Методические указания по решению типовых задач, а также задания на выполнение контрольной работы - umotnas.ru o_O
Методические указания по решению типовых задач, а также задания на выполнение контрольной работы - umotnas.ru o_O
|
Похожие работы
|
Методические указания по решению типовых задач, а также задания на выполнение контрольной - страница №1/3
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации ИРКУТСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ Экономический факультет Кафедра «информатики и математического моделирования» ___________________________________________________ "МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ” Программа курса, методические указания, контрольные работы для студентов заочного обучения направлений подготовки 0808200 – Менеджмент 080100 - Экономика Составитель: Федурина Н.И. Иркутск -2011 2011 Приведены программа, методические указания по решению типовых задач, а также задания на выполнение контрольной работы. Методические указания предназначены для студентов заочной формы обучения направлений подготовки «Менеджмент» и «Экономика». Данные методические указания включают основное содержание учебного материала дисциплины «Экономико-математические методы ». Рецензент проф. Орлова Т.Т
Тема 1. Введение. Этапы становления экономико-математического моделирования. Особенности применения метода математического моделирования в экономике. Классификация экономико-математических моделей. Этапы экономико-математического моделирования. Тема 2. Балансовые модели. Балансовые модели замкнутых экономических систем. Модель межотраслевого баланса. Коэффициенты прямых, косвенных и полных материальных затрат, продуктивность системы. Анализ основных допущений модели. Сравнительный анализ систем цен по условиям производства. Балансовые модели открытых экономических систем. Тема 3. Моделирование сферы производства. Производственные функции и функции производственных затрат. Производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами. Показатели использования ресурсов. Типовые производственные функции. Производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами и функции производственных затрат. Оптимальные модели потребления ресурсов. Общие свойства и характер ограничений. Принципы соизмерения затрат и результатов. Тема 4. Моделирование сферы потребления. Целевая функция потребления. Соизмеримость и взаимозаменяемость потребительских благ. Математический анализ поведения потребителей в условиях рынка. Функции потребительского спроса. Максимизация уровня потребления при заданных функциях потребления. Тема 5. Оптимизационные модели. Оптимальные модели потребления ресурсов. Общие свойства и характер ограничений. Каноническая и двойственная задачи линейного программирования. Модели линейного программирования в экономических системах. Принципы соизмерения затрат и результатов. Свойства двойственных оценок и методика их использования. Мера дефицитности ресурсов и продукции. Тема 6. Распределительные модели. Постановка транспортной задачи по критерию стоимости и ее математическая модель. Открытая и закрытая модели транспортной задачи. Способы построения начального опорного решения. Теорема об оптимальности решений задачи, потенциалы поставщиков и потребителей, оценки свободных клеток транспортной таблицы и их экономический смысл. Алгоритм метода потенциалов. Тема 7. Многошаговая оптимизация. Понятие о динамическом программировании. Принцип оптимальности Беллмана. Вычислительная схема метода динамического программирования. Динамические задачи оптимального распределения средств на расширение производства и определения оптимальной стратегии замены оборудования. Тема 8. Система массового обслуживания. Одноканальные и многоканальные СМО с отказами и ожиданием. Основные характеристики СМО. Замкнутые СМО. 2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ 2.1. МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА Задача. Пусть для трех отраслей экономики задаются коэффициенты прямых материальных затрат и объемы конечной продукции:
На основе исходных данных: - проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых материальных затрат; - рассчитать коэффициенты полных материальных затрат; - найти объемы валовой продукции отраслей; - построить схему межотраслевого материального баланса; - проверить правильность составления баланса. Найдем суммы элементов столбцов матрицы А, составленной из коэффициентов прямых материальных затрат так как суммы элементов столбцов строго меньше единицы, значит матрица коэффициентов прямых материальных затрат продуктивна. Коэффициенты полных материальных затрат находятся с помощью матрицы, где Е – единичная матрица, А - матрица коэффициентов прямых материальных затрат. определитель равен тогда матрица полных затрат равна , где - матрица, составленная из алгебраических дополнений транспонированной матрицы. Объем валовой продукции отраслей находится по формуле X=S*Y, где объем валовой продукции первой отрасли 259,63 млн.руб.; объем валовой продукции второй отрасли 246,33 млн.руб.; объем валовой продукции третьей отрасли 244,04 млн.руб. Валовая продукция не входит ни в одну из частей межотраслевого баланса. Значения межотраслевых потоков выражаются произведением соответствующих коэффициентов прямых затрат на полученные значения валовых выпусков : ; ; ; ; ; . Межотраслевые потоки образуют первую часть межотраслевого баланса. Так, например, величина показывает стоимость средств производства, произведенных в первой отрасли и потребленных в качестве материальных затрат второй отраслью. Строим схему межотраслевого баланса производства и распределения продукции (млн.руб.): Условно чистая продукция находится так . Для первой отрасли ; для второй отрасли ; для третьей отрасли . Условно-чистая продукция находится в третьей части схемы межотраслевого баланса. Данные этой части необходимы для анализа соотношений между вновь созданной и перенесённой стоимостью, между величиной необходимого и прибавочного продукта в целом по материальному производству и в отраслевом разрезе.
