1. Комплексные числа и действия над ними Комплексные числа - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Вопросы к экзамену 1: Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного... 1 43.46kb.
Комплексные числа (теория) Комплексные числа в алгебраической форме 1 60.46kb.
Комплексные числа 1 80.23kb.
Докла д комплексные числа и действия с ними 1 108.8kb.
Программа междисциплинарного вступительного экзамена 1 101.82kb.
Программа комплексного междисциплинарного вступительного экзамена... 1 86.96kb.
Лабораторная работа №5 «Комплексные числа» 1 184.14kb.
Комплексные задачи 1 79kb.
Примерные вопросы и задачи для зачёта по теме "Определение комплексного... 1 35.5kb.
Программа курса «комплексный анализ, часть 1» 1 41kb.
Методические указания по темам «Элементы теории функций. Комплексные... 3 655.63kb.
Программа курса модуль I. Линейная алгебра Тема Матрицы и действия... 1 278.94kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

1. Комплексные числа и действия над ними Комплексные числа - страница №1/4

1. Комплексные числа и действия над ними

1.1. Комплексные числа

Рассмотрим множество всех действительных чисел и поле действительных чисел. Первое обозначим символом , второе символом . Пусть, далее — декартово произведение на себя. Другими словами — это множество всех упорядоченных пар , где и .

Два элемента и множества считаются равными тогда и только тогда, когда

, .

Определим на алгебраические операции сложения и умножения следующим образом.

Суммой элементов и на­зывается элемент , а произведением элемент .

Непосредственно из определений следует, что введенные операции коммутативны: , .

Для произвольных элементов справедливы равенства , т.е. выполняется закон ассоциативности соответственно по отноше­нию к сложению и умножению. Проверка показывает, что эти операции подчинены закону дистрибутивности

.

Вычитание определяется как операция, обратная сложению, т.е. разностью называется элемент , обладающий свойством .

Если , , то .

Деление определяется как операция, обратная умножению, т.е. под частным , , пони­мается элемент , обладающий свойством . Последнее равенство равносильно системе



для которой определитель равен и, следовательно, система имеет единственное решение, определяемое формулами



; .

Итак, частное от деления на определяется равенством



.

Рассматриваемое множество упорядоченных пар с введенными операциями сложения и умножения представляет собой, как видим, поле. Оно называется полом комплексных чисел и обозначается символом . Элементы поля называются комплексными числами. Роль единицы поля выполняет комплексное число . Действительно, для любого комплексного числа имеем . Множество всех комплексных чисел вида образует подполе поля . При этом изоморфно полю действительных чисел, т.е. между элементами полей и . можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющееся при операциях сложения и умножения, а значит, вычитания и деления.

Ввиду изоморфизма и естественно, когда речь идет лишь об алгебраической структуре, отождествлять поля и , отождествляя соответствующие друг другу элементы и разных полей. Это дает основание вместо писать , т.е. .

Например, .

Для обозначения упорядоченной пары вводится символ , который будем называть мнимой единицей. Заметим, что или, что тоже .

С помощью символа комплексное число может быть представлено в алгебраической форме



.

Исходя из этой записи, число называют действительной, а число – мнимой частью комплексного числа и пишут



,

(Realis – действительный, Jmaginaris мнимый).

Комплексное число называется сопряженным с комплексным числом .

Обозначение: .

Легко проверяются следующие равенства:

; ;

; .

1.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и основных операций над ними

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число изображается точкой плос­кости с координатами и эта точка также обозначается буквой (рис. 1.1). Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости, очевидно, является взаимно однозначным. При этом комплексные числа изображаются точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью.

Чисто мнимые числа изображаются точками оси ординат, поэтому эта ось называется мнимой осью.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Каждому комплексному числу соответствует также вектор с координатами . Если начало вектора брать в начале координат, то соответствие между комплексными числами и векторами с началом в начале координат будет взаимнооднозначным. Вектор, соответствующий комплексному числу , также будем обозначать буквой .

