Методические указания на выполнение индивидуального задания Хабаровск 2000 (075. 8) Ббк в 161. 3 Г 701 Рецензент

Министерство путей сообщения Российской Федерации

Дальневосточный государственный университет путей сообщения

Кафедра "Высшая математика"
М.А. Городилова

Г.В. Костина

ряды

Методические указания на выполнение

индивидуального задания

Хабаровск

2000

УДК 517.52 (075.8)

ББК В 161.3

Г 701

Рецензент:

Доцент кафедры «Высшая математика» ДВГУПС,

кандидат физико-математических наук

Э.Д. Кононенко

Г 701

Городилова М.А., Костина Г.В.

Ряды. Методические указания на выполнение индивидуального задания. – Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2000. – 35 с.

В методических указаниях изложены общие теоретические положения по теме "Ряды". Подробно рассмотрены примеры из всех разделов этой темы. Даны варианты индивидуальных заданий.

Указания предназначены для студентов всех специальностей железнодорожного вуза.

Рис. – 1, список лит. – 3 назв.

УДК 517.52 (075.8)

ББК В 161.3

университета путей сообщения (ДВГУПС), 1999

ВВЕДЕНИЕ
Методические указания содержат общие теоретические положения по теме "Ряды". Подробно рассмотрены примеры исследования числовых и степенных рядов, их применение к приближенным вычислениям и решению дифференциальных уравнений.

Указания содержат варианты индивидуальных заданий для студентов ДВГУПС дневной формы обучения.

1. РЯД И ЕГО СУММА
Числовым рядом называется выражение вида:

a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... = , (1)

где a₁, a₂, a₃, ... a_n ... образуют бесконечную числовую последовательность; a_n – общий член ряда.

Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается S_n .

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n.
Если существует конечный предел S =, то ряд называется сходящимся, а S – суммой ряда.

Ряд называется расходящимся, если не существует (в частности, если =).

Особое значение имеет задача об исследовании ряда на сходимость.
Теорема (необходимый признак сходимости ряда)
Если ряд (1) сходится, то предел его общего члена равен нулю:

= 0

Отсюда вытекает, что если 0, то ряд расходится. Если же = 0, то о сходимости ряда еще ничего сказать нельзя.

Пример 1. Можно ли с помощью необходимого признака решить вопрос о сходимости ряда?
а)

= = = 0

значит данный ряд расходится.

б)

= = = 0

т.е. о сходимости данного ряда еще ничего сказать нельзя.

2. Сходимость рядов с положительными членами
Если необходимый признак не дает ответа на вопрос о сходимости числового ряда (1), следующие достаточные признаки позволяют судить об этом.

Первый признак сравнения

Пусть даны ряды и с положительными членами, причем, начиная с некоторого номера n . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда ; из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Сравнение исследуемых рядов производится обычно с некоторыми стандартными рядами:

а) , (геометрическая прогрессия, сходящаяся при и расходящаяся при).

б) (обобщенный гармонический ряд, сходящийся при и расходящийся при ).

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Сравнивая общий член данного ряда с общим членом расходящегося гармонического ряда , убеждаемся что при всех n. Следовательно, исследуемый ряд расходится.

Второй признак сравнения. Если сходимость ряда известна и существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же =0, то из сходимости ряда следует сходимость ряда .

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд . Сравним данный ряд со сходящимся рядом :

:==,

т.е. ряд тоже сходится.

Признак Даламбера. Если существует предел , то при > 1 – расходится. При = 1 ряд может сходиться или расходиться.
Пример 4. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Даламбера.

а)

; следовательно, ряд сходится.

б)

= = 3>1; значит ряд расходится.
Признак Коши (радикальный).

Если существует предел =, то при сходится, а при > 1 – расходится. При =1 ряд может сходиться или расходиться.

Замечание. Если применение одного из признаков (Даламбера или Коши) не дает ответа о сходимости ряда, то применение другого признака тоже бесполезно.

Пример 5. Исследовать на сходимость с помощью признака Коши

а)

= = = 4>1, ряд расходится;

б)

= == _{Значит ряд сходится.

Интегральный признак Коши.
Пусть общий член ряда (1) a_n = f (n). Если непрерывная положительная функция f(x), принимающая в точках x=n (n= 1,2,3, ...) значения f (n), монотонно убывает на промежутке 1, то ряд (1) сходится, если сходится несобственный интеграл .

Пример 6. С помощью интегрального признака исследовать на сходимость ряды.
а)
Так как f (n)=, то f (x) = . Данная функция непрерывна на промежутке 1 и монотонно убывает на нем. Вычислим ===
Интеграл расходится, следовательно ряд тоже расходится.
б) , f (x) =

==ln= = ln 3
Несобственный интеграл сходится, значит ряд тоже сходится.

