Методические указания по темам «Элементы теории функций. Комплексные числа» и«Дифференциальное исчисление функций одной переменной» - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1 21.56kb.
Конспект лекций часть 2 Содержание: Дифференциальное исчисление функций... 4 1079.46kb.
«Интегральное исчисление функций одной переменной» 1 103.31kb.
Дифференцирование функций одной переменной 1 323.3kb.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных > Метрические... 2 289.53kb.
«Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и кратные... 2 447.42kb.
Функции нескольких переменных 1 214.67kb.
Перечень вопросов к зачётному занятию по дисциплине «Физика, математика» 1 52.51kb.
Лекций: 34 Практических: 34 Лабораторных 1 21.42kb.
Комплексные числа (теория) Комплексные числа в алгебраической форме 1 60.46kb.
Методические указания и контрольные задания по курсу «Математика. 2 453.02kb.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1 21.56kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Методические указания по темам «Элементы теории функций. Комплексные числа» и«Дифференциальное - страница №1/3



ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

фгоувпо «МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра высшей математики


и программного обеспечения ЭВМ

Методические рекомендации к выполнению контрольных

работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета

по дисциплине «Математика»



Часть 2.

Элементы теории функций. Комплексные числа.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Мурманск


2006 г.

УДК 517 (076.5)

ББК 22.161Я73

М 54


Составители : В. С. Кацуба, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ,

Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ.


Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой

13.12.2006 г., протокол №3.

Рецензент: Драница Ю. П., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

Редактор

Корректор

Мурманский государственный технический университет, 2006



Оглавление

Стр.
Введение…………………………………………………………………………...4

Методические указания по темам «Элементы теории функций. Комплексные числа» и «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»........5

Справочный материал по теме «Элементы теории функций. Комплексные числа»……………………………………………………………..……………… 7



  1. Функции и их свойства………………………………………………..…. 7

  2. Предел функции. Предел последовательности.……………………...... 9

  3. Бесконечно малые, бесконечно большие и локально ограниченные функции.…………………………………………………………………. 11

  4. Вычисление пределов ……………..……………………………..…..... 14

  5. Раскрытие неопределенностей ………………………………………... 15

  6. Непрерывность функции, точки разрыва……………………………... 18

  7. Комплексные числа……………………………………………………... 20

  8. Действия над комплексными числами………………………………… 22

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №3…........23

Справочный материал по теме «Дифференциальное исчисление функций

одной переменной»………………………………………………………………34


  1. Дифференцирование функций ……………………………………….…34

  2. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой .………………..37

  3. Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя .………………37

  4. Исследование функций и построение графиков ……………..………..38

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №4…........42

Варианты контрольных работ……………………………………………….….52

Варианты контрольной работы №3…………………………………………….53

Варианты контрольной работы №4…………………………………………….58

Рекомендуемая литература ………………………………………………......... 61

Введение
В настоящем пособии содержатся методические рекомендации к изучению теоретического материала и выполнению контрольных работ по темам «Элементы теории функций. Комплексные числа» и «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», а также варианты контрольных работ №3 и №4 по этим темам для студентов ВЗФ.

В результате изучения этих тем студенты 1-го курса должны:

• владеть понятиями функции, сложной и обратной функций, знать свойства основных элементарных функций, уметь определять их основные характеристики по графикам функций;

• знать определения предела функции и предела последовательности;

• уметь вычислять пределы, раскрывать неопределенности и анализировать полученный результат с точки зрения определения предела;

• уметь исследовать функции на непрерывность, определять точки разрыва функции и устанавливать тип разрыва;

• знать, что такое мнимая единица и комплексное число, уметь производить операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах;

• уметь решать простейшие алгебраические уравнения на множестве комплексных чисел;

• владеть основными понятиями дифференциального исчисления (производная и ее геометрический смысл, дифференциал), уметь находить производные функций, заданных явно, неявно или параметрически;

• иметь навыки решения основных задач с использованием производных: геометрические задачи на касательную и нормаль, вычисление пределов с использованием правила Лопиталя и пр.;

• знать приемы исследования функций с помощью производной.

Данные методические рекомендации включают также список рекомендуемой литературы, справочный материал, необходимый для выполнения контрольных работ №3 и №4 для студентов 1-го курса и решение примерных вариантов этих работ, в которых имеются ссылки на используемый справочный материал.



