Лабораторная работа №5 «Комплексные числа»

Цель работы: Ознакомиться с понятием комплексного числа. Изучить различные формы представления комплексных чисел: алгебраическую, тригонометрическую, показательную. Научиться изображать геометрически комплексное число; выполнять действия над комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень ( формула Муавра), извлечение корня.

Порядок выполнения работы.

Заданы комплексные числа z₁ и z₂.

1. 
   Изобразить комплексные числа на комплексной плоскости.
   
2. 
   Определить длину и аргумент каждого комплексного числа.
   
3. 
   Представить данные комплексные числа в тригонометрической и показательной форме.
   
4. 
   Найти z₁ ± z_2, z₁z_2, z₁/z_2.
   
5. 
   Вычислить и .Изобразить корни на полярной плоскости.
   

Понятие комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

1. 
   Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда
   

   a = c и b = d.

2. 
   Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
   

   a + c + i(b + d).

3. 
   Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число ac – bd + i(ad + bc).
   

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,

Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается C. Мы установили, что R⊂C , а именно a=a+i0. В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i3 = 3i. Чисто мнимое число i1 = 1i = i обладает удивительным свойством:

Таким образом,

С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства i2=-1, то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,

то есть как раз получается нужная формула.

Пример

Вычислить z₁ + z₂ и z₁z₂, где z₁ = 1 + 2i и z₂ = 2 – i.

Решение Имеем




Ответ: ,
Мы хорошо помним, что геометрической интерпретацией действительных чисел является действительная прямая. Кроме того, как было установлено выше, на действительной прямой «нет места для новых точек», то есть любой точке на действительной оси отвечает действительное число. Следовательно, комплексные числа на этой прямой расположить уже нельзя, однако можно попытаться рассмотреть наряду с действительной осью, на которой мы будем откладывать действительную часть комплексного числа, ещё одну ось, ей перпендикулярную; будем называть её мнимой осью. Тогда любому комплексному числу z = x + iy можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс будем откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимую часть. Таким образом, мы построим взаимнооднозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Если такое соответствие построено, то координатная плоскость называется комплексной плоскостью.

Геометрическое изображение комплексного числа

Очень важной является интерпретация комплексного числа z = a + ib как вектора OA с координатами (a; b) на комплексной плоскости с началом в точке O (0; 0) и концом в точке A с координатами (a; b). Ясно, что это соответствие является взаимнооднозначным. В самом деле, как было только что отмечено, любому комплексному числу z = a + ib соответствует вектор OA(a;b) и наоборот, каждому вектору OA(a;b) соответствует, и притом единственное, число z = a + ib.

Комплексные числа на плоскости

Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют называть комплексное число вектором или точкой на комплексной плоскости.

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу: z=a2+b2

Модуль комплексного числа z обычно обозначается z или r. Указанная в определении формула легко выводится при помощи теоремы Пифагора (см. рис.).

Рисунок

Если то то есть для действительного числа модуль совпадает с абсолютной величиной. Ясно, что для всех При этом тогда и только тогда, когда

Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и векторомz величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z. Для числа z = 0 аргумент не определён.

Заданием своего модуля и аргумента комплексное число фиксируется однозначно. Обратное неверно: если задано комплексное число z ≠ 0, то его модуль определяется однозначно, а аргумент – нет. Действительно, если φ = arg z – аргумент этого комплексного числа, то все числа вида φ + 2πn также будут аргументами этого комплексного числа. Например, аргументами комплексного числа z = 1 + i являются углы и т. д. Поэтому в качестве аргумента комплексного числа обычно выбирают значение –π ≤ arg z ≤ π.

Заданием только лишь своего модуля определяется только комплексное число z = 0.

Из определения тригонометрических функций следует, что φ = arg z тогда и только тогда, когда для этого φ выполняется система
Пример

Найти модуль и аргумент комплексного числа z = –1 – i.

Решение Так как Re z = –1 и Im z = –1, то точка z лежит в третьей координатной четверти.

Для поиска аргумента решим систему

Ответ. 

Операции над комплексными числами

Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами:

1. 
   Коммутативность сложения: z1+z2=z2+z1
   
2. 
   Ассоциативность сложения:
   

   (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

3. 
   Существует такое число z = 0, которое обладает свойством z+0=z
   
4. 
   Для любых двух чисел z₁ и z₂ существует такое число z, что z₁ + z = z₂. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z₂ – z₁.
   
