Методические указания, контрольные задания и типовые примеры по теоретической электротехнике Часть I

Решение

Выполнив подготовительную работу (см. пример 1.1, а также рис.1.7), приступаем к расчету. При применении метода узловых потенциалов нужно один из узлов заземлить. Если в схеме есть ветвь, содержащая только ЭДС, то заземляется один из узлов, к которым примыкает такая ветвь. Поскольку в нашей схеме нет ветвей, содержащих только ЭДС, то заземлять можно любой узел. Пусть ₄=0. Тогда система уравнений для определения потенциалов узлов 1-3 имеет вид:

(1.4)

где: g₁₁, g₂₂, g₃₃ – собственные проводимости узлов 1-3 (суммы проводимостей всех ветвей, примыкающих к узлам 1-3 соответственно);

g₁₂= g₂₁ – общая проводимость узлов 1 и 2 (сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы 1 и 2);

g₁₃= g₃₁ – общая проводимость узлов 1 и 3 (сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы 1 и 3);

g₂₃= g₃₂ – общая проводимость узлов 2 и 3 (сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы 2 и 3);

J_c₁ - J_c₃ – суммарные узловые токи (алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости ветвей плюс алгебраическая сумма токов источников тока в ветвях, примыкающих к рассматриваемому узлу).

Для нашего примера

Подставив в (1.4) числовые значения величин, получим систему уравнений, которую, в качестве примера, решим с помощью определителей.

(1.5)

Главный определитель системы:

Δ = = 16;

Дополнительные определители

Δ₁= = -24; Δ₂= =104; Δ₃= = 16;

Находим потенциалы узлов:

φ₁ = - 1.5 В, φ₂ = = 6.5 В, φ₃ = = 1 В.

По закону Ома определяем токи ветвей.

I₁ = = 4 А,

I₂ = = -0.5 А,

I₃ = = 5.5 А, I₄ == 1.5 А ,

I₅ == 1 А , I₆ = =2.5 А.

Правильность расчёта токов можно проверить как составлением баланса мощностей цепи, так и с помощью первого закона Кирхгофа. Для узла 2 нашего примера имеем

-I₁-I₂-J_к+I₃=-4+0.5-2+5.5=0.

Для построения потенциальной диаграммы контура 1-2-4-1 определим потенциалы всех его точек, в том числе и точек а и b (см. рис.1.7).

По-прежнему будем считать, что φ₄=0, тогда

φ₁=-I₄r₄=-1.5В; φ_а= φ₁+Е₁= -1.5+12=10.5В; φ₂= φ_a-I₁r₁=6.5В; φ_b= φ₂+I₂r₂=8B; φ₄= φ_b-E₂=0.

Потенциальная диаграмма представлена на рис.1.8.

Пример 1.3. В схеме цепи рис.1.9 определить токи во всех ветвях методом наложения. Ток в резисторе r₃ проверить методом эквивалентного генератора.

Дано: Е₁ = 12 В; J_к = 2.4 А; r₁ = r₂ = r₄ = 6 Ом; r₃ = 4 Ом, r₅ =10 Ом,

Решение
Выполнив подготовительную работу (см. рис.1.9), приступаем к расчету.

Полагаем, что в схеме действует только источник тока J_к (рис.1.10). При составлении этой схемы учитываем, что источник ЭДС не обладает внутренним сопротивлением.

Д
ля определения токов в схеме рис.1.10 целесообразно воспользоваться преобразованием пассивных трёхполюсников и заменить треугольник сопротивлений r₁, r₂ , r₄ эквивалентной звездой (рис.1.11), сопротивления которой :
r_а = = 2 Ом, r_b = = 2 Ом,

r_d = = 2 Ом.

После этого токи могут быть определены по правилу раcпределения токов в параллельные ветви.

I₃` = J_к= 1.6 А,

I₅` = J_к= 0,8 А.

Ток I₁` найдём из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа:

-r₁∙I₁`+ r₃∙ I₃`- r₅∙ I₅` = 0, откуда
I₁`= = -0,266 А .

Токи I₂` и I₄` теперь нетрудно найти по первому закону Кирхгофа:

I₂` = I₁`+ I₃` = -0,266 + 1,6 = 1,334 А,
I₄` = J_к – I₂` = 2,4 - 1,334 = 1,066 А.
Теперь полагаем, что в цепи действует только источник ЭДС Е₁ (рис.1.12). При составлении этой схемы учитываем, что внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности, что означает разрыв ветви, в которую он был включен. Токи в схеме рис.1.12 рассчитываем по законам Ома и Кирхгофа
I₁``= A,

I₂``= I₄``= I₁``= 0.5185 А,

I₃`` = I₅``= I₁``= 0.4445 А.

Фактические токи в ветвях находим по принципу наложения в соответствии со схемами рис.1.9, 1.10, 1.12.

I₁ = I₁`+ I₁`` = 0.266 + 0.963 = 1.229 А; I₂ = I₂` - I₂`` = 1.334 – 0.5185 = 0.815 А;
I₃ = I₃`+ I₃`` = 1.6 + 0.4445 = 2.044 А; I₄ = I₄`+ I₄`` = 1.066 + 0.5185 =1.585 А;
I₅ = I₅`- I₅`` = 0.8 – 0.4445 = 0.356 А.
Произведем расчёт тока I₃ (рис.1.9) методом эквивалентного генератора.