Сделав анализ условно-чистой продукции, можно сделать вывод, что у всех трех отраслей она недостаточна для решения стратегических задач. Проверяем правильность составления баланса с помощью соотношения: , 300,81=300, так как разница между величинами в пределах 10% - баланс составлен верно. Данное соотношение показывает конечное распределение и использование национального дохода, которое представлено в четвертой части схемы. Данные этой части важны для отражения в модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капитальных вложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей.
Задача 1. Пусть дана производственная функция: y = -2x²+3x+2, где у – выпуск продукции, х – ресурс, используемый в производстве. Определить: - объём выпускаемой продукции, который формируется за счет прочих факторов; - границы ресурса, в пределах которых изменяется объём продукции; - среднюю и предельную производительность ресурса, эластичность ресурса; - построить модель прибыли, если цена продукта Ру=5, а цена ресурса Рх=2, постоянные издержки m=7. Определим границы ресурса, в пределах которых изменяется объём продукции. Для этого решим уравнение: -2x²+3x+2=0 Получили, что =- 0,5; = 2. Зона [-0,5;0] не учитывается в исследовании, так как ресурс х не может быть меньше 0. А вот граница от 0 до 2 – это та самая зона, в пределах которой ресурс х может использоваться. Теперь определим среднюю производительность: v=-4х+3, приравниваем частную производную к v=0, тогда х=0,75 – количество ресурса, при котором у достигает своего максимума у=3,125 Найдем вторую производную: d²х=-4<0, следовательно, предельная эффективность ресурса уменьшается с каждой дополнительной единицей. А в точке (0,75; 3,125) будет достигаться максимум, при этом предельная эффективность v=0, то есть ресурс отдает себя полностью для формирования максимального объёма производства. Проверим, например, при х=1, тогда у=3, то есть даже если ресурс будет перерасходоваться, объём производства будет уменьшаться. Найдем эластичность: Выпуск по ресурсу эластичен, так как Е<1 при х>0. это означает, что процентное изменение количества выпускаемой продукции меньше, чем затрат живого труда. Пусть предприятию необходимо знать какой объем прибыли она может иметь, если цена продукта Ру=5, а цена ресурса Рх=2. Издержки производства состоят из постоянной и переменной частей. Постоянная часть m=7, а переменные издержки определяются затратами ресурсов. Построим модель прибыли (П): П=Ру*у-(m+Рх*х)=5(-2x²+3x+2)-(7+2*х)= -10х²+13х+3. Для получения величины максимальной прибыли, строим первую производную: Полученное значение подставляем в модель прибыли и получаем П=7,225 Таким образом, получили максимальную прибыль П=7,225 при затраченных ресурсах равных 0,65, при этом будет выпускаться 3,105 единиц. Проверим условие Рх ≥ *Ру, где =3. Условие не выполняется, поэтому затрачивать переменные ресурсы не целесообразно, так как это ведет к уменьшению прибыли. Задача 2. Пусть предприятие, выпускающие хлебобулочные изделия использует два вида ресурсов (мука) и (дрожжи). И производственная функция будет иметь вид: у=6²+². Цена за единицу продукта =16, цена муки =10, цена дрожжей =6. Определить: - оптимальный размер прибыли; - объем хлебобулочных изделий при заданной общей сумме