Методические указания по темАМ

«Элементы теории функций. Комплексные числа» и

«Дифференциальное исчисление функции одной переменной»
В таблице 1 приведены наименования тем в соответствии с содержанием контрольных работ и ссылки на литературу по этим темам. Перед выполнением каждой из контрольных работ рекомендуется изучить соответствующий теоретический материал и решить указанные в таблице задачи.

Таблица 1.




к.раб.


задачи


Содержание (темы)

Литература

1

2

3

4

3

1

Основные элементарные функции, их графики и основные характеристики. Сложные функции. Обратные функции


[1], гл. V, § 14; [2], гл. 4, § 1, 11, 12.1;

[3], гл. VI, № 610637;

[4], гл. 4, № 1538, 4360, 62–71, 73–108,

151, 153



3

2

Предел числовой последовательности и функции непрерывного аргумента. Вычисление пределов, раскрытие основных видов неопределенностей. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

[1], гл. V, § 15–18; [2], гл. 4, § 2–6;

[3], гл. VI, № 638–690, 692, 693, 700, 707,

714–719;

[4], гл. 2, № 21–24, 26–28, 63–68,

гл. 4, № 228–246, 285, 289, 346–351,

355, 358–359




3

3

Определение непрерывности функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация. Исследование функции на непрерывность

[1], гл. V, § 19;

[2], гл. 4, § 7–9;

[3], гл. VI, № 723–735;


1

2

3

4

3

4

Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. Решение простейших алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

[1], гл. VI, § 27–28;

[2], гл. 14, § 6.1;

[4], гл. 9, № 1–52


4

1

Определение производной. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производные сложных функций. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков

[1], гл.V, § 20, 21, 23.1;

[2], гл. 5, § 1, 4, 5, 7–9, 10.1, 11;

[3], гл. VII, № 771–811, 900–907, 909–

912, 950, 951, 964, 965, 969;

[4], гл. 5, № 14–44, 162–167, 206–211


4

2

Уравнения касательной и нормали к плоской кривой

[1], гл. V, § 20.2;

[2], гл. 5, § 1.2;

[3], гл. VII, № 917–921, 923–930;

[4], гл. 5, № 139–144



4

3

Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя

[1], гл. V, § 25.2; [2], гл. 6, § 1, 2;

[3], гл. VII, № 1024–1028, 1030–1040;

[4], гл. 5, № 225–240, 258–264


4

4

Монотонность и экстремумы функций. Выпуклость графика функции, точки перегиба. Вертикальные и наклонные асимптоты. Полное исследование функции и построение ее графика

[1], гл. V, § 25.3–25.8;

[2], гл. 6, § 4;

[3], гл. VII, № 1055–1058, 1061–1064,

1083–1084, 1091–1094, 1102–1109;

[4], гл. 5, № 282, 293, 296, 297–300, 315–

324, 334, 339, 342, 344–347


Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.



Справочный материал по теме «Элементы теории функций. Комплексные числа»


  1. Функции и их свойства

Переменной называют величину , принимающую значения из некоторого множества значений Х.

Если каждому значению переменной х из множества Х поставлено в соответствие по определенному правилу f единственное значение переменной у из множества Y, то говорят, что задана функция , определенная на множестве Х с множеством значений Y. При этом используют следующие названия:



х ––– аргумент (независимая переменная);

у – значение функции (зависимая переменная);

Х – область определения функции (ООФ);

Yмножество значений функции (ОЗФ).

Функция , область определения Х которой симметрична относительно начала координат, называется четной, если , и называется нечетной, если , .



Примеры. y = cosx четная функция, y = x3 нечетная функция, функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
Функция называется периодической, если существует положительное число Т, такое, что , .

Примеры. y = tgx – периодическая функция, наименьший период T = π, y = lnx непериодическая функция.
Значение функции – переменная величина, поэтому можно рассматравать новую функцию с аргументом у: z = g(y), где ,
т. е. функцию z = g(f(x)). Такая функция называется сложной функцией от х, или суперпозицией функций f и g.

Пример. z = tg(х2 + 3x -1) – суперпозиция функций z = tgу и у = х2 + 3x -1.

