Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика» Волгоград 2008

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Векторная алгебра
Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Математика»

Волгоград

2008

УДК 514. 742. 2

В 26
Векторная алгебра: методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика» / Сост. А. С. Чурзина; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2008. – 34 с.

Содержат примеры решения основных задач векторной алгебры с необходимыми теоретическими обоснованиями этих решений и задачи для индивидуальной работы.

Предназначены для студентов специальности СПО 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управления (по отраслям)».

Ил. 15. Табл. 1. Библиогр. 5 назв.
Рецензент: к. ф.-м. н. В. Ф. Казак

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

государственный

технический

университет, 2008

Введение

Историческое развитие векторного исчисления шло тремя путями:

- геометрическим – исчисление отрезков;

- физическим – исследование векторных величин, встреченных в естествознании;

- алгебраическим – расширение понятия операции при создании современной алгебры.

Начала исчисления направленных отрезков были впервые изложены уроженцем Норвегии Каспаром Весселем в 1799 году, который исходил из удовлетворения потребностей прикладной геометрии.

Однако на протяжении целого столетия ученые не обращали на них внимания:

Вессель не был известен в мире ученых;
датский язык;
идеи Весселя опередили время.

Дальнейшее развитие векторного исчисления связано с исследованиями Гамильтона (1853 г.), в трудах которого впервые появляются термины «скаляр» (от латинского “scala” – лестница, подобно ступенькам которой вводятся понятия > и < действительного числа, но не вектора) и «вектор» (ведущий).

Наряду с векторной алгеброй, изучая постоянные векторы, Гамильтон создал и векторный анализ, изучающий векторные функции ().

Практическое занятие № 1

Тема: Линейные операции над векторами.

Скалярное произведение векторов, его свойства.

Продолжительность занятия:

специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управлния (по отраслям)» - 4 часа

Цель занятия. Научить студента использовать свойства линейных операций с геометрическими векторами, скалярного произведения векторов для решения задач векторной алгебры.

Порядок проведения:

повторить теоретический материал;
разобрать предложенный пример;
выполнить самостоятельно индивидуальные задания;
ответить на контрольные вопросы.

Студент должен:

знать:

- определение вектора, определение координат вектора;

- операции над векторами, свойства операций;

- определение скалярного произведения и его свойства;

уметь:

- находить координаты векторов;

- вычислять модуль вектора и скалярное произведение векторов.

Основные понятия

В физике, механике, химии встречаются величины, которые полностью характеризуются только числовым значением (скаляром). Например, масса тела, концентрация раствора, давление газа, температура и т.д. Такие величины называются скалярными. Вместе с тем, для задания скорости, силы, ускорения необходимо задать не только их числовое значение, но и направление действия в пространстве. Такие величины называются векторными.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА – раздел векторного исчисления, в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами.

Определение 1. Геометрическим вектором называется направленный отрезок прямой, т.е. отрезок, для которого указаны ограничивающие его точка начала и точка конца вектора.

Если точка А – начало вектора, а точка В – конец вектора, то вектор обозначается символом . Векторы также обозначаются малыми латинскими буквами: и т.д. (рис. 1).

Рис. 1.

Определение 2. Число, равное длине вектора, называется его модулем.

Модуль вектора обозначается символом .

Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым вектором и обозначается символом (). Нулевому вектору можно приписать любое направление. Все нулевые векторы равны друг другу.

Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой (рис.2).

Рис. 2.а Рис. 2.б

Если два вектора и коллинеарны, то это обозначается следующим образом: . Векторы, изображенные на рис. 2.а, называются сонаправленными, обозначается так , а векторы, изображенные на рис 2.б, называются противоположно направленными. Символически это записывается так .

Замечание. Сонаправленными и противоположно направленными могут быть только коллинеарные векторы.

Так как нулевой вектор лежит на любой прямой, то, по определению, он считается коллинеарным любому вектору и перпендикулярным любому вектору.