5. 
   Коммутативность умножения: z1z2=z2z1
   
6. 
   Ассоциативность умножения: (z1z2)z3=z1(z2z3)
   
7. 
   Дистрибутивность сложения относительно умножения:
   

   z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3

8. 
   Для любого комплексного числа z:
   

   z · 1 = z.

9. 
   Для любых двух чиселz1 и z2 существует такое число z, что z1∙z=z2. Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается z=z2z1 Деление на 0 невозможно.
   

Все указанные свойства доказываются с помощью определения операций сложения и умножения.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Умножение и деление комплексных чисел

Если число z = a + bi, то число называется комплексно сопряжённым с числом z.

Комплексно сопряжённые числа

Комплексно сопряжённое число обозначается Для этого числа справедливы соотношения:







Заметим, что последнее соотношение сводит операцию деления комплексных чисел к умножению и последующему делению на действительное число

Пример

Найдите число, сопряжённое к комплексному числу (1 + 2i)(3 – 4i).

РешениеИмеем

Следовательно,

Ответ. 11 – 2i.

Пример

Вычислите

Решение
Имеем

Ответ. i.
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается

z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

Пример

Записать число в тригонометрической форме.

Решение

Найдём модуль этого числа: Аргумент данного числа находится из системы

Значит, один из аргументов числа равен Получаем:

Ответ. 

Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) и z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂). Имеем:

Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы.

Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ₁, φ₂, ..., φ_n – аргументы чисел z₁, z₂, ..., z_n, то

В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

Первая формула Муавра:

Пример

Вычислить если

Решение

Рисунок

Как было найдено в предыдущем примере, данное число в тригонометрической форме имеет вид По первой формуле Муавра получаем:

Ответ. 

Число z называется корнем степени  из комплексного числа w, если Корень степени обозначается Пусть теперь число w фиксировано. Найдём z из уравнения

Если w = 0, то у уравнения существует единственное решение z = 0.

Если w ≠ 0, то положим, что нам известно тригонометрическое представление числа w = r₀(cos φ₀ + i sin φ₀), и будем искать число z также в тригонометрической форме: z = r(cos φ + i sin φ). Из определения аргумента и геометрической интерпретации комплексных чисел следует, что два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на угол, кратный 2π. Имеем:

откуда получается:

Итак, все решения уравнения задаются формулой

Заметим, что если в эту формулу подставлять натуральные числа k, то при k = 0, 1, ..., n мы будем получать разные комплексные числа, а при k = n имеем:

Значит, и в дальнейшем значения корней будут повторяться. Следовательно, существует ровно n корней уравнения и все они задаются одной формулой.

Вторая формула Муавра:


Пример

Найти

Решение

2

Рисунок

Представим число –1 в тригонометрической форме:

По второй формуле Муавра получаем:

Получаем последовательно:







Ответ. 
Задания для самостоятельного решения

№№ варианта	z1	z2	n
1	5+i	-i	4
2	1+2i		3
3		2-i	3
4	1-i	-8i	3
5	3i		4
6	2+2i	2+i	4
7	1-2i	3+3i	3
8	-3i		3
9	-2-2i	2+2i	4
10		2+i	3
11			4
12			3
13			4
14			4
15	-3		4
16			3
17	3-i		4
18	-4-3i	-5i	4
19	2+4i	5-5i	4
20	-3+4i		3
21	-3+2i	2+3i	4
22		2i	4
23	2+i	3-2i	4
24	3+2i		3
25	4-i	2-i	4
26	-16	1+i	4
27	3+4i	4+3i	4
28	-5i	2+I	4
29		5-i	3
30		2	4
31	7+2i		3

Контрольные вопросы по теме «Комплексные числа»

1. 
   Дайте определение комплексного числа (алгебраическая форма записи). Что такое мнимая единица, действительная и мнимая часть комплексного числа?
   
2. 
   Что называется комплексной плоскостью? Почему комплексное число называют вектором или точкой на комплексной плоскости?
   
3. 
   Что такое модуль и аргумент комплексного числа, как их найти?
   
4. 
   Операции над комплексными числами. Дайте определение комплексно-сопряженному числу.
   
5. 
   Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.
   
6. 
   Запишите первую и вторую формулы Муавра.