Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика» Волгоград 2008

Скалярное произведение векторов и его приложение

Кроме операций сложения и умножения на число на множестве векторов определены еще несколько операций. Одна из них – скалярное произведение, позволяющее находить длины векторов и углы между векторами по координатам векторов.

Определение 18. Скалярным произведением векторов и называется число, равное , где

– угол между векторами и.

Замечание. Если один из векторов нулевой, то угол не определен. Скалярное произведение в этом случае считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов и обозначается , или . Скалярное произведение вектора на себя :=.

Таким образом, согласно определению, где .

Скалярное произведение обладает свойствами, которые будут сформулированы в виде теоремы.

Теорема. Для любых векторов и выполнены следующие соотношения:

1⁰. - свойство коммутативности;

2⁰. - свойство дистрибутивности;

3⁰. , где число;

4⁰. при ;

5⁰. ;

6⁰. Если – угол между векторами и, то

(1)

7⁰. тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны.

8⁰. Геометрический смысл: , если ;

9⁰. Механический смысл: скалярное произведение силы на вектор равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору, т.е. .

Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов координатных осей:

Если векторы и в ортонормированном базисе заданы своими координатами: , то формула для вычисления скалярного произведения векторов и по координатам сомножителей имеет вид

, (2)

т.е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных проекций.

Так как, то, применяя равенство (2), получим формулу для

определения длины вектора :

. (3)

Выражая числитель и знаменатель формулы (1) посредством координат векторов и , применяя формулы (2) и (3), находим

Пусть в пространстве заданы точки и. Тогда . Длина вектора будет равна и из формулы (3) следует, что

Сведем основные результаты в таблицу:

Таблица 1

Вид произведения	Скалярное произведение векторов и
Обозначение
Понятие
Представление в координатах
Приложение	1) 2) 3)

Решение типовых примеров

Пример № 1. Коллинеарны ли векторы где .

Решение.

1) Найдем координаты векторов и , пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:

2) Так как

,

то координаты векторов и пропорциональны. Следовательно, векторы и коллинеарны.

Ответ. Векторы и коллинеарны.

Пример № 2. Даны вершины треугольника: Найдите длину стороны и .

Решение.

1) Вычисляем координаты векторов и :

2) По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов имеем

т.е. .

Ответ. AB=5 ед. .

Пример № 3. Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и , где – единичные векторы, угол между которыми равен .

Решение. Сделав схематический рисунок,

Рис. 13.

убеждаемся, что вектор , соответствующий одной диагонали параллелограмма, находится по формуле

,

а другой –

Отсюда

(4)

В силу свойства 5⁰ (теорема 1) скалярного произведения получим

Аналогично,

Найдем скалярное произведение векторов и . Учитывая свойство 1⁰ коммутативности скалярного произведения и (4), имеем

Так как

то

Ответ.

Пример № 4. Под действием силы в 20 Н материальная точка переместилась по прямой на 2 м. Найти работу, совершаемую этой силой, если угол между силой и направлением равен .

Решение. Работа А вычисляется по формуле

где – вектор действующей силы, – вектор пути. Получим

Ответ.

Задачи для решения

1. По данным векторами построить векторы

2. Даны векторы Вычислить:

a) ;

б)

Ответ. а) 14; б) -12.

3. Определить при каком значении векторы и ортогональны.

Ответ.

4. Вычислить какую работу производит сила когда ее точка приложения, двигаясь по прямой, переместилась из точки в точку .

Ответ. 27 ед. раб.

5. Вектор составляет с осями координат острые углы причем , . Найти его координаты, если .

Ответ. .

6. Векторы и образуют угол . Зная, что найти длину вектора .

Ответ. ед.

Задачи для самостоятельной работы

1. Вычислить скалярное произведение векторов и , если

а) угол между векторами и равен 60⁰;

б)

Ответ. а) 10; б) 14.

2. Коллинеарны ли векторы , где и .

Ответ. Нет.

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

Ответ.

4. Даны векторы и , приложенные к общей точке. Найти орт биссектрисы угла между и .

Ответ. .

5. Построить точки . Если точки построены правильно, то получен квадрат. Чему равна длина стороны этого квадрата? Какова его площадь? Найти координаты середины сторон квадрата.

Ответ. ед., кв.ед.,

6. Найти вектор , перпендикулярный векторам и если известно, что его проекция на вектор равна 1.

Ответ. (-3/2; 3/4; 3/2).

Контрольные вопросы

1) Определение вектора. Линейные операции над векторами, свойства этих операций.

2) Проекции вектора на ось. Свойства проекции.

3) Разложение вектора по координатным ортам. Координаты вектора.

4) Радиус-вектор точки. Модуль вектора. Расстояние между двумя точками.

5) Скалярное произведение векторов, его физическое толкование. Свойства

скалярного произведения.

6) Проекция вектора на вектор. Угол между векторами. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов.

7) Скалярное произведение векторов в координатной форме.

Практическое занятие № 2
Тема: Векторное произведение векторов, его свойства.

Продолжительность занятия:

специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управлния (по отраслям)» - 2 часа

Цель занятия. Научить студента использовать свойства векторного и смешанного произведений векторов для решения задач векторной алгебры.

Порядок проведения:

повторить теоретический материал;
разобрать предложенный пример;
выполнить самостоятельно индивидуальные задания;
ответить на контрольные вопросы.

Студент должен:

знать:

- определение векторного произведения векторов, его свойства;

- определение смешанного произведения векторов, его свойства;

уметь:

- устанавливать компланарность векторов;

- вычислять площадь параллелограмма, объемы параллелепипеда и треугольной пирамиды.

Векторное произведение векторов

Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена.

Определение 19. Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , определяемый следующими условиями:

1) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е.

