Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика» Волгоград 2008

Разложение вектора по базису

Определение 7. Множество векторов на прямой назовем одномерным векторным пространством, множество векторов на плоскости – двумерным векторным пространством, в пространстве – трехмерным векторным пространством.

Легко проверить, что если – какое-то векторное пространство, , – число, то и.

Определение 8. Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется вектор .

На рисунке 8 приведены примеры линейных комбинаций:

Рис. 8

Векторы на рисунке 8 и = являются линейными комбинациями векторов :

Говорят, что вектор раскладывается по векторам , если является линейной комбинацией этих векторов, т.е. представим в виде =.

Замечание.

1) Если , то любой вектор , коллинеарный , представим, и причем единственным образом, в виде , где – число

2) Пусть и два неколлинеарных вектора. Тогда любой вектор , компланарный с векторами и , раскладывается по ним: , причем единственным образом.

3) Пусть , и – некомпланарные векторы. Тогда любой вектор раскладывается по этим векторам: , причем единственным образом.

Таким образом, в любом векторном пространстве любой размерности есть система векторов, по которой раскладывается каждый вектор пространства, причем единственным образом.

Определение 9. Базисом векторного пространства будем называть упорядоченную систему векторов пространства, состоящую: из одного ненулевого вектора, если пространство одномерное; из двух неколлинеарных векторов, если пространство двумерное; из трех некомпланарных векторов, если пространство трехмерное.

Очевидно, что в любом векторном пространстве можно выбрать бесконечно много базисов, число векторов в каждом из них равно размерности пространства.

Определение 10. Координатами (или компонентами) вектора в базисе называются коэффициенты разложения вектора по векторам базиса.

Для указания, что вектор имеет координаты используется запись .

Очевидно, что в фиксированном базисе каждый вектор имеет свой, единственный, набор координат. Если же взять другой базис, то координаты вектора, в общем, изменятся. Сложение векторов и умножение их на число связаны с аналогичными действиями с их координатами.

Линейные операции над векторами

в координатной форме

Пусть в векторном пространстве выбран базис и заданы координаты векторов в этом базисе: ; .

Тогда

- при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это числo: ,

- при сложении векторов складываются их соответствующие координаты:

.

Замечание. Все координаты нулевого вектора в любом базисе равны нулю.

Замечание. Базисный вектор с номером имеет координату с номером , равную 1, а все остальные координаты – нулевые.

Замечание. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

.

Система координат.

Координаты вектора в ортонормированном базисе

Рассмотрим случай трехмерного векторного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем некоторую точку O и возьмем произвольную точку M. Радиус-вектором точки M по отношению к точке O называется вектор .

Если в пространстве выбран базис, то вектор раскладывается по этому базису. Таким образом, точке M можно сопоставить упорядоченную тройку чисел (x, y, z) – координаты ее радиус-вектора.

Определение 11. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.

Точка O носит название начала координат; прямые X^/X , Y^/Y , Z^/Z, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая X^/X – осью абсцисс, вторая Y^/Y – осью ординат, третья Z^/Z – осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

Определение 12. Координаты (x, y, z) радиус – вектора точки M по отношению к началу координат называются координатами точки M в рассматриваемой системе координат.

Первая координата x называется абсциссой, вторая y – ординатой, третья z – аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости: точка имеет только две координаты x и y– абсциссу и ординату.

Определение 13. Декартова система координат называется прямоугольной, если базис задается единичными и попарно ортогональными (перпендикулярными) друг другу векторами – базисными ортами : – орт оси OX;

– орт оси OY;

– орт оси OZ.

Базис () называется ортонормированным.

В дальнейшем будет использоваться декартова прямоугольная система координат.

На рис. 9 показан способ изображения точки A(-1;2;3) по ее координатам относительно ортонормированного базиса :

Рис. 9

Утверждение. Если точки A и B заданы своими координатами , то .

Т.е. для определения координат вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Проекции вектора

Пусть в пространстве задана некоторая ось l, то есть прямая, на которой отмечена фиксированная точка O и заданы направление и единица длины. Тогда каждой точке оси соответствует некоторое число.

Определение 14. Проекцией точки A на ось l называется число, соответствующее основанию перпендикуляра AB, опущенного на ось l из точки A.

Определение 15. Проекцией вектора на ось l называется разность проекций конца вектора и его начала.

Проекция обозначается . На рис. 10 .

Рис. 10. Проекция вектора на ось

Легко проверить, что если , то , то есть проекция не зависит от положения начала вектора, а зависит только от самого вектора.

Утверждение. Пусть – угол, образованный вектором с осью l. Тогда .

Таким образом, проекция вектора на ось есть число, которое может быть положительным, отрицательным и нулем (рис 11).

Рис. 11

Утверждение. Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций:

Утверждение. Проекция на ось вектора, умноженного на число, равна произведению проекции вектора на это число: .Определение 16. Проекцией вектора на вектор , , называется проекция вектора на любую ось, параллельную вектору и имеющую направление, совпадающее с направлением вектора.

Проекция вектора на вектор обозначается . Очевидно, что , где – угол между векторами и .

Координаты вектора являются коэффициентами его разложения по ортам координатных осей:

Утверждение. Проекции вектора на координатные оси равны координатам вектора:

; ; .

Поместим вектор в начало координат и обозначим через углы, образованные вектором с положительным направлением осей OX, OY, OZ. Эти углы называются направляющими углами вектора .

Определение 17. Косинусы углов, образованных вектором с осями координат, называются направляющими косинусами вектора.

Рис. 12

В соответствии с рис. 12, направляющими косинусами вектора являются

Отметим важное свойство направляющих косинусов:

Утверждение. Координаты вектора равны его направляющим косинусам, умноженным на длину вектора:

Если вектор единичный, то его координатами служат направляющие косинусы:

следующая страница >>