Если ставится в соответствие единственное значение , такое, что , то говорят, что задана функция , которую называют обратной по отношению к функции . Функции f и называются взаимно обратными функциями. Если у обратной функции обозначить аргумент буквой х, а функцию – буквой у, то графики взаимно обратных функций и будут симметричны относительно прямой у = х.



Пример. y = lgx и y = 10x – взаимно обратные функции.
Все функции, задаваемые аналитическим способом, можно разбить на два класса: элементарные и неэлементарные. В классе элементарных функций выделяют основные элементарные функции: степенная (у = xn), показательные (y = ax), тригонометрические (y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx), а также обратные к ним (логарифмические, обратные тригонометрические и др.). Элементарными называют функции, полученные из основных элементарных функций при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления, а также суперпозиции основных элементарных функций. Все остальные функции относятся к неэлементарным.

Примеры. y = lg(cosx) – элементарная функция, т.к. является суперпозицией основных элементарных функций y = lgx и y = cosx; – неэлементарная функция.

Нулями функции называют точки х, в которых выполнено равенство . Нули функции – это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Oх.

Пример. У функции y = lg(x) единственный нуль – точка х = 1.
Функция называется монотонно возрастающей на интервале х(а; b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2  х1 следует неравенство , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.

Функция называется монотонно убывающей на интервале х(а; b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2  х1 следует неравенство .

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.

Если функция монотонна на интервале х(а; b), то она имеет обратную функцию .



Пример. Функция y = tgx монотонна на интервале , ее ОЗФ: . Она имеет обратную функцию y = arctgx, определенную на интервале , с ОЗФ: .
Точка х0 называется точкой максимума функции , если существует такая двухсторонняя окрестность точки х0 , что для всякой точки х  х0 этой окрестности выполняется неравенство . При этом число называется максимумом функции и обозначается ymax.

Аналогично, если для всякой точки х  х0 из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство , то х0 называется точкой минимума, а число минимумом функции и обозначается ymin.

Точки максимумов и минимумов называются точками экстремумов функции, а числа ymax и ymin называются экстремумами функции.

Пример. Функция y = cosx имеет точки максимумов , , и точки минимумов , .

2. Предел функции. Предел последовательности

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х = а, где а – конечная или бесконечно удаленная точка на числовой прямой Ох.

Число А называется конечным пределом функции в точке х = а (или при ), если для любого числа , сколь малым бы оно ни было, можно указать такую окрестность U(a) точки х = а (не включающую саму точку а), что при всех х, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство .

Предел функции обозначается так: , или при .

Определение конечного предела при можно записать символически следующим образом:

. (*)
Геометрически существование конечного предела в случае, когда , означает, что значения функции сколь угодно мало отличаются от числа А, если значения аргумента становятся достаточно близкими к точке х = а (рис. 1). При этом в самой точке а функция может быть не определена или определена, но может иметь значение, отличное от А.
Поведение функции только слева или только справа от точки , т.е. в ее левой или правой окрестности, характеризуется ее односторонними пределами (рис. 2): левосторонний предел функции обозначается , где условие означет, что х остается левее точки а (); правосторонний предел функции обозначается , где условие означет, что х остается правее точки а ().

Существование предела означает, что существуют оба односторонних предела и они совпадают между собой:



.
Если существует конечный предел функции при : , то в его определении (*) U(a) – это окрестность бесконечно удаленной точки числовой прямой (рис. 3). При этом можно рассматривать односторонние пределы: или (рис. 4).




Числовую последовательность обычно рассматривают как функцию натурального аргумента n: .

Если существует предел последовательности , то его определение можно записать символически:



,

т.е. члены последовательности сколь угодно мало отличаются от числа А при достаточно больших номерах n (для ).


3. Бесконечно малые, бесконечно большие и локально ограниченные функции

Функция называется бесконечно малой при , если (рис. 5, 6).




Пример. – бесконечно малая функция при .
Две бесконечно малые при функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми, если . Основные соотношения эквивалентностей:

при , (1)

при , (2)

при , (3)

при , (4)

при , (5)

при , (6)

при . (7)
Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа , сколь бы большим оно ни было, можно указать такую окрестность U(a) точки х = а (не включающую саму точку а), что при всех х, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство .

Предел бесконечно большой функции при обозначается символом : и называется бесконечным пределом функции при .

