Методические указания и контрольные задания по курсу «Математика. Спецглавы.(линейная алгебра и комплексные числа)» для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут

№ 1
Методические указания и контрольные задания

по курсу «Математика. Спецглавы.(линейная алгебра и комплексные числа)»

для студентов заочного факультета

по направлениям 210700, 220700, 230400

Санкт -Петербург

ГУТ

2012
Методические указания и контрольные задания по курсу математики для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400. № 5.

Сост. Г. М. Полевая, И.С. Перфилова, Г.И. Рудинская, Е. Я. Раковщик. ГУТ СПб, 2012.

Методические указания содержат варианты контрольных работ по линейной алгебре и комплексным числам для студентов заочного отделения, а также указания по их выполнению и упражнения для самопроверки.

Комплексные числа

Определение комплексного числа, его геометрический смысл. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Алгебраические действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
Возведение в степень комплексного числа.
Извлечение корня n-й степени из комплексного числа.

Линейная алгебра

Матрицы. Различные виды матриц. Действия над матрицами.
Формулировка свойств определителей второго и третьего порядка.
Миноры и алгебраические дополнения. Теоремы разложения, замещения, аннулирования.
Определение обратной матрицы и её нахождение.
Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Теорема Крамера.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

1. Скалярное произведение векторов, его свойства.

2. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов.

3. Векторное произведение векторов, его свойства.

4. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов.

Смешанное (векторно-скалярное) произведение векторов, его геометрический смысл.
Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов.
Компланарные вектора. Необходимое и достаточное условия компланарности трёх векторов.
Уравнения прямой в пространстве.
Вычисление угла между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
Уравнение плоскости.
Определение угла между прямой и плоскостью, его вычисление. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Определение эллипса, его каноническое уравнение.
Определение гиперболы, её каноническое уравнение.
Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.

Комплексные числа

Комплексным числом z называется выражение вида x+iy, где x и y – вещественные числа; xназывается вещественной частью комплексного числа, y – мнимой частью, а i – мнимой единицей. По определению полагают i²=-1. Приняты обозначения – для вещественной части x=Rez, для мнимой части y=Imz. Обратите внимание, что мнимой частью комплексного числа является y, не iy! Если y=0, то число z является вещественным.

Комплексные числа z₁ и z₂ называются равными. Если Rez₁=Rez₂ и Imz₁=Imz₂. Если z=x+iy, то число называется сопряженным с числом z. Для комплексных чисел определены операции сложения и вычитания, умножения и деления, возведения в степень и извлечения корня и т.д. Напомним сначала определение первых четырёх операций:

;

;

;

если .

Отсюда видно, что умножение чисел состоит в перемножении двучленов, замене i² числом -1 и приведении подобных членов; деление состоит в умножении делимого и делителя на число, сопряженное делителю, и почленного деления вещественной и мнимой частей нового делимого на новый делитель.

Примеры.

Найти мнимую часть числа .

Поскольку , то Imz=-4.

Вычислить .

При каких вещественных x и y справедливо равенство?

Сначала преобразуем левую часть:

Следовательно, . Отсюда:

т.е. x=-8, y=-1.
Комплексное число z=x+iy изображается вектором на плоскости с началом в точке (0,0) и концом в точке (x,y). Из чертежа видно, что , где и - угол между положительным направлением оси Ox и вектором. Отсюда . Число r называется модулем комплексного числа z и обозначается через ; число называется аргументом числа z и обозначается через argz. Известно, что имеет место формула Эйлера . Поэтому

.

называется алгебраической формой комплексного числа;

называется тригонометрической формой комплексного числа;

называется показательной формой комплексного числа.

Функция обладает всеми свойствами степи, т.е.

Кроме того, при к=0, 1, 2,…,n. Обратите внимание, что корень степени n имеет в комплексной области ровно n различных значений.

Итак, , где , . Переход от алгебраической формы к показательной и тригонометрической формам комплексного числа надо осуществлять по схеме, описанной ниже.

Обязательно изобразить число z=x+iyна комплексной плоскости. Найти φ по чертежу или по чертежу и формуле . Найти .

Примеры.

4. Представить комплексные числа , в показательной и тригонометрической формах.Ясно, что ; вектор лежит в третьей четверти и , так что . Следовательно, . Это и есть показательная форма числа . Далее . Это тригонометрическая форма числа. По определению ; из чертежа видно, что . Следовательно, .

