вид:

.

Отсюда

, , ;

Итак, мы нашли решение уравнения (4.8)

, (4.10)

при любом .

Свойство доказано.

4. .

Пусть , .

Тогда

. (4.11)

(Последнее равенство получено на основании формулы (4.7)) С другой стороны

. (4.12)

Из (4.11) и (4.12) имеем доказываемое утверждение

5. Показательная функция аналитична во всей комплексной плоскости и .

Из определения показательной функции имеем

.

Следовательно,

;

; ;

; .

Частные производные непрерывны в каждой точке , так как для любых и непрерывны функции , , . Легко заметить также, что в любой точке комплексной плоскости выполняются условия Коши-Римана:

; .

Выполнение этих условий и непрерывность частных производных , , , во всей комплексной плоскости означает аналитичность показательной функции во всей комплексной плоскости. Для нахождения производной показательной функции воспользуемся формулой

;

.

6. Показательная функция непрерывна во всей комплексной плоскости. Непрерывность функции следует из её аналитичности. (Функция аналитическая во всей комплексной плоскости дифференцируема в каждой точке плоскости, а из дифференцируемости всегда следует непрерывность функции).

7. Показательная функция периодична с периодом равным .

В самом деле

.

Замечание. Любой другой период показательной функции имеет вид

, ,

т.е., если

, (4.13)

то , ,.

Пусть имеем (4.13), тогда . Положим , тогда .

,

, ,. (4.14)

Из (4.14) следует, что , тогда

, ,.

Что и требовалось доказать.

8. Показательная функция однолистна во всякой открытой горизонтальной полосе ширины не больше .

Утверждение будет доказано, если мы покажем, что нарушение однолистности возможно лишь на границах указанной полосы, т.е.

при

тогда и только тогда, когда , например, при и лежат па пересечении перпендикуляра с прямыми и , расстояние между которыми равно (рис.4.8).

Итак, пусть и .

Тогда , где .

Но , как показано в предыдущем свойстве, всегда равно , т.е. . Итак, , , если , что и требовалось доказать.

4.5. Отображения, осуществляемые показательной функцией

Задача 1.

Найти оброз горизонтальной прямой при отображении .

Решение.

Пусть – любая точка прямой , где (рис.4.9).

Тогда . Но , . Если изменяется от до , то изменяется от до .
остается неизменным. Если изменяется от до , a не изменяется, то точки «пробегает» прямую , а тогда образ точки при отображении «продвигается» по лучу , образующему угол с осью в плоскости , так как изменяется в этом случае от до , а остается неизменным.

Итак, образом прямой , где при отображении является луч , образующий угол с осью на плоскости .

Задача решена.

Задача 2.

Найти образ вертикальной прямой при отображении . Решение.

Пусть – любая точка прямой (рис.4.10), где . Образ этой точки – точка

.

Если изменяется от до , то точка «пробегает» прямую снизу вверх, а образ этой точки при отображении точка будет описывать «бесконечное» число раз окружность .

Задача решена: образом прямой при отображении является окружность в плоскости .

Задача 3.

Найти образ горизонтальной полосы шириной р при отображении .

Решение.

Рассмотрим произвольную горизонтальную прямую : , лежащую в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми , где и , где (рис.4.11).

Образом прямой , как мы установили при решении задачи , является луч в плоскости , образующий угол у с осью . При изменении от до , прямая перемещается от прямой к прямой и «заметает» в плоскости горизонтальную полосу шириной .

Образ прямой – луч будет перемещаться при этом от луча к лучу ( изменяется от до ) и опишет на плоскости угол величиной .

Задача решена: образом горизонтальной полосы шириной при отображении является угол на плоскости с вершиной в начале координат величины .

Замечание. Если открытая горизонтальная полоса имеет ширину не больше , то, как мы отметили в свойствах функции , эта функция однолистна в данной полосе.

Кроме того, в каждой точке комплексной плоскости, а значит и в каждой точке полосы .

Однолистность функции в рассматриваемой полосе и условие обеспечивает конформность отображения полосы шириной на угол величины с вершиной в начале координат.

4.6. Тригонометрические функции комплексного переменного

Тригонометрические функции и определяются следующими равенствами:

; (4.15)

. (4.16)

Это определение естественно, так как при действительном из определения показательной функции (формула (4.7)) имеем

; .

Установим некоторые свойства тригонометрических функций.

1. Тригонометрические функции и определены для всех , так как для всех определена показательная функция .

