Комплексные задачи - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Комплексные числа 1 80.23kb.
Комплексные числа (теория) Комплексные числа в алгебраической форме 1 60.46kb.
1. Комплексные числа и действия над ними Комплексные числа 4 867.12kb.
Решение задачи. Рассмотрим пример. Пусть имеется ряд предметов П1... 1 35.44kb.
Метод отображений для исследования обобщенной многоточечной задачи... 1 125.54kb.
Докла д комплексные числа и действия с ними 1 108.8kb.
№3, 2009 Г. Целевые научные программы дво ран 1 145.22kb.
Комплексные показатели надежности Коэффициент готовности 1 65.61kb.
Математическая постановка задач оптимизации Виды ограничений 1 207.24kb.
Тесты по русскому языку, математике, литературному чтению, окружающему... 2 344.98kb.
1. цель и задачи дисциплины, требования к знаниям и умениям цель... 1 223.2kb.
Основные определения. Операции над комплексными числами 1 24.17kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Комплексные задачи - страница №1/1

Комплексные - задачи

  1. Докажите, что для любого натурального n из условия , где a, b, p, q – рациональные числа следует, что .

  2. а) Докажите, что если – корень многочлена с рациональными коэффициентами, то также является корнем этого уравнения.

б) Докажите, что если – корень многочлена с целыми коэффициентами, то делится на .

  1. Докажите, что ни для каких натуральных чисел k и n равенство не может выполняться.

  2. Найдите десятый знак после запятой в десятичной записи числа .

  3. а) Найдите формулу, корней –ой степени из комплексного числа .

б) Докажите, что корни уравнения при любом z располагаются в вершинах правильного n–угольника

Корни степени из 1 принято обозначать , то есть

  1. Вычислите все корни . Нарисуйте их на комплексной плоскости. Какую фигуру будут образовывать ;? Аналогичный вопрос для ;.

  2. Найдите все значения выражений а) ; б) .




  1. Докажите следующие свойства корней из 1

а) , то есть для получения всех корней из комплексного числа необходимо взять какой-то корень и постепенно умножать его на все корни из 1;

б) , то есть всякий корень из1 является степенью первого корня.

в) корни и взаимно сопряжены

г) сумма всех корней степени из 1 равна 0 (докажите это и алгебраическим и геометрическим способом).



  1. Решите уравнение

  2. Вычислите сумму трех чисел, изображенных точками z1=0, z2=–1+2i, z3=2+i.

  3. Какое множество комплексной плоскости задается условием:

    1. |z–2| = |z+4i|

    2. ;

    3. ;



  4. Выразить с помощью формулы Муавра cos через cos и sin.

  5. Какие множества на плоскости описываются условиями

а) ;б) |z+1|<1;в) .

  1. Решить уравнение

  2. Найдите а) произведение, б) сумму квадратов всех корней из 1

  3. Докажите, что если сумма трех комплексных чисел равна 0, и они равны по модулю, то точки, соответствующие им, являются вершинами правильного треугольника.

  4. Найдите сумму .

  5. Какое комплексное число изображает четвертая вершина параллелограмма, у которого тремя вершинами являются точки z1=0, z2=–1+2i, z3=2+i?




  1. Критерий коллинеарности трех точек. Докажите, что три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда .

  2. Какое преобразование плоскости определяет функция

    1. f(z) = z+m (m – заданное комплексное число);

    2. f(z) = tz (t – заданное действительное число);

    3. f(z) = mz (m – заданное комплексное число);

    4. f(z) = a(zm)+m, где , m = 3–i;




  1. Докажите, что делится на p при .

  2. а) Докажите, что делится на p при .

  3. б) Докажите, что делится на при .

  4. Докажите, что если , то .

  5. а) На какую максимальную степень пятерки делится

  6. б) На сколько нулей заканчивается ?

  7. в) На сколько нулей заканчивается ?.

  8. Все ли понимают, что формула для решения уравнения x2+px+q=0 в комплексных числах остается такой же?

  9. Решите уравнение x3-37x-84=0.

  10. Где расположены числа вида (1-i)z-3+i, если ?

  11. Решите уравнение .

  12. Докажите, что для любого натурального функция cos может быть представлена в виде многочлена с целыми коэффициентами от cos.

  13. Докажите, что cos 310 – иррациональное число.




  1. Указать на плоскости множество точек, для которых сумма квадратов расстояний до вершин заданного правильного многоугольника равна d.

  2. Разложить на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами многочлен x-1.

  3. Натуральное число k является делителем натурального числа тогда и только тогда, когда корень степени k из 1 является корнем степени из 1.