5. Записать: а) число в алгебраической форме,

б) число –i в показательной форме.

Переход от показательной к алгебраической форме осуществляется через тригонометрическую форму комплексного числа. Таким образом, . Изобразим число на чертеже. По определению ; из чертежа видно, что . Следовательно, .

6. Найти комплексное число , сопряженное с. В алгебраической форме . В показательной форме, согласно примеру 4, имеем , из чертежа видно, что . В тригонометрической форме .

.
7. Найти произведение чисел , . Сначала представим числа в показательной форме. Ясно, что , так что . Далее, . Наконец, представим полученное число в алгебраической форме .

8. Вычислить .

Сначала представим число в показательной форме: . Затем вычислим

(Мы воспользовались 2π – периодичностью синуса и косинуса).

9. Решить уравнение

Имеем . Представим число в показательной форме . Тогда , где к=0, 1, 2.

Линейная алгебра

Матрицы
Прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей строения mxn; при m=n она называется также квадратной матрицей порядка n. Матрицы одинакового строения называются равными, если они равны поэлементно, т.е. для любых ί, j элементы матриц, стоящие в пересечении ί-ой строки и j-го столбца, равны между собой. Для матриц определены следующие операции: умножение матрицы на число; сложение матриц (только одинакового строения); умножение матриц (только в случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя!). Именно

λ ,

где

(сумма произведений элементов ί-ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы). Заметим, что число строк матрицы-произведения равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов – числу столбцов второго. Обратите внимание, что при перемножении матриц сомножители менять местами нельзя, вообще говоря. Поэтому надо следить за порядком множителей (см. пример 10).
Примеры: 10

; не определено!

.

II. Пусть ƒ, . Найти ƒ.

Сначала восстановим формулу для ƒ.

ƒ = , где ,

Далее, вычислим , , .

; , .

Наконец, вычислим ƒ:

ƒ =
Определители
Определитель матрицы

Обычно обозначается через

или det.

Напомним, что только для квадратных матриц вводится понятие определителя. Определитель второго порядка вычисляется по формуле

Определитель n-го порядка, где n≥3, вычисляются, как правило, следующим образом: сначала, используя свойства определителей, последовательно понижают порядок определителя, сводя, в конце концов, задачу к вычислению определителей 2-го порядка по упомянутой выше формуле. Перечислим основные свойства определителей.

При перестановке двух строк определитель меняет знак.
Если две строки равны или элементы их пропорциональны, то определитель равен нулю.
Если все элементы строки умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
Если к элементам одной сроки прибавить элементы другой, умножить на одно и то же число, то определитель не изменится.

Обратите особое внимание на свойство 4.

Пусть дан определитель

Если к элементам первой строки прибавить элементы второй строки, умноженные на 2, то определитель не изменится:

Однако определитель изменится, если вторую строку умножить на 2, а затем к полученным элементам добавить элементы первой строки:

Упражнение.

Не вычисляя определителей , , , сказать, какой из них - или равен .

, ,

Утверждение проверить, вычислив их.

Минором какого-нибудь элемента матрицы называется определитель матрицы, полученной из исходной вычёркиванием строки и столбца, пересекающихся на этом элементе. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма номеров вычёркиваемых строки и столбца чётная, и со знаком "-", если эта сумма нечётная.

5. Теорема разложения. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки матрицы на их алгебраические дополнения.

Например.

(разложение произведено по элементам первой строки). Теорему разложения особенно удобно применять в случае, если все элементы какой-нибудь строки матрицы, за исключением одного, равны нулю; в этом случае упомянутая в теореме сумма состоит всего из одного слагаемого.

Например,

(разложили по элементам второй строки).

6. Теорема аннулирования. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки равны нулю.

7. Теорема замещения. Если элементы какой-нибудь строки матрицы заменить другими числами, то определитель полученной матрицы равен сумме произведений элементов новой строки на алгебраические дополнения замененных элементов исходной матрицы.

8. Определитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы – строками. В частности, всё сказанное выше остаётся верным, если всюду слово "строка" заменить словом "столбец".
Примеры: 12. Вычислить определитель

ко второму столбцу прибавим четвёртый

из третьей строки вычтем удвоенную четвёртую == ко второй строке прибавим первую и из третьей вычтем удвоенную первую

13. Вычислить определители матриц

и

Эти матрицы отличаются лишь второй строкой. Считаем алгебраические дополнения элементов второй строки матрицы

;

;

.

