Похожие работы
|
Программа курса «комплексный анализ, часть 1» - страница №1/1
ПРОГРАММА курса «КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ, часть 1»
(1 поток, 5 семестр, 2003 г., лектор – проф. Е.П. Долженко)
Введение
-
Комплексные числа, комплексная плоскость. Модуль и аргумент. Однозначные непрерывные ветви аргумента. Метрика и топология плоскости. Бесконечно удаленная точка, расширенная комплексная плоскость.
-
Стереографическая проекция, ее формулы и свойства. Сфера Римана. Симметрии сферы Римана и отображение w=1/z. Угол с вершиной в бесконечности.
-
Функции комплексного переменного. Предел функции, непрерывность, дифференцируемость, условия Коши-Римана. Правила дифференцирования. Аналитичность (голоморфность) в области и в точке (в том числе на бесконечности). Теорема Лумана-Меньшова (без доказательства). Понятие о полианалитических функциях.
-
Геометрический смысл комплексной дифференцируемости. Конформное отображение, понятие о теореме Римана. Теоремы Х. Бора и Д.Е. Меньшова (без доказательства). Понятие о соответствии границ при конформном отображении, теореме Каратеодори, принципе симметрии, условиях нормировки конформного отображения.
Элементарные функции.
-
Целые линейные и дробно-линейные отображения: свойство конформности и круговое свойство.
-
Целые линейные и дробно-линейные отображения: сохранение сложного отношения четырех точек, однозначная определенность др.-лин. отображения тремя парами соответственных точек, неподвижные точки.
-
Целые линейные и дробно-линейные отображения: свойство симметрии и групповые свойства.
-
Целые линейные и дробно-линейные отображения: общий вид дробно-линейного отображения круга на себя, верхней полуплоскости на себя и на круг.
-
Экспонента и логарифм, степень с произвольным показателем. Понятие римановой поверхности на примерах этих функций.
-
Функция Жуковского и обратная к ней функция.
-
Функции тригонометрические и гиперболические, обратные к ним функции.
Интеграл о комплексному переменному
-
Области и кривые. Кривая Пеано. Жордановы кривые и контуры. Жорданова кривая положительной площади. Спрямляемые кривые, натуральная параметризация.
-
Интеграл по комплексному переменному, связь с криволинейными интегралами 1-го и 2-го родов. Ограниченность интегрируемой функции, интегрируемость непрерывной функции на спрямляемой кривой.
-
Линейность и непрерывность интеграла как функционала, его аддитивность по пути интегрирования. Переход к пределу под знаком интеграла.
-
Сведение интеграла по комплексному переменному к интегралу по действительному переменному.
-
Производная и первообразная вдоль пути. Формула Ньютона-Лейбница.
Интегральная теорема Коши и интегральная формула Коши
-
Интегральная теорема Коши. Теорема Коши для составного контура.
-
Вычеты, две теоремы Коши о вычетах. Интегральная формула Коши.
-
Интеграл типа Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций, формулы Коши для производных.
-
Теорема Мореры.
Последовательности и ряды аналитических функций.
-
Пространство A(G) функций, однозначных и аналитических в области G, его счетно-нормируемость и метризуемость. Теорема Вейерштрасса о последовательностях и рядах аналитических функций. Полнота пространства A(G).
-
Ряды по целым степеням (z-a), области их сходимости, аналитичность сумм.
-
Разложение аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана. Единственность разложения, формулы и неравенства Коши для коэффициентов. Теорема Лиувиллля, теорема Римана об устранимой особой точке.
-
Связь величины радиуса сходимости степенного ряда и величин радиусов сходимости рядов Лорана с расположением особых точек сумм таких рядов. Поведение этих рядов на границах их областей сходимости.
-
Действия со степенными рядами: арифметические действия, дифференцирование, интегрирование, ряд рядов, подстановка ряда в ряд, ряд обратной функции.
Теорема единственности и принцип максимума модуля.
-
Нули аналитических функций, порядок нуля. Теорема единственности для аналитических функций.
-
Принцип максимума модуля, его простейшие следствия. Лемма Шварца.
Изолированные особые точки однозначного характера.
-
Изолированные особые точки однозначного характера, эквивалентность двух их классификаций.
-
Полюс, порядок полюса. Существенно особая точка, теорема Сохоцкого-Вейерштрасса, понятие о теореме Пикара. Бесконечно удаленная точка как особая.
Вычисление и применение вычетов. Принцип аргумента.
-
Формулы для вычисления вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов. Лемма Жордана.
-
Логарифмический вычет. Способ вычисления нулей аналитической функции.
-
Принцип аргумента, теорема Руше.
-
Теорема Гурвица о нулях сходящейся последовательности аналитических функций. Последовательности однолистных функций.
Рекомендованная литература
Основная:
-
Маркушевич А.И. «Краткий курс теории аналитических функций». М., 1978.
-
Привалов И.И. «Введение в теорию функций комплексного переменного». М., 1984.
-
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. «Методы теории функций комплексного переменного». М., 1987.
-
Евграфов М.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И., Бежанов К.А. «Сборник задач по теории аналитических функций». М., 1972.
-
Долженко Е.П., Николаева С.Н. «Теория функций комплексного переменного. Методические указания». М., изд. МГУ, 1988.
Дополнительная:
-
Маркушевич А.И. «Теория аналитических функций». М., т.1, 1967; т.2, 1968.
-
Свешников А.Г., Тихонов А.Н. «Теория функций комплексного переменного». М., 1974.
-
Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. «Лекции по теории функций комплексного переменного». М., 1989.
-
Шабат Б.В. «Введение в комплексный анализ». М., т.1, 1976.
-
Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. «Сборник задач по теории функций комплексного переменного». М., 1975.
-
Леонтьева Т.А., Панферов В.С., Серов В.С. «Задачи по теории функций комплексного переменного». М., изд. МГУ, 1992.
|