3. Знакочередующиеся ряды

Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена имеют разные знаки, т.е. ряд вида:

a₁ - a₂ + a₃ - a₄ + ... + a_n (-1)ⁿ + ... (2)

где a₁, a₂... – положительные числа.

Теорема Лейбница. Если модуль n-го члена знакочередующегося ряда с возрастанием n монотонно убывает и стремится к нулю, то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.
Ряд (2) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей членов данного ряда.
Ряд (2) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд из модулей расходится. Исследование сходимости знакочередующихся рядов удобно начинать с исследований абсолютной сходимости, так как это часто быстрее приводит к цели, чем применение признака Лейбница с последующим исследованием абсолютной сходимости ряда.

Пример 7. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды
а) .
Составим ряд из модулей членов данного ряда . Он сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем = 2 > 1. Следовательно, сходится и данный ряд, причем абсолютно.
б) .
Ряд составленный из модулей членов данного ряда расходится по признаку Даламбера, т.к.: = 5.
Условия теоремы Лейбница для данного знакочередующегося ряда не выполняются, т.е. с возрастанием n модуль n-го члена ряда не стремится к нулю (= ). Отсюда следует, что данный знакочередующийся ряд расходящийся.

4. Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

= a₀ + a₁(x – x₀) + a₂(x – x₀)² +... или

= a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ... , если x₀ = 0.
Областью сходимости всякого степенного ряда является интервал числовой оси, симметричный относительно точки x = x₀, который может быть закрытым, открытым или полуоткрытым.
Половина длины интервала сходимости называется радиусом сходимости степенного ряда R.
В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. Если R=0, то степенной ряд сходится лишь при

x = x₀, если же R =, то ряд сходится на всей числовой оси Ox.
Для определения области сходимости степенного ряда, обычно вначале используется признак Даламбера, а затем те значения x, для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда, исследуются особо, посредством других признаков сходимости рядов.

Пример 8. Определить интервал сходимости степенного ряда
а)
По известному члену ряда u_n , заменяя в нем n через n+1, находим следующий за ним член u_n+1
u_n = , =
Далее, используя признак Даламбера, ищем предел

.
И определяем, при каких значениях x этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство

Согласно признаку Даламбера, при любом значении x из найденного интервала данный ряд сходится, а при |x| > 5 расходится.
Граничные точки x = этого интервала, для которых и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо. При x = -5 получим числовой знакочередующейся ряд , который сходится согласно признаку Лейбница.
При x=5 получим числовой ряд с положительными членами , который расходится (по интегральному признаку сходимости).
Следовательно, интервалом сходимости ряда является полуоткрытый интервал или -5£x
б)
Здесь u_n = , u_n+1 =

|x+4|²

-5

Границы найденного интервала исследуем особо.
При x=-5 получим ряд с положительным членами
Исследуя его по интегральному признаку , выясняем, что он сходится.
При x=-3 получаем такой же ряд, следовательно интервал сходимости есть -5

в)
u_n = (3x-4)^n-1 , u_n+1 = (3x-4)ⁿ

|3x-4|
Исследуем концы интервала:
x=1, 1-1+1-1+...,
x= , 1+1+1+...
Оба ряда расходятся, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости u_n = 0. Следовательно, интервал сходимости 1 ;
г)

,

Следовательно, интервал сходимости есть , т.е. вся числовая ось.

д)

>1 при любом x, кроме x=0.
Ряд сходится при x=0.

5. Приложения степенных рядов
Рядом Тейлора для функции f(x) в окрестности точки называется степенной ряд относительно двучлена (x-) вида

При =0 ряд Тейлора есть степенной ряд относительно переменной х:

который называется рядом Маклорена.
Ряд Тейлора можно записать для любой функции f(x), которая в окрестности точки имеет производные любого порядка. Однако этот ряд представляет данную функцию f(x) только тогда, когда остаточный член ряда будет стремиться к нулю.
При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций:

Пример 9. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложения элементарных функций.
а)

Ряд сходится к данной функции при всех значениях х.
б) sin²x
sin²x =

Ряд сходится при всех значениях х.
в) ln(3+x)
Преобразуем аргумент функции.
ln(3+x)=.
Воспользуемся разложением функции ln(1+t), полагая t=x/3
ln(3+x)=ln3 +
Так как разложение ln(1+t) имеет место при |t|

Пример 10. Пользуясь соответствующими рядами, вычислить с точностью до 0,0001.

а)

=
Применим биномиальный ряд, полагая х=1/16, m=1/4:

Чтобы определить, сколько взять первых членов этого знакочередующегося ряда для вычисления с точностью до 0,0001, вычислим

=1;
Ошибка искомого приближенного значения корня будет меньше 0,0001.Значит

 2(1+0,01562-0,00037) 2,0305.
б) .

5>следующая страница >>}