  4. Решить уравнение

  5. Решить систему

  6. a) Докажите, что число нечетно тогда и только тогда, когда числа n, k удовлетворяют условию: если в каком-то разряде двоичной записи числа k стоит 1, то в том же разряде двоичной записи числа n также стоит 1.

б) А как обобщить предыдущий пункт и получить критерий того, что делится на p?

  1. Докажите, что количество чисел k = 0,1,2,…,, для которых число нечетно, есть степень двойки.


Все это – следствие теории групп


  1. Одна из вершин правильного n–угольника, вписанного в окружность с центром O, покрашена в красный цвет. Его поворачивают на угол . После n таких поворотов оказалось, что красная точка побывала во всех вершинах многоугольника и вернулась в исходное положение. а) Найдите все возможные значения  если n = 7; б) Найдите все возможные значения  если n = 10; в) Сколько таких значений  найдется для произвольного n?

  2. Докажите, что по p – простое, то любой корень степени p из 1 является первообразным.

  3. Сколько корней -й степени из 1 являются первообразными?

Определение Корень имеет порядок если dнаименьшее натуральное число такое, что

  1. а) Сколько корней уравнения есть среди чисел , , …, ?

б) Для каких d есть хотя бы один элемент порядка d среди чисел , , …, ?

в) Сколько элементов порядка d есть среди чисел , , …, ?
Мир остатков.

Определение Число g называется первообразным корнем по модулю m, если все являются различными степенями g. (Более правильно говорить что первообразным корнем является не число, а его остаток, вычет)

Определение При НОД(a,m)=1 существуют положительные d такие, что ad ≡ 1 (mod m), (например, по теореме Эйлера ) Наименьшее из них называется порядком числа a (Обычно еще говорят, что x принадлежит показателю d)

  1. Если число a имеет порядок d, то числа a0,a1,…,ad-1 по модулю m дают разные остатки.

  2. Если число а имеет порядок d, то делится на d.

  3. Докажите, что если существует вычет а имеющий порядок d по модулю m, то сравнению хd≡1(mod m) удовлетворяют по крайней мере d элементов .(Рассмотрите все степени а).

Далее мы некоторое время будем заниматься случаем простого модуля. Основная цель – понять есть ли вообще первообразный корень.

  1. Пусть Р(х) – многочлен степени , со старшим коэффициентом равным 1. Докажите, что при простом р сравнению Р(х) ≡0(mod p) удовлетворяет не более, чем различных остатков (классов вычетов). (Указание – воспользуйтесь теоремой Безу для остатков)

Вопрос на понимание как раскладывается на простые множители с многочлен (как многочлен с коэффициентами в остатках по модулю p).

  1. Докажите, что если существует вычет а имеющий порядок d по модулю p, то все решения сравнения хd≡1 (mod p) являются степенями a.

  2. Докажите, что порядок d имеет не более φ(d) элементов.

  3. Пусть р – простое число , а d – делитель числа р–1 Тогда ровно φ(d) элементов имеет порядок d.

Следствие Для каждого простого р существует φ(р –1) первообразных корней.

  1. Найдите все первообразные корни в модулю а) по модулю 7 б) по модулю 13

  2. Докажите, что для любого простого р первые (р-1) натуральных чисел можно расставить по кругу так, чтобы для любых трех подряд идущих чисел a, b, c разность b2 – ac делилась на р.

  3. Докажите, что существует первообразный корень по модулю 2p.

Еще задачи.

  1. Пусть x имеет порядок a, а y имеет порядок b. Докажите, что если НОД(a,b)=1, то xy имеет порядок ab.

  2. а) Пусть a целое, a>1. Докажите, что простые нечетные делители ap-1 или делят a-1 или имеют вид px+1.

б) Докажите, что простых чисел вида бесконечно много.

  1. Найдите а) произведение всех вычетов по модулю p б)сумму их k-х степеней.

  2. Решите сравнение .

ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Будем обозначать точки плоскости большими LATINSKIMI буквами, а комплексные числа – маленькими соответствующими latinskimi буквами.

Факты


1. Деление отрезка. Cередина отрезка с концами в точках A и B выражается как (a+b)/2. Если точка Z делит отрезок AB так, что AZ:ZB = , то z=1λ+1a+λλ+1b.

2. Параллелограмм. ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда a+c= b+d.

3. Условие того, что точка Z лежит на единичной окружности. z=1z.

4. Условие коллинеарности. Три точки A, B, C лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда .
4. Условие того, что четыре точки лежат на одной окружности. Четыре точки A, B, C, D лежат на одной окружности, если они не лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда .

Задачи.


1.

2.

3.



4.

5.