Определение бесконечно большой функции при можно записать символически следующим образом:

.

Геометрически существование бесконечного предела означает, что значения функции становятся сколь угодно большими по модулю, если значения аргумента достаточно близки к точке х = а (рис. 7, 8).





Пример. – бесконечно большая функция при .
Бесконечный предел последовательности означает, что члены последовательности становятся сколь угодно большими по модулю при достаточно больших номерах n:

.
Функция называется локально ограниченной в точке х = а, если существует такая окрестность точки U(a), в которой значения функции удовлетворяют неравенству , где m и M – некоторые числа.

Любая функция, имеющая конечный предел при , в том числе и бесконечно малая функция, является локально ограниченной в точке х = а.

Если – бесконечно большая при , то она не является локально ограниченной в точке х = а.

Пример. – локально ограниченная функция во всех точках, кроме точек х = 1 и х = –1.

4. Вычисление пределов

При вычислении пределов используют теоремы о конечных пределах и теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях.


Основные теоремы о конечных пределах.

  1. Если f(x) = const (const – константа) при , то

.

  1. , где C = const.

  2. , если f(x) – функция, непрерывная в точке х = а (см. п. 6).

  3. Если и , где – числа, то

, и

при условии, что .


Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях

(для краткости обозначим: бм – бесконечно малая функция, бб – бесконечно большая функция, огр – локально ограниченная функция).



  1. бм бм = бм.

  2. бм бм = бм.

  3. бм огр = бм.

  4. , если огр не является бм.

  5. бб + бб = бб, если обе бб одного знака.

  6. бб бб = бб.

  7. бб огр = бб, если огр не является бм.

  8. .

Примеры.

1) (здесь использована теорема 1);

2) (здесь использованы теоремы 2, 3 и непрерывность функции у = 2х – 1);

3) (здесь использована теорема 8);

4)

(здесь использованы теоремы 2, 4 и 12).


  1. Раскрытие неопределенностей

Если некоторый предел существует, но не может быть вычислен при помощи теорем о конечных пределах или теорем о бесконечно малых, бесконечно больших и локально ограниченных функциях, то говорят, что этот предел имеет неопределенность и указывают ее вид. Основные виды неопределенностей: .

Чтобы вычислить предел, имеющий неопределенность, нужно предварительно преобразовать функцию, стоящую под знаком предела, таким образом, чтобы неопределенность исчезла, т.е. раскрыть неопределенность. Для этой цели рекомендуется использовать определенные правила.



Правило 1. Чтобы раскрыть неопределенность при , образованную

отношением двух многочленов или иррациональных функций, нужно в числителе и знаменателе вынести за скобки старшие степени х и сократить дробь на степень х.



Пример.

(здесь использовано, что при ).

Из правила 1 следует, что для раскрытия неопределенности при , образованной делением целых многочленов одинаковой степени, достаточно вычислить отношение коэффициентов при старших степенях переменной х:



. (8)
Правило 2. Чтобы раскрыть неопределенность при , где а – число, образованную отношением двух функций, нужно в числителе и знаменателе дроби выделить критический множитель (х – а), и сократить дробь на него.

Пример. (здесь критический множитель это (х 3), для его выделения использовано разложение многочленов на множители).

Для выделения критического множителя в случае, когда неопределенность образована отношением тригонометрических, показательных, или логарифмических функций, используют принцип замены бесконечно малых функций: при вычислении предела можно заменить любой бесконечно малый сомножитель на ему эквивалентный. При этом можно использовать теоретические соотношения эквивалентностей (см. формулы (1) (7)).



Пример.

(здесь критический множитель – это (х – 0) = х, для его выделения использован принцип замены эквивалентных бесконечно малых и соотношения эквивалентностей (2) и (5)).


Правило 3. Чтобы раскрыть неопределенность , нужно свести ее ко второму замечательному пределу, который может быть записан в двух формах:

или ;

здесь е – это иррациональное число, которое можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби: е = 2,7182818… ().



Пример.

.

При вычислении предела учтено, что при ,



, при .

6. Непрерывность функции, точки разрыва

Функция называется непрерывной в точке х0, если:

1) ООФ вместе с некоторой своей окрестностью;

2) существует конечный предел ;

3) этот предел совпадает со значением функции в точке х0, т.е

. (9)

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Если функция не является непрерывной в точке х0, но она определена в окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки х0), то х0 называется точкой разрыва функции.