затрат. П=Ру*у-*-* П=16*(6²+²)-(10+6)=96²+16²-10-6 Найдем частные производные: , . Тогда прибыль будет равна: П=96*= - 0,83<0. Найдем объем хлебобулочных изделий при заданной общей сумме затрат: С = *+* С = 10+6 Выразим = и подставим в производственную функцию у=6²+8*², дифференцируем по переменной у= Значения и дают физическую величину затрат ресурсов, максимизирующих объём производства при заданных ценах и общей сумме затрат. Или при заданных затратах мы можем найти объём выпускаемой продукции. Найти численное значение функции полезности. Решение. Функция полезности это отношение между объёмами потребляемых товаров и уровнем удовлетворённости потребителя. Строим бюджетное ограничение, которое указывает, что доход потребителя должен быть равен расходам по приобретению товаров , подставляем значения, заданные по условию задачи . Рассчитаем предельные полезности: , которые показывают прирост полезности при потреблении дополнительной единицы товара. Для первого товара (i=1) u1 = , для второго (i=2) u2 = . Необходимое условие оптимальности вектора У представляется условием Куна-Таккера: , подставляем все известные данные и получаем , решим данное уравнение вместе с бюджетным ограничением. Получим систему линейных уравнений: . получим = 9,69, = 13,28 – оптимальные размеры покупок двух товаров при заданном уровне дохода. Находим численное значение функции полезности U = = 9,69*13,28 = 118,99. Определить сколько следует выделить средств на приобретение первого ресурса, сколько на приобретение второго. Таким образом. для покупки первого товара следует выделить * = 9,69*43 = 416,67, второго товара * = 13,28*59 = 783,52. Таким образом, найдены оптимальные размеры двух видов товаров, при покупке которых потребитель получит максимальную полезность и удовлетворение.
Задача. Фабрика имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов: рабочую силу, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т. п. Допустим, например, ресурсы трех видов рабочая сила, сырье и оборудование имеются в количестве соответственно 80(чел/дней), 480(кг), 130(станко/часов). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса необходимых для производства одного ковра каждого вида и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в таблице 4.1. Таблица 4.1.
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором общая стоимость продукции будет максимальная. Решение. Сформулируем экономико - математическую модель задачи. Введем переменные: Х1, Х2, Х3, Х4 - количество ковров каждого типа. Таким образом, план выпуска продукции представляется в виде вектора Х=( Х1, Х2, Х3, Х4), который должен удовлетворять следующим условиям: 1. ; 2. Ограничения по ресурсам Труд: 7Х1 +2Х2 +2Х3 +6Х4 80; Сырье: 5Х1 +8Х2 +4Х3 +3Х4480; Оборудование: 2Х1 +4Х2 +Х3 +8Х4130;
Решение модели получено средствами Excel 2003 (алгоритм представлен в приложении): Таблица 4.2.
Полученное решение - максимальный доход 150 тыс. руб. фабрика может получить при выпуске 30 ковров второго вида и 10 ковров третьего вида. При этом ресурсы труд и оборудование будут использованы полностью, а ресурс сырье из 480кг будет использовано только 280кг. Проведем анализ полученного оптимального решения исходной задачи с помощью отчета – Устойчивость решения (отчет получен также с помощью средств Excel 2003): Таблица 4.3.
Ресурсы труд и оборудование имеют отличные от нуля теневые оценки 1,3 и 0,3 – эти ресурсы полностью используются в оптимальном плане, являются дефицитными. Правые части этих ограничений равны левым частям. 7Х1 +2Х2 +2Х3 +6Х4 80 2Х1 +4Х2 +Х3 +8Х4130 70 +230 +210 +60=80=80 20 +430 +110 +80=130=130 Ресурс сырье используется не полностью (280480), поэтому имеет нулевую теневую цену (Y2=0): 5Х1 +8Х2 +4Х3 +3Х4480 50 +830 +410 +30=280<480 этот ресурс не влияет на план выпуска продукции. Если изделие вошло в оптимальный план (Xi >0), то в нормируемых стоимостях оно не убыточно, то есть, стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы изделия равна его цене. Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за его убыточности. В нашей задаче в план выпуска не вошли ковры первого и четвертого видов, потому что затраты по ним превышают цену на 7 (10-3) тыс. руб. и 9.666 (10.666-1) тыс. руб. соответственно. Предположим, что запас сырья ресурса «труд» изменился на 12 единиц и теперь он составляет 80 + 12 = 92 единиц. Увеличение запасов ресурса «труд» приведет к увеличению значения целевой функции на 16 тыс. руб.(f(x)= фактическое изменение ресурса на значение теневой цены = 12*1,333=16). Задача. В трех хранилищах имеется соответственно 70, 90, и 50 т топлива. Требуется спланировать перевозку топлива четырем потребителям , спрос 16 которых равен соответственно 50,70,40 и 40т так, чтобы затраты на транспортировку были минимальными. Стоимость перевозки 1т (в усл. ден. ед.) указана в таблице 5.1. Таблица 5.1.
Решение. Прежде, чем решать транспортную задачу необходимо проверить условие баланса . Поскольку запасы топлива в хранилищах равны спросу потребителей, имеем задачу закрытого типа. Первым этапом решения является нахождение начального опорного плана методом «минимального элемента». Груз распределяется, начиная с загрузки клетки с минимальным значением тарифа. При этом в клетку записывается максимально возможное значение поставки. Затем из рассмотрения исключают строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, или столбец, соответствующий потребителю, спрос которого полностью удовлетворен. После этого из оставшихся клеток таблицы снова выбирают клетку с наименьшим тарифом. Процесс распределения заканчивается, когда все запасы поставщиков исчерпаны, а спрос потребителей полностью удовлетворен. Итак, в распределительной таблице записан исходный опорный план ( таблица 5.2.): Таблица 5.2.
или . Начальный опорный план, найденный методом «минимального элемента» имеет количество занятых клеток ровно m+n-1=6, поэтому становится допустимым. Минимальные транспортные издержки для этого плана: Вторым этапом решения является проверка на оптимальность допустимого плана методом потенциалов: каждому поставщику поставим в соответствие потенциал , а каждому потребителю потенциал . Для каждой занятой клетки будет соответствовать уравнение: , где - потенциалы поставщиков; Потенциалы строк и столбцов для начального опорного плана, найденного методом «минимального элемента» найдем из решения системы: Система линейно-зависимая, для нахождения одного из решений придадим одному из потенциалов числовое значение (лучше 0), например , тогда Для исследования плана на оптимальность для каждой свободной клетки считаем оценки: ; Так как оценка , то найденный план не оптимален. Его можно улучшить с помощью цикла пересчета. Составим цикл пересчета относительно клетки () (таблица 5.3).
Из клеток, помеченных «-» выбираем наименьшее количество груза (40) и будем его прибавлять к клеткам, помеченным «+» и вычитать из клеток, помеченных « - », получим следующий план перевозок (таблица 5.4). Таблица 5.4.
Полученный опорный план является вырожденным, т.к. число заполненных клеток равно 5 вырожденности плана, поставим ноль в любую пустую клетку, например в клетку (). Проверим его на оптимальность, для этого найдем потенциалы строк и столбцов из решения системы: Пусть , тогда Определим оценки свободных клеток: Так как все оценки неотрицательны, то найденный опорный план является оптимальным. Минимальные транспортные издержки для этого плана: (усл. ед.). Итак, по оптимальному плану, необходимо: - из хранилища А1 потребителю В2 доставить 20т, потребителю B3 – 40 т топлива; - из хранилища А2 потребителю В2 доставить 50 т топлива, а потребителю В4 - 40 т топлива; - из хранилища А3 доставить 50 т топлива потребителю В1. При этом затраты на транспортировку будут минимальными и составят 490 усл. ден. ед. 2.6. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. Задача. Для увеличения объемов выпуска пользующейся повышенным спросом продукции трем предприятиям выделены капиталовложения в размере 700 млн. руб. Каждому из предприятий может быть выделено капиталовложений: 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700 млн. руб. При этом прирост выпуска продукции каждым из предприятий в зависимости от капиталовложений дается таблицей 6.1. Таблица 6.1.
Найти распределение капиталовложений между предприятиями, обеспечивающее максимальное увеличение выпуска продукции. Решение. Задача состоит в определении наибольшего значения функции при условии, что . Рекуррентное соотношение Беллмана в нашем случае приводит к следующим функциональным уравнениям: где - максимальный прирост выпуска продукции при выделении X млн. рублей 1 предприятию; - максимальный выпуск продукции при распределении X млн. рублей между первым и вторым предприятиями; - максимальный прирост при выделении всем трем предприятиям млн. рублей. Находим : При , При , При , При , При , 23 При , При , Результаты вычислений записываются в таблице 6.2. Таблица 6.2.
Определим условно оптимальные объемы капиталовложений, выделенных второму предприятию При , возможны только две комбинации вложения средств. Если в первое предприятие вложены все 100 млн.руб., то во второе предприятие ничего не вкладывается. Наоборот, если в первое предприятие ничего не вкладывалось, то все средства 100 млн.руб. вкладываются во второе предприятие. 24 Обе комбинации дают определенные приросты выпуска продукции 30 и 50 млн.руб. Наибольший прирост 50 млн.руб., который соответствует второй комбинации. При число комбинаций возрастает до трех. Если в первое предприятие вложить все средства 200 млн.руб., то во второе предприятие вкладываться ничего не будет. Можно вложить в два предприятия средства поровну по 100 млн.руб. наконец, можно вложить все средства во второе предприятия, так как в первое предприятие ничего не было вложено. В данном случае выбираем вторую и третью комбинации, так как обе имеет прирост продукции – 80. При возможны уже четыре комбинации Имеем третью комбинацию, при которой в первое предприятие вложено 100 млн.руб., а во второе – 200 млн.руб. Прирост продукции данной комбинации составляет 110 млн.руб. При , Среди пяти возможных комбинации выбирается последняя, при которой все средства вложены во второе предприятие, а в первое предприятие ничего не вкладывается. При , При распределение 500 млн.руб. необходимо выбрать шестую комбинацию, так она приносит наибольший прирост продукции равный 190 млн.руб. Все средства должны быть вложены во второе предприятие. При , В данном случае выбираются вторая и шестая комбинации, у которых одинаковое количество наибольшего прироста выпуска продукции – 220 млн.руб. По одной комбинации в первое предприятие необходимо вложить 500 млн.руб., а во второе – 100 млн.руб. А по другое комбинации наоборот в первое – 500 млн.руб., а во второе – 100 млн.руб. При , При распределении 700 млн.руб выбирается третья комбинации, при которой 500 млн.руб. вкладываются в первое предприятие, а 200 млн.руб. во второе предприятие. Данная комбинации принесет наибольший прирост выпуска продукции равной 250 млн.руб. Полученные результаты записываем в таблицу 6.3.
Пусть теперь рассматриваются одновременно три предприятий, тогда им будет выделяться весь объем капиталовложений, то есть X=700. . По седьмой комбинации получен максимальный прирост выпуска продукции, который составляет 270 млн. руб. при этом третьему предприятию будет выделено 600 млн.руб. Остальные 100 млн.руб. распределяются между первым и вторым предприятиями. Тогда таблице 6.3. находим при , следовательно . Итак, максимальный прирост выпуска продукции можно ожидать, выделив третьему предприятию 600 млн. руб., второму 100 млн. руб., а первому предприятию дополнительных капиталовложений не выделять. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|