По теореме разложения (по второй строке)

По теореме замещения

Обратная матрица
Пусть А – квадратная матрица n-го порядка. Матрица В (квадратная n-го порядка) называется обратной к А, если

, где

(Е – единичная матрица). Матрица В обозначается через А^-1.

Матрицу А^-1 находят следующим образом:

1. Вычисляют определитель матрицы А.

2. Если =0, то обратной матрицы не существует, и задача решена. Если , то ищут всеА_ί_j – алгебраические дополнения элементов а_ί_j матрицы А и полагают

Это и есть обратная матрица (обратите внимание, что в строках матрицы А^-1 стоят алгебраические дополнения столбцов матрицы А, делённые на значение !).

Пример 14. Существует ли для матрицы обратная матрица? Если существует, то найдите её.

Сначала вычислим определитель матрицы А.

из второй строчки вычитаем удвоенную первую строку, из третьей строки вычитаем первую строку =

Поскольку , то обратная матрица существует.

Далее ищем алгебраические дополнения

; ; ;

; ; ;

; ; .

Составим обратную матрицу

Проверим верность полученного результата, исходя из определения обратной матрицы:

Самостоятельно найдите . В случае, если , то обратная матрица найдена верно.

Решение систем линейных уравнений
Система m линейных уравнений с n неизвестными – это система вида

(1)

Матрица

Называется матрицей системы

Решение системы

по формулам Крамера

Пусть m=n и detA≠0. Положим =detA и обозначим через _k определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой k-го столбца столбцом сводных членов (k=1,2, …, n).

Решение может быть найдено по формулам:

, , ……,

Пример 15. Решить систему

Вычислим определитель матрицы системы

=3 + 2 + 24 + 4 – 4 + 9 = 38

Поскольку ≠0, решение системы существует, оно единственно и может быть найдено по формулам Крамера.

Вычислим

= -5 – 4 + 84 – 8 – 14 – 15 = 38

= 21 – 5 + 16 + 28 +10 + 16 = 76

= 6 – 14 – 30 – 5 – 8 – 63 = -114

(Определители вычислялись по правилу треугольника).

Находим решение по формулам Крамера:

, , .
Решение системы

матричным методом

Положим

и

Система (1) эквивалентна матричному уравнению

АХ = В (2)

Действительно, система (1) эквивалентна матричному уравнению

(3)

Так как (по определению) матрицы равны, если равны между собой элементы матриц, стоящие в строках с одинаковыми номерами. Далее, согласно определению произведения матриц

= ,

Так что левая часть равенства (3) совпадает с АХ. Следовательно, система (1) эквивалентна уравнению (2).

Предположим, что m = n и det А≠0, тогда существует А^-1. Для отыскания решения уравнения (2) нужно умножить обе части уравнения (2) на А^-1 слева. Получим:

А^-1АХ = А^-1В, ЕХ = А^-1В или Х = А^-1В.

Это и есть искомое решение задачи. Обратите внимание на то, что ВА^-1 не является решением уравнения (2)

Пример 16. Решить систему матричным методом.

Эта система эквивалентна матричному уравнению АХ = В, где

, , .

Найдём .

Следовательно, существует обратная матрица А^-1. Найдём её.

,

,

; Х = А^-1∙В

.

Следовательно, , . Сделаем проверку, подставив полученный результат в систему

Решение системы

Методом Гаусса

(методом исключения неизвестных)
В этом пункте рассматриваются системы линейных уравнений общего вида, т.е. m и n не обязательно равны, а если всё же равны, то необязательно чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

Метод состоит в том, что производя эквивалентные преобразования системы, исключающие неизвестные, приводят систему к «трапецеидальному» виду. Это можно осуществить, например, так. Пусть задана система (1). Вычтем из второго уравнения системы первое, умноженное на, из третьего – первое, умноженное на , из m-го – первое, умноженное на ; получим систему вида

и эта система эквивалентна исходной. Далее, вычтем из третьего уравнения второе, умноженное на, из четвёртого – второе, умноженное , из m-го – второе, умноженное на ; получим систему вида

и эта система эквивалентна исходной. Этот процесс производится до тех пор, пока не дойдём до последнего уравнения. Получим систему вида

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

и эта система эквивалентна исходной. Возможны три случая:

1. Хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Тогда система несовместна.