Для определения вида разрыва в точке х0 находят односторонние пределы и . При этом

если существуют односторонние пределы , но , то говорят, что функция терпит в точке х0 разрыв типа выколотой точки;

если существуют односторонние пределы и



, но , то не существует; в этом случае говорят,

что функция терпит в точке х0 разрыв типа «скачок»;

если левосторонний либо правосторонний (или оба) пределы функции

при х0 бесконечные, то говорят, что функция терпит в точке х0 бесконечный разрыв.

Разрывы типа выколотой точки и типа «скачок» относятся к конечным разрывам, или разрывам I рода, бесконечные разрывы относятся к разрывам II рода.
Примеры.

1) Функция непрерывна в силу непрерывности функций y = – х и y = 2х. В точке х = 0 функция также непрерывна, т.к.





.

Следовательно, функция непрерывна для всех (рис. 9).


2) Функция непрерывна в силу непрерывности функций y = 2 + х и y = 3. В точке х = 0 функция терпит разрыв типа «скачок» (рис. 10), т.к. , следовательно, не существует.
3) Функция y = tgx непрерывна во всех точках своей ООФ, т.е. для

. В точках функция терпит разрывы II рода (рис. 11), т.к. .



7. Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение вида

z = x + iy, (10)

где х, у – действительные числа, а i – мнимая единица, т.е. число, для которого выполнено равенство .

Если х = 0, то комплексное число z = 0 + iy называется чисто мнимым.

Если у = 0, то комплексное число z = x + i0 = х является действительным, в частности, если х = у = 0, то z = 0.

На множестве комплексных чисел алгебраическое уравнение n-й степени вида , где ak числа, , имеет ровно n корней.

Пример. Решим уравнение: х2 + 9 = 0.

.

Следовательно, уравнение имеет 2 корня: .


На координатной плоскости Оху комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой М(х; у) или радиус-вектором этой точки (рис. 12), где х = Rez – действительная часть числа z, у = Imz – мнимая часть числа.

Число называется сопряженным комплексному числу . Геометрически точки z и симметричны относительно оси Ох (рис. 12).



Модулем комплексного числа называется действительное неотрицательное число . Геометрически модуль комплексного числа это модуль вектора (рис. 12).

Комплексное число можно задать либо парой действительных чисел (декартовы координаты точки (х; у)), либо его модулем и величиной угла φ между вектором и положительным направлением оси Ох (полярные координаты точки (r; φ)). Величина угла φ называется аргументом комплексного числа.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого . Значение аргумента, заключенное в промежутке , называется главным значением аргумента и обозначается argz, тогда можно записать:

(11)

Для комплексного числа z = 0 аргумент не определен, его модуль r = 0.

Запись комплексного числа в виде (10) называют алгебраической формой комплексного числа.

Если использовать формулы связи между декартовыми и полярными координатами , то можно записать тригонометрическую форму комплексного числа:



, (12)

где


, , . (13)

Для определения главного значения аргумента можно использовать формулы:


(14)

Пример. Получим тригонометрическую форму комплексного числа z = 22i,

используя формулы (13) и (14).



,

,

следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа z для имеет вид:



.
8. Действия над комплексными числами

Равенство двух комплексных чисел z1= x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 означает равенство их действительных и мнимых частей: .

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме определяются следующим образом. Если z1= x1 + iy1,

z2 = x2 + iy2, то

1) z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);

2) z1 z2 = (x1 x2) + i(y1 – y2);

3) z1 z2 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + х2y1);

4) .

Пример. Даны числа z1= 4 i и z2 = 1 + 3i. Вычислить .

Найдем , затем выполняем деление при помощи домножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:



(при вычислениях учтено, что ).


Умножение, деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме определяются следующим образом:

если , , то

1) ;

2) ;

если , , то

3) ; (15)

4) .

В ответ записываются главные значения аргумента полученного результата, заключенные в промежутке .


Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №3
Задача 1. Даны функции

Требуется:



  1. используя графики основных элементарных функций, построить графики функций f(x) и g(x). Описать при помощи построенных графиков основные характеристики этих функций: ООФ, ОЗФ, четность, периодичность, промежутки монотонности и экстремумы;

  2. составить сложные функции и ;

  3. для функции найти обратную функцию , построить графики обеих взаимно обратных функций в одной системе координат и записать их ООФ и ОЗФ.