Определение 1.1.

Число называется модулем комплексного числа и обозначается через



.

Очевидно, , причем тогда и только тогда, когда .

Отметим две формулы

, ,

которые непосредственно вытекают из определения модуля комплексного число. Из определения модуля комплексного числа и рис. 1.1. видно, что длина вектора равна и имеют место неравенствам



, .

Если , то, как мы знаем, по определению , а это означает, что комплексному числу соответствует вектор равный сумме векторов и (рис. 1.2).

Из рис. 1.2 видно, что разности соответствует вектор , а расстояние между точками и равно длине вектора , т.е. равно .

Кроме этого, легко заметить, что наряду с вектором разности комплексных чисел соответствует вектор , который можно отождествлять с вектором , ибо эти два вектора одинаково направлены и имеют одинаковые модули.



,

т.е. расстояние между точками и равно .



Определение 1.2.

Аргументом комплексного числа называется угол между положительным направлением оси абсцисс и вектором . При этом, если отчет ведется от оси против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке — отрицательной. Аргумент обозначается так: (рис.1.3). Для числа аргумент не определяется. Очевидно, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до чисел вида



, .

В самом деле, если — аргумент комплексного числа, то, как видно из рис. 1.3, аргументом будет также любой из углов



, .

Определение 1.3.

Единственное значение аргумента комплексного числа , удовлетворяющее условию , называется главным значением аргумента и обозначается .

Для главного значения аргумента справедливы соотношения:

, если ;

, если , ;

, если , ;

, если , ;

, если , .

Из рис. 1.2 видно, что равен углу между положительным направлением оси абсцисс и вектором или, что тоже самое, равен углу между положительным направлением оси абсцисс и вектором с началом в точке , с концом в точке .



Пример 1.

Множество точек , удовлетворяющих уравнению , есть окружность радиуса с центром в точке , так как — расстояние между точками и .

Неравенства треугольника. Для любых комплексных чисел и имеют место неравенства

. (1.1)

Доказательство.

Длины сторон треугольника с вершинами в точках , , равны , и (См. рис. 1.2).

Следовательно, неравенства (1.1) являются известными из элементарной геометрии неравенствами для длин сторон треугольника.

1.3. Тригонометрическая и показательная форма

комплексного числа

Пусть , а , тогда из рис. 1.3 легко видеть, что , , если , так как являются декартовыми прямоугольными координатами точки , , , полярными координатами этой точки, при условии, конечно, что полярная ось направлена вдоль положительного направления оси абсцисс, а полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовой системы координат. Теперь мы видим, что всякое комплексное число можно представить в виде



. (1.2)

Запись комплексного числа в виде (1.2) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Очевидно, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на числа кратные .

Пример 1.

Найти и представить комплексное число в тригонометрической форме.



Решение.

Изобразим число на плоскости (рис. 1.4).

Очевидно, угол является одним из значений и при этом , т.е. является главным значением аргумента комплексного числа .

; .

.

Теперь число можно представить в тригонометрической форме



.

Комплексное число обозначается символом т.е.



. (1.3)

Как легко заметить, что формула (1.3) дает возможность определить комплексную функцию действительного переменного . В частности, , , , . Полагая в форме (1.3) вместо , получим



. (1.4)

Сложением и вычитанием (1.3) и (1.4) получим:



; (1.5)

. (1.6)

Формулы (1.3)–(1.6) называются формулами Эйлера.

Отметим некоторые свойства функции :

; (1.8)

; (1.8)

, . (1.9)

Докажем равенство (1.7).

Имеем



.

Аналогично проверяется (1.8). Равенство (1.9) получается из равенств (1.7) и (1.8) по индукции.

Из (1.9) и (1.3) вытекает формула Муавра

, .

Из формул (1.2) и (1.3) следует, что любое комплексное число можно представить в виде



, (1.10)

где , .

Запись комплексного числа в виде (1.10) называется показательной формой комплексного числа.