2. Известные тригонометрические тождества остаются справедливыми и для тригонометрических функций комплексного переменного.

Например,

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Докажем, например, что .

Действительно, имеем

3. Функции , непрерывны во всей комплексной плоскости, так как непрерывна в каждой точке комплексной плоскости функция .

4. Функции и являются периодическими с периодом .

Действительно, имеем

;

.

Докажем, что у функций , периодов, отличных от , , не существует.

В самом деле, если – есть период функции , то

.

При получаем

Отсюда следует, что

или

Положим , тогда

,

.

Отсюда следует, что

, , , ,

т.е. , и так как , то есть четное число и , ,

5. Функция – нечетная, a – четная, т.е.

; .

Эти равенства легко проверить, если воспользоваться формулами (4.15) и (4.16).

6. Функции и являются аналитическими во всей комплексной плоскости.

Проверим это, например, для функции . Выделим действительную и мнимую части функции :

Отсюда имеем, что

; . (4.17)

Легко проверить, что условия Коши-Римана

;

выполняются для всех . Так как функции и имеют непрерывные частные производные и условия Коши-Римана выполняются для всех , то функция является аналитической во всей комплексной плоскости.

По формуле – вычислим производную функции .

.

Аналогичным образом доказывается, что

7. Некоторые свойства тригонометрических функций не сохраняются при переходе от действительного аргумента к комплексному. Может оказаться, что или .

В самом деле

,

при стремится к и, следовательно, принимает сколь угодно большое значение. Другими словами функции и неограничены во всей комплексной плоскости.

8. Уравнения и имеют решения только при , т.е. только на действительной оси. Следовательно, , если , , а , если , ,.

В самом деле, пусть

. (4.18)

Тогда из (4.17) следует, что

, т.е.

.

Отсюда имеем

Из первого уравнения системы следует, что , так как для любого . Из второго уравнения системы получим, что , так как при . Но тогда и только тогда, когда .

Таким образом,

, .

Функции и определяются формулами:

; .

Так как при , , то в этих точках функция не определена. Аналогичным образом функция определена всюду на комплексной плоскости, кроме точек , .

4.7. Гиперболические функции комплексного переменного

Гиперболические функции определяются следующими соотношениями:

; (4.19)

Сравнивая определение тригонометрических функций и гиперболических функций, получим:

; ;

; . (4.20)

Следовательно, если аргумент синуса имеет множитель , то его можно внести за знак функций, причем синус тригонометрический следует заменить синусом гиперболическим и наоборот.

Если аргумент косинуса имеет множитель , то его можно опустить, заменив тригонометрический косинус гиперболическим и наоборот.

Используя формулы (4.20), можем получить ряд тождеств для гиперболических функций.

1. Известно, что . Пусть . Тогда . Воспользовавшись формулами (4.20), получим

,

т.е.

Аналогичным образом указывается, что

.

4.8. Логарифмическая функция комплексного переменного

Определение 4.4.

Соответствие, обратное показательной функции называется многозначной логарифмической функцией.

Разрешив уравнение

(4.21)

относительно , получим формулу для определения значений многозначной логарифмической функции: представим в показательной форме , где – одно из значений , например, – главное значение аргумента , и представив в виде получим равенство . Отсюда получим

, , , , ,

так как два комплексных выражения равны между собой тогда и только тогда, когда равны модули этих выражений, а аргументы отличаются на число, кратное . Итак имеем

или

–

– соответствие, обратное показательной функции . Это соответствие обозначаем символом . Итак, по определению

, , (4.22)

Полагая в формуле (4.22) , получим ряд однозначных функций:

;

;

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Эти функции называются однозначными ветвями многозначной логарифмической функции .

Для однозначной ветви вводят специальный символ , т.е. полагают или что тоже самое

Эту ветвь называют главной ветвью логарифмической многозначной функции.

Каждая ветвь логарифмической функции является функцией обратной для сужения показательной функции на некоторую горизонтальную полосу шириной 271.

Например, – функция обратная для сужения функции на полосу . В самом деле, функция однолистна в указанной полосе, а следовательно существует для этой функции в указанной полосе обратная однозначная функция. Формулу для определения значений этой функции получим, если разрешим относительно уравнение:

при условии .

Решения этого уравнения получены, все они содержатся в формуле

, , . (4.23)

Условию удовлетворяет функция

получаемая из формулы (4.23) при так как здесь

, .

Итак, – функция обратная для сужения функции на полосу .