Задача 2. Вычислить пределы, применяя правила раскрытия неопределенностей, основные теоремы о конечных пределах, теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях. Ответы пояснить с точки зрения определения предела.

а) ; б) ; в) ;

г) .
Задача 3. Исследовать непрерывность функций в соответствии с заданиями.

а) Проверить, является ли функция непрерывной в точках х1 = 0 и



х2 = 3. В случае разрыва функции указать тип разрыва и сделать схематический чертеж в окрестности точки разрыва.

б) Построить график функции используя график, записать промежутки непрерывности функции, перечислить точки разрыва и указать тип каждого из них.


Задача 4. Даны уравнение , комплексное число и натуральное число n = 6. Требуется:

  1. найти корни уравнения z1, z2 на множестве комплексных чисел;

  2. найти комплексное число в алгебраической форме;

  3. получить тригонометрическую форму числа и вычислить с ее помощью . Ответ записать в тригонометрической и в алгебраической формах.


Решение задачи 1.

  1. Строим графики заданных функций, используя известные графики

основных элементарных функций и простейшие преобразования графиков.

Для построения графика в качестве исходного используем график функции , для которой ООФ: х > 0, у(1) = 0, у(3) = 1, (рис. 13).

График функции получаем из исходного графика в соответствии с преобразованием графиков

(перенос графика на а единиц в направлении оси Ох). В данном случае график перемещаем на 0,5 единиц вправо (рис. 14).

Для функции ООФ: х > 0,5, у(1,5) = 0, у(3,5) = 1.

График получаем из графика в соответствии с преобразованием графиков (перенос графика на А единиц в направлении оси Oу). В данном случае график перемещаем на 2 единицы вверх (рис. 15).


Для построения графика в качестве исходного используем график функции (рис. 16).

График функции получаем из исходного графика в соответствии с преобразованием графиков (сжатие графика в а раз в направлении оси Ох). В данном случае график сжимаем в 2 раза (рис. 17).

График функции получаем из графика функции в соответствии с преобразованием графиков (растяжение графика в А раз в направлении оси Оу). В данном случае график растягиваем в 3 раза (рис. 18).

Опишем при помощи построенных графиков основные характеристики функций и в виде таблицы.

Таблица 2.





Характеристика





1

ООФ

(область определения

функции)






2

ОЗФ

(область значений функции)







3

Нули

функции






4

Четность

Общего вида

Нечетная

5

Периодичность

Непериодическая

Периодическая с

6

Промежутки

монотонности



при

при

при

7

Точки

экстремумов,

экстремумы

функции


Экстремумов нет

– точки min,

– точки max,




  1. Составим сложную функцию для , , подставив в f(x) вместо аргумента х функцию g(x): .

Аналогично составляем сложную функцию : , т.е. .


  1. Находим обратную функцию для функции . Так как функция является монотонно возрастающей на всей своей ООФ (рис. 15), то для нее существует обратная функция . Чтобы записать ее аналитическое выражение, решим уравнение относительно х, т.е. получим выражение :

.

Переобозначив аргумент обратной функции через х, а функцию через у, получим: функцию .

Для функции ООФ: , ОЗФ: (табл. 2); для функции ООФ: , ОЗФ:

(для взаимно обратных функций промежутки ООФ и ОЗФ меняются ролями).

Построим графики обеих взаимно обратных функций и , контролируя их симметрию относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 19).

Ответы:


  1. рисунки 15, 18, таблица 2;

  2. и ;

  3. ; для ООФ: , ОЗФ:

; для ООФ: , ОЗФ: ;

графики на рисунке 19.


Решение задачи 2а.

.

Для раскрытия неопределенности при использовано правило 1: в числителе и знаменателе вынесены за скобки старшие степени n. При вычислении предела учтено, что при , что , использованы теоремы о конечных пределах и теорема о бесконечно больших функциях:



, если .

С точки зрения определения бесконечного предела последовательности полученный результат означает, что для достаточно больших значений номера n члены последовательности un становятся сколь угодно большими по модулю.


Решение задачи 2б.





.