,

где – угол между векторами и , и если , то еще двум условиям:

2) вектор ортогонален плоскости векторов и , т.е. и ; 3) векторы ,иобразуют правую тройку: из конца вектора кратчайший поворот от вектора (первого сомножителя) к вектору (второму сомножителю) виден против часовой стрелки (начала векторов предполагаются совмещенными) (рис. 14).

Рис. 14

Замечание. Угол между векторами в пространстве удовлетворяет условию . Тогда . Если или , то считается, что векторное произведение равно .

Векторное произведение вектора на вектор обозначается или .

Свойства векторного произведения векторов

1⁰. – свойство антикоммутативности;

2⁰ тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны;

3⁰. , где число;

4⁰. – свойство дистрибутивности;

5⁰.

6⁰. Геометрический смысл:

– площадь параллелограмма, сторонами которого служат векторы и , равна модулю их векторного произведения,

; (5)

– площадь треугольника со сторонами и вычисляется по формуле .

7⁰. Механический смысл: если – сила, приложенная к точке М, то момент этой силы относительно точки А равен векторному произведению векторов и , т.е. .

Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис . Наложим на этот базис еще одно дополнительное условие (рис. 15): векторы образуют правую тройку.

Рис.15

Из определения векторного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов координатных осей:

Если векторы и в ортонормированном базисе заданы своими координатами: , то формула для вычисления векторного произведения векторов и по координатам сомножителей имеет вид

Смешанное произведение векторов

Пусть заданы три произвольных вектора , и .

Определение 20. Смешанным (или векторно – скалярным) произведением трех векторов (взятых в указанном порядке) называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и , т.е. .

Смешанное произведение обозначается .

Свойства смешанного произведения

1⁰. Смешанное произведение не изменится:

а) при циклической перестановке сомножителей, т.е.

;

б) при замене местами знаков векторного и скалярного умножений, т. е.

2⁰. При перемене мест любых двух сомножителей в смешанном произведении его знак меняется на противоположный:

3⁰. Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:

а) хотя бы один из векторов нулевой;

б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;

в) перемножаемые векторы компланарны.

Признак компланарности

Для того чтобы три ненулевых вектора и были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю:

, (6)

равенство (6) называется условием компланарности векторов.

Геометрический смысл смешанного произведения трех некомпланарных векторов заключается в том, что абсолютная величина смешанного произведения векторов и равна объему параллелепипеда,

построенного на векторах и , как на сторонах, т. е.

;

объем образованной этими векторами треугольной пирамиды находится по формуле

. (7)

Если векторы , и в ортонормированном базисе заданы своими координатами: , , то формула для вычисления смешанного произведения векторов , и по координатам сомножителей имеет вид

.
Решение типовых задач

Пример № 1. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если известно, что и угол между векторами и равен .

Решение.

1) Вычислим , используя свойства векторного произведения:

2) Вычислим модуль векторного произведения:

3) Найдем площадь параллелограмма, используя формулу (1):

кв.ед.

Ответ. Площадь параллелограмма равна 11 кв.ед.

Пример № 2. Компланарны ли векторы и ?

Решение.

1) Вычислим смешанное произведение векторов:

2) Так как , то векторы и компланарны.

Ответ. Векторы и компланарны.

Пример № 3. Вычислить объем тетраэдра с вершинами

и его высоту, опущенную из вершины на грань .

Решение.

1) Из вершины проведем векторы

2) Вычислим смешанное произведение векторов

и найдем объем тетраэдра по формуле (7):

куб. ед.

3) Известно, что объем тетраэдра можно найти и по формуле откуда

где площадь основания тетраэдра, высота тетраэдра.

Согласно геометрическому смыслу векторного произведения

Вычислим площадь основания тетраэдра:

Следовательно,

кв.ед.

Найдем высоту по формуле (4):

ед.

Ответ. куб. ед.; ед.

Задачи для решения

1) Найти векторное произведение векторов ии его модуль, если

Ответ.

2) Дано:

Вычислить: .

Ответ..

3) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если известно, что и угол между векторами и равен .

Ответ. кв.ед.

4) Компланарны ли векторы и ?

Ответ. Да.

5) Даны вершины треугольника и . Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины на сторону .

6) Сила приложена к точке . Найти момент этой силы относительно точки .

Задачи для самостоятельной работы

1) Вычислить синус угла, образованного векторами и .

Ответ..

2) При каких значениях и векторы и коллинеарны?

Ответ.

3) Доказать тождество .

4) Вычислить , если векторы образуют правую тройку, , а угол между векторами и равен .

Ответ. .

5) Доказать, что точки

лежат в одной плоскости.

6) Вычислить объем тетраэдра с вершинами и его высоту, опущенную из вершины на грань .

Ответ.

Контрольные вопросы

1) Векторное произведение двух векторов, его физическое толкование.

2) Условия коллинеарности и компланарности векторов в векторной и координатной форме.

3) Векторное произведение векторов в координатной форме.

4) Геометрические приложения векторного произведения.

5) Свойства векторного произведения.

6) Смешанное произведение трех векторов в координатной форме.

7) Необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

8) Свойства смешанного произведения.
Используемая литература

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.- М.:1988г.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних спец. учеб. заведений.- М.: Высш. Шк.,2004г.
Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. М.: Высшая школа, 1999 г.
Клетеник Л.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1972 г.
Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник. – 2 – е изд. Стереотип. – М.: Издательский центр «Академия»; Мастерство, 2002 г.

Составитель: Чурзина Анна Сергеевна

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика»

Под редакцией автора

Темплан 2008 г., поз. № 38К.

Подписано в печать 01. 10. 2008 г. Формат 60×84 ¹/₁₆.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 2,13. Усл. авт. л. 1,94.

Тираж 50 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

<< предыдущая страница