С помощью равенств (1.7) и (1.8) легко получаются формулы умножения и деления комплексных чисел, записанных в показательной форме:



; (1.11)

. (1.12)

Из формулы (1.11) следует, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел



,

а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения: если , , то



. (1.13)

Аналогично из формулы (1.12) вытекает, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел



, ,

а разность аргументов делимого и делителя является аргументом, частного: если , , то



. (1.14)

Пример 2.

.


2. Функции комплексного переменного

2.1. Понятие комплексной функции комплексного переменного

Определение 2.1

Функция называется комплексной функцией комплексного переменного, если область определения и множество значений функции f есть некоторые множества комплексных чисел.



Пример 1.

, n — натуральное.

Для обозначения комплексной функции в дальнейшем будем применять символ ( — независимая переменная; — зависимая переменная). Область определения этой функции — все множество комплексных чисел, так как любое комплексное число можно возвести в п-ую степень. Кроме этого, легко показать, что функция принимает любое комплексное значение , что равносильно утверждению: уравнение разрешимо относительно при любом комплексном . Пусть , , где , , , , тогда



Из последнего равенства имеем:





Отсюда имеем



.

, .

Итак, решения уравнения найдены при любом комплексном и эти решения определяются формулой



, ,

.

При решение уравнения очевидно: .

Рассмотрим две комплексные плоскости (рис. 2.1). Первую плоскость будем обозначать символом , а вторую — .. Комплексные числа, соответствующие точкам плоскости будем обозначать так , a комплексные числа, соответствующие точкам плоскости , обозначим следующим образом

.

Изобразим на комплексной плоскости область определения функции f — множество , а на комплексной плоскости изобразим множество значений этой функции — множество . Тогда, очевидно, каждой точке функция f ставит в соответствие единственную точку . Отсюда следует, что все множество точек множества плоскости комплексная функция f отображает на множестве точек комплексной плоскости .

В этом состоит геометрический смысл комплексной функции комплексного переменного. Функцию будем называть отображением, множество называют образом множества при отображении до , а множество — прообразом множества при этом отображении.

Рассмотрим некоторое подмножество множества и построим на плоскости множество точек



Множество называется образом множества при отображении , а множество — прообразом при этом отображении.



Пример 2.

Найти образ 1-го координатного угла комплексной плоскости при отображении .



Решение.

Найдем предварительно образ луча при отображении (рис. 2.2). Представим число z в показательней форме , тогда



, .

Если рассматривать z как любую точку луча плоскости ,то мы видим, что если луч Oz образует с осью Ох угол , то его образ-луч на плоскости образует с осью угол равный . Пусть теперь угол изменяется от нуля до , тогда луч Oz описывает ("заметает") первый координатный угол на плоскости , а его образ-луч опишет верхнюю полуплоскость плоскости , так как при изменении от до , изменяется от 0 до , где одно из значений аргумента z, a — одно из значений аргумента . Следовательно, образом первого координатного угла плоскости при отображении является верхняя полуплоскость плоскости .



2.2. Действительная и мнимая части комплексной функции

Комплексная функция каждому ставит в соответствие единственное комплексное число



.

(и здесь и дальше область определения, множество значений функций соответственно), другими словами каждой паре действительных чисел ставится в соответствие пара действительных чисел . Очевидно последнее соответствие можно представить как две действительные функции двух действительных переменных , так как каждой паре ставится в соответствие действительное число и действительное число v.

Как известно из теории действительных функций многих действительных переменных такие функции называются действительными функциями двух действительных переменных:

; .

Теперь комплексную функцию , учитывая, что , , можно представить в виде



или .

Действительную функцию называют действительной частью комплексной функции , а функцию — мнимой частью функции и обозначают:

, .

В дальнейшем вместо



и будем употреблять также запись :

и .

Пример 1.

Найти действительную и мнимые части комплексной функции .



Решение. ; ;

; ;

— действительная часть функции , — мнимая часть этой функции.