Здесь для раскрытия неопределенности использовано правило 2: в числителе и знаменателе выделен критический множитель (х 2). Для его выделения в знаменателе использовано разложение многочлена на множители, а в числителе домножение числителя и знаменателя на выражение , сопряженное числителю . При вычислении предела использованы теоремы о конечных пределах.

С точки зрения определения предела функции при полученный результат означает, что для значений аргумента х, достаточно близких к точке х = 2, значения функции будут становиться сколь угодно близкими к числу .
Решение задачи 2в.

.

Для раскрытия неопределенности использовано правило 2: в числителе и знаменателе выделен критический множитель (х 0) = х. Для его выделения использован принцип замены эквивалентных бесконечно малых.

С точки зрения определения конечного предела функции при полученный результат означает, что для значений аргумента х, достаточно близких к точке х = 0, значения функции будут становиться сколь угодно сколь угодно близкими к числу 0.
Решение задачи 2г.



.

При вычислении предела использовано дважды правило раскрытия неопределенности , образованной делением целых многочленов одинаковой степени (см. формулу (8)):



,

а также непрерывность функции ez: .

С точки зрения определения конечного предела функции при полученный результат означает, что для достаточно больших (по модулю) значений аргумента х значения функции будут сколь угодно близкими к числу e-10.

Ответы: а) ; б) ;

в) ; г) .
Решение задачи 3а.

Чтобы проверить непрерывность заданной функции в каждой из заданных точек х1 = 0 и х2 = 3, используем определение непрерывности функции в точке.

Найдем ООФ: . Проверим выполнение условия (9) поочередно в точках х1 и х2.

Точка х1 = 0:

1) х1 = 0ООФ , причем окрестность точки х1 также входит в ООФ;

2) существует конечный предел ;

3) справедливо ;

следовательно, в точке х1 = 0 заданная функция непрерывна.

Точка х2 = 3:


  1. х2 = 3ООФ , следовательно, в точке х2 = 3 заданная функция не является непрерывной. Поскольку функция определена в окрестности точки х2, то эта точка является точкой разрыва функции.

Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы функции при :

;

(при вычислении использовано предельное поведение показательной функции при ). Так как один из односторонних пределов оказался бесконечным, делаем вывод, что разрыв в точке х2 = 3 бесконечный (разрыв 2-го рода).

Построим схематический чертеж графика функции в окрестности точки разрыва с учетом значений односторонних пределов (рис. 20).
Решение задачи 3б.

Запишем ООФ кусочно-заданной функции



.

Построим график функции , объединяя «куски» графиков основных элементарных функций (рис. 21 – 24).


Анализируя график (рис. 24), видим, что он представляет собой непрерывную линию для всех х, кроме х = 0. Записываем промежутки непрерывности функции: и .

В точке х = 0 функция имеет разрыв типа «скачок», т.к. не существует , но при существуют конечные односторонние пределы функции, не совпадающие между собой:



, .

Ответы:


а) х1 = 0 – точка непрерывности функции , х2 = 3 – точка бесконечного разрыва функции, схематический чертеж графика функции в окрестности точки разрыва на рисунке 20;

б) график функции – на рисунке 24, промежутки непрерывности функции: и , х = 0 – точка разрыва типа «скачок».


Решение задачи 4.

  1. Найдем корни уравнения на множестве комплексных чисел:

(здесь использовано: ).




  1. Чтобы найти комплексное число , вычислим сначала :

( – это число, сопряженное числу , т.е. ).

Затем находим числитель и знаменатель .

Теперь вычисляем w, используя домножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:

– получили число w в алгебраической форме.




  1. Комплексное число задано в алгебраической форме , где x = 1, y = . Получим тригонометрическую форму этого числа

, используя формулы (13) и (14). Вычислим модуль комплексного числа и его аргумент:

Таким образом, – тригонометрическая форма числа z0.

Для вычисления используем формулу (15) возведения комплексного числа в натуральную степень:

.

Здесь аргумент . Выбираем главное значение аргумента, принадлежащее промежутку , используя формулу (11): при n = – 1 получаем . Тригонометрическая форма комплексного числа для имеет вид:



.

Подставив значения cos0 = 1, sin0 = 0, получим алгебраическую форму этого числа:

Ответы: 1) 2) ; 3) ;

= 64.
следующая страница >>