Прежде всего размыкаем ветвь с сопротивлением r₃ и определяем напряжение холостого хода U_х эквивалентного генератора (рис.1.13).

По второму закону Кирхгофа (контур не должен содержать источника тока) запишем:
U_х + r₁∙I_1х – r₅ ∙J_к = Е₁,

откуда
U_х = Е₁+ r₅ ∙J_к- r₁∙I_1х.

Ток I_1х найдем методом узлового напряжения
В,
A.

Тогда
U_х = 12 + 10·2.4 + 6·0.133 = 36.8 В.

Определяем входное сопротивление эквивалентного генератора r_вх относительно зажимов искомой ветви. С этой целью составляем расчетную схему (рис.1.14), в которой исключены источники энергии и учтено, что внутреннее сопротивление источника ЭДС равно нулю, а внутреннее сопротивление источника тока – бесконечности.

Для схемы рис.1.14

r_вх =Ом.

Зная U_х и r_вх, на основании теоремы об эквивалентном генераторе определяем искомый ток

I₃= A.

Результат расчета I₃ методом эквивалентного генератора полностью совпадает с ответом, полученным при применении метода наложения. Это свидетельствует о правильности расчета токов.

2. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

2.1. Вопросы, подлежащие изучению
Переменный синусоидальный ток – основные понятия: частота, период, мгновенное, среднее, действующее значения. Получение синусоидальной ЭДС. Изображение синусоидального тока вращающимися векторами. Понятие о векторных диаграммах. Пассивные элементы цепи синусоидального тока: активное сопротивление, индуктивность, ёмкость. Синусоидальный ток в активном сопротивлении. Синусоидальный ток в индуктивности. Синусоидальный ток в емкости.

Последовательное соединение R, L и C. Параллельное соединение ветвей, содержащих R, L и C.

Резонансные явления в последовательном и параллельном контурах. Частотные характеристики и резонансные кривые.

Эквивалентные преобразования параллельного соединения в последовательное и наоборот.

Смешанное соединение. Метод векторных диаграмм (метод проводимостей).

Мгновенная, активная, полная и реактивная мощности цепи. Коэффициент мощности, его технико-экономическое значение и способы повышения.

Символический метод расчета сложных схем. Мощность в комплексной форме. Баланс мощностей. Топографическая диаграмма.

Цепи с взаимной индуктивностью. Последовательное и параллельное соединение индуктивно связанных элементов (согласное и встречное включение). Расчет сложных цепей с взаимной индуктивностью, эквивалентная замена («развязка») индуктивных связей. Передача энергии через индуктивную связь. Линейный (воздушный) трансформатор. Идеальный трансформатор. Трансформация сопротивлений идеальным трансформатором.

2.2. Задачи контрольных работ
З
адача 2.1. В схеме рис.2.1 заданы напряжение на участке цепи или ток в одной из ветвей. По известным параметрам цепи (см. табл. 2.1) необходимо выполнить следующее:

1) рассчитать действующие значения токов во всех ветвях и напряжений на всех участках цепи (включая входное напряжение);

2) определить активную, реактивную и полную мощности, а также коэффициент мощности цепи;

3) записать мгновенное значение тока в одной из ветвей или напряжения на участке цепи (см. таблицу вариантов);

4) построить векторную диаграмму напряжений, совмещенную с диаграммой токов.
Задача 2.2. В схеме рис.2.2 заданы параметры цепи и ЭДС источников. Известно также, что ЭДС опережает ЭДС на угол  (см. табл. 2.2).

Необходимо:

1) по законам Кирхгофа составить систему уравнений для определения токов во всех ветвях цепи (систему уравнений решать не следует);

2) определить комплексы токов во всех ветвях методом контурных токов;

3) составить баланс активных и реактивных мощностей цепи;

4) определить показания ваттметра;

5) построить топографическую диаграмму напряжений, совмещенную с векторной диаграммой токов;

6) проверить величину токов в ветвях методом двух узлов.

Таблица 2.2

Первая цифра варианта	, В	, В	, рад	, Ом	, мГн	, мкФ	, Ом	, мГн	, мкФ	, Ом	, мГн	, мкФ	f, Гц
0	50	60	2/3	8	10	160	6	30	240	4	6	200	50
1	380	100	/2	10	15	180	8	35	260	6	8	250	60
2	280	240	/3	12	20	200	10	40	280	8	10	300	40
3	240	280	/4	14	25	220	12	20	300	10	12	350	50
4	200	240	/6	16	30	240	16	25	320	12	14	400	60
5	200	220	2/3	18	10	160	20	10	340	14	16	200	40
6	220	200	/2	6	15	180	6	12	220	4	18	250	50
7	100	140	/3	8	20	200	8	15	260	6	20	300	60
8	120	160	/4	10	25	220	10	30	300	8	22	350	40
9	127	100	/6	12	30	240	12	40	280	10	24	400	50

следующая страница >>