2. и . Система совместна, имеет единственное решение, и это решение находится, начиная с решения последнего нетривиального уравнения (т.е. начиная с).

3. и . Система совместна, имеет бесконечно много решений, и решения эти находятся следующим образом. Неизвестным ,…придаются произвольные значения; все остальные неизвестные выражаются через них, начиная с последнего нетривиального уравнения (т.е. начиная с). Эти выражения и задают все решения системы.

При решении системы методом Гаусса все преобразования обычно производят не с системой, а с расширенной матрицей системы

Пример 17. Найти решение системы

методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы

Приведём матрицу к трапецеидальному виду

Первое преобразование состоит в том, что ко 2-й строке прибавляется первая, умноженная на 3, и что из 3-й строки вычитается первая, умноженная на 2. Второе преобразование – к третьей строке прибавляется вторая.

Составим систему, расширенная матрица которой

:

Находим решение системы:

т.е. .

Пример 18. Найти решение системы

методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы

Упрощаем матрицу

Восстанавливаем по последней матрице систему

Решаем эту систему

,

,

т.е. ,

Обратите внимание на то, что, поскольку преобразования матрицы должны соответствовать преобразованиям системы, оперировать можно только строками (умножать на число, складывать или вычитать, менять порядок), но не со столбцами матрицы.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторы
Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается через . Векторы называются равными, если они имеют равные длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Пусть задана прямоугольная система координат. Если координаты точек А и В - и , то координаты вектора - это числа , . В этом случае пишут =. Обычно через , обозначают векторы с началом в начале координат и концами в точках (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1) соответственно. Если то пишут также .

Таблица 1

Основные действия над векторами

1. Сумма векторов		Это вектор. Определяется либо по правилу параллелограмма, либо, что равносильно, по правилу треугольника
2. Произведение вектора на число λ		Это вектор. Длина его равна. Он параллелен вектору , направлен в ту же сторону, что и , если λ>0, и в противоположную сторону, если λ
3. Скалярное произведение векторов и	или	Это число. Оно равно
4. Векторное произведение векторов и	или	Это вектор. Длина его равна Он перпендикулярен векторам и направлен так, чтобы тройка векторов была правой
5. Смешанное произведение векторов		Это число. Оно равно или, что то же,

Обратите внимание, что .

Нарисуйте векторы, для которых: 1. ;

2. .

Далее, обратите внимание, что скалярное и смешанное произведения – числа, а векторное – вектор. Недопустимо говорить, что векторное произведение есть , так как векторное произведение – вектор, а - число (длина этого вектора). Кроме того, полезно запомнить, что и . Наконец, следует запомнить, что для скалярного умножения справедливы в с е без исключения правила алгебраического умножения, а для векторного умножения исключением является перестановочный закон, который заменяется правилом

,

так что, раскрывая скобки, следите за порядком сомножителей.

Пример 19. Вычислить , , .

;

;

Таблица 2

Сведения, часто используемые при решении задач

1. Длина вектора
2. Проекция вектора на вектор :
3. Косинус угла между векторами и :
4. Вектора и перпендикулярны:
5. Вектора и коллинеарны: \|\|	Существует такое число λ, что
6. Вектора и компланарны, т.е. лежат в одной или параллельных плоскостях
7. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и
8. Объём параллелепипеда, построенного на векторах и
9. Работа силы при перемещении материальной точки из начала вектора в его конец
10. Момент силы , приложенной к концу вектора относительно его начала

Напомним ещё, что: площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах; объём тетраэдра, построенного на векторах , и , равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на этих же векторах.

Примеры: 20. На материальную точку действуют силы

, , .

Найти работу W равнодействующих этих сил при перемещении точки из положения А(2,-1,0) в положение В(4,1,-1).

Найдём равнодействующую

Найдём вектор перемещения

{4 -2, 1 -(-1), -1 -0}={2,2 ,-1}.

Найдём работу W:

2∙2 + 2∙2 + 1 ·(-1) = 4 + 4 - 1=7.

21. Сила приложена к точке А(2, -1, 1). Найти её момент относительно точки В(0, 0, 2).

0>следующая страница >>