Замечание.

Если заданы две действительные функции двух действительных переменных , на некотором множестве , то функция будет комплексной функцией комплексного переменного .



Пример 2.

; .

— любая точка координатной плоскости.

Функция — комплексная функция комплексного переменного , заданная во всей комплексной плоскости. (Здесь и дальше фраза: "функция задана на множестве " означает, что множество или совпадает с областью определения функции или принадлежит этой области).



2.3. Метризация комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел и их пределы

Введем на множестве комплексных чисел (комплексной плоскости) расстояние между любыми двумя комплексными числами , (точками комплексной плоскости , ) по формуле



.

(Символ означает расстояние между , ).

Легко проверить, используя свойства модуля, что так определенное "расстояние" удовлетворяет всем аксиомам расстояния:

1. ; 2. ;

3.

(Эти аксиомы можно получить из геометрических соображений, если помнить, что модуль разности 2-х комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа).

Введя понятие расстояния на множестве комплексных чисел мы это множество метризовали, а в любом метрическом пространстве можно строить теорию пределов для последовательностей элементов этого пространства.

Так как понятие расстояния на множестве комплексных чисел вводится также как и на множестве действительных чисел, и именно как модуль разности двух чисел, то с формальной сто­роны определения, теоремы и их доказательства в случае ком­плексных чисел выглядят также как и в случае действительных чисел.



Определение 2.2.

Комплексное число называется пределом последовательности комплексных чисел , ,,,, если для , , что для .

Обозначение .

Формулировку теорем и их доказательство для комплекс­ных последовательностей приводить не будем, но результатами известными из теории последовательностей действительных чи­сел пользоваться будем (теоремы о пределе суммы, произведения, о единственности предела и т.д.).

Сформулируем и докажем полезную для дальнейшего теорему.

Теорема 2.1.

Если последовательность комплексных чисел , сходится к комплексному числу , то сходятся действительные последовательности , , , и наоборот.



Доказательство.

1. для



, ,

.

Но и



;

Первая часть теоремы доказана.

2. Дано: ,

Значит, для любого , что для и , что .

Ho , если , т.е. . Что и требовалось доказать.

Справедлив также критерий Коши: для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, т.е. для любого , должен существовать такой номер , что при , выполняется неравенство . С доказательством критерия Коши можно познакомиться в [1].

Из теоремы 2.1. следует, что сходящаяся последовательность ограничена, т.е. существует такое число , что для любого . Действительно, пусть последовательность сходится. Согласно теореме 2.1. действительные последовательности и также сходятся, а, следовательно, они ограничены, т.е. при любых имеют место неравенства , , где — некоторое неотрицательное число.

Тогда из неравенства следует, что , при любом , что и означает ограниченность последовательности . Простейший пример показывает, что ограниченная последовательность не всегда сходится. Но справедлива следующая теорема.



Теорема 2.2. (теорема Болъцано-Вейерштрасса).

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.



Доказательство.

Пусть последовательность ограничена, т.е. для любого имеет место неравенство , где — некоторое неотрицательное число. Тогда из неравенств



;

следует, что ; для любого что означает ограниченность действительных последовательностей и . Для ограниченных действительных последовательностей , теорема Больцано-Вейерштрасса верна. Следовательно,из них можно выделить сходящиеся подпоследовательности, соответственно



, , , .

Согласно теореме 2.1., , т.е. подпоследовательность .

Теорема доказана.

Теорема 2.3.

Если , то последовательность сходится к пределу и существует последовательность из значений :



, , ,, ,

сходящаяся к одному из значений аргумента предела . (Здесь и в дальнейшем символ означает одно из значений аргумента числа ).



Доказательство.

Пусть существует . Тогда для .

Но .

Этот факт геометрически очевиден, если числа и изобразить на плоскости (рис. 2.3). Значит для так как . Следовательно .

Остальные утверждения теоремы принимаем без доказательства. Их доказательство смотри в [2].
следующая страница >>