Определение 4. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Определение 5. Два вектора и называются равными, если выполнены следующие условия:

модули этих векторов равны;
векторы сонаправлены.

Символически это определение можно записать следующим образом:

Если считать, что на рисунке 1 векторы лежат в одной плоскости, то , то есть и - разные обозначения одного и того же вектора. Векторы и при равных длинах не равны друг другу, так как имеют разные направления.

Таким образом, для задания любого вектора достаточно указать его модуль и направление, не фиксируя точку приложения (начало вектора может находиться где угодно). Используя определение равенства векторов, такой вектор всегда можно переместить поступательно, с помощью параллельного переноса, в требуемую точку пространства.

Замечание. Иногда свобода вектора ограничивается, например:

если кроме вектора задана его точка приложения, то он называется связанным (радиус-вектор);
если кроме вектора задана его точка направления, то он называется скользящим (вектор угловой скорости расположен по оси вращения);
свободный вектор не ограничен ничем.

В дальнейшем, если это не оговорено специально, мы будем пользоваться понятием свободного вектора.

Для любого вектора определим противоположный ему вектор, обозначаемый , такой, что модули этих векторов равны, они коллинеарны, но противоположно направлены. Вектор, противоположный вектору , обозначают –.

Е
Рис. 3
сли в пространстве заданы два вектора и то, используя определение равенства векторов, их можно привести к одному началу (рис. 3).

Рис. 3.

Тогда углом между векторами и называется наименьший угол j (jÎ[0,p]), на который нужно повернуть вектор до совпадения с вектором .

Геометрические векторы являются предметом так называемого векторного исчисления, подобно тому, как числа являются предметом арифметики. В векторном исчислении над векторами производятся некоторые операции, которые являются математическими абстракциями аналогичных операций, производимых с различными конкретными векторными величинами в физике.

Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число (скаляр). В основу их определения положены известные из механики законы взаимодействия векторных величин – сил, скоростей и т.д.

1. Сложение векторов.

Если даны два вектора и , то располагают их так, чтобы начало второго вектора совпало с концом первого вектора. Тогда суммой векторов и называется такой вектор , который соединяет начало первого вектора с концом второго (рис.4). Такое правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Аналогичное правило сложения (правило многоугольника) действует и для нескольких векторов (рис. 5).

Рис.4 Рис.5

Если два вектора приведены к одному началу, то их суммой будет вектор, образованный диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, и выходящий из общего начала (рис. 6). Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма.

Рис. 6

Из введенных выше правил сложения векторов вытекают следующие свойства этой операции:

1. – свойство коммутативности операции сложения;

2. – свойство ассоциативности операции сложения;

3. – наличие противоположного элемента;

4. – наличие нулевого элемента.

2. Вычитание векторов.

Разностью двух векторов и называется вектор, равный сумме вектораи вектора (-), противоположного вектору:

Если векторы приведены к общему началу, то вектор, равный разности , является второй диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах. При этом началом этого вектора является конец вектора (рис. 7).

Рис.7

3. Умножение вектора на скаляр.

Определение 6. Произведением вектора на действительное число l называется новый вектор, обозначаемый l, такой, что его модуль равен модулю вектора , умноженному на модуль числа l, т.е. , и векторы и l сонаправлены при l>0 и противоположно направлены при l<0 (рис. 8).

Произведение вектора на число обладает свойствами, которые легко доказать геометрически. Для любых действительных чисел и и любых векторов и

1. - умножение на единицу,

2. - свойство ассоциативности по отношению к числам,

3. - свойство дистрибутивности относительно сложения чисел,

4. - свойство дистрибутивности относительно сложения векторов.

Из определения и свойств вытекают следующие полезные для практики равенства

Единичный вектор. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором.

Вектор, имеющий направление вектора и модуль, равный единице, называется ортом направления вектора . Орт обозначается символом .

Для любого заданного вектора легко получить его орт. Для этого необходимо вектор разделить на его